KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI

KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI

Laboratorium

Mechaniki Technicznej

Ćwiczenie 4

Badanie masowych momentów bezwładności

2 Cel ćwiczenia

Wyznaczanie masowego momentu bezwładności bryły metodą wahadła fizycznego i metodą drgań skrętnych. Porównanie wybranych wyników z metodą obliczeniową wg wymiarów i mas elementów badanej bryły.

1 Wyznaczanie momentu bezwładności metodą wahadła fizycznego

1.1 Opis urządzenia pomiarowego

Urządzenie pokazane na rysunku 1 składa się z pryzmy 1, uchwytu 2, statywu 3 i badanej bryły 4 (na rysunku widoczny jest korbowód z dwoma otworami). Uchwyt 2 zamocowany jest do statywu 3 za pomocą śruby 5. Uwaga: podczas zmiany punktu zawieszenia należy wysu- nąć pryzmę 1 z uchwytu 2 przeciwnie do oznaczonego kierunku wsuwania (otwory w uchwycie mają zróżnicowane średnice, aby umożliwić zakleszczenie pryzmy na czas pomia- ru).

Rysunek 1. Stanowisko badania momentów bezwładności dla metody wahadła fizycznego.

1.2 Wprowadzenie teoretyczne

Korbowód (lub inne ciało sztywne) zawieszony w punkcie A lub B (zob. rysunek 2) jest wahadłem fizycznym o długości zredukowanej (dla zawieszenia w punkcie A)

= , (1)

gdzie: B1 – moment bezwładności względem punktu zawieszenia A, m – masa korbowodu,

a – odległość środka masy od osi zawieszenia.

3

Rysunek 2. Korbowód jako wahadło fizyczne.

Zakłada się tutaj, że badane ciało sztywne posiada płaszczyznę symetrii prostopadłą do osi zawieszenia. W takim razie może być ono traktowane jako płaskie, dlatego często mówi- my o „punkcie zawieszenia”, rozumiejąc przez to oś przechodzącą przez dany „punkt zawie- szenia” i prostopadłą do płaszczyzny symetrii.

Okres drgań wahadła fizycznego wynosi:

= 2 . (2)

Wstawiając (1) do (2) otrzymuje się:

= 2 (3)

lub

= 2 , (3a)

gdzie Q=mg, stąd moment bezwładności korbowodu zawieszonego w punkcie A względem osi zawieszenia

= . (4)

Moment bezwładności korbowodu zawieszonego w punkcie B względem osi zawieszenia

= ^{( )}. (5)

Stosując twierdzenie Steinera oblicza się moment bezwładności korbowodu względem osi przechodzącej przez środek masy (i równoległej do poprzednich):

B = B1 – ma²,

4

B = B2 – m( l - a )² , (6)

= − ,

= ^{( )} − ( − ) . (6a)

Po podstawieniu (4) i (5) do (6) i przyrównaniu stronami otrzymuje się

− = ^{( )}− ( − ) , (7)

stąd

= . (8)

Wyznaczenie doświadczalne wartości wielkości T1, T2, Q i l pozwala na obliczenie wartości wielkości a i następnie z pierwszego z wzorów (6a) momentu bezwładności ciała sztywnego.

1.3 Przebieg ćwiczenia

Przed przystąpieniem do pomiaru okresu wahań określa się następujące wartości: Q – ciężar korbowodu lub innego ciała sztywnego (pomiar masy z dokładnością 0,05 g), l – odle- głość między punktami podwieszenia A i B ( z dokładnością 0,1 mm).

Po dokonaniu tych pomiarów ciało sztywne podwiesza się w punkcie A. Zostaje ono wprawione w ruch wahadłowy o kącie wahań +/-5° i mierzy się kilkakrotnie (wg. wskazań prowadzącego) czas 50 wahnięć, notując wyniki w tabeli. Taki sam pomiar przeprowadza się podwieszając ciało w punkcie B. Następnie za pomocą podanych wzorów zostają obliczone:

położenie środka masy i moment bezwładności względem osi prostopadłej do płaszczyzny symetrii ciała i przechodzącej przez środek masy oraz błąd pomiaru.

