ANALIZA ZASIĉGU WARSTWY BRZEGOWEJ W KOMPOZYTACH Z PODàUĩNĄ I POPRZECZNĄ GRADACJĄ WàASNOĝCI

(1)

ANALIZA ZASIĉGU WARSTWY BRZEGOWEJ W KOMPOZYTACH Z PODàUĩNĄ I POPRZECZNĄ GRADACJĄ WàASNOĝCI

Joanna Witkowska-Dobrev

Szkoáa Gáówna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie

Streszczenie. W pracy rozpatrzono zagadnienie warstwy brzegowej w wielowarstwowej przegrodzie budowlanej charakteryzującej siĊ podáuĪną i poprzeczną gradacją wáasnoĞci mechanicznych. KaĪda warstwa rozpatrywanej przegrody zbudowana jest z dwóch izo- tropowych, jednorodnych, sprĊĪystych materiaáów. RozwaĪania ograniczono do páaskiego stanu odksztaácenia. PrzyjĊty model zostaá zbudowany na podstawie metody asymptotycz- nego uĞredniania tolerancyjnego. Zbadano wpáyw budowy kompozytu na zasiĊg warstwy brzegowej w obszarze kompozytu.

Sáowa kluczowe: podáuĪna gradacja wáasnoĞci, poprzeczna gradacja wáasnoĞci, asympto- tyczne uĞrednianie tolerancyjne, efekt warstwy brzegowej

WSTĉP

W pracy rozpatrzono dwuskáadnikowe kompozyty warstwowe z funkcyjną gradacją wáasnoĞci mechanicznych. Analizie poddano dwa typy kompozytów – z poprzeczną i po- dáuĪną gradacją wáasnoĞci (rys. 1).

O kompozytach zaáoĪono, Īe skáadają siĊ z dwu materiaáów liniowo sprĊĪystych.

PrzyjĊto, Īe modelem dla analizowanych kompozytów jest statyczny model liniowej teo- rii sprĊĪystoĞci. W takim modelu formuáuje siĊ zagadnienie: znaleĨü przemieszczenia (bądĨ naprĊĪenia) ciaáa przy zadanych warunkach brzegowych (przemieszczeniowych i/lub warunkach w naprĊĪeniach).

W przypadku struktur warstwowo-niejednorodnych otrzymanie rozwiązaĔ Ğcisáych sformuáowanego wyĪej zagadnienia napotyka czĊsto na znaczne trudnoĞci spowodowane funkcjami materiaáowymi, które są nieciągáe na maáych obszarach okreĞlonoĞci. Wska-

Adres do korespondencji – Corresponding author: Joanna Witkowska-Dobrev, Szkoáa Gáówna Gospodarstwa Wiejskiego, Wydziaá Budownictwa i InĪynierii ĝrodowiska, Katedra InĪynierii Budowlanej, ul. Nowoursynowska 159, 02-776 Warszawa, e-mail: joanna_witkowska@sggw.pl

(2)

zane jest wiĊc poszukiwanie modeli uproszczonych. Jedną z metod prowadzącą do takich modeli prostszych jest technika uĞredniania tolerancyjnego [WoĨniak i in. (red.) 2008, WoĨniak i in. 2010].

METODYKA – MODEL UĝREDNIONY ROZWAĩANYCH KOMPOZYTÓW Przyjmijmy, Īe kon¿ guracją odniesienia kompozytu w trójwymiarowej przestrzeni z kartezjaĔskim ukáadem wspóárzĊdnych jest obszar : ; uR, gdzie ; R². BĊdziemy rozpatrywaü statykĊ kompozytów w páaskim stanie odksztaácenia. Przemieszczenia kom- pozytów oznaczymy przez w

w w 1, 2

.

Zgodnie z techniką uĞredniania tolerancyjnego poszukiwane pole przemieszczeĔ przedstawimy w postaci:

1 1 1

2 2 2

w u h

X X

x x x x

(1)

gdzie x = (x1, x2) oraz funkcje ^u¹

^,^u² ^,^ȣ¹ ^,^ȣ² ^C¹

^; są nowymi niewiadomymi, a funkcja ^h

^C⁰

^; jest znaną funkcją ksztaátu. Funkcje u1

,u2 nazywamy prze- mieszczeniami uĞrednionymi, a X1

,X2 to amplitudy À uktuacji.

