Sprawozdania z posiedzeń naukowych Polskiego Towarzystwa Matematycznego
Oddział Gdański
24. IY. 1953. K. Z a r a n k i e w i e z (Warszawa), O pewnym zagadnieniu topologicznym dotyczącym cegielni.
0. YI. 1953. E. Ta rn aws ki , O funkcji ciągłej f(a",d,y) spełniającej zależnie od wartości parametrów warunki Hóldera i Diniego w całej skali logarytmiczno-potęgowej.
Rozpatrujemy funkcje /(as) ciągłe i ograniczone, określone dla wszystkich, war
tości zmiennej rzeczywistej as.
Funkcję /(as) zaliczamy do klasy #(<5,y), jeżeli dla każdego as i każdego h speł
nia warunek Holdera
(1) |f(x + h ) - f ( x ) I <M|fep|log|A||y,
gdzie M jest stałą zależną jedynie od /(as).
Funkcję /(as) zaliczamy do klasy ff°°(<5,y), jeżeli dla każdego as spełnia waru
nek
(2) p— l/(s+ h) - j ( x ) i
Л fA|>g(A||»' = + <*>•
Klasyfikację określamy dla 0< < 5 < 1 i dowolnych wartości y, z wyjątkiem <5 = 1, gdy ograniczamy się do y ^ O oraz z wyjątkiem <5=0, gdy ograniczamy się do y < 0 .
Funkcję f(x) zaliczamy do klasy 7)(<5,y), jeżeli dla każdego as spełnia warunek Diniego
(3) г 1 /( « + t) / (as) I ' t}+d |logl|r dt^M,
gdzie M jest stałą zależną jedynie od /(as).
Funkcję /(as) zaliczamy do klasy D°°(S, y), jeżeli dla każdego as spełnia warunek
(4) • I /(as - f t) / (as)|
#1+5|log#|y clt = oo.
Klasyfikację określamy dla 0< < 5 < 1 i dowolnych wartości y, z wyjątkiem <5 = 1, gdy ograniczamy się do y > l , oraz z wyjątkiem <5=0, gdy ograniczamy się do y < l .
184 Sprawozdania z posiedzeń naukowych P T M
Zakładając, że q>(%) jest, dowolną funkcją okresową spełniającą warunek Lipschitza, funkcję f(x) określamy następująco:
/(*) = «»= ^ _Л2Я! ' 2У'Л • r U2’ K = A2nl U > 1 ) .
«=1 \n4
Tak określona funkcja należy jednocześnie do klas H( d, y ) i Я 00((5,у1), gdzie y L< y . Należy ona również dla <5>0 jednocześnie do klas D ( 8 , y ) i gdzie Ух<у, a dla <5=0 jednocześnie do każdej z klas D ( 0 ,y - f - 1) i D ° ° ( 0 , y t + 1), gdzie Y i <
<y^0.
Podawano już konstrukcje funkcji spełniających jednocześnie warunki (1) i (2) dla pewnego zakresu wartości 8, y. Wyniki uzyskane dla warunków Diniego (3) i (4), a w szczególności w całym zakresie wartości parametrów 8 , у skali logaryt- miczno-potęgowej, są nowe.
Oddział Krakowski
24.11.1953. G. M a j c h e r o w a , O pewnym zagadnieniu brzegowym Ma równań różniczkowych typu hiperbolicznego.
24. III. 1953. J. L i t w i n i s z y n , O pewnym zagadnieniu dwuwymia
rowym przepływów tnrbuleńtnych.
Por. pracę autora O pewnym zagadnieniu dwuwymiarowym przepływów turbulen- tnych, Archiwum Mechaniki Stosowanej Y .2, str. 273-290.
24. III. 1953. M. K r z y ż a ń s k i , Uwagi o zagadnieniu J. Litwini- szyna.
21. IV. 1953. J. P l e b a ń s k i (Warszawa), Równania nieliniowe fizyki współczesnej, cz. I.
22. IV. 1953. J. P l e b a ń s k i (Warszawa), Równania nieliniowe fizyki współczesnej, cz. II.
2. V. 1953. H. H a j ó s (Budapest), Nowy dowód twierdzenia Gaussa- -Bonneta.
16. VI. 1953. J. K u r z w e i l (Praha), Przegląd wyników z teorii operacji analitycznych w. przestrzeniach Banacha.
16. VI. 1953. J. K u r z w e i l (Praha), Z teorii aproksymacji w prze
strzeniach Banacha.