W przypadku wyboru do badania ciała sztywnego złożonego z elementów o prostych i znanych wymiarach oraz gęstości, kolejnym punktem ćwiczenia jest potwierdzenie wcześniej uzyskanych wyników przy użyciu wzorów na momenty bezwładności podstawowych brył sztywnych i twierdzenia Steinera (zob. rozdział 3).

1.4 Analiza błędu

Moment bezwładności obliczamy z wzoru (6a)

= − , (Q = mg ) gdzie

= _{( )} .

5

Do wzorów tych wchodzą następujące wielkości mierzone: T1, T2, Q i l. Błędy pomiaru tych wielkości są od siebie niezależne i wynoszą:

∆ = 0,5% , ∆ = 0,5% , ∆ = 0,00005 kg, ∆ = 0,0001 m.

Błąd wyznaczania momentu bezwładności określa wzór:

∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ . (9)

Pochodne cząstkowe wchodzące do wzoru (9)

= 1 + ,

= − ^{( )} ,

= , (10)

= − ^{( )}.

Błąd względny pomiaru wynosi:

∆ 100%. (11)

2 Wyznaczanie momentu bezwładności elementu metodą zawieszenia jednostrunowego

2.1 Opis urządzenia pomiarowego

Urządzenie (zob. rysunek 3a) składa się z podstawy (1), struny (2), uchwytu (3) i elementu badanego (4). Element badany mocuje się w uchwycie tak, żeby jego główna oś pokrywała się z osią struny.

2.2 Wprowadzenie teoretyczne

Badany element zawieszony na strunie (zob. rysunek 3b) stanowi układ drgający, rea- lizujący drgania skrętne. Ruch układu opisuje równanie:

Σ ̈ + = 0, (12)

gdzie: Σ = +

Bo – moment bezwładności uchwytu,

B – moment bezwładności elementu badanego, M – moment reakcyjny wywołany skręceniem struny,

= , (13)

6 gdzie: φ – kąt skręcenia struny,

G – moduł sprężystości poprzecznej, = ,

d- średnica struny, l – długość struny.

a) b)

Rysunek 3. Urządzenie pomiarowe (a) i badany element (b).

Uwzględniając (13) w (12)

∑ ̈ + = 0 (14)

lub

̈ +_∑ = 0. (14a)

Oznaczając

∑ = , (15)

otrzymujemy

̈ + = 0. (16)

Jest to równanie drgań harmonicznych o częstości kołowej α. Okres drgań zostaje obli- czony z zależności:

7

= = 2 ^∑ (17)

skąd

∑ = . (18)

Wiedząc, że ∑ = + i uwzględniając (18) otrzymujemy

+ = , (19)

gdzie:

= . (20)

Dla samego uchwytu otrzymuje się

= . (21 )

Dzieląc równanie (19) przez (21) otrzymujemy

= , (22 )

skąd

= − 1 . (22a)

Uwzględniając (21) w (20) można znaleźć:

= . (23)

Wzory (22a) i (23) pozwalają na wyznaczenie wartości poszukiwanych wielkości B oraz G.

2.3 Przebieg ćwiczenia

1. Pomiar długości l (miarką) i średnicy d (mikromierzem) struny.

2. Zamocowanie badanego elementu w uchwycie tak, żeby jego główna oś pokrywała się z osią struny.

3. Wprowadzenie układu w ruch drgający (drgania skrętne); kąt obrotu +/-5°.

4. Pomiar czasu 50 pełnych wahnięć (kilka razy, wg wskazań prowadzącego), określenie średniej z tych pomiarów i okresu T wahań.

5. Zdjęcie badanego elementu.

6. Pomiar czasu 50 pełnych wahnięć (kilka razy, wg wskazań prowadząc) wprowadzone- go w drgania samego uchwytu, określenie średniej z tych pomiarów i okresu wa- hań.

7. Obliczenie B za pomocą wzoru (22a) 8. Obliczenie G za pomocą wzoru (23)

8 9. Obliczenie błędu pomiaru ^∆ .

Moment bezwładności przyjmujemy za dany.

