GEOMETRIA PRZESTRZENNA Lista zadań nr 4
7.1. Czy dwa trójkąty sferyczne o takich samych kątach mają takie same obwody?
7.2. Oblicz pozostałe kąty i boki trójkąta sferycznego, wiedząc że:
a) jego boki wynoszą π/2, π/3 i π/4;
b) jego kąty wynoszą π/2, π/3 i π/4;
c) dwa z jego boków wynoszą π/2 i π/3, a kąt między nimi jest π/4;
d) dwa z jego kątów wynoszą π/2 i π/3, a bok między nimi jest π/4;
e) dwa z jego kątów wynoszą π/2 i π/3, a bok naprzeciw kąta π/3 ma długość π/4;
f) i tym podobne wedle własnych upodobań.
7.3. Jakie są zależności logiczne między poniższymi zdaniami (które wynikają z których, które są równoważne)?
a) Trójkąt sferyczny ABC ma wszystkie boki krótsze od π.
b) Trójkąt sferyczny ABC ma wszystkie kąty mniejsze od π.
c) Trójkąt sferyczny ABC ma pole mniejsze od 2π.
d) Trójkąt sferyczny ABC ma obwód mniejszy od 3π.
e) Kąt trójścienny związany z trójkątem sferycznym ABC jest wypukły.
f) Trójkąt sferyczny ABC jest zawarty w pewnej półsferze.
7.4. Dla trójkąta sferycznego ABC wysokość opuszczona z wierzchołka C oznacza naj- krótszy łuk koła wielkiego łączący C z kołem wielkim zawierającym bok AB. Oblicz długość wysokości, mając dane długości boków.
7.5. Czy istnieje taki trójkąt sferyczny, że trójkąt biegunowy względem niego jest do niego przystający? Spróbuj opisać wszystkie takie trójkąty.
7.6. Dane są dwa trójkąty sferyczne ABC i A′B′C′. Wiadomo, że <) A = <) A′, AB > AB′ i AC ≥ AC′. Pokaż, że pole ABC jest większe od pola A′B′C′.
7.7. W trójkącie sferycznym ABC wysokość CC′jest jednocześnie dwusieczną. Czy trójkąt ABC musi być równoramienny?
7.8. W trójkącie sferycznym ABC wysokość CC′ jest jednocześnie środkową. Czy trójkąt ABC musi być równoramienny?
7.9. W trójkącie sferycznym ABC dwusieczna CC′jest jednocześnie środkową. Czy trójkąt ABC musi być równoramienny?
