Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów dotychczasowych gimnazjów woj. śląskiego w roku szkolnym 2018/2019 Przykładowe rozwiązania zadań i schemat punktowania Stopień wojewódzki

(1)

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów dotychczasowych gimnazjów woj. śląskiego

w roku szkolnym 2018/2019

Przykładowe rozwiązania zadań i schemat punktowania Stopień wojewódzki

Przy punktowaniu zadań otwartych należy stosować następujące ogólne reguły:

▪ Oceniamy rozwiązania zadań zgodnie z podanym niżej schematem, tzn. przyznajemy daną liczbę punktów, jeżeli rozwiązanie zawiera wszystkie wskazane na danym poziomie elementy.

▪ Punktując rozwiązania zadań, przyznajemy tylko całkowitą liczbę punktów.

▪ Nie jest wymagana pisemna odpowiedź, ale jednoznaczne wskazanie wyniku lub rozstrzygnięcia problemu.

▪ Za każdy, inny niż podany w kluczu, poprawny sposób rozwiązania zadania przyznajemy maksymalną liczbę punktów.

▪ W przypadku, gdy zadanie rozwiązywano innym sposobem, niż podany w kluczu, ale popełnione zostały błędy lub nie dokończono rozwiązywania, należy przyznać punkty w zależności od poziomu wykonania zadania.

▪ Liczba punktów umożliwiająca uzyskanie tytułu laureata wynosi co najmniej 54.

Zadanie 1.

Za każde poprawnie zapisane hasło w krzyżówce 1 punkt, czyli w sumie 17 punktów.

1) S Z E Ś C I A N

2) R Ó W N O L E G Ł O Ś Ć

3) P R Z E C I W P R O S T O K Ą T N A

4) P R Z E K Ą T N A

5) P O D S T A W A

6) P R O P O R C J A

7) W Y C I N E K K O Ł A

8) D I A G R A M

9) U Ł A M E K W Ł A Ś C I W Y

10) O K R E S

11) W A R T O Ś Ć B E Z W Z G L Ę D N A

12) P R O M I L

13) P R O S T O K Ą T

14) P U N K T

15) S T O Ż E K

16) K W A D R A T S U M Y

17) R O Z S Z E R Z A N I E U Ł A M K A

(2)

Zadania zamknięte – klucz punktowania

Za każde poprawnie zaznaczone wskazanie 1 punkt, czyli w sumie 27 punktów.

Zadanie 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Odpowiedź I P P F P P F P P F

Odpowiedź II F F F F P F F F P

Odpowiedź III P P P P P F F F F

Zadania otwarte - przykładowe rozwiązania

Zadanie 11.

V - objętość stożka, r – promień podstawy stożka, l – tworząca stożka, h – wysokość stożka

2 l= r

8 2 8 2 rl r r r

 = 

  = 

=

2 3

2 2 2 3

2 2 3 h r

h h

=

= 

=

2

1 3

1 2 2 3

3 8 3

3

V r h

V

= 

=  

=  

Odp. Objętość stożka wynosi 8 3 V = 3  .

(3)

Zadanie 12.

I sposób

Cena Liczba Koszt zakupu

Bilety normalne x y xy

Bilety ulgowe 3

4x 1

3y 3 1 1

4x3y=4xy

1 640

4

5 640

4

512 xy xy

xy xy

+ =

=

1 1

512 128 4xy =4 =

Odp.: Za bilety normalne zapłacono 512 zł, a za bilety ulgowe zapłacono 128 zł.

II sposób

Liczba Cena Koszt zakupu

Bilety ulgowe x c

4

3 3

4 x c

Bilety normalne 3x c 3x c

3 3 640

x c + x 4c= 4 640

3xc5=

3xc = 512 zł – koszt zakupu biletów normalnych 640 – 512 = 128 zł – koszt zakupu biletów ulgowych

Odp.: Za bilety normalne zapłacono 512 zł, a za bilety ulgowe zapłacono 128 zł.

(4)

Zadanie 13.

2 DAB = 

 =30 (ADB – trójkąt ekierkowy) 2

AB = x

BDC =  (kąty ABD i BDC są naprzemianległe) Trójkąt BDC jest równoramienny, bok BD jest podstawą.