Po zastosowania uĞredniania tolerancyjnego, opisanego w pracach WoĨniaka i innych (red.) [2008], WoĨniaka i innych [2010], Wągrowskiej i Witkowskiej-Dobrev [2011, 2012], otrzymujemy nastĊpujący ukáad równaĔ na poszukiwane funkcje u1

,u2 :

1,11 0 2,1 2 0 1,2 2

0

0 1,1 2 0 2,11 2,2 2

2 , , 0

, 2 , 0

u u u

P O P O P

P O P P O

(2) Rys. 1. Schemat kompozytów o gradacji podáuĪnej i poprzecznej

Fig. 1. Scheme of composite with of longitudinal and transverse gradation

(3)

W równaniach (2) wystĊpują nowe wspóáczynniki, zwane moduáami efektywnymi, opisane w pracach Wągrowskiej i Witkowskiej-Dobrev [2011, 2012], które odpowiednio wynoszą:

0

2 2

2 2 2

R R M M

M R

R R M M

P O P O

P O P O Q P O Q

2 2

R M

M M R R R M

M R

R R M M

P O O Q P O Q O

O P O Q P O Q

2P O 2P_RO Q_R ^R 2P_M O Q_M ^M

2

2 2

R M

M R

R R M M

Q Q O O

P O P O

P O Q P O Q

0 R M

M R

R M

P P P

P Q P Q

Natomiast À uktuacje X1

,X2 mają postaü:

í dla gradacji podáuĪnej

1

, ,

1 1 2 2

2 2

R M

M R

R R M M

R R M M u R M u

X Q Q

O P Q O P Q

P O P O O O

§ ·

¨ ¸ u

¨ ¸

© ¹

ª º

u ¬ ¼

2 1 2, 2 1,

R M

R M R M

R M

M R

u u

X Q Q P P P P

Q P Q P

§ ·

¨ ¸ ª º

¨ ¸ ¬ ¼

¨ ¸

© ¹

í dla gradacji poprzecznej ȣ1 = 0

2 2 2 2 2, 2 2,

2 2

R M

R M R R

M R M R

R M R R

u u

X Q Q P P O O

Q P Q P O Q O Q

§ ·

¨ ¸ ª¬ º¼

¨ ¸

© ¹

KaĪda z warstw kompozytu ma staáą gruboĞü Ș, Ș « L i skáada siĊ z dwóch izotropo- wych, jednorodnych skáadników noszących nazwĊ matrycy oraz wzmocnienia.

(4)

Funkcja ^Q^R

^,^Q^R

^x²

^{> @}

^{0, 1 ,} ^x²

^{> @}

^0,^H ^,^Q^R^C¹

^{> @}

^0,^H

jest funkcją opisującą Ğrednią frakcjĊ wzmocnienia w warstwie, natomiast ^Q^M

opisuje Ğrednią frakcjĊ osno- wy w warstwie i wynosi: ^Q^M

^x² ¹ ^Q^R

^x² ^, ^x²

^{> @}

^0,^H ^.

W przypadku zagadnienia jednowymiarowego, gdy przemieszczenia zaleĪą tylko od x², równanie (2) redukuje siĊ do postaci:

²^{P O} ^u^{2 2}^{, ,}

² ⁰ ⁽³⁾

Po rozwiązaniu równania (3) pole przemieszczeĔ w1

, w2

moĪe byü aproksymo- wane w postaci:

í dla przypadku gradacji podáuĪnej

1 1 2 2

2 2 2

w w hM u

w w u

| w

|

(4)

í dla gradacji poprzecznej pola przemieszczenia w1

i w2

są przybliĪone przez

2 2 2 2 2

1 1 1 1 0

w w u hM u w w u hX

| w

|

(5)

gdzie wielkoĞü M przyjmuje postaü:

²

^R ^M

R M

M R

R R M M

M Q Q O O

O P Q O P Q

§ ·

¨ ¸ª¬ º¼

¨ ¸

© ¹

(6)

Oznaczmy dla gradacji poprzecznej przez ī₀⁰ brzeg *0⁰

> @

0,L u

^ `

0 uR oraz przez

0

* brzeg H *H⁰

> @

^0,L u

^ `

H uR.