23. VI. 1953. K. B a d z i s z e w s k i (Lublin), O pewnym twierdzeniu z teorii owali.
Oddział Lubelski
18. IV. 1953. K. T a t a r k i e w i c z , O pewnym twierdzeniu z rachunku macierzowego i o jego zastosowaniach do teorii równań różniczkowych.
Na podstawie pewnego twierdzenia o macierzach zostało podane uproszczone rozwiązanie układów równań różniczkowych liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach;
O d d*z i a ł Lubelski 185
25. IV. 1953. S. G o ł ąb (Kraków), 0 pewnym twierdzeniu całkowym geometrii różniczkowej.
W podręcznikach klasycznej geometrii różniczkowej spotykamy całki j'j К da,
s
JfUda, gdzie 8 jest regularną powierzchnią zamkniętą, К krzywizną G-aussa po-
s
wierzchni, H średnią krzywizną a da elementem miary powierzchniowej.
Autor rozważa całki ffE-nda, fjH-nda, gdzie n oznacza jednostkowy wektor do powierzchni 8 skierowany na zewnątrz. Autor podaje warunki dla powierzchni obrotowej, by obie powyższe całki znikały.
Wspomina o dowodzie twierdzenia Jj U • uda = 0 dla dowolnych powierzchni regularnych zamkniętych i przypuszcza, że dla takich powierzchni zachodzi również twierdzenie f f К • ndo 0.
I. V. 1953. K. T a t a r k i e w i c z , O ograniczonych rozwiązaniach pew
nych równań różniczkowych.
Autor podaje warunek dostateczny, by równanie
«„ x " — 2a(t)x' — b( t ) x—f(t)
miało dokładnie к parametrową (k— 0 ,1 ,2 ) rodzinę rozwiązań ograniczonych. Przy
kłady wskazują, że chociaż warunek ten nie jest konieczny, nie można go osłabić w sposób istotny.
(Praca ukaże się w Ann. UMCS, s. A 7)
II. V. 1953. M. B i e rn a ck i , O pewnym równaniu różniczkowym -i-tego rzędu.
Jeżeli funkcja A (x) jest dodatnia, niemalejąca i różniczkowalna w sposób ciągły dla x > x Q, to istnieje zawsze całka równania różniczkowego yIV + M (r)y — 0, która dąży do zera, gdy a ->0.
Jeżeli prócz tego limA(aj) = oo, to X—>00
lim у (х) [А (ж)]1/8_e = U z —► 00
dla każdego e > 0 , jeśli x nie przebiega pewnych przedziałów wyjątkowych, których suma długości jest skończona.
Jeżeli oprócz tego А "(ж )^ 0 dla x > x 0, to iloczyn у (x) [A ( x ) f 18 jest ograniczony, gdy x->oo (przedziały wyjątkowe w tym przypadku nie istnieją).
16. V. 1953. Z. B u t l e w s k i (Poznań), O pewnym równaniu różnicz
kowym i-tógo rzędu.
Oddział Łódzki
12. I. 1953. Z. Za h or sk i, Obliczenie pola części hali, wyciętej przez wspólśrodkową elipsoidę.
Znajduję efektywnie wzory elementarne na pole (a — 1)-wymiarowe części
n П
sfery 1, leżącej w elipsoidzie 2J ацxixi < t ; forma £ aijxtxj j e s t ' .okreś
l i
186 Sprawozdania z posiedzeń naukowych PTM.
łona dodatnio, przy założeniu, że wszystkie pierwiastki charakterystyczne ma- cierzy ||ał#|| mają krotności parzyste (wobec tego i n jest parzyste). - Oznaczając przez A1<ż2< . .. < / p wartości wszystkich tych pierwiastków dowodzę, że w prze
działach (0 , Aj) , . . . , (Aj ’ ^£+l) ’ • • • , (/.p, oo) pole to jest wielomianem względem t.
