Politechnika Warszawska Wydział Mechatroniki Instytut Automatyki i Robotyki

Politechnika Warszawska Wydział Mechatroniki Instytut Automatyki i Robotyki

Rodzaje i opis mechanizmów wieloczłonowych z elementami elastycznymi

Wykonała: Solomiia Liubinetska Gr. 67

Warszawa - 2018

1

Wstęp

Typowymi mechnizmami wieloczłonnymi z elementami elastycznymi są maszyny i manipulatory o lekkiej konstrukcji, takie jak stosowane w przemyśle kosmicznym. Ze względu na zwiększone wymagania produktywności, lekkie konstrukcje maszyn stają się coraz bardziej atrakcyjne dla zastosowań przemysłowych.

Mają dużo korzystniejszy ładunek do stosunku masy własnej, a zatem mogą być obsługiwane ze znacznie niższą siłą uruchamiania. Aby zwiększyć efektywność procesów roboczych, konieczne są wyższe prędkości robocze, które dają również w stosunkowo sztywno zaprojektowanych maszynach niepożądane wibracje strukturalne. Elastyczność ciała można również wprowadzić celowo w celu zwiększenia zgodności, co jest często korzystne w aplikacjach kontaktowych maszyna-środowisko. Ponadto, niektóre swobodnie pływające systemy mechaniczne są naturalnie i wewnętrznie niedotknięte, takie jak samoloty, okręty podwodne i statki kosmiczne. Wspomniane niedotrzymane układy wielobarwne często mają bardzo odmienną strukturę.

Jednakże jedną cechą wspólną jest to, że są one znacznie trudniejsze do kontrolowania niż w pełni uruchamiany system wieloczłonowy, a zatem wymagają starannej równowagi projektowania strukturalnego i projektowania sterowania w procesie projektowania.

1. Mechanizmy wieloczłonowy

Mechanizmem wieloczłonowym jest zbiór wzajemnie powiązanych elastycznych i sztywnych ciał lub członów, które poruszają się względem siebie, zgodnie ze stawami ograniczającymi ruch względny ciał. [3]

Rys.1.1. Mechanizm wieloczłonowy z elementem elastycznym. [3]

1.1. Sztywny system wieloczłonowy

Sztywne systemy wieloczłonowe składają się ze zbioru idealnie sztywnych ciał o określonej masie, które są połączone bezmasowymi elementami sprzęgającymi i ograniczającymi. Sztywne korpusy reprezentują właściwości masy i bezwładności składników układu. Sztywne bryły są określane przez położenie środka ciężkości, masy i bezwładności. Elementy sprzęgające wytwarzają przyłożone siły i momenty, które działają na ciała sztywne. Te przyłożone siły można opisać za pomocą fizycznych praw siły. W ten sposób można wykorzystać sprężyny i amortyzatory do modelowania właściwości elastyczności i tłumienia całego mechanizmu. Siły napędowe stosowane do sterowania układem wytwarzają również siły i momenty przyłożone. Ruch ciał jest ograniczony przez elementy ograniczające, takie jak połączenia (pręt), łożyska lub siłowniki pozycyjne. Te elementy ograniczające wytwarzają siły reakcji i momenty obrotowe. Elementy wiążące są idealnie sztywne w kierunku ograniczenia i nie mają tarcia w dozwolonym kierunku ruchu.

Rysunek 1.2 podsumowuje wspólne elementy systemu wieloczłonowego, ich reprezentację symboliczną i parametry używane do opisu właściwości komponentów. [2]

Mechanizmy wieloczwonowe można podzielić na trzy kategorie: sztywne układy wieloczęściowe, liniowo elastyczne układy wieloczłonowe, nieliniowo elastyczne układy wieloczłonowe [1]. Układy pierwszej kategorii obejmują tylko ciała sztywne, ale te z dwóch ostatnich kategorii obejmują ciała sztywne i elastyczne.

