EFEKT WARSTWY BRZEGOWEJ W WARSTWOWEJ PRZEGRODZIE O POPRZECZNEJ GRADACJI WàASNOĝCIOlga Szlachetka, Monika Wągrowska

(1)

EFEKT WARSTWY BRZEGOWEJ W WARSTWOWEJ PRZEGRODZIE O POPRZECZNEJ GRADACJI

WASNOCI

Olga Szlachetka, Monika Wgrowska

Szkoa Gówna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie

Streszczenie. Rozpatrzono stacjonarne, jednowymiarowe zagadnienie przewodnictwa ciepa z uwzgldnieniem wpywu efektu warstwy brzegowej na rozkad pól temperatury w warstwowej przegrodzie o poprzecznej gradacji wasnoci. Przegroda zbudowana jest z dwóch jednorodnych, izotropowych przewodników ciepa.

Sowa kluczowe: materia o funkcyjnej gradacji wasnoci, przewodnictwo ciepa, mode- lowanie asymptotyczne, efekt warstwy brzegowej

WSTP¹

Rozwój inynierii materiaowej, trwajcy od koca ubiegego stulecia, przyczyni

si do znacznego wykorzystania elementów kompozytowych w budownictwie. Materia

kompozytowy rozumiany jest jako materia zoony z co najmniej dwóch skadników (faz), idealnie poczonych, charakteryzujcych si rónymi w stosunku do siebie wa-

ciwociami.

Szczególnym przypadkiem materiau kompozytowego jest materia o funkcyjnej gradacji wasnoci (Functionally Graded Material – FGM). Struktura materiaów typu FGM jest niejednorodna i zazwyczaj ta niejednorodno wystpuje w okrelonym kierunku.

Przykad takiego materiau w skali mikroskopowej, czyli z zarysowanymi granicami midzy skadnikami poszczególnych warstw materiau, zosta zaprezentowany na rysunku 1.

Zmiana wasnoci w przedstawionym kompozycie wystpuje w kierunku prostopa- dym do uwarstwienia. Inne przykady materiaów gradientowych, ich opis, histori oraz metody modelownia matematycznego mona znale w publikacjach Suresh i Mortensen [1998] oraz Wo niak i Nagórki [2007].

Adres do korespondencji – Corresponding author: Olga Szlachetka, Szkoa Gówna Gospodarstwa Wiejskiego, Wydzia Inynierii i Ksztatowania rodowiska, Katedra Budownictwa i Geodezji, ul. Nowoursynowska 159, 02-776 Warszawa, e-mail: olga_szlachetka@sggw.pl

(2)

Najwikszym wyzwaniem nauki, dotyczcym struktur gradientowych, jest opraco- wanie metod ich mikro- i makroprojektowania, jak równie próba okrelenia za pomoc

modelowania matematycznego waciwoci tych materiaów, takich jak rozkad napr-

e, odksztace czy temperatury.

Przedmiotem analizy jest przegroda wykonana z materiau typu FGM, o poprzecznej gradacji wasnoci, poddana dziaaniu stacjonarnego przewodnictwa ciepa. Przegroda skada si z m warstw o staej gruboci _{L m}_/ ¹ _{1 ,}

m

§ ·

O ¨© ¸¹ gdzie m = 3ⁿ, przy n N. Kada warstwa skada si z dwóch rónych pod wzgldem wasnoci cieplnych izotropowych, jednorodnych komponentów.

Rozpatrywana przegroda w kon guracji odniesienia zajmuje obszar: : (0, L) × ;,

; (0, H) × R, x (0, L), ^x

^{x x}²^, ³

^;;. Dla kompozytu o gruboci warstw O oznaczo- no przez : :_R^O, ^O_M podzbiory obszaru : zajte przez poszczególne skadniki, gdzie :OR

to wzmocnienie, a :_M^O – osnowa. Wspóczynniki przewodzenia ciepa w tych podzbiorach wynosz odpowiednio: ^k^O

^x ^k^O

^x^{, x} ^k^R^{, gdy}

^x^{, x} ^:^R^Oⁱ^k^O

^x ^k^O

^x^{, x} ^k^M^,

gdy

^x^{, x} ^:^M^O . Paszczyzna rodkowa j-tej warstwy zde niowana jako

¹

j 2

x x^O Oj , j = 1, ..., m w przestrzeni Ox, x2, x3 jest jej materiaow paszczy- zn symetrii. Funkcja ^Q

^C¹

^: jest funkcj opisujc frakcj materiau wzmocnienia wystpujcego w kadej warstwie, która ze wzgldu na budow kompozytu zaley tylko od x. Przyjmuje ona wartoci z przedziau (0, 1) dla kadego x (0, L). Udzia materiau Rys. 1. Schemat materiau o poprzecznej gradacji wasnoci

Fig. 1. Scheme of FGM with transversal gradation

(3)

osnowy w danej warstwie wynosi 1 – Q·). Przykadowy rozkad funkcji Q·) przedstawia rysunek 2.