Różnym przedziałom odpowiadają różne wielomiany; pierwszemu odpowiada wie
lomian równy zeru, ostatniemu zaś wielomian równy polu całej kuli. Bez założenia o parzystej krotności otrzymujemy całki hipereliptyczne, dla n = 3 całki eliptyczne.
Rachunek opiera się na czynniku nieciągłym Dirichleta i na metodzie residuów Cau
chy'ego, stosowanej do całek oznaczonych rzeczywistych od — oo do oo.
30. III. 1953. Z. Cliarzy ński, O funkcjach jednolistnych algebraicz
nych i ich zastosowaniu.
13. IV. 1953. L. W ło d a r s k i , Doskonałość metod ciągłych limesowal- ności w zakresie ciągów ograniczonych.
Mówimy, że metoda funkcyjna limesowalności A , dana przez ciąg funkcji
|ай(<)} określonych w przedziale 0 < i < T jest ciągła, jeżeli 1° funkcje an(t) są ciągłe ( ' « = 0 , 1 , 2 , . . . ) ;
2° istnieje taki ciąg rosnący (tm), że t1==0, tm-+ T i dla każdego ciągu { !„ } zbież-
OO
ność szeregu V aH (t) dla t — tm_ v oraz t — tm pociąga za sobą jednostajną zbież-
n =»0
ność tego szeregu w przedziale
Ciąg » = {£„} jest limesowalny metodą A do liczby £, jeżeli
(50
lim 2 1 » « (< )£ .= £»
< - > T - и = 0
przy czym podany szereg jest zbieżny dla 0 ^ t < T .
Metodę nazywamy permanentną, jeżeli limesuje każdy ciąg zbieżny do jego zwykłej granicy. Polem metody nazywamy zbiór ciągów limesowalnych daną metodą.
Metodę В nazywamy ogólniejszą od metody A , jeżeli polo metody A jest zawarte w polu metody B, to znaczy jeżeli każdy ciąg limesowalny metodą A jest również limesowalny metodą В (niekoniecznie jednak do tej samej liczby).
Tw ier d ze n ie I. W polu metody ciągłej i permanentnej można utworzyć taką metryką, (przestrzeni typu B 0), przy której każdy ciąg ograniczony jest punktem skupienia ciągów zbieżnych.
Tw ie r d ze n ie 11. Metryka metody ogólniejszej jest słabsza.
Tw ie r d ze n ie III. Wiech A i В będą dwiema metodami permanentnymi i ciąg
łymi. Jeżeli metoda В jest ogólniejsza od metody A , to każdy ciąg ograniczony limeso
walny metodą A jest limesowalny metodą В do tej samej liczby.
Dowody tych twierdzeń zostaną podane w Studia Mathematica, tom 14.
29. IY. 1953. L. Wł od.arski, TAmesowalność ciągów ograniczonych przez metody ciągłe. -
Terminologia jest taka sama jak w referacie Doskonałość metod ciągłych limesowal
ności w zakresie ciągów ograniczonych z dnia 13. IV . 1963.
Tw ie r d ze n ie IV . Jeżeli metoda ciągła i permanentna A limesuje tylko ciągi ograniczone, to limesuje tylko ciągi zbieżne.
Tw ie r d ze n ie V . Niech А г В bądą dwiema metodami ciągłymi. Jeżeli każdy ciąg ograniczony limesowalny metodą A jest limesowalny metodą B, to jest limesowalny me
todą В do tej samej liczby, co metodą A.
Oddział Ł ód zk i 187
U w aga. Z twierdzenia V wynika twierdzenie III podane w referacie Doskonałość metod ciągłych Umesowalności w zakresie ciągów ograniczonych.
Dowody tych twierdzeń będą podane w Studia Math., 14.
Oddział Poznański
13. III. 1953. В. Taber ski , Przegląd najnowszej czeskiej literatury matematycznej.
13. III. 1953. E. T a ber.ski, Twierdzenia Cauchy*ego dla ciągów a re
guły V Hospitala.
