Metody Obliczeniowe - 2 rok Budownictwo : Przykładowe zadania na kolokwium 2 1
Problem 1. Mając dane funkcje interpolacyjne Hermite’a wyznaczyć siłę zastępczą z1 dla dwuwęzło- wego elementu belkowego i obciążenia parabolicznego jak na rysunku.
12 kN
4 m x
y
1 2
d1
d2
d3 d4
Problem 2. Wyznaczyć ugięcie belki w połowie elementu 2 korzystając z interpolacji Hermite’a.
4 m 6 m
2EI EI
13 kN
1 2 3
el1 el2
EI=18000 kNm2 x
y
gdzie d = {0 0 0 0.001 0.016 0}
Problem 3. Obliczyć wektor gęstości strumienia ciepła q oraz temperaturę w punkcie A(1.0,1.5) dla tarczy zdyskretyzowanej jednym elementem skończonym. Dane są wektor stopni swobody θ, macierz przewodności k i funkcje kształtu.
3 m
2 m A
1 3 2
x y
θ=
T1 T2 T3
=
3.5
2 4
◦C
k=
2 0 0 2
J/◦Cms
N1(x, y) = −1 2y+ 1 N2(x, y) =1
3x N3(x, y) = −1
3x+1 2y
Problem 4.
Podaną konstrukcję tarczową zdyskretyzowano jednym, trójwęzłowym elementem skończonym. Wyzna- czyć wektor prawej strony do obliczeń MES.
5 kN/m 8 kN/m
X Y
1 2
3
3 m
4 m N1(x, y) = −41y+ 1 N2(x, y) = −31x+14y N3(x, y) = 13x
Metody Obliczeniowe - 2 rok Budownictwo : Przykładowe zadania na kolokwium 2 2
Problem 5.
Dla tarczy (problem płaskiego stanu naprężenia) zdyskretyzowanej za pomocą 4 elementów skończonych obliczyć globalny wektor obciążenia.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1m 1m
2m 2m
5kN
Problem 6. Wyprowadzić funkcje kształtu dla trójkątnego tarczowego elementu skończonego.
3
2 1
x y
1 m 2 m
2 m
Problem 7. Przedstawić graficznie proces agregacji macierzy sztywności dla elementów 2 i 3 w poniższej ramie. Zapisać globalny wektor f prawej strony równania MES.
1 1
2 2
3
3
4
4 12 kN
14 kNm
15 kN X
Y
Metody Obliczeniowe - 2 rok Budownictwo : Przykładowe zadania na kolokwium 2 3
Problem 8. Dla elementu 1 wyznaczyć składowe przemieszczenia uxi uy oraz wektor odkształceń ǫ w punkcie o współrzędnych X=1 Y=–1 przy założeniu płaskiego stanu naprężenia. Globalny wektor przemieszczeń ma postać:
d=
0 0 −1 −3 0 0 2 −2 0 0 −1 −2 · 10−4 m
X Y
1 2
3
1 6 5
2
3 4
3 m 3 m
3 m 3 m
ǫxx= ux,x
ǫyy= uy,y
γxy= ux,y+ uy,x
x y
1 3 2
e b
a
N1e= 1 −y b N2e=x
a N3e=y
b−x a
Problem 9. Zapisać wektor prawej strony równania MES dla podanej ramy.
5m
4m x
y
1
2 3
EA = 10000 kN EI = 252.3 kNm2
12 kN/m 14 kN
Problem 10.
Dla elementu belkowego o numerach węzłów jak na rys. obliczyć MES siły przywęzłowe na podstawie znanego wektora stopni swobody i wykonać wykresy sił przekrojowych.
l=2m
x y
q=6kN/m
¯ Ke=
12EI
l3
6EI
l2 −12EI l3
6EI l2 6EI
l2
4EI
l −6EI l2
2EI l
−12EI
l3 −6EI l2
12EI
l3 −6EI l2 6EI
l2
2EI
l −6EI l2
4EI l
e
ze= (ql
2 ql2
12 ql
2 −ql2 12
)e
E= 20 · 106kPa I= 3 · 10−4m4
d= {0 0 0 2 0 -2 0 2 -1 2 0 -3} · 10−3m
3 2