Charakterystyki systemu wieloobiektowego są następujące:

o Sztywne mechanizmy wielocylonowe składają się z zestawu sztywnych ciał połączonych ze sobą za pośrednictwem połączeń mechanicznych i w dowolnym ruchu względem siebie. Chociaż wszystkie bryły są sztywne, to znaczy, że e=0 w każdym korpusie, skumulowane sprężyste elementy, zwane również elastycznymi złączami, elementami tulei lub elementami siłowymi, mogą być umieszczone

2

między dwoma elementami układu, aby reprezentować zlokalizowaną elastyczność. Te elastyczne połączenia wykazują arbitralne zachowanie

konstytutywne. [1]

o Liniowo elastyczne mechanizmy

wieloczłonowe składają się z połączenia zarówno elementów elastycznych, jak i sztywnych połączonych ze sobą za pomocą połączeń mechanicznych i w dowolnym ruchu względem siebie. W przypadku liniowo elastycznych mechanizmów wieloczłonowych przyjmuje się, że zależności o napięcie- przemieszczenie pozostają liniowe i że składowe odkształcenia pozostają bardzo małe przez cały czas, to znaczy, że e«1 dla wszystkich ciał sprężystych. Skuteczne techniki analizy tego typu problemów zazwyczaj polegają na modalnych rozszerzeniach elastycznego pola przesunięcia. [1]

o Nieliniowo elastyczne układy wieloczłonowe składają się ze złożenia zarówno elastycznych, jak i sztywnych ciał połączonych ze sobą za

pomocą połączeń mechanicznych i w dowolnym Rys.1.2. Typowe elementy sztywnego ruchu względem siebie. W przypadku ciał układu wieloczłonowego [2]

sprężystych zależności odkształcenie-odkształcenie

stają się nieliniowe lub składniki odkształcenia stają się duże lub oba. Nieliniowe zależności odkształcenie-odkształcenie charakteryzują geometrycznie nieliniowe problemy, to znaczy, że problemy związane z dużymi odkształceniami sprężystymi lub obrotami lub z obydwoma. Kiedy składniki odkształceń stają się duże, muszą być użyte nieliniowe materialne prawa konstytutywne, charakterystyka problemów nieliniowych. W przypadku nieliniowo elastycznych mechanizmów wielocyłonowych dokładność i niezawodność modalnego rozszerzania elastycznego pola przemieszczenia stają się wątpliwe. [1]

Ponieważ ogólne ruchy wszystkich ciał układu wieloczłonowego są duże i ponieważ względne ruchy pomiędzy różnymi składowymi układu są również duże, dynamika systemu wieloczłonowego jest z natury nieliniowym problemem. Kwalifikatory "liniowo" i "nieliniowo sprężyste" użyte w powyższej klasyfikacji odnoszą się szczególnie do zachowania sprężystego ciał. Modelowanie liniowo elastycznych układów wielojednostkowych prowadzi do nieliniowych dynamicznych równań ruchu, chociaż reprezentacja elastycznego zachowania ciał może być w dużym stopniu zlinearyzowana.

1.2. Topologie systemów wieloczłonowych

Systemy wieloczłonowe mogą być reprezentowane przez proste wykresy - diagramy topologii – które pokazują ciała i ich połączenia bez zbytniego skomplikowania szczegółów. Istnieją trzy topologie elementarne:

łańcuch, drzewo i pętla. Opcje te przedstawiono na Rys. 1.3. [4]

Rys.1.3. Trzy różne topologie systemów wieloczłonowych: a) łańcuch; b) drzewo; c) pętla

3

Topologia łańcucha składa się z ciał, które są połączone tylko z sąsiednimi ciałami za pośrednictwem pojedynczego łącza. Na Rys.1.3 a) są cztery ciała połączone ze sobą trzema ogniwami. Dodatkowo pierwszy korpus jest połączony z ziemią. Topologia łańcucha jest najprostsza do obliczenia i analizy, ponieważ każde ciało jest połączone tylko z jednym lub dwoma innymi. [4]

Topologia drzewa przypomina łańcuch, ale z kilkoma dodatkami. Są to tak zwane gałęzie ciał, które łączą się z ciałami w łańcuchu. Rezultat jest taki, że niektóre ciała mają więcej niż jedno inne ciało połączone z nimi. Na Rys.1.3 b) przedstawiąny łańcuch czterech ciał z dwoma rozgałęzieniami połączonymi z pierwszym i trzecim ciałem z ogniwami. Drzewo nieco komplikuje analizę systemu, ale ponieważ rozgałęzione ciała tworzą własny łańcuch, obliczenia nie różnią się znacznie od topologii łańcucha. [4]

