Analiza matematyczna 2, 2016/2017 ćwiczenia 5. – rozwiązania
21 marca 2017
1. Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiory punktów spełniające warunki:
∣z∣ ≤ 2
∣z − 3∣ + ∣z + 3∣ = 10
Rz = Iz
1
1 ≤ ∣z + i∣ ≤ 2
2. Wykonaj działania:
(3 + i)2 (1 + 2i)2 −
(1 − 2i)3 (1 + i)3 (3 + i)2
(1 + 2i)2−
(1 − 2i)3 (1 + i)3 =
8 + 6i
−3 + 4i−
(−3 − 4i)(1 − 2i) (2i)(1 + i) =
8 + 6i
−3 + 4i−
−11 + 2i
−2 + 2i =
=
−24 + 24 + i(−18 − 48)
9 + 16 −
22 + 4 + i(−4 + 22)
4 + 4 =
66i 25 −
13 + 9i
4 = −3, 25 + 0, 39i.
i3(1 − i)10 (1 + i
√ 3)7(
√ 3 − i)8
Wyliczamy moduły i argumenty:
x ∣x∣ Argx
i 1 π2
1 − i √
2 −π4 1 + i√
3 2 π3
√
3 − i 2 −π6
i3 1 −π2
(1 − i)10 25 −π2 (1 + i√
3)7 27 π3 (
√
3 − i)8 28 2π3
L 25 −π
M 215 π
wynik 2−10 0
2
A zatem wynik to po prostu 2−10(cos 0 + i sin 0) =10241 .
3. Korzystając ze wzoru de Moivre’a wyraź cos 3α przy pomocy sin α i cos α.
cos 3α + i sin 3α = (cos α + i sin α)3=cos3α + 3i cos2α sin α − cos α sin2α − i sin3α, a zatem cos 3α = cos3α − cos α sin2α.
4. Oblicz pierwiastki:
√4
−1
Argument to π, a zatem mamy pierwiastki (pierwiastki są czwartego stopnia, więc ich argumenty różnią się o 2π4 = π
2):
cosπ
4 +i sinπ 4 =
√ 2 2 +i
√ 2 2 cos3π
4 +i sin3π 4 = −
√ 2 2 +i
√ 2 2 cos−π
4 +i sin−π 4 =
√ 2 2 −i
√ 2 2 cos−3π
4 +i sin−3π 4 = −
√ 2 2 −i
√ 2 2
√
−i Argument to −π2 , a zatem mamy pierwiastki:
cos−π
4 +i sin−π 4 =
√ 2 2 −i
√ 2 2 cos−3π
4 +i sin−3π 4 = −
√ 2 2 −i
√ 2 2
√
+1 + i
√ 3 Argument to π3, a zatem główny pierwiastek to:
√ 2 (cosπ
6 +i sinπ 6) =
√ 2 (
√ 3 2 +
i 2) =
√ 6 2 +
i
√ 2 2 . 5. Rozwiąż równanie z2+ (3i + 1)z + (2i − 2) = 0.
∆ = (3i + 1)2−4(2i − 2) = −9 + 1 + 6i − 8i + 8 = −2i = 2 (cos (−π2) +i sin (−π2)), a zatem mamy dwa
√
∆ równe:
√
2 (cos (−π
4) +i sin (−π 4)) =
√ 2 (
√ 2 2 +i−
√ 2
2 ) =1 − i oraz
√
2 (cos (3π
4 ) +i sin (3π 4 )) =
√ 2 (−
√ 2 2 +i
√ 2
2 ) =1 + i.
A zatem szukane pierwiastki to:
z1=
−1 − 3i − 1 + i
2 = −1 − i z1=
−1 − 3i + 1 − i
2 = −2i.
3
6. Zapisać liczby w postaci wykładniczej.
1 − i
1 − i = eln
√2−iπ4
1 1 + i 1
1 + i= 1 eln
√2+iπ4 =e− ln
√2−iπ4 .
7. Oblicz używając postaci wykładniczej:
(
√
3 + i)5(1 − i
√ 3)4 (
√
3 − i)7(1 + i√ 3)5
(
√
3 + i)5(1 − i√ 3)4 (
√
3 − i)7(1 + i√ 3)5
=
e5 ln 2+5iπ6 e4 ln 2−4iπ3 e7 ln 2−7iπ6 e5 ln 2+5iπ3
=e−3 ln 2−iπ= 1
8(−1 + 0i) = −1 8. 8. Znajdź zbiór punktów na płaszczyźnie zespolonej, taki że z = 1 − i + eit, t ∈ [0, 2π).
4