1
KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI
I MECHATRONIKI
Laboratorium Mechaniki technicznej
Ćwiczenie 1
Badanie kinematyki czworoboku przegubowego metodą analityczno-
numeryczną.
2 Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie prędkości i przyspieszenia wybranego punktu ogniwa czwo- roboku przegubowego metodą analityczno-numeryczną i sprawdzenie wyników przy użyciu programu komputerowego oraz za pomocą dodatkowych równań ruchu płaskiego.
1 Metoda analityczno-numeryczna
Na rysunku 1 przedstawiono schemat badanego czworoboku przegubowego. Ogniwem na- pędowym jest pręt AB i jego położenie , prędkość kątowa = ̇ oraz przyspieszenie =
̈ są wielkościami zadanymi. Dane są również stałe długości odcinków: = , = ,
= , = , = i = ℎ. Pozostałe wielkości kinematyczne – położenia ( i ), prędkości ( = ̇ i = ̇ ) i przyspieszenia kątowe pozostałych ogniw oraz współrzędne położenia ( i ), składowe prędkości ( = ̇ i = ̇ ) i przyspieszenia ( = ̈ i
= ̈ ) punktu F - są niewiadomymi, które należy wyznaczyć.
Schemat czworoboku przegubowego
1.1 Położenia.
Do wyznaczenia położeń poszczególnych ogniw oraz punktów wykorzystana zostanie me- toda wektorowa. Dla mechanizmu przedstawionego na rys. 1 można zapisać następujące rów- nanie wektorowe (zob. rys. 2):
+ = + ,
lub
+ − − = . (1)
3
Wyznaczenie położeń mechanizmu
Rzutując równanie wektorowe (1) na osie układu współrzędnych otrzymujemy następujący układ równań skalarnych:
1cos 1+ 2cos 2− 3cos 3− 4 = 0,
1sin 1+ 2sin 2− 3sin 3 = 0. (2)
Powyższe równania stanowią nieliniowy układ dwóch równań algebraicznych z dwiema nie- wiadomymi – położeniami kątowymi ogniw . Należy zwrócić uwagę, że układ ten po- siada dwa rozwiązania (dwa możliwe położenia mechanizmu dla jednego położenia korby AB).
Odpowiednie rozwiązanie zostanie uzyskane numerycznie przy użyciu skryptu programu Sci- lab opisanego w rozdziale 1.4).
4
Wyznaczenie położenia punktu F
W celu wyznaczenia położenia punktu F mechanizmu tworzymy następujące równanie wekto- rowe (zob. rys. 3):
= + + . (3)
Po zrzutowaniu równania wektorowego (3) na osie układu współrzędnych otrzymujemy nastę- pujący układ równań skalarnych:
= 1cos 1+ ℎcos 2− ℎ sin 2,
= 1sin 1+ ℎsin 2+ ℎ cos 2, (4)
pozwalający na wyznaczenie współrzędnych i punktu F, jeśli wcześniej zostały wyzna- czona niewiadoma 2.
1.2 Prędkości
W celu uzyskania prędkości kątowych poszczególnych ogniw należy zróżniczkować po czasie układ równań (2). Otrzymuje się wtedy następujące wyrażenia:
− 1sin 1 − 2sin 2 + 3sin 3 = 0,
1cos 1 + 2cos 2 − 3cos 3 = 0, (5)
które są układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi: oraz . Układ ten możemy zapisać w postaci macierzowej w następujący sposób:
− 2sin 2 3sin 3
2cos 2 − 3cos 3 ∙ =
1sin 1
− 1cos 1 (6)
5 lub
∙ = , (7)
gdzie:
= − 2sin 2 3sin 3
2cos 2 − 3cos 3 , = , = 1 sin 1
− 1cos 1 .
Rozwiązanie równania (7) można zatem zapisać
= = ∙ . (8)
W celu wyznaczenia prędkości punktu F mechanizmu różniczkujemy układ równań (4):
=− 1sin 1 − ℎsin 2 − ℎ cos 2 ,
= 1cos 1 + ℎcos 2 − ℎ sin 2 . (9)
1.3 Przyspieszenia
W celu wyznaczenia przyspieszeń mechanizmu różniczkujemy po czasie równania (5):
⎩⎪
⎨
⎪⎧− 1cos 1 − 1sin 1 − 2cos 2 − 2sin 2 + + 3cos 3 + 3sin 3 = 0,
− 1sin 1 + 1cos 1 − 2sin 2 + 2cos 2 + + 3sin 3 − 3cos 3 = 0.