W topologii pętli niektóre z ciał tworzą pętlę. Ponownie, istnieje łańcuch czterech ciał, ale dwa dodatkowe ciała tworzą pętlę z pierwszym i trzecim ciałem na łańcuchu. Pętla utrudnia obliczenia nawet dość często w niektórych przypadkach. W pewnym sensie pętla tworzy mechanizm sprzężenia zwrotnego w systemie, a zatem niektóre operacje rekurencyjnego formalizmu nie są możliwe, prowadząc do czasochłonnych inwersji macierzy. [4]

2. Dynamika i kinematyka elastzycynego ciała

Czasami przydatne jest modelowanie ciał jako elastycznych elementów zamiast sztywnych. Sztywne bryły z definicji wcale się nie wyginają ani nie deformują. Oznacza to, że odległość między dwoma arbitralnymi punktami pozostaje stała. W konsekwencji siła działająca na sztywny korpus powoduje liniowe przyspieszenie w całym ciele z przyspieszeniem kątowym wokół jego środka masy. [5]

Zdeformowane ciała nie są sztywne. Wyginają się i skręcają w zależności od działających na nie sił. Ta gałąź mechaniki określana jest mianem mechaniki Continuum. Mechanika continuum skupia się na ruchu elastycznych ciał. Wprowadzenie elastyczności do dynamiki powoduje nowe problemy i możliwości. Na przykład, zastosowanie siły punktowej na odkształcalnym korpusie nie powoduje liniowego przyspieszenia w całym ciele. Zamiast tego pozostałe punkty na ciele nie są natychmiast uruchamiane, ale w stosunku do sztywności ciała. [5]

2.1. Kinematyka elastycznych manipulatorów

Rys.2.1. Arbitralny punkt na elastycznym łączu. Rys.2.2. Współrzędne elastyczne na elemencie skończonym.

Równania kinematyczne, które definiują arbitralne przemieszczenie elastycznego połączenia i pokazane na Rys.2.1, uzyskuje się stosując pływającą formułę ramki odniesienia. Formuła pływającej ramki odniesienia wykorzystuje dwa zestawy współrzędnych: odniesienia korpusu i współrzędne sprężyste.

Współrzędne odniesienia ciała opisują położenie i orientację ramki odniesienia XiYiZi względem globalnego układu współrzędnych XYZ. Współrzędne elastyczne opisują odkształcenia na elastycznym łączniku i względem ramy odniesienia korpusu XiYiZi. Elastyczne odkształcenia na elastycznym łączniku są przybliżone za pomocą metody elementów skończonych w celu uzyskania skończonego zbioru współrzędnych sprężystych.

Współrzędne sprężyste elementu skończonego przedstawione na Rys. 2.1 są określone za pomocą pływającej

4

ramki odniesienia XijYijZij w odniesieniu do ramki odniesienia korpusu XiYiZi. Położenie dowolnego punktu na elastycznym łączu można zdefiniować jako

(1) gdzie Ri jest wektorem pozycji ramki odniesienia treści XiYiZi. Ai jest macierzą transformacji zdefiniowaną przy użyciu parametrów Eulera βi = [β0 β1 β2 β3]. 𝑢̅ to lokalny wektor pozycji zdefiniowany w odniesieniu do _𝑖 XiYiZi.

(2) gdzie 𝑢̅_𝑖^𝑟 jest niezdeformowanym wektorem pozycji, a 𝑢̅_𝑖^𝑒 jest wektorem deformacji, który jest zdefiniowany jako

(3) W którym Si jest macierzą funkcji kształtu, a 𝑞_𝑖^𝑒 jest elastycznym wektorem współrzędnych. Różniczkujący równanie (1) w odniesieniu do czasu daje prędkość dowolnego punktu na elastycznym łączu. Jest napisany jako

(4) gdzie 𝜔̅̅̅ jest wektorem prędkości kątowej zdefiniowanym w układzie współrzędnych ciała XiYiZi. 𝑖

2.2. Dynamiczne modelowanie elastycznych manipulatorów

Równania ruchu elastycznego manipulatora pochodzą z zasady pracy wirtualnej. Dynamikę elastycznych mechanizmów uzyskuje się najpierw za pomocą współrzędnych bezwzględnych do celów ogólnych. Następnie układ równań we współrzędnych bezwzględnych jest przekształcany na minimalny zbiór równań lub względną formę współrzędnych za pomocą rekurencyjnych równań kinematycznych.