Autor podaje jednolity dowód reguł PHospitala
r / М Г П ® ) I I ,
lim — — = lim —--- w przypadkach
x->x0 g{%) x-+xag (ж)
0 . O G
0 ' oo ’ oparty na następujących twierdzeniach Cauchy'ego:
Jeżeli 1° lim nn = 0,
OO
2° lim vn — 0, gdy vn jest ciągiem ścisłe monofonicznym,
n-*-oo
albo jeżeli
1° un jest ciągiem dowolnym,
2° vn jest ciągiem rosnącym oraz lim vn = oo,
n —>00 wówczas
Jim — = lim u o o Vn » —> o o
przy założeniu, że prawa strona istnieje.
Z dowodu tego wynika, że drugą regułę PHospitala (przypadek oo/oo) można nieco uogólnić przez pominięcie założenia lim f(x) — oo. Uogólniona reguła znajduje
*-*■*<,
zastosowanie m. in. przy dowodzie twierdzenia o związku asymptoty ze styczną.
13. III. 1953. J. K o p e ć , O rozwinięciach Peano i Taylora.
Autor zwraca uwagę na korzyści zastosowania rozwinięcia Peano przy badaniu ekstremów (słabsze założenia) i wyprowadzaniu równania płaszczyzny ściśle stycznej oraz podaje uproszczone wyprowadzenie wzoru Taylora z resztą w postaci całkowej.
20. III. 1953. M. B i e r n a c k i (Lublin), O pochodnych logarytmicznych funkcji silnie rosnących.
Autor dowodzi następującego twierdzenia:
Jeśli A (x ) jest funkcją dodatnią, niemalejącą, ciągle różniczkowalną i nieograni
czoną dla x ^ x 0 i jeśli у {%) spełnia dla x ^ x Q nierówności
«(")
0 < --- < A (x), У
y > 0, y' > 0 , . . . , 0 г
188 Sprawozdania z posiedzeń naukowych P T M
to dla x > x i zachodzą nierówności
V—
У
i/(k)
-— < n(n - 1 ) ... (к + 1) |>1 ( x ) f ln,
У
< n [A (x)}H~Vn
У
Zagadnienie, ozy można zastąpić w tych nierównościach czynniki n n przez stałe bezwzględne, jest nierozwiązane. Autor dowodzi, że w przypadku n — 2 dają się one zastąpić przez 1. W przypadku n = 3 otrzymuje ten sam wynik, zakła
dając, że iloraz A ' / A jest niemalejący, a czterokrotnie różniczkowalna funkcja у (ж) spełnia równanie у ф — А( х ) у . Jeśli ponadto A' fA- ^- oo, to dla x dostatecznie dużego zachodzą nierówności
Dowody tych wyników ukazały się w pracy Sur la derivee logarithmique des integrates des equations diffórentielles linćaires Annales U M C S , s. A6 (1952), str. 55-63.
9. IV. 1953. J. Ł oś (Toruń), O problemach algebry ogólnej.
Problematyka algebry ogólnej ze szczególnym uwzględnieniem algebraicznych zastosowań twierdzenia Godła o pełności węższego rachunku funkcyjnego.
17. 1Y. 1953. J. K u r z w ell (Praha), O metrycznej teorii przybliżeń diof antycznych.
8. Y. 1953. M. A l t m a n (Warszawa), Twierdzenie ergodyczne w prze
strzeniach liniowych.
21. V. 1953. A. S c h ó n h u b e r , Z zagadnień dydaktyki matematyki w szkołach inżynierskich -
23. Y. 1953, J. K r z y ż (Lublin), O pewnym twierdzeniu Laskera.
Jeśli U n j. 0 i szereg £ b nTJn jest zbieżny, to (&i + ba + . . , + bn) Z7->0.
W przypadku Ьп= ± 1 twierdzenie to zostało udowodnione przez L a s k e r a . Analogiczne twierdzenie można udowodnić dla całek.
Jeśli
1° U (x) | 0, gdy x —> oo,
2° funkcje b(x) i TJ {x) są sumowalne w każdym skończonym przedziale (0 ,A),
A
3° istnieje granica lim J b(x) U (x), " ' .