Przewodnictwo cieplne w rozpatrywanej przegrodzie opisane jest równaniem Fouriera:

^, ²^, ³

⁰

q_O x x x f x x x

, 2, 3

q_O x x x k_O x T_O x x x (1)

gdzie

2 3

; ; x x x ªw w w º

{ «¬w w w »¼, f s wewntrznymi ródami ciepa, oraz zadanymi warunkami brzegowymi.

METODYKA

Rozpatrywana przegroda nie jest makroskopowo jednorodna, poniewa wystpujce w równaniu (1) wspóczynniki k_O s silnie oscylujcymi niecigymi funkcjami. Mimo to zachowanie przepywajcego strumienia ciepa mona analizowa, wykorzystujc metody stosowane do opisu zjawisk zachodzcych w materiaach jednorodnych.

Opis metod okrelajcych wasnoci kompozytów typu FGM znajduje si w pracy Wo niak i innych [2008].

W dalszej czci pracy ograniczono rozwaania do jednowymiarowego zagadnienia przewodnictwa ciepa, w kierunku osi Ox, w paszczy nie Oxx₂. Rozwaany kompozyt w kon guracji odniesienia zajmuje zatem obszar: : (0, L)×(0, H), natomiast pole temperatury zaley tylko od x. Równanie Fouriera dla zagadnienia jednowymiarowego redukuje si do postaci:

⁰

d q x f x dx ^O

^d

q x k x x

O O dxTO (2)

gdzie TO(0) = 0, TO(L) = -0.

Rys. 2. Funkcja charakteryzujca frakcj materiau wzmacniajcego kompozyt Fig. 2. Function characterizing fraction of reinforcing material

(4)

Rozkad temperatury w rozpatrywanym kompozycie o poprzecznej gradacji wasno-

ci wyznaczono, stosujc urednione równania modelu asymptotycznego [Wo niak i in.

2010]. Zgodnie z procedur metody modelowania asymptotycznego dokonuje si rozkadu nieznanego pola temperatury:

^x

^x ^{h x}O

^x

TO - \ (3)

gdzie: ^{- \}

^, ^C¹

^: – niewiadome pola,

h_O(·) – dana z góry funkcja ksztatu, speniajca warunki: ^hO

⁰ ^{h L}O

^0,

_j

_j ^{/ 2}

/ 2, 1, ..., . h x_O ^Orv x^O O rO j m

Cigo wektora strumienia ciepa w kierunku osi prostopadej do uwarstwienia w ramach rozpatrywanego modelu asymptotycznego daje moliwo wyznaczenia nieznanego pola \·). Pole to przyjmuje posta:

1 1

R M

M R

x x k k

x x

x k x k

Q Q

\ w-

Q Q

Równanie na nieznane pole temperatury -(·) w ramach modelu asymptotycznego z warunkami brzegowymi -(0) = 0, -(L) = -0 przyjmie posta:

0 0

d d

k x x

dx dx

§ - ·

¨ ¸

gdzie:

0 1

R M

M R

k k k

x k x k

{Q Q

z warunkami brzegowymi -(0) = 0, -(L) = -0.

Dla zadanej funkcji, opisujcej rozkad wzmocnienia w rozpatrywanym kompozycie o poprzecznej gradacji wasnoci, przy zadanych warunkach brzegowych, mona wy- znaczy rozkad temperatury -(·) w ramach modelu asymptotycznego, wykorzystujc równanie (4).

Rozwizanie na temperatur dla rozpatrywanego kompozytu o poprzecznej gradacji wasnoci, przyjte zgodnie z formu aproksymacyjn, mona zapisa jako:

¹

^x

^x ^{h x M x}O

¹ ^x

TO - w - (5)

gdzie:

1 1

R M

x x k k

M x k x k x

Q Q

Nie spenia ono zadanych warunków brzegowych, wynikajcych z modelowania asymptotycznego na brzegu ^*⁰

^ ` ^ `

^0,^L ^u ⁰ ^0,^L ^u ^H ^{* *}⁰⁰ ⁰^H^.

(5)

W celu spenienia warunków brzegowych na brzegu *0 zastosowano metod modelowania tzw. efektu warstwy brzegowej zaproponowan przez Wo niak [2010b].