2.2.1. Modelowanie elastycznego ciała

Wirtualna praca sił całkowitych działających na elastyczne ciało i jest zdefiniowana jako

(5) gdzie 𝛿𝑊_𝑖^𝑖, 𝛿𝑊_𝑖^𝑠 i 𝛿𝑊_𝑖^𝑒 są odpowiednio wirtualną pracą sił bezwładności, sił sprężystych i sił

zewnętrznych. Elastyczne ciało i jest dyskretyzowane za pomocą metody elementów skończonych, aby uzyskać skończony wymiarowy model dynamiczny. Reprezentacja skończonego elementu ij na ciele i jest pokazana na Rys. 2.2. Wirtualną pracę elastycznego łącza można uzyskać przez

zsumowanie wirtualnej pracy jego elementów.

Wirtualna praca sił bezwładności działających na element ij jest zapisywana jako

(6)

gdzie ρij i Vij są odpowiednio gęstością masy i objętością elementu ij. 𝑟𝑖𝑗̈ i 𝛿𝑟𝑖𝑗 oznaczają odpowiednio wektor przyspieszenia i wirtualne przesunięcia dowolnego punktu na elemencie ij. Wirtualne przesunięcie 𝛿𝑟𝑖𝑗 jest zapisywane jako

(7) gdzie

(8) gdzie qij jest uogólnionymi współrzędnymi elementu ij. Wektor przyspieszenia 𝑟𝑖𝑗̈ dowolnego punktu można uzyskać przez różnicowanie równ. (4) w odniesieniu do czasu.

(9) w którym 𝑞_𝑖𝑗̈ jest uogólnionym przyspieszeniem, a Qij jest kwadratem, który jest zapisany jako

(10) Zastępując wektor przyspieszenia 𝑟𝑖𝑗̈ i przemieszczenia wirtualne 𝛿𝑟𝑖𝑗w równ. (6) daje

(11)

5

(12) gdzie Mij i 𝑄_𝑖𝑗^𝑣 są odpowiednio macierzą bezwładności i terminem prędkości kwadratowej.

(13) i

(14)

Wirtualną pracę sił sprężystych z powodu odkształcenia elementu ij można zdefiniować jako

(15) gdzie 𝜎𝐼𝐽i 𝜀𝐼𝐽 są wektorami napięć i deformacji elementu ij.

(16) (17)

Podstawienie równań 16 i 17 w równanie 15 daje

(18) gdzie 𝐷_𝑖𝑗 jest operatorem różnicowym, Sij jest macierzą funkcji kształtu elementu, a Eij jest współczynnikiem elastycznym. Wirtualna praca sił zewnętrznych działających na element ij jest zdefiniowana jako

(19) Podstawianie 𝛿𝑊_𝑖^𝑖, 𝛿𝑊_𝑖^𝑠 i 𝛿𝑊_𝑖^𝑒w równanie (5) daje

(20) Od równania 20 równania ruchu mogą być uporządkowane jako

(21) gdzie 𝑄_𝑖𝑗^𝑒 są zastosowanymi siłami zewnętrznymi. 𝑄_𝑖𝑗^𝑣i 𝑄_𝑖𝑗^𝑠 są odpowiednio kwadratowymi wartościami prędkości i siłami sprężystymi. Równanie (21) można rozszerzyć na wszystkie elementy skończone w elastycznym łączu i zmontować w oparciu o łączność elementów, aby utworzyć dynamiczny model elastycznego łącza.

Rys. 2.3. Elastyczne połonczenia j łącza.

2.2.2. Elastyczne modelowanie stawów

Obrotowe złącze j z siłownikiem i układem przeniesienia napędu pokazano na Rys. 2.3.