Oznaczmy dla gradacji podáuĪnej przez ī₀⁰ brzeg ^ī⁰⁰

> @

^0,^H ^u

^ `

⁰ ^u^R oraz przez

0

īH brzeg ^ī^H⁰

> @

^0,^H ^u

^ `

^L ^u^R^.

W obu przypadkach przemieszczenie ^w¹

nie speánia warunków brzegowych na brzegach ī₀⁰ i ī_H⁰. W celu usuniĊcia tego mankamentu zmody¿ kujmy, zgodnie z pracą WoĨniaka [2010b], przemieszczenie w₁²:

²

1 1 1 2 2 1

w w h q h Mw u h q (7)

gdzie q1

jest nieznanym polem, które wyznaczamy z równania:

2P O

h q² 1,_[[

h,1 ²P q1 0 (8)

z warunkami:

0 0 0 0

0 0

1 2 2 i 1 2 2

H H

q _* wM u _* q _* wM u _* (9)

Równania (8) i (9) opisują tzw. efekt brzegowy.

Podobnie postĊpujemy z przemieszczeniem ^w^{( )}²²

( )

^⋅ w przypadku gradacji poprzecznej.

(5)

Przyjmujemy:

²

2 2 2 2 2 2 2

w w h q u h Mw u h q (10)

Nieznane pole ^q²

( )

^⋅ wyznaczamy z równania:

2P O

h q² 2,_[[

h,2 ²P q2 0 (11) z warunkami brzegowymi na ī₀⁰ i ī_H⁰ odpowiednio:

0 0 0 0

0 0

2 2 2 i 2 2 2

H H

q _* wM u _* q _* wM u _* (12)

Zbadamy teraz, rozpatrując przykáady, jak zmienia siĊ obszar wystĊpowania efektu brzegowego, w zaleĪnoĞci od typu gradacji, wáasnoĞci mechanicznych oraz nasycenia skáadnikami w komórce.

ANALIZA – WYNIK BADAē

Rozpatrzmy przegrodĊ dwuskáadnikową o podáuĪnej gradacji wáasnoĞci, która zajmuje obszar ^{Ω =}

( ) (

^0,^L ^× ^0,^H

)

^×^R, L = 200 cm, H = 200 cm.

ZaáóĪmy, Īe staáe materiaáowe skáadników wynoszą odpowiednio: λR =0,5035, 0,2594, 0,128, 0,055

μR = λM = μM = .

Rozkáady frakcji (funkcje nasycenia) przyjmują postaü:

² ² ²

2 2 2

2 2

2 0, 2 ; 1

R x x M R

Ȟ x x x

L L Q Q

§ ·

¨ ¸

© ¹

Niech ponadto przegroda skáada siĊ ze 100 dwuskáadnikowych warstw o staáej gru- boĞci Ș = 2 cm.

Przyjmujemy nastĊpujące warunki brzegowe: u2( x¹, 0, x³) = 2; u2( x¹, 200, x³) = 0;

x¹ ( 0, 200 ) = 0; x³ R oraz

2 2

2 3

2 2 2

188,18081 ln 0,75411 0,003063 273,771 ln 1,824 0,003064

0, , 0,0049303 1

188,1808 ln 0,1415 0,003064 ln 1, 216 0,003063

x x

u x x

x x

§ § ª¬ º¼ ª¬ º¼· ·

¨ ¨ ¸ ¸

¨©¨ ¨¨© ¹¸¸ ¸¸¹

2 2

2 3

2 2 2

188,18081 ln 0,75411 0,003063 273,771 ln 1,824 0,003064

200, , 0,0049303 1

188,1808 ln 0,1415 0,003064 ln 1, 216 0,003063

x x

u x x

x x

§ § ª¬ º¼ ª¬ º¼· ·

¨ ¨ ¸ ¸

¨©¨ ¨¨© ¹¸¸ ¸¸¹

Rozpatrywany laminat nie jest periodyczny. Mikrostruktura laminatu o podáuĪnej gra- dacji ma wáasnoĞci periodyczne w kierunku osi x¹. Rozwiązania przedstawiono wiĊc dla pojedynczej komórki.