(10)
Powyższe równania stanowią liniowy układ równań z dwiema niewiadomymi oraz . Układ ten sprowadzamy do postaci macierzowej:
− 2sin 2 3sin 3
2cos 2 − 3cos 3 ∙ =
= 1cos 1 + 1sin 1 + 2cos 2 − 3cos 3
1sin 1 − 1cos 1 + 2sin 2 − 3sin 3 , (11)
lub
∙ = , (12)
gdzie:
= − 2sin 2 3sin 3
2cos 2 − 3cos 3 , = ,
6
= 1cos 1 + 1sin 1 + 2cos 2 − 3cos 3
1sin 1 − 1cos 1 + 2sin 2 − 3sin 3 .
Rozwiązanie równania (12) można zatem zapisać
= = ∙ . (13)
W celu wyznaczenia przyspieszenia punktu F mechanizmu różniczkujemy układ równań (9):
⎩⎪
⎨
⎪⎧ =− 1cos 1 − 1sin 1 − ℎcos 2 − ℎsin 2 + +ℎ sin 2 −ℎ cos 2 ,
=− 1sin 1 + 1cos 1 − ℎsin 2 + ℎcos 2 +
−ℎ cos 2 − ℎ sin 2 .
(14)
1.4 Skrypt obliczeniowy programu Scilab
Na wydruku 1 przedstawiony jest skrypt obliczeniowy programu komputerowego Scilab słu- żący do numerycznego wyznaczenia poszukiwanych wielkości kinematycznych mechanizmu przedstawionych w rozdziałach 1.1-1.3.
Wydruk 1. Skrypt obliczeniowy.
// WPROWADZANIE DLUGOSCI RAMION CZWOROBOKU PRZEGUBOWEGO l1 = 40;
l2 = 50;
l3 = 44.255;
l4 = 81.693;
//WPROWADZANIE KATA POCZATKOWEGO ALFA 1 W STOPNIACH alfa1deg=50;
//ZAMIANA KATA ALFA 1 ZE STOPNI NA RADIANY alfa1 = alfa1deg/360*2*%pi;
//DEFINIOWANIE FUNKCJI fun function y=fun(x)
y=[ l1*cos(alfa1)+l2*cos(x(1))-l3*cos(x(2))-l4 l1*sin(alfa1)+l2*sin(x(1))-l3*sin(x(2)) ];
endfunction
//ROZWIAZYWANIE FUNKCJI NIELINIOWEJ [xres]=fsolve([1;1],fun);
//SPROWADZANIE KATOW ALFA DO PRZEDZIALU (-2PI,2PI) alfa2 = pmodulo(xres(1),2*%pi);
alfa3 = pmodulo(xres(2),2*%pi);
//PRZELICZENIE KATOW ALFA Z RADIANOW NA STOPNIE alfa2deg=alfa2/2/%pi*360;
alfa3deg=alfa3/2/%pi*360;
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// WPROWADZANIE DLUGOSCI RAMION CZWOROBOKU PRZEGUBOWEGO lh = 20;
h = 20;
7
// OBLICZANIE POLOZENIA PUNKTU F xF = l1*cos(alfa1) + lh*cos(alfa2) - h*sin(alfa2);
yF = l1*sin(alfa1) + lh*sin(alfa2) + h*cos(alfa2);
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// WPROWADZANIE PREDKOSCI KATOWEJ OMEGA 1 omega1 = 0.7745;
//OBLICZENIA PREDKOSCI KATOWYCH ALFA 2 I ALFA 3 A = [-l2*sin(alfa2) l3*sin(alfa3)
l2*cos(alfa2) -l3*cos(alfa3) ];
b = [ l1*sin(alfa1)*omega1 -l1*cos(alfa1)*omega1 ];
xres = (A^-1)*b;
omega2 = xres(1);
omega3 = xres(2);
//OBLICZENIA SKLADOWYCH PREDKOSCI PUNKTU F
vFx = -l1*sin(alfa1)*omega1 - lh*sin(alfa2)*omega2 - h*cos(alfa2)*omega2;
vFy = l1*cos(alfa1)*omega1 + lh*cos(alfa2)*omega2 - h*sin(alfa2)*omega2;
fivdeg = atan(vFy,vFx)/2/%pi*360;
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
//WPROWADZANIE PRZYSPIESZENIA KATOWEGO EPSILON 1 epsilon1 = 0;
//OBLICZENIA PRZYSPIESZEN KATOWYCH EPSILON 2 I EPSILON 3
c = [ l1*cos(alfa1)*omega1^2+l2*cos(alfa2)*omega2^2-l3*cos(alfa3)*omega3^2+l1*sin(alfa1)*epsilon1 l1*sin(alfa1)*omega1^2+l2*sin(alfa2)*omega2^2-l3*sin(alfa3)*omega3^2-l1*cos(alfa1)*epsilon1 ];
yres = (A^-1)*c;