W tym podejciu nieznane pole temperatury w warstwie przylegej do brzegów *0 mona przedstawiawi jako:

O²

^x^, O¹

^x ^{h x}O

^x^,

T [ - X [ (6)

gdzie jest wspórzdn prostopad odpowiednio do brzegu *⁰₀ oraz *₀^H i skierowan do

rodka kompozytu.

W powyszej reprezentacji TO¹

jest temperatur wyznaczon dla danego kompozytu o poprzecznej gradacji wasnoci, zgodnie z formu (5), natomiast funkcja ^X

^jest

funkcj wolnozmienn ze wzgldu na argument i wyznaczon w ramach modelu to- lerancyjnego. Spenia ona ogólne równanie (7) przewodnictwa ciepa bez róde ciepa w obszarze zajtym przez kompozyt [Wo niak 2010b]:

⁰

kl k k_O l h_O

G w w X (7)

które redukuje si do postaci:

^h ²^k

^x ²^{v x}

^, ^d ^h ²^h

^{x v x}^, ⁰

O O w[ [ §¨©dx O·¸¹ O [ (8)

gdzie w {_[ w ,

w[ z warunkiem brzegowym

, 0

d

0

x M x x

* dx *

X [ - .

Rozwizanie na poszukiwane pole temperatury dla rozpatrywanego kompozytu o poprzecznej gradacji wasnoci z uwzgldnieniem efektu warstwy brzegowej przyjmuje posta:

na brzegu *⁰₀

00

2

, exp 2

d h x k x

d d dx

x x h x M x x h x M x x

dx dx h x k x

O O

O O O

* O O

§ § · ·

¨ ¨ ¸ ¸

¨ © ¹ ¸

§ · ¨ ¸

T [ - - ¨© - ¸¹ ¨ [¸

¨ ¸

© ¹

na brzegu *₀^H

0

2

1 2

, exp

H

d h x k x d dx

x x h x M x x h x M x x

dx h x k x

O O

O O O

* O O

§ § · ·

¨ ¨ ¸ ¸

¨ © ¹ ¸

§ · ¨ ¸

¨ ¸

© ¹

(9) gdzie [ jest wspórzdn prostopad do brzegu *⁰0 oraz *₀^H, skierowan do rodka kompozytu.

–

(6)

Zjawisko efektu warstwy brzegowej wystpuje tylko w obszarach przybrzegowych prostopadych do uwarstwienia. Na brzegu równolegym do warstw zjawisko to nie wystpuje z racji postawionych warunków na funkcj ksztatu.

PRZYKAD OBLICZENIOWY

Rozpatrzmy przegrod o poprzecznej gradacji wasnoci o gruboci L = 27 cm i wy- sokoci H = 200 cm, skadajc si z 27 warstw o staej gruboci O = 1 cm. W ramach modelu asymptotycznego przyjto nastpujce warunki brzegowe na temperatur: -(0) =

= 0°C, -(27) = 20°C. Rozkad funkcji Q·) zadano w postaci ^Q

^x ^{x L}^/ [Szlachetka i Wgrowska 2010b] (rys. 3).

Z wykresu odczytano wartoci funkcji Q·) na przeciciu z paszczyznami symetrii wszystkich warstw (tab. 1), które okrelaj poszczególne nasycenia. Na podstawie da- nych z tabeli 1 przedstawiono odpowiadajcy im kompozyt dla k_R = 0,045 W·m^–1·K^–1 i k_M = 1,7 W·m^–1·K^–1 (rys. 4).

Rys. 3. Rozkad funkcji Q·) Fig. 3. Distribution of function Q·)

Tabela 1. Wartoci funkcji charakteryzujcej frakcj materiau wzmacniajcego w kadej warstwie

Table 1. Values of the function characterizing fraction of the reinforcing material in each layer Warstwa

Layer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Q 0,02 0,06 0,09 0,13 0,17 0,20 0,24 0,28 0,31 0,35 0,39 0,43 0,46 0,50 Warstwa

Layer 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

Q 0,54 0,57 0,61 0,65 0,69 0,72 0,76 0,80 0,83 0,87 0,91 0,94 0,98

(7)

Dla tak zadanego rozkadu funkcji Q·) rozkad temperatury w rozpatrywanym obszarze opisany bdzie funkcj kwadratow wkls o równaniu:

x ⁰₂ x² ² ⁰ x^. L L

- -

-

Rozkad temperatury bez uwzgldnienia i z uwzgldnieniem efektu warstwy brzegowej na brzegu _*⁰₀ dla fragmentu kompozytu zaprezentowano na rysunku 5. Uzyskane rozkady temperatury wykazuj, e rozwizanie na temperatur w postaci równania (6), oznaczone jako T_O² , spenia zadane warunki brzegowe na brzegu _*⁰₀ (dla [ ) w prze- ciwiestwie do rozwizania (5), oznaczonego jako T_O¹.