(6)

Jak juĪ zaznaczyliĞmy, rozwiązanie (4) w postaci przemieszczeĔ w1

i w2

nie speániania warunków na brzegach ī₀⁰ i ī_H⁰ (przecinających uwarstwienie).

Rysunek 2 przedstawia wykres przybliĪonego pola przemieszczenia ^w¹

( )

^⋅. Ramką zo- staá zaznaczony rozkáad pola przemieszczenia ^w¹

( )

^⋅ w obszarach przy brzegu ī₀⁰ i ī_H⁰. Przemieszczenia ^w²( )^⋅ przedstawiono na rysunku 3.

Rozwiązanie dla pola przemieszczeniaw~1()⋅ bez uwzglĊdnienia efektu warstwy brzegowej

Rozkáad przemieszczenia ^w¹^{( )}²

( )

^⋅ z uwzglĊdnieniem i bez uwzglĊdnienia efektu brzegowego na ī₀⁰ przedstawiono na rysunku 4. Otrzymane rozwiązanie speánia warunki brzegowe (9) na ī₀⁰ (ȟ = 0). Z kolei rozwiązanie równania (4), oznaczone na rysunku jako w1

, warunków brzegowych nie speánia. Wykres ^w¹^{( )}²

( )

^⋅ na brzegu ī₀⁰ przegrody nie ma oscylacji, co jest konsekwencją zastosowanej formuáy (7).

Rys. 4. Rozkáad pola przemieszczenia ^w¹( )^⋅ ⁱw na brzegu ¹^{( )}² ī₀⁰

Fig. 4. Distribution of the displacement field ^w¹( )^⋅ ^andw on boundary ¹^{( )}² ī₀⁰ Rys. 2. PrzybliĪony rozkáad pola przemiesz-

czenia ^w¹( )^⋅

Fig. 2. The approximate distribution of the displacement field ^w¹( )^⋅

Rys. 3. PrzybliĪony rozkáad pola przemieszczenia ^w²( )^⋅

Fig. 3. The approximate distribution of the displacement field ^w²( )^⋅

[cm]

(7)

Rysunki 5a i 5b przedstawiają przemieszczenie ^w¹^{( )}²

( )

^⋅ na brzegu ī₀⁰ i ī_H⁰. Ramką na rysunku 5a zaznaczono rozwiązanie dla pola przemieszczenia ^w¹^{( )}²

( )

^⋅ w obszarze przyle- gającym do brzegu ī₀⁰, a na rysunku 5b – do brzegu ī⁰_H. ZasiĊg warstwy brzegowej nie jest duĪy. W odlegáoĞci równej 0,8K od brzegu ī₀⁰ i 0,35K od brzegu ī_H⁰ efekt brzegowy moĪe byü pominiĊty. Jest on jednak róĪny dla brzegów ī₀⁰ i ī_H⁰.

Rys. 5. Rozkáad pola przemieszczenia w przy brzegach: a – ₁^{( )}² ī , b – ₀⁰ ī_H⁰ Fig. 5. Distribution of the displacement field w near boundary: a – ₁^{( )}² ī , b – ₀⁰ ī_H⁰

Porównując rozwiązanie przedstawiające przybliĪony rozkáad pola przemieszczenia

( )

1 ⋅

w oraz rozwiązanie w postaci w₁^{( )}² przy brzegu ī₀⁰ i ī_H⁰, moĪemy wyznaczyü ich róĪnicĊ (rys. 6).

a b

Rys. 6. RóĪnica miĊdzy przybliĪonym rozkáadem pola przemieszczenia ^w¹( )^⋅ a rozwiązaniem w postaci w dla brzegów: a – ₁^{( )}² ī , b – ₀⁰ ī_H⁰

Fig. 6. The differences between the approximate distribution of the displacement field w1( )⋅ and solution in the form of w on the boundary: a – ₁^{( )}² ī , b – ₀⁰ ī_H⁰

I tak wzglĊdna róĪnica rozwiązaĔ ^w¹

( )

^⋅ⁱ^w¹^{( )}²

( )

^⋅ dla odlegáoĞci ȟ = 0,8Ș przy brze- gu ī₀⁰ i dla odlegáoĞci ȟ = 0,35Ș przy brzegu ī⁰_H wynosi odpowiednio 0,000474 i 0,43 (rys. 7).