epsilon2 = yres(1);
epsilon3 = yres(2);
//OBLICZENIA SKLADOWYCH PRZYSPIESZENIA PUNKTU F
aFx = -l1*cos(alfa1)*omega1^2-lh*cos(alfa2)*omega2^2+h*sin(alfa2)*omega2^2-l1*sin(alfa1)*epsilon1-h*cos(alfa2)*epsi- lon2-lh*sin(alfa2)*epsilon2;
aFy = -l1*sin(alfa1)*omega1^2-lh*sin(alfa2)*omega2^2-h*cos(alfa2)*omega2^2+l1*cos(alfa1)*epsilon1-h*sin(alfa2)*epsi- lon2+lh*cos(alfa2)*epsilon2;
fiadeg = atan(aFy,aFx)/2/%pi*360;
8
2 Równania sprawdzające
2.1 Prędkości
W celu wyznaczenia prędkości punktu F można posłużyć się metodą bieguna, wybierając za biegun punkt B:
= + / , (15)
gdzie
= 1 ,
/ = 2 .
Odpowiednia konstrukcja geometryczna wektorów jest przedstawiona na rys. 4 (uwaga: doty- czy ona szczególnego przypadku, gdy < 0).
Prędkość punktu F (biegun w punkcie B) Prędkość punktu F można również wyznaczyć, obierając za biegun punkt C:
= + / , (16)
gdzie
= 3 ,
/ = 2 .
9
Odpowiednia konstrukcja geometryczna wektorów jest przedstawiona na rysunku 5 (uwaga:
dotyczy ona szczególnego przypadku, gdy < 0).
Prędkość punktu F (biegun w punkcie C)
Układ równań (15-16) pozwala na wyznaczenie wszystkich niewiadomych składowych pręd- kości liniowych i kątowych, niezależnie od metody podanej w rozdziale 1. Jednak w tym ćwi- czeniu równania te posłużą jedynie do obliczenia prędkości punktów B i C oraz odpowiednich składowych prędkości punktu F, przy wykorzystaniu wartości prędkości kątowych obliczonych metodą podaną w rozdziale 1, w celu ich zobrazowania na rysunku wykonanym w skali i spraw- dzenia wcześniej otrzymanych wyników.
2.2 Przyspieszenia
Przyspieszenie punktu F można również określić posługując się metodą bieguna. Wybierając za biegun punkt B otrzymuje się
= + / + / , (17)
gdzie
= + ,
= 12 ,
= 1 ,
/ = 22 ,
/ = 2 .
Odpowiednia konstrukcja geometryczna wektorów jest przedstawiona na rys. 6 (uwaga: doty- czy ona szczególnego przypadku, gdy = 0).
10
Przyspieszenie punktu F (biegun w punkcie B)
Natomiast przyjmując za biegun punkt C otrzymuje się:
= + / + / , (18)
gdzie
= + ,
= 32 ,
= 3 ,
/ = 22 ,
/ = 2 .
Odpowiednia konstrukcja geometryczna wektorów jest przedstawiona na rys. 7.
Przyspieszenie punktu F (biegun w punkcie C)
11
Podobnie jak w przypadku prędkości przedstawionych w rozdziale 2.1, układ równań (17-18) pozwala na wyznaczenie wszystkich niewiadomych składowych przyspieszeń liniowych i ką- towych (jeśli wcześniej zostały wyznaczone odpowiednie prędkości przy użyciu równań (15- 16)), niezależnie od metody podanej w rozdziale 1. W tym ćwiczeniu równania te posłużą je- dynie do obliczenia odpowiednich składowych przyspieszeń punktów B, C i F, przy czym zo- staną wykorzystane wartości prędkości i przyspieszeń kątowych obliczone metodą podaną w rozdziale 1, w celu ich zobrazowania na rysunku wykonanym w skali i sprawdzenia wcześniej otrzymanych wyników.