2.4 Analiza błędu

Moment bezwładności elementu badanego określamy z wzoru (22a). Do wzoru wchodzą wielkości , i . Błędy tych wielkości wynoszą:

- błąd metody geometrycznej, za pomocą której wyznaczono

∆ = 1%, (24)

- błąd pomiaru

∆ = ^∆ = 0,5%, (25)

- błąd określenia momentu bezwładności

∆ = ∆ + ∆ + ∆ . (26)

Pochodne cząstkowe wchodzące do wzoru (26):

= − 1 = , = 2 , = −2 . (27) Uwzględniając (24) i (25) w (27) otrzymamy:

∆ = 0,01 , ∆ = 0,01 , (28)

∆ = −0,01 , stąd błąd wyznaczenia momentu bezwładności:

∆ = 0,01 + + − , (29)

Błąd względny wynosi

∆ = 1 + 2 %,

lub ^∆ = 1 + 2 %. (30)

9

3 Środek masy i moment bezwładności układów złożonych

Położenie środka masy C układu złożonego, odmierzane względem osi x (w kierunku y) można określić wzorem:

=^∑_∑ ,

gdzie mi , ai – oznaczają odpowiednio masę i odległość środka masy elementu i.

Rysunek 4. Przykładowe ciało sztywne.

Pokazany na rysunku 4 przykładowy układ złożony jest z 3 elementów wykonanych z materiału o gęstości  . Poniżej podano wzory określające masę, odległość środka masy ele- mentu od osi x oraz masowe momenty bezwładności względem osi prostopadłych do płasz- czyzny rysunku i przechodzących przez środek masy danego elementu:

1) prostopadłościan o grubości g1 z otworem d1: - masa prostopadłościanu m1p= _g1 l1 h1 , - masa otworu m1o= _g1 πd12/4,

- odległość środka masy a1= ‒h1/2 ,

- moment bezwładności B1= m^1p (l12 + h12)− m^1o d12, 2) prostopadłościan o grubości g² :

- masa m2= _g2 l2 h2 ,

- odległość środka masy a2=l3 + h2/2, - moment bezwładności B2= m2 (l22 + h22), 3) walec o średnicy d³ :

- masa m3= _l3 πd32/4,

- odległość środka masy a3=l3/2,

- moment bezwładności B3= m3 (l32 + d32) .

10 Środek masy całego układu obliczymy wg wzoru

a=(m1p a1  m1o a1+m2 a2+m3 a3)/(m1p  m1o+m2+m3) .

Moment bezwładności całego układu względem osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku przechodzącej przez środek masy C wyznaczymy korzystając z twierdzenia Steinera:

B= B1+ (m1p  m1o) (a+ h1/2)² + B2 + m2 (a l3/2)² + B3 + m3 (l3  a+ h2/2)².

Tabela 1. Masowe momenty bezwładności najczęściej spotykanych brył (oznaczone symbolem I - zamiast B jak w powyższym tekście).

11

4 Wymagania wstępne

Przed przystąpieniem do ćwiczenia wymagana jest:

- znajomość wzorów określających okres drgań wahadła fizycznego oraz umiejętność wyprowadzania wzorów określających masowy moment bezwładności metodą wahadła fi- zycznego oraz metodą zawieszenia jednostrunowego;

- znajomość wzorów określających położenie środka ciężkości oraz masowy moment bezwładności złożonego układu (z wykorzystaniem twierdzenia Steinera) i umiejętność wy- prowadzenia tych wzorów dla układu złożonego z kilku prostych figur,

- znajomość na pamięć wzorów określających moment bezwładności podstawowych ciał: punktu materialnego, cienkiego pręta (oś w środku lub na końcu pręta), walca oraz prostopadłościanu.

Przykładowe pytania:

- podaj wzory na moment bezwładności dla walca i prostopadłościanu

- wyznacz wzór na odległość środka masy prostego układu złożonego z kilku figur (podany będzie rysunek z wymiarami figur),

- wyznacz wzór na moment bezwładności prostego układu złożonego z kilku figur (wg podanego rysunku),

- wyprowadź wzór na odległość środka masy od osi zawieszenia korbowodu (wg przykładu w rozdziale 1.2) w funkcji okresów drgań T1 i T2,

- wyprowadź wzór na równanie drgań harmonicznych wykorzystywane w metodzie zawie- szenia jednostrunowego.