(8)

a b

Rys. 7. WzglĊdne róĪnice miĊdzy rozwiązaniami ^w¹( )^⋅ ⁱw odpowiednio: a – dla brzegu ¹^{( )}² ī , ₀⁰ b – dla brzegu ī_H⁰

Fig. 7. The relative differences between the solution w1( )⋅ and w in distance ȟ = 0,8Ș from ₁^{( )}² boundary ī and ȟ = 0,35Ș from boundary ₀⁰ ī respectively: a – _H⁰ ī , b – ₀⁰ ī_H⁰

Rozpatrzmy teraz przegrodĊ o poprzecznej gradacji wáasnoĞci. Przegroda zajmuje obszar : = (0, L) × (0, H) × R, L = 54 cm, H = 200 cm. WáasnoĞci materiaáowe przyjĊto jak poprzednio.

Rozkáad frakcji przyjĊto w postaü

( )

²

( )

² ³

1 3

= −

R x

Ȟ x L , ^ν^M

( )

^x² ^{= −}¹ ^ν^R

( )

^x² ^{. ZaáóĪ-}

my, Īe przegroda skáada siĊ z 27-dwuskáadnikowych warstw o staáej gruboĞü K = 2 cm.

PrzyjĊto nastĊpujące warunki brzegowe:

¹ ³

¹

³

2 , 0, 1; 2 , 54, 0; 0, 200 ; ;

u x x u x x x x R

( )

2 2

2 3

2 2 2

132,0976 ln 0,638 0,0031 262,270 ln 1,584 0,0031

0, , 0,000332 1

132,097 ln 0,6381 0,0031 262,2701 ln 0,9718 0,0227

§ §− ª¬ − º¼+ ª¬ − º¼ · ·

¨ ¨ ¸ ¸

x x

u x x

x x

( )

2 2

2 3

2 2 2

132,0976 ln 0,638 0,003 1 262,270 ln 1,584 0,0031

, , 0,000332 1

132,097 ln 0,6381 0,0031 262,2701 ln 0,9718 0,0227

§ §− ª¬ − º¼+ ª¬ − º¼ · ·

¨ ¨ ¸ ¸

x x

u H x x

x x

Wykres przemieszczenia ^w²

( )

^⋅ przedstawiono na rysunkach 8 i 9.

Wykres przemieszczenia z uwzglĊdnieniem i bez uwzglĊdnienia efektu warstwy brzegowej na ī₀⁰ zaprezentowano na rysunku 10. Rozwiązanie ^w²^{( )}²

( )

^⋅ speánia warunki brzegowe na ī₀⁰ ([ = 0). Z kolei rozwiązanie równania (5), oznaczone na rysunku jako

( )

2 ⋅

w , warunków brzegowych nie speánia. Wykres ^w²^{( )}²

( )

^⋅ na brzegu ī₀⁰ przegrody nie ma oscylacji, co jest konsekwencją zastosowanej formuáy (10). Na brzegu ī_H⁰ wykresy przemieszczeĔ przedstawiają siĊ identycznie.

Rysunki 11a i 11b przedstawiają rozkáad pola przemieszczenia ^w^{( )}²²

( )

^⋅. Ramką na rysunku 11a zaznaczono przemieszczenie ^w²^{( )}²

( )

^⋅ w obszarze przylegającym do brzegu ī₀⁰, a na rysunku 11b – do brzegu ī_H⁰. ZasiĊg warstwy brzegowej nie jest duĪy. W odlegáoĞci równej 2,5Ș od brzegu ī₀⁰ i ī_H⁰ efekt brzegowy moĪe byü pominiĊty.