3 Program komputerowy w arkuszu kalkulacyjnym Microsoft Excel
Do weryfikacji otrzymanych wyników można posłużyć się gotowym programem wykonanym oprogramowaniu Microsoft Excel, którego widok przedstawiony jest na rys. 8.
Widok programu w arkuszu kalkulacyjnym Microsoft Excel
W programie, w prawym górnym rogu w polach zaznaczonych kolorem zielonym, należy wpi- sać odpowiednie parametry czworoboku dla liczonego przypadku (zob. rys. 9).
Wpisywanie parametrów czworoboku
Dla podanych parametrów program rysuje zadany czworobok wraz z obliczonymi prędko- ściami oraz przyspieszeniem, co zostało przedstawione na rys. 10 (kolorem zielonym ozna- czono ramiona czworoboku, kolorem niebieskim wektor prędkości oraz kolorem żółtym wektor przyspieszenia).
12
Czworobok w programie w Excelu
Program rysuję daną konfigurację dla zadanego kąta początkowego (zob. rys. 8). Przy użyciu skrótów klawiszowych możemy zmieniać zadany kąt początkowy:
CTRL + Q – zwiększa kąt początkowy 1 o 5 stopni
CTRL + A – zmniejsza kąt początkowy 1 o 5 stopni
Obliczone wartości wektorów prędkości oraz przyspieszenia podane są w odpowiednich polach programu, poniżej rysunku czworoboku (zob. rys. 11).
Wartości wektorów prędkości oraz przyspieszenia czworoboku
4 Przebieg ćwiczenia
Każda grupa odrabiająca ćwiczenie powinna posiadać przynajmniej jeden zestaw przyrządów kreślarskich – odpowiednie ołówki, linijkę, zestaw ekierek i cyrkiel.
Podczas wykonywania ćwiczenia należy wykonać następujące polecenia:
Zapisać parametry podane przez prowadzącego w tabeli
Obliczyć wszystkie wielkości przy użyciu skryptu w programie Scilab ( , , ̇ , ̇ , ̈ , ̈ , , , ̇ , ̇ , ̈ , ̈ )
Wykonać rysunek mechanizmu w skali oraz narysować (w skali) wektor prędkości i przyspie- szenia punktu F (wszystko na dwóch rysunkach – oddzielnie dla prędkości i przyspieszeń)
Sprawdzić wyniki przy użyciu programu w Excelu
Sprawdzić wyniki przy użyciu równań podanych w rozdziale drugim:
o Zapisać równania
o Obliczyć odpowiednie składowe wektorów prędkości i przyspieszeń punktów B, C i F, wykorzystując wartości odpowiednich prędkości i przyspieszeń kątowych obliczonych wcześniej numerycznie
o Zrobić odpowiednie rysunki w skali (nanieść odpowiednie składowe prędkości i przy- spieszeń na wcześniejszych rysunkach w celu sprawdzenia wyników)
Zapisać wnioski
13
5 Wymagania wstępne
Do przystąpienia do wykonywania ćwiczenia niezbędna jest znajomość równań podanych w rozdziałach 1.1 - 1.3 oraz 2, a także równań ruchu płaskiego poznanych na przedmiocie Me- chanika techniczna I.
Przykładowe pytania:
Podaj równania metody analityczno-numerycznej pozwalające wyznaczyć położenia kątowe mechanizmu oraz sporządź odpowiedni rysunek.
Podaj równania metody analityczno-numerycznej pozwalające wyznaczyć prędkości kątowe mechanizmu oraz sporządź odpowiedni rysunek.
Podaj równania metody analityczno-numerycznej pozwalające wyznaczyć położenie punktu F mechanizmu oraz sporządź odpowiedni rysunek.
Podaj równania metody analityczno-numerycznej pozwalające wyznaczyć prędkość punktu F mechanizmu oraz sporządź odpowiedni rysunek.
Zapisz wektorowe równania ruchu płaskiego pozwalające wyznaczyć metodą bieguna prędkość punktu F i sporządź odpowiednie rysunki.
Zapisz wektorowe równania ruchu płaskiego pozwalające wyznaczyć metodą bieguna przyspieszenie punktu F i sporządź odpowiednie rysunki.
Ponadto, na sprawdzianie wstępnym może zostać podane do rozwiązania dowolne proste zadanie dotyczące ruchu płaskiego (zgodnie z programem Mechaniki Technicznej I).
