Analiza matematyczna, 2016/2017 ćwiczenia 13. – rozwiązania

Analiza matematyczna, 2016/2017 ćwiczenia 13. – rozwiązania

19 stycznia 2017

Zadania

1. Udowodnij korzystając z zasady indukcji matematycznej, że (sin x)⁽ⁿ⁾=sin (x +^nπ₂ ).

Pierwszy krok: (sin x)^′=cos x = sin (x +^π₂). Zgadza się.

Załóżmy, że dla pewnego k, (sin x)^(k)=sin (x +^kπ₂ ). Wtedy:

(sin x)^(k+1)= ((sin x)^(k))

′= (sin (x +kπ 2 ))

′

=cos (x +kπ

2 ) =sin (x +(k + 1)π 2 ), co kończy dowód kroku indukcyjnego. ◻

2. Udowodnij, korzystając z definicji, że f (x) = x² jest funkcją wypukłą.

Niech x, y ∈ R, t ∈ [0, 1], wtedy f (tx + (1 − t)y) = t²x²+2t(1 − t)xy + (1 − t)²y², zaś t(f (x)) + (1 − t)f (y) = tx²+ (1 − t)²y². Widać, że t²x²+2t(1 − t)xy + (1 − t)²y²−tx²+ (1 − t)²y²=tx²(t − 1) − t(1 − t)y²+2t(1 − t)xy = t(1 − t)(−x²−y²+2xy) = −t(1 − t)(x − y)²<0.

3. Zbadaj na jakich przedziałach następujące funkcje są wypukłe i wklęsłe:

f (x) = x³−6x²+3x − 5

f^′(x) = 3x²−12x + 3, f^′′(x) = 6x − 12 jest > 0 dla x ∈ (2, ∞) oraz < 0 dla x ∈ (−∞, 2), a zatem na przedziale (2, ∞) jest wypukła, (−∞, 2) jest wklęsła, oraz x = 2 jest punktem przegięcia.

g(x) = ln x

g^′(x) = ¹_x, g^′′(x) = −_x¹₂ <0 dla każdego x z dziedziny funkcji, czyli g jest wklęsła.

h(x) = e^−x2

h^′(x) = −2xe^−x2, h^′′(x) = −2e^−x2+4x²e^−x2. e^−x2>0 dla każdego x, czyli znak tej pochodnej zależy od tego, czy −2 + 4x²>0, a jest tak dla x ∈ (−∞,^√1

2)oraz x ∈ (^√1

2, ∞) funkcja jest wypukła, a dla x ∈ (−^√1

2,^√1

2) jest wklęsła. ^√1

2 oraz ^√−1

2 to punkty przegięcia.

k(x) = x⁴−4x³−90x²+12x + 7

k^′(x) = 4x³−12x²−180x+12, k^′′(x) = 12x²−24x−180 = 12(x²−2x−15) = 12(x−1+√

2)(x−1−√

2). A zatem k^′′(x) > 0 dla x ∈ (−∞, 1 −

√

2) oraz x ∈ (1 +

√

2, ∞) i tam funkcja jest wypukła, a dla x ∈ (1 −

√ 2, 1 +

√ 2) jest wklęsła. A zatem 1 −

√

2 oraz 1 +

√

2 to punkty przegięcia.

l(x) = x³

√ x − 1 l^′(x) = (x⁴³)^′= ^4x

13

3 , l^′′(x) = ⁴

9³√

x² >0 na swojej dziedzinie. Czyli ta funkcja jest wypukła.

t(x) = −e^−1x

1

t^′(x) =^e−

x1

x² , t^′′(x) = −^(2x−1)e−

1 x

x⁴ . A zatem t jest wypukła dla na (−∞, 0) oraz (0,¹₂)oraz wklęsła dla (¹₂, ∞).

v(x) = x 1 + x²

v^′(x) = −_(x^x₂²₊₁₎⁻¹₂, v^′′(x) = ^2x(x_(x2+1)²⁻³⁾₃ , co zmienia znak dla x = 0, ±√

3, ±1 (i to są punkty przegięcia), a zatem funkcja jest wypukła na przedziałach: (−√

3, −1), (0, 1), (√

3, ∞) oraz wklęsła na (−∞, −√ 3), (−1, 0), (1,√

3).

w(x) = x³ 2(x − 1)²

w^′(x) = ^(x−3)x_2(x−1)²3, a zatem w^′′(x) = _(x−1)^3x4. A zatem w jest wypukła dla (0, 1) i (1, ∞) oraz wklęsła na (−∞, 0). 0 jest punktem przegięcia

y(x) = x∣x∣

y^′(x) = −2x dla x ≤ 0 oraz y^′(x) = 2x dla x > 0. Zatem y^′′(x) = −2 dla x < 0 oraz y^′′(x) = 2 dla x > 0.

Zatem y jest wklęsła na (−∞, 0) oraz wypukła dla (0, ∞). 0 jest punktem przegięcia.

z(x) =

⎧⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

x² 2 x < 0 x² x ≥ 0

z^′(x) = x dla x < 0 oraz z^′(x) = 2x dla x ≥ 0, a zatem ta pochodna jest funkcją rosnącą, a zatem z jest wypukła.

2