lim
x→−∞ √ x 2 + 1
Rozwi¡zanie: Obli zamygrani w
−∞
,wi mo»emyzaªo»y¢x < 0
.Wtedy
|x| = −x
, i mamy√ x
x 2 + 1 = x
|x| q 1 + x 1 2
= −1 · 1 q
1 + x 1 2
−−−−→ −1. x→−∞
Zadanie 2. Obli z po hodn¡ funk ji
f (x)
. Jaka jest dziedzina po-hodnej?
f(x) = 1 − x 3 1 + x 3
Rozwi¡zanie: Li zniki mianowniks¡ró»ni zkowalne, wi dziedzina
po hodnej to aªa prosta z wyj¡tkiem punktów, gdzie mianownik jest
= 0
, zylix = −1
. Mo»emy skorzysta¢ ze wzoru na ró»ni zkowanie ilorazu. Dlax 6= −1
mamyf ′ (x) = −3x 2 (1 + x 3 ) − (1 − x 3 ) 3 x 2 (1 + x 3 ) 2
= −3 x 5 − 3 x 2 − 3 x 2 + 3 x 5 (1 + x 3 ) 2
= −6 x 2
(1 + x 3 ) 2 .
Zadanie 3. Obli z po hodn¡ funk ji
f (x)
. Jaka jest dziedzina po-hodnej?
f (x) = 2 3 x
Rozwi¡zanie: Korzystamy ze wzorunaró»ni zkowaniefunk ji zªo»o-
nej
f ′ (x) = 2 3 x · log 2 · 3 x · log 3.
Zadanie 4. Dobra¢ staªe
a, b
tak, aby podana funk ja byªa i¡gªa.f(x) =
( b x + 3 x < 1, 2 x 2 + x + a x ≥ 1
Rozwi¡zanie: Mamy:
lim
x→ 1 − f(x) = lim
x→ 1 − (b x + 3) = b + 3, lim
x→ 1 + f(x) = lim
x→ 1 + (2 x 2 + x + a) = 2 + 1 + a = 3 + a,
zyli je»eli
f(x)
maby¢ i¡gªaw1
to musimymie¢a = b
, naprzykªada = b = 0
. O zywi± ief (x)
jest i¡gªawewszystki hinny hpunkta h.Zadanie 5. Obli zgrani
lim
x→ 0
e x − 1 − x x 2
Rozwi¡zanie: Stosujemy reguª de l'H spitala dwukrotnie:
lim
x→ 0
e x − 1 − x x 2 = lim
x→ 0
e x − 1 2x = lim
x→ 0
e x 2 = 1
2 .
Zadanie 6. Obli zpo hodn¡ trze iego rzdufunk ji
f(x)
.f (x) = (1 + 2x) 32
Rozwi¡zanie:
f ′′′ (x) = 32 (1 + 2 x) 31 · 2 ′′
= 32 · 31 · (1 + 2 x) 30 · 2 · 2 ′
= 32 · 31 · 30 · (1 + 2 x) 29 · 2 · 2 · 2
= 238080 · (1 + 2x) 29 .
Zadanie 7. Dobierz staªe
a, b
tak, aby podana funk ja byªa i¡gªa.f (x) =
b x x < π, sin x
a x x ≥ π
Rozwi¡zanie:
lim
x→π −
f (x) = lim
x→π −
b x = b π, lim
x→π +
f (x) = lim
x→π +
sin x a x = 0
a π = 0.
Widzimy wi , »e musiby¢
b = 0
, natomiasta
mo»e by¢ dowolne6= 0
.Zadanie 8. Znajd¹ punkty przegi ia iprzedziaªy wypukªo± i funk ji
f(x) = x 3 + 2x 2 + 3x + 4
Rozwi¡zanie:
f ′′ (x) = 3 · 2 · x + 2 · 2 = 6 x + 4.
Mamywi
f ′′ (x) > 0
dlax > − 2 3 if ′′ (x) < 0
dlax < − 2 3. Funk
jajest
wi wypukªana
(− 2 3 , ∞)
,wklsªana(−∞, − 2 3 )
,imapunktprzegi iaw
− 2 3.
Zadanie 9. Obli zpo hodn¡ funk ji
f(x) f (x) = e −x 2 log x
Rozwi¡zanie:
f ′ (x) = e −x 2 (−2 x) log x + e −x 2 1
x = e −x 2
−2 x log x + 1 x
.
Zadanie 10. Wyprowad¹ wzór napo hodn¡ rzdu
n
funk jif(x) f (x) = x 2 + 2
x
Rozwi¡zanie: Li zymykolejno,po zymwywnioskowuje mywzórogólny
f ′ (x) = 2 x − 2 x 2 , f ′′ (x) = 2 + 2 · 2
x 3 ,
f ′′′ (x) = (−1) · 2 · 2 · 3 · 1 x 4 , f (n) (x) = (−1) n · 2 · n! · 1
x n +1 , n ≥ 3.
(1)
Dowódwzoruogólnego. Wzórzgadzasizobli zon¡ po hodn¡ 3rzdu
dla
n = 3
, wi wystar zy wykona¢ krok induk yjny. Ró»ni zkujemy praw¡ stron (1):(−1) n · 2 · n! · 1 x n +1
′
= (−1) n · 2 · n! · (−(n + 1)) · 1 x n +2
= (−1) n +1 · 2 · (n + 1)! · 1 x n +2 .
Ostatni wzór zgadzasi z praw¡stron¡ (1) dla