Siłownik przyjmuje się jako silnik elektryczny, a sprężyna skrętna reprezentuje elastyczność wywołaną przez układ przeniesienia napędu. θj i θi odpowiednio obroty siłownika j i ogniwa i.

6

Wirtualna praca momentu obrotowego wywieranego na połączenie i przez siłownik j i system przesyłowy jest określona jako

(22) gdzie Jj jest bezwładnością silnika. Kj i Cj są współczynnikami sztywności i tłumienia układu przesyłowego. Tj to moment obrotowy wytwarzany przez silnik. δθij jest wirtualną zmianą w połączeniu. Równania ruchów wspólnego zespołu są zapisywane jako

(23) 2.2.3. Rekursywna formulacja kinematyczna

Rozważmy dwa elastyczne łączniki i-1 i i pokazane na Rys.2.4, połączone za pomocą połączenia obrotowego j. Połączenie pozwala na względny obrót wzdłuż wspólnej osi i ma jedną sztywną współrzędną ciała θi. Następująca relacja kinematyczna dla połączenia obrotowego utrzymuje związek pomiędzy uogólnionymi współrzędnymi i współrzędnymi stawu

(24)

Rys.2.4. Reprezentacja względnych współrzędnych ciała

(25) gdzie 𝑢̅_𝑖^𝑗i 𝑢̅_𝑖−1^𝑗 są lokalnymi wektorami położenia wspólnego zdefiniowanymi odpowiednio na łączu i i i-1. 𝜔_𝑖^𝑗 i 𝜔_𝑖−1^𝑗 są odpowiednio lokalnymi wektorami prędkości kątowej stawu z powodu odkształceń sprężystych na łączniku i i i-1. Ilości wektorowe są zdefiniowane jako

(26)

(27) W których 𝑆_𝑖^𝑗𝑟 i 𝑆_𝑖−1^𝑗𝑟 są odpowiednio macierzami o stałej funkcji kształtu rotacji stawów z powodu odkształceń sprężystych na łączniku i oraz i-1.

ω

(28) gdzie νi-1 jest osią obrotu zdefiniowaną w odniesieniu do łącza i-1 w globalnym układzie współrzędnych XYZ.

(29) 𝑣̅_𝑖−1 jest stałym wektorem zdefiniowanym w odniesieniu do łoncza i-1 w układzie współrzędnych ciała Xi-1Yi-1Zi-1. Różniczkowanie równania (24) dwukrotnie w odniesieniu do czasu i równanie (25) raz w stosunku do czasu daje

(30)

7

(31)

gdzie 𝑆_𝑖^𝑗𝑡 i 𝑆_𝑖−1^𝑗𝑡 są odpowiednio funkcjami kształtu wspólnych tłumaczeń zdefiniowanymi na łączu i i i-1. γR i γβ są zapisane jako (32)

(33)

Równanie (30) i równanie (31) mogą być zapisane w formie zwartej jako (34)

gdzie (35)

(36)

(37)

(38)

(39)

Uogólnienie formulacji rekurencyjnej dla manipulatora z n-członami wyraża się jako (40)

Uogólnione przyspieszenia 𝑞̈𝑖 we współrzędnych bezwzględnych można wyrazić za pomocą współrzędnych względnych jako (41)

gdzie (42)

(43)

Podstawienie uogólnionego przyspieszenia 𝑞̈_𝑖 w równanie (21) i wstępne pomnożenie przez 𝐵_𝑖^𝑇 daje dynamiczny model elastycznych połączeń we współrzędnych względnych.

8

(44) które można zapisać jako

(45) gdzie

(46) Równanie (45) wraz z równaniem (23) zapewnia sprzężony i nieliniowy dynamiczny model elastycznego czlonu i elastycznego połączenia, który może być użyty do symulacji i do celów projektowania sterowania opartego na modelu.

3. Wniosek

Skutki uboczne manipulatorów o małej gramaturze to ich niewielka sztywność, zwłaszcza połączeń.

