Analiza matematyczna, 2017/2017 ćwiczenia 12. – rozwiązania

Analiza matematyczna, 2017/2017 ćwiczenia 12. – rozwiązania

12 stycznia 2017

1. Oblicz wszystkie kolejne pochodne funkcji:

f (x) = x⁶,

f^′(x) = 6x⁵, f^′′(x) = 30x⁴, f^′′′(x) = 120x³, f⁽⁴⁾(x) = 360x², f⁽⁵⁾(x) = 720x, f⁽⁶⁾(x) = 720, f⁽⁷⁾(x) = 0 oraz dla każdego n ≥ 7, mamy f⁽ⁿ⁾(x) = 0.

g(x) = cos x,

g^′(x) = − sin x, g^′′(x) = − cos x, g^′′′(x) = sin x, g⁽⁴⁾(x) = cos x, a zatem ogólnie dla każdego n > 0 mamy:

g⁽⁴ⁿ⁾(x) = cos x, g⁽⁴ⁿ⁻³⁾(x) = − sin x, g⁽⁴ⁿ⁻²⁾(x) = − cos x, g⁽⁴ⁿ⁻¹⁾(x) = sin x.

h(x) = 2^x. h^′(x) = 2^xln 2, h^′′(x) = 2^xln²2, ogólnie h⁽ⁿ⁾(x) = 2^xlnⁿ2.

2. Obliczyć pierwszą, drugą i trzecią pochodną dla:

f (x) = x⁵−ln x, f^′(x) = 5x⁴−¹_x, f^′′(x) = 20x³+_x¹₂, f^′′′(x) = 60x²−_x²₃.

g(x) = xe^x,

g^′(x) = e^x+xe^x, g^′′(x) = e^x+e^x+xe^x=2e^x+xe^x, g^′′′(x) = 3e^x+xe^x.

h(x) = sin x −2

3sin³x + 1 5sin⁵x.

h^′(x) = cos x−2 cos x⋅sin²x+cos x⋅sin⁴x = cos x(1−sin²x−sin²x(1−sin²x)) = cos x(cos²x−sin²x⋅cos²x) = cos³x(1 − sin²x) = cos⁵x, h^′′(x) = −5 sin x cos⁴x, h^′′′(x) = −5 cos⁵x + 20 sin²x cos³x.

3. Licząc kolejne pochodne, znajdź ekstrema funkcji:

a(x) = x²−x,

a^′(x) = 2x − 1, a zatem kandydat na ekstremum w x = ¹₂, a^′′(x) = 2, a^′′(¹

2) =2, a zatem to minimum lokalne.

b(x) = x − ln x,

b^′(x) = 1 −_x¹, a zatem kandydat na ekstremum to x = 1. b^′′(x) =_x¹₂, b^′′(1) = 1, a zatem to lokalne minimum lokalne.

c(x) = 2x − ln x +1 x,

1

c^′(x) = 2 −¹_x−_x¹₂ = ^2x

2−x−1

x² . c^′(x) = 0 dla x = 1 bowiem −¹₂ jest poza dziedziną f . c^′′(x) =(4x²−1)x − 2(2x²−x − 1)

x³ =

4x³−4x²+x + 2

x³ .

c^′′(1) =³₁, a zatem 1 to minimum lokalne.

d(x) = x⁵+2x³+3x + 4,

d^′(x) = 5x⁴+6x²+3. A zatem niech y = x²i wtedy d^′(x) = 5y²+6y + 3, ∆ = 36 − 60 < 0, a zatem pochodna nie zeruje się – funkcja rośnie na całym zbiorze R i nie ma ekstremów.

f (x) = x +1 x.

f^′(x) = 1 −_x¹2. A zatem f^′(x) = 0 dla x = ±1. f^′′(x) = _x²2, a zatem f^′′(1) > 0 to lokalne minimum. Zaś f^′′(−1) < 0, więc −1 to lokalne maksimum.

g(x) = x⁶−x⁴ g^′(x) = 6x⁵−4x³=x³(6x²−4), a zatem g^′(x) = 0 dla x = 0 oraz x = ±

√

2

3. g^′′(x) = 30x⁴−12x²=6x²(5x²−2).

g^′′(0) = 0, więc w tym wypadku liczymy dalej, natomiast g^′′(±

√

2

3) >0, więc dla x = −

√

2

3 oraz x =

√

2 3

mamy lokalne minima. g^′′′(x) = 120x³−24x, więc g^′′′(0) = 0. g⁽⁴⁾(x) = 360x²−24, a zatem g⁽⁴⁾(0) = −24, a zatem w 0 mamy lokalne minimum.

2