1 DC = CB = =x 2 AB

Zadanie 14.

15 3 5 24 2 2 2 3

2520 2 2 2 3 3 5 7

= 

=   

=      

Z warunku NWD (15, 24, n) = 3 wynika, że w rozkładzie liczby n na czynniki pierwsze musi wystąpić liczba 3.

Z warunku NWW (15, 24, n) = 2520 wynika, że w rozkładzie liczby n na czynniki pierwsze muszą wystąpić ponadto druga liczba 3 i liczba 7, czyli: ⁿ^{=   }^k

(

^{3 3 7}

)

^.

Zatem n może przyjąć wartości:

(

^{3 3 7}^{ }

)

⁼⁶³

( )

2 3 3 7   =126

( )

2 2 3 3 7    =252

( )

2 2 2 3 3 7     =504

( )

5 3 3 7   =315

( )

2 5 3 3 7    =630

( )

2 2 5 3 3 7     =1260

( )

      =

(5)

Schemat punktowania

Zad. Poziom wykonania Schemat punktowania Liczba

punktów

11

Poziom 6: pełne rozwiązanie.

Poprawne obliczenie objętości stożka 8 3

3

 

 

 

 . 4 p.

Poziom 4: zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale rozwiązanie nie zostało dokończone lub dalsza część rozwiązania zawiera poważne błędy merytoryczne.

Poprawna metoda obliczenia wysokości

stożka. 3 p.

Poziom 3: zasadnicze trudności zadania zostały pokonane, ale

w trakcie ich pokonywania popełniono błędy.

Poprawna metoda obliczenia tworzącej

stożka. 2 p.

Poziom 2: dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały pokonane.

Ustalenie zależności pomiędzy promieniem

podstawy i tworzącą stożka. 1 p.

Poziom 0: rozwiązanie niestanowiące postępu; brak rozwiązania.

0 p.

12

Poziom 6: pełne rozwiązanie. Obliczenie kosztu biletów normalnych

(512 zł) i ulgowych (128 zł). 4 p.

Zapisanie kosztu zakupionych biletów z wykorzystaniem zależności pomiędzy cenami i liczbami zakupionych biletów.

3 p.

Ustalenie zależności pomiędzy: ceną biletów normalnych i ulgowych

ORAZ

liczbą biletów normalnych i ulgowych.

2 p.

Poziom 1: dokonano niewielkiego, ale koniecznego postępu na drodze do całkowitego rozwiązania.

Ustalenie zależności pomiędzy: ceną biletów normalnych i ulgowych

ALBO

liczbą biletów normalnych i ulgowych.

1 p.

0 p.

(6)

Zad. Poziom wykonania Schemat punktowania Liczba punktów

13

Poziom 6: pełne rozwiązanie.

Ustalenie zależności między długością krótszej a długością dłuższej podstawy

(pełne uzasadnienie). 4 p.

Ustalenie wartości miar kątów pomiędzy przekątną a: krótszą podstawą (30^o) oraz ramieniem (30^o).

3 p.

Ustalenie zależności między długością

ramienia a długością dłuższej podstawy. 2 p.

Poziom 1: dokonano niewielkiego, ale koniecznego postępu na drodze do całkowitego rozwiązania.

Ustalenie wartości miar kątów pomiędzy dłuższą podstawą a: ramieniem (60^o)oraz przekątną (30^o)

1 p.

0 p.

14

Poziom 6: pełne rozwiązanie. Podanie wszystkich ośmiu możliwych

wartości n. 4 p.

Poziom 5: zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale dalsza część rozwiązania zawiera usterki (błędy rachunkowe, niedokonanie wyboru właściwych rozwiązań itp.).

Podanie wyłącznie poprawnych, co najmniej

czterech możliwych wartości n. 3 p.

Podanie koniecznych czynników rozkładu liczby

n (3 3 7  ). 2 p.

Zapisanie rozkładu na czynniki pierwsze liczb: 15, 24, 2520

LUB

podanie, wśród innych błędnych

odpowiedzi, ośmiu poprawnych wartości n.

1 p.

0 p.