Literatura

1. J. Awrejcewicz: Mechanika. WNT, Warszawa 2007.

2. Z. Towarek: Mechanika ogólna. Zagadnienia wybrane. Wydawnictwo PŁ, Łódź 2004.

3. J. Leyko : Dynamika układów materialnych. PWN, Warszawa 1959.

4. M. E. Niezgodziński M.E., T. Niezgodziński T.: Wytrzymałość materiałów. PWN, War- szawa 1981.

5. Z. Parszewski: Teoria maszyn i mechanizmów. WNT, Warszawa 1978.

IMIĘ i NAZWISKO INDEKS IMIĘ i NAZWISKO INDEKS

L.p. L.p.

POLITECHNIKA ŁÓDZKA Katedra Automatyki, Biomechaniki i Mechatroniki Łódź, dnia ...

Ćwiczenie4. Badanie masowych momentów bezwładności

1 )Wyznaczanie momentu bezwładności tarczy metodą zawieszenia jednostrunowego

l[mm]

l[m]

l

l

B B₀

element badany Schemat układu

pomiarowego

struna

uchwyt

L.p. L.p.

Wyniki pomiarów okresu wahań:

długość struny = ...

= ...

OBLICZENIA:

Wartość średnia d[m]= ...

średnica strunyd[mm] -pomiar w 3 miejscach:

Masowy moment bezwł. uchwytu B₀= 0,00474 kg m· ²

I

biegunowy mom. bezwładności

przekroju struny = ...

Czas 50 wahnięć samego uchwytu

τ0[s]

Czas 50 wahnięć elementem uchwytu z badanym

[s]

τ

wart. średnia _0śr[s]

...

τ wart. średnia _śr[s]

...

τ

okres wahań T₀[s]

...

okres wahań T [s]

...

1 - statyw 2 - uchwyt 3 - struna 4, 5 - wkręty

mocujące strunę 6 - znacznik do obserwacji drgań

Stanowisko pomiarowe 1

2 6 3

5 4

UWAGA: WYNIKI WSZYSTKICH OBLICZEŃ PODAWAĆ Z DOKŁADNOŚCIĄ NIE MNIEJ NIŻ I NIE WIĘCEJ NIŻ CYFR ZNACZĄCYCH (OPTYMALNIE CYFRY, np. 123.4 0.001234 1234 10 itp.)

NIE MYLIĆ CYFR ZNACZĄCYCH Z LICZBĄ MIEJSC PO PRZECINKU!

3

5 4 · ²

Aktualizacja2016-05-07GW

- błąd pomiaru¢Bi błąd względny (¢B B/ )100%

?B T₁

? ⁴T₁=

?B T₂

? ⁴T₂=

?B m

? ⁴m=

?B l

? ⁴l=

4B

B 100% = 100% =

2.4) Wyznaczenie błędu pomiaru momentu bezwładności metodą wahadła fizycznego

W N I O S K I

B kg m[ ^{¢ 2}] = B₀

(

)

G [Pa]= 4¼²l B₀

= I T₀²

4B

B [%]= 1 + 2

(

)

0 2 2 2

T₀² T²

PROWADZĄCY:

DATA ODDANIA /PODPIS ODBIERAJĄCEGO DATA ODDANIA PO POPRAWIE / PODPIS

ODBIERAJĄCEGO DZIEŃ ZAJĘĆ (pn., śr., czw.) GODZINA ^OCENA DATA:

PODPIS:

odległość między środkami wycięć na strunie

2.1) Pomiary okresu wahań zadanej bryły w punktach zawieszenia A i B

2.2) Obliczenie odległości środka ciężkości i momentu bezwładności wg pomiarów okresów wahań - metoda wahadła fizycznego

2.3) Obliczenia środka masy i momentu bezwładności wg wymiarów i mas elementów zadanej bryły.

l

masa m[g]= ...

