Stereometria
1. Wielościan wypukły ma w wierzchołków. Oblicz sume, ka,tów płaskich wszystkich jego ścian.
2. Wszystkie ka,ty płaskie przy wierzchołku A czworościanu ABCD sa, proste. Wykaż, że rzut A na płaszczyzne, BCD jest orotcentrum trójka,ta BCD.
3.W ostrosłupie pie,cioka,tnym o podstawie ABCDE i wierzchołku S wszystkie krawe,dzie boczne sa,równe, a ka,ty ABC i AED sa,przystaja,ce. Wykaż, że proste AS i CD sa,prostopadłe.
4.Wykaż, że pole rzutu prostoka,tnego sześcianu o krawe,dzi 1 na płaszczyzne, jest równe co najwyżej √
3.
5.W ostrosłupie pie,cioka,tnym o podstawie ABCDE i wierzchołku S wszystkie krawe,dzie boczne sa,równe, a ka,ty ABC i AED sa,przystaja,ce. Wykaż, że proste AS i CD sa,prostopadłe.
6.Czy istnieje taki czworościan, którego wszystkie ściany sa, trójka,tami prostoka,tnymi?
7. Udowodnić, że suma miar wszystkich ka,tów dwuściennych dowolnego czworościanu jest wie,ksza od 2π.
8.Udowodnić, że suma miar sześciu ka,tów, pod którymi widać krawe,dzie dowolnego czwo- rościanu z dowolnego jego punktu wewne,trznego jest wie,ksza od 3π.
9.Dany jest czworościan ABCD oraz punkty K, L, M i N takie, że −−→AK =−→CA,−→CL =−−→BC,
−−→DM =−−→AD i −−→DN =−−→CD.
Wykaż, że obje,tość czworościanu KLM N jest dwa razy wie,ksza niż czworościanu ABCD.
10. W ostrosłupie prawidłowym o wierzchołku S i podstawie A1A2. . . An każda krawe,dź boczna tworzy z płaszczyzna,podstawy ka,t 60◦. Dla każdej liczby naturalnej n 3 rozstrzygna,ć, czy można wybrać takie punkty B2, B3, . . . , Bn leża,ce odpowiednio na krawe,dziach A2S, A3S, . . ., AnS, że A1B2+ B2B3+ B3B4+ . . . + BnA1 ¬ A1S.