Ponadto, system transmisji w połączeniach manipulatorów może wprowadzić elastyczność. Odkształcenia członów i połączeń mają silne sprzężenie z rażącym sztywnym ruchem ciała. Ignorowanie tych elastyczności w projektowaniu sterowania może powodować słabą wydajność [6]. Aby poprawić skuteczność kontroli, niezbędny jest dokładny model dynamiczny, który uwzględnia połączenie i wspólną elastyczność. Elastyczne manipulatory są rozproszonymi systemami parametrów, a zatem nieskończone stopnie swobody są wymagane do scharakteryzowania dynamicznego zachowania się systemu. Jednak dokładne modelowanie dynamiczne takich systemów nie jest wykonalne z punktu widzenia sterowania. Model dynamiczny o skończonych wymiarach można uzyskać poprzez próbkowanie ciągłych układów przy użyciu metody przewidywanego trybu lub metody elementów skończonych.

W [6] przedstawiono dynamiczne modelowanie elastycznego manipulatora łączącego za pomocą rekurencyjnej dynamiki lagranżjskiej za pomocą macierzy transformacji. Jest to rozszerzenie dynamicznego modelowania sztywnych manipulatorów. Kinematyka rotacji stawów i deformacji połączeń określona jest za pomocą macierzy transformacji 4 × 4. Przyjmuje się, że odkształcenia członów są małe i przybliżone za pomocą metody przyjętego trybu. W [8] model dynamiczny o zamkniętym kształcie wykorzystujący podejście Lagrangian i przyjętą metodę dla płaskiego wieloczłonowego robota o małej masie przedstawiono [9]

zlinearyzowany model dynamiczny dla manipulatora z elastycznym łącznikiem wieloczłonowym i płaskim do symulacji i projektowania sterowania. Elastyczne odkształcenia są definiowane za pomocą teorii wiązki Eulera-Bernoulliego, a całkowite odkształcenia każdego człona są przybliżone za pomocą przyjętej metody modów. Manipulator wieloczłonowy nie jest wyjątkowy. Możliwymi warunkami brzegowymi opisanymi w literaturze są zaciśnięte, przypięte i wolne warunki brzegowe.

9

Bibliografia

[1] Bauchau, O.А.,: Flexible Multibody Dynamics. Springer, Dordrecht, Heidelberg, London, New-York, 2011.

[2] Seifried R.: Dynamics of Underactuated Multibody Systems: Modeling, Control and Optimal Design, Springer, Cham, Heidelberg, London, New-York, 2014.

[3] J.B. Jonker, Aarts and J. van Dijk: Flexible Multibody System Analysis for Control Purpos.

https://www.utwente.nl/en/et/ms3/research-

chairs/sdac/people/ps/DijkJvan/lectures/FMSA4CP/notes/overview-slides.pdf?fbclid=IwAR0m9-7K3utX- sitdOuxxhjCf74ZmX-ECS5H6oHTZpUrzd2LrfbEccN_Lis

[4] Peter Eberhard and Werner Schiehlen: Computational dynamics of multibody systems: History, formalisms, and applications. Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, 1(1):3-12, January 2006.

[5] Ahmed A. Shabana: Dynamics of Multibody Systems. Cambridge University Press, 4th editio, 2013.

[6] S. Cetinkunt and W.J. Book: Flexibility effects on the control system performance of large scale robotic manipulators. Journal of Astronomical Sciences, 38(4), 531-556, 1990.

[7] W. J. Book: Recursive Lagrangian dynamics of flexible manipulator arms via transformation matrices. 1983.

[8] A. De. Luca, B. Siciliano: Closed-form dynamic model of planar multi-link lightweight robots. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Vol. 21, Issue 4, 826–839 ,1991.

[9] W. Chen: Dynamic modeling of multi-link flexible robotic manipulators. Computers & Structures, 79(2), 183-195, 2001.

[10] O. A. Bauchau and S. Han: Flexible joints in structural and multibody dynamics.

https://www.mech-sci.net/4/65/2013/ms-4-65-

2013.pdf?fbclid=IwAR3B2VIicI_jDMEJxuFz9Oc2GWl4EDZYm4BbA6Qk05zCpkzdVfasIw0rq0Q [11] Ahmed A. Shabana: Flexible Multibody Dynamics: Review of Past and Recent Developments.

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.457.7886&rep=rep1&type=pdf&fbclid=IwAR 0zB9zyPcdEtFxiopDlsgkZ4UbTX71a36OR7VbacQrIgiWirMF9xjEIAA4