Rozwizanie TO²

opisuje rozkady temperatury w obszarze przybrzegowym (uwzgldnia efekt warstwy brzegowej) w odrónieniu od rozwizania TO¹

. Na rysunku 6 wykrelono rozkad temperatury z uwzgldnieniem efektu warstwy brzegowej w rónych odlegociach [ od brzegu *⁰0 dla fragmentu kompozytu. Wykres wykazuje, e wraz ze zblianiem si do brzegu zanikaj oscylacje rozkadu temperatury.

Rys. 4. Schemat kompozytu o gradacji poprzecznej dla zadanej funkcji Q·)

Fig. 4. Scheme of FGM composite with transversal gradation for a given function Q·)

(8)

Rys. 5. Rozkad temperatury z uwzgldnieniem

^T ^O² i bez uwzgldnienia efektu warstwy brzegowej

^T ^O¹ na brzegu * dla fragmentu kompozytu⁰₀

Fig. 5. Distribution of temperature with and without consideration of the boundary layer effect on the edge * for a fragment of the composite⁰₀

Rys. 6. Rozkad temperatury z uwzgldnieniem efektu warstwy brzegowej

^T ^O² w rónych odlegociach [ od brzegu * dla fragmentu kompozytu⁰0

Fig. 6. Distribution of temperature with consideration of the boundary layer effect at different distances [ from the edge * for a fragment of the composite⁰0

(9)

PODSUMOWANIE

Z postaci rozwizania (9) wynika, e wpyw efektu warstwy brzegowej na rozkad temperatury zanika wraz z odlegoci od brzegu. Mona atwo wykaza, e na zanikanie efektu warstwy brzegowej wpywa budowa kompozytu oraz wasnoci termiczne skad- ników, z jakich jest on zbudowany. W wyniku przeprowadzonych oblicze otrzymano,

e dla rozpatrywanego kompozytu w przypadku H = 200 cm wpyw ten utrzymuje si do gbokoci [ 2 cm.

PIMIENNICTWO

Suresh S., Mortensen A., 1998. Fundamentals of functionally graded materials. The University Press, Cambridge.

Szlachetka O., Wgrowska M., 2010a. Modelowanie przewodnictwa ciepa w kompozytach war- stwowych z uwzgldnieniem efektu warstwy brzegowej. Konferencja „Inynierskie i przestrzenne aspekty zabudowy obszarów niezurbanizowanych”. Warszawa, 45–46.

Szlachetka O., Wgrowska M., 2010b. Przewodnictwo ciepa w pewnych materiaach gradientowych. Konferencja „Mechanika orodków niejednorodnych”. agów, 78–79.

Wo niak Cz., 2010a. Modelowanie asymptotyczne materiaów gradientowych o mikrostrukturze warstwowej. Konferencja „Mechanika orodków niejednorodnych”. agów, 99–100.

Wo niak Cz., 2010b. Urednianie tolerancyjne, homogenizacja i efekt warstwy brzegowej w perio- dycznie warstwowym dwuskadnikowym przewodniku ciepa. Konferencja „Inynierskie i przestrzenne aspekty zabudowy obszarów niezurbanizowanych. Warszawa, 12–21.

Wo niak Cz., Nagórko W., 2007. Modelowanie matematyczne materiaów z funkcjonaln gradacj

wasnoci efektywnych – wyniki bada i perspektywy rozwojowe w Polsce. Acta Scien- tiarum Polonorum, Architectura 6 (4), 23–32.

Wo niak Cz., Michalak B., Jdrysiak J., 2008. Thermomechanics of microheterogeneous solids and structures. Wydawnictwa Politechniki ódzkiej, ód .

Wo niak i in., 2010. Mathematical modelling and analysis in continuum mechanics od microstruc- tured media. Wydawnictwo Politechniki lskiej, Gliwice.

BOUNDARY LAYER EFFECT IN THICK TRANSWERSAL FGM PLATE Abstract. The stationary, one-dimensional heat conduction problem for transversal FGM was investigated. The in uence of the boundary layer effect on the distribution of temperature elds in transversal FGM thick plate was considered. The plate was built of two homogeneous, isotropic heat conductors.

Key words: transversal FGM, heat conduction, asymptotic modelling, boundary layer effect

Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 22.12.2010