[kg]= ...

m

powierzchnia s₁[mm ]=² h l_{1 1}¢ =

mⁱ=s/ⁱs m¢

powierzchnia s₄[mm ]=² h l_{4 4}¢ =

łączna powierzchnia =s s₁+ + +s s s_{2 3 4}=

powierzchnia s₂=s₃[mm ]=² h l_{2 2¢} =

odległość między punktami zawieszenia A i B

[mm] = ...

l

l [m] = ...

wartość lokalnego

przyspieszenia ziemskiego

= 9.812 m/s

g ²

A

B

Wyniki pomiarów okresu wahań Czas 50 wahnięć

przy zawieszeniu w punkcie A

Czas 50 wahnięć przy zawieszeniu

w punkcie B

τ1[s] τ

2[s]

wartość średnia

1śr[s] ...

τ

wartość średnia

2śr[s] ...

τ

okres wahań T₁= [s] ...

- odległość środka masya

- moment bezwładnościB a [m]= gT₂²{ ¼4 ²l

l = g(T₁²+T₂²) 8{ ¼²l

T₁²g 4¼²

B kg m[ ¢ ²]= ma( {a) =

A

B

l

KORBOWÓD

WPISAĆ WYMIARY ELEMENTÓW dla ZADANEJ BRYŁY

A

B l

h₁= ...^[mm]

h_1'= ...^[mm]

h₁= ...^[mm]

g_1,2,3,4=...^[mm]

g_1,2,3,4=...^[mm]

h₁

h₁ h₄

h₄ h₂

h₂ h₃

h₃ h_1'

l₁

l₁ l₂

l₂ l₃

l₃ l₄

l₄

l₁= ...^[mm]

l₁= ...^[mm]

h₂=h₃=...^[mm]

h₂=h₃=...^[mm]

l₂=l₃=...^[mm]

l₂=l₃=...^[mm]

h₄= ...^[mm]

h₄= ...^[mm]

l₄= ...^[mm]

l₄= ...^[mm]

C a

C

C

C - środki ciężkości brył

a

a

τ_1śr

50

okres wahań T₂= τ [s] ...

2śr

50

x

x y

y

grubość

grubość 4

4 2

2 3

2 3

3 1

1

masa m₁[kg]= s₁ m=

s

moment bezwładności elementu 1 względem osi przechodzącej przez jego własny środek masy:

[ ]

B₁ kg mm· ² =

moment bezwładności elementu 2 lub 3 względem osi przechodzącej przez jego własny środek masy:

[ ]

B₂=B₃ kg mm· ² =

odl. środka masy m₁od osix(znak wg kierunkuy): a₁[mm]=

odl. środka masy i od osi

(znak wg kierunku [mm]

m₂ x

y

m a a

3

): 2= ₃ =

masa m₂=m₃[kg]=s₂m=

s

masa m₄[kg]= s₄ m= s

Środek masy całej bryły względem osix:

Masowy moment bezwładności całej bryły względem osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku przechodzącej przez środek masyC:

a[mm]= =

odl. środka masy m₄od osix(znak wg kierunkuy): a₄[mm]=

m a m a m a m a m

1 1+ 2 2+ 3 3+ 4 4

B[kg mm· ²]=

B[kg m· ²]= 10^-6·B[kg mm ]· ² =

L.p. L.p.

UWAGI: - Dla uproszczenia zapisu obliczeń pośrednie wyniki wyznaczać dla wymiarów w [mm].

Końcową wartość momentu bezwładności przeliczyć z [kg mm ] na [kg m ] - Grubości elementów 1 - 4 są jednakowe, zatem znając masę całej

bryły możemy określić masy jej poszczególnych elementów ze wzoru:

2 2

m m_i

· ·

s s

i- powierzchnia elementu , - łączna powierzchnia.

i

moment bezwładności elementu 4 względem osi przechodzącej przez jego własny środek masy:

[ ]

B₄ kg mm· ² =

2.3.1)

2.3.2)

2.3.3)

2.3.4)

2.3.5)

2.3.6)

C

e e

e₂

e₂= a a₂¡ = e₁

e₁= l =

1+l₂ 2

UWAGA

odległość C

! Przy obliczaniu momentu bezwładności w punkcie 2.3.6, dla elementów 2 oraz 3 należy wstawiać jako odległość punktu od środka masy każdego z tych elementów.

e