Przykład 5.2.1.
Zakład produkuje trzy rodzaje napojów o smaku pomarańczowym: sok, napój i nektar, do produkcji których zużywa: koncentrat pomarańczowy, cukier i konserwanty. Zasoby surowców , normy ich zużycia oraz zyski jednostkowe przypadające na tysiąc litrów produktów podano w tabeli:
sok napój nektar zapasy [kg]
koncentrat [kg] 3 1 0 10
cukier [kg] 2 5 1 20
konserwanty [kg] 3 3 1 13
zyski [zł] 400 500 300
Chcemy wyznaczyć optymalną strukturę dziennej produkcji zakładu maksymalizującą łączny zysk.
Model ZP jest następujący:
gdzie - zmienne decyzyjne wyrażające wielkość produkcji odpowiednio: soku, napoju i nektaru w tysiącach litrów.
Rozwiązanie optymalne:
Baza -400 -500 -300 0 0 0
0 25/2 2 0 0 5/2 1 -5/2
-500 3/2 0 1 0 -1/2 0 1/2
-300 17/2 3 0 1 3/2 0 -1/2
3300 500 0 0 200 0 100
Plan maksymalizujący zysk to produkcja tylko napoju w ilości 1,5 tys. litrów i nektaru w ilości 8,5 tys. litrów. Przy takiej strukturze produkcji wykorzystano w całości zapasy koncentratu i konserwantów, natomiast pozostały zapasy cukru w ilości 12,5 kg. Uzyskiwany zysk to 3300 zł.
Zadanie dualne:
Rozwiązanie odczytujemy z tablicy simpleksowej:
Z rozwiązania tego wynika, że zwiększenie zapasów koncentratu o kilogram zwiększy optymalną wartość zysku o 200 zł. Natomiast zwiększenie zapasów konserwantów o kilogram spowoduje wzrost zysku o 100 zł. Zmniejszenie tych zapasów spowoduje analogiczne zmniejszenie zysku, a zmiany w zapasach cukru nie mają wpływu na wartość funkcji celu (przy założeniu, że rozwiązanie optymalne pozostanie dopuszczalnym).
Sprawdzimy jak zmieni się rozwiązanie jeśli powiększymy zapasy koncentratu o 2 kg.
Spodziewamy się wzrostu zysku o 400 zł (o ile uzyskane rozwiązanie będzie dopuszczalne).
Nowy wektor ograniczeń to . Nowe rozwiązanie optymalne uzyskamy ze
wzoru (2.3.1) . Macierz można odczytać z kolumn w tablicy simpleksowej, zatem
Rozwiązanie to pozostaje dopuszczalnym (wszystkie zmienne bazowe są dodatnie).
Zamierzamy produkować 0,5 tys. litrów napoju i 11,5 tys. litrów nektaru. Osiągniemy zysk 3700zł.
5.3. Interpretacja ekonomiczna twierdzenia o komplementarności.
(4.2.1)
Jeżeli zużycie i- tego środka produkcji jest mniejsze od posiadanego zasobu to krańcowa produktywność jednostki i- tego środka jest zerowa. Mając nadmiar surowca nie jesteśmy skłonni płacić za zwiększenie jego zasobu.
(4.2.2)
Jeżeli wartość środków zużytych na wytworzenie jednostki j- tego produktu (liczona w cenach dualnych) jest większa od zysku z jego sprzedaży to produkcja tego wyrobu jest zerowa.
Jeżeli można sprzedać surowce w cenie przekraczającej zysk z produkcji to nie produkujemy.
(4.2.3)
Jeżeli cena krańcowa i- tego środka jest dodatnia to zużywamy cały zapas.
(4.2.4)
Jeżeli produkcja j- tego wyrobu jest dodatnia (jeśli warto podejmować produkcję) to dochód ze sprzedaży surowców jest równy zyskowi ze sprzedaży wyrobu.