(9)

Rys. 8. Rozkáad pola przemieszczenia w2( )⋅ dla x³ = const x¹ = const

Fig. 8. Distribution of the displacement field

( )

2 ⋅

w for x³ = const x¹ = const

Rys. 9. Rozkáad pola przemieszczenia w2( )⋅ dla x³ = const

Fig. 9. Distribution of the displacement field

( )

2 ⋅

w for x³ = const Brak efektu warstwy brzegowej

Rys. 10. Rozkáad pola przemieszczenia w2( )⋅ i ^w^{( )}²²( )^⋅ na brzegu ī₀⁰

Fig. 10. Distribution of the displacement field ^w²( )^⋅ ^and^w^{( )}²²( )^⋅ on boundary ī₀⁰

Rys. 11. Rozkáad pola przemieszczeĔ ^w^{( )}²²( )^⋅

Fig. 11. Distribution of the displacement field w^{( )}2²( )⋅

Efekt warstwy brzegowej

a b

(10)

Porównując rozwiązanie przedstawiające rozkáad pola przemieszczenia ^w²

( )

^⋅^oraz

rozwiązanie w postaci w₂^{( )}² w odlegáoĞci 2,5 Ș od brzegu ī₀⁰ i ī_H⁰, moĪemy wyznaczyü ich róĪnicĊ (rys. 12). Dla takiej przegrody wystąpi taka sama róĪnica wzglĊdna zarówno na jednym, jak i na drugim brzegu.

Rys. 12. RóĪnica wzglĊdna miĊdzy rozkáadem pola przemieszczenia w2( )⋅ a rozwiązaniem w postaci w dla ȟ = 2,5Ș₂^{( )}²

Fig. 12. The relative difference between distribution of ^w²( )^⋅^andw for ȟ = 2.5Ș^{( )}²²

PODSUMOWANIE

Wprowadzenie do opisu kompozytu o poprzecznej lub podáuĪnej gradacji wáasnoĞci materiaáowych mody¿ kacji w postaci uwzglĊdnienia tzw. efektu warstwy brzegowej po- woduje, Īe rozwiązania zmody¿ kowanych równaĔ speániają warunki brzegowe na brzegach przecinających uwarstwienie. Analiza zagadnienia wykazaáa, Īe wpáyw warstwy brzegowej na przemieszczenia szybko zanika.

Na zasiĊg warstwy brzegowej w przypadku analizowanych laminatów nie ma wpáy- wu ani nasycenie frakcjami materiaáowymi, ani liczba warstw, z jakich skáada siĊ kompozyt.

PIĝMIENNICTWO

Wągrowska M., Witkowska-Dobrev J., 2011. Zagadnienie efektu warstwy brzegowej w przegrodzie o podáuĪnej gradacji wáasnoĞci. Acta Scientiarum Polonorum, Architectura 10 (3), 3–13.

Wągrowska M., Witkowska-Dobrev J., 2012. Zagadnienie efektu warstwy brzegowej w liniowo- -sprĊĪystej przegrodzie budowlanej o poprzecznej gradacji wáasnoĞci. Acta Scientiarum Polonorum, Architectura 11 (2), 3–10.

WoĨniak Cz., 2010. Asymptotic Modelling and Boundary-layer Effect for Functionally Graded Microlayered Composites. Acta Scientiarum Polonorum, Architectura 9 (2), 3–9.

WoĨniak Cz. et al., 2010. Mathematical Modelling and Analysis in Continuum Mechanics of Mi- crosrtructured Media. Professor Margaret WoĨniak pro Memoria. Wydawnictwo Poli- techniki ĝląskiej, Gliwice.

(11)

WoĨniak Cz., Michalak B., JĊdrysiak J. (red.), 2008. Thermomechanics of Heterogeneous Solids and Structures. Tolerance Averaging Approach. Wydawnictwo Politechniki àódzkiej, àódĨ.

ANALYSIS FOR AREA OF BOUNDARY LAYER EFFECT IN COMPOSITES WITH LONGITUDINAL AND TRANSVERSAL GRADATION OF

PROPERTIES

Summary. The effect of boundary layer for multilayered wall with transversal and longitu- dinal gradation of effective properties was for stationary elastic problems was investigated.

Every layer of considered wall was made of two isotropic, homogeneous elastic materials.

The considerations were reduced to the plane strain problem. The adopted model was based on the method of asymptotic tolerance averaging. The inÀ uence of structure of composites for the area of boundary layer effect was discussed.

Key words: longitudinal gradation property, transverse gradation property, the asymptotic tolerance averaging, the effect of boundary layer

Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 5.06.2014