A—>oo o П
X
Podobnie można udowodnić twierdzenie:
U <1 dział W я r « z a w s к i 189
Jeśli-ciąg {£7*} jest monofoniczny i nie dąży do zera, a szereg £ bn Uń j.es( zbieżny, t° (bn + bn+1 + . ..) U n-+Q.
Analogiczne twierdzenia można udowodnić dla całek.
Dowody zostały podane w pracy autora On monofonity-preserving transforma
tions, Annales U. M. C. - S. 6 (1962) str. 91-111.
23. Y. 1953. P. S o s z k o , O wpływie materializm,u francuskiego na nauczanie geometrii w połowie X V I I I wieku.
Prelegent omówił znaczenie Elementów E u k lid e s a jako podręcznika do naucza
nia geometrii w różnych epokach, oraz przedstawił poglądy d 'A le m b e r t a na nalicza
nie geometrii.
Oddział Toruński
2. III. 1953. A. Śnią ty cki, Aksjomatyka geometrii płaszczyzny w opar
ciu o przeliczalnie addytywną algebrę Boole’ a.
Za elementy pierwotne przyjmuję półpłaszczyzny. Zakładam, że półpłaszczyzny spełniają aksjomaty algebry Boole’ a. Przyjmuję następujące cztery aksjomaty:
A l . J e ż e l i A je s t p ó ł p ł a s z c z y z n ą , to i A ' je s t p ó łp ła s z c z y z n ą .
A2. D l a trzech n i e p u s t y c h o b s z a r ó w X , Y i Z z a c h o d z i a lte r n a ty w a w y ł ą c z a j ą c a :
1° I s t n i e j e ta k a p ó lp ła s z c z y z n a A , ż e ż a d e n z o b s z a r ó w A X , A ' X , A Y , A ' Y , A Z i A ' Z n i e je s t p u s t y; 2° i s t n i e j ą ta k ie tr z y p ó ł p ł a s z c z y z n y А , В i G , że
X A ' + ( Y + Z ) - A + Y B ' + ( X + Z ) - B + Z C ' + ( X + Y ) - C = 0.
A3. J e ż e l i dla d o w o l n y c h p ó łp ła s z c z y z n А , В , C i D je s t ( A B C - \ - A ' B ' C ' ) D = 0,
* to A B C = 0 hib A ' B ' C ' = 0.
A4. J e ż e l i dla czterech r ó ż n y c h p ó łp ła s z c z y z n je s t ( A B ' A ' B ) - ( O D ' - \ - 0 'D ) = 0, to A B ' G + A ' B C = 0 lub A B ' C ' + A ' B O = 0.
Na podstawie tych aksjomatów dowodzę aksjomatów połączenia geometrii płaszczyzny podanych przez H i l b e r t a .
11. IY. 1953. W. W it a s z e k , O pewnych ciałach liczbowych określo
nych macierzowo.
Referat dotyczył reprezentacji macierzowej liczb algebraicznych należących do ciała K d , gdzie x — d = 0 i działań na tych ciałach oraz przejścia do reprezentacji liczb zespolonych.
17. IY. 1953. S. D r o b o t (Wrocław), O podstawach, i zastosowaniach analizy wymiarowej.
Praca ukaząła się w Studia Mathemątića, 14 (1963), str. 84-99.
8. Y. 1953. W. W i t a s z e k , O zastosowaniach reprezentacji pewnych ciał liczbowych do rozwiązywania równań.
Referat dotyczył reprezentacji macierzowej równania zredukowanego i macierzy pomocniczej, których iloczyn ma elementy będące rozwiązującymi Lagrange’a.
12. Y. 1953. S. B a l c e r z y k , O pewnej własności podgrup grupy addy- tywnej liczb wymiernych.
12. Y. 1953. J. Łoś, O wstępujących ciągach grup uporządkowanych.
Sprawozdania z posiedzeń naukowych P T M
190
Tw i e r dz e n i e. S u m a w s tę p u ją c e g o c ią g u g r u p d a j ą c y c h s ię u p o r z ą d k o w a ł d a je s i ę u p o r z ą d k o w a ć .
12. У. 1953. J. Łoś, 0 rozszerzaniu modeli.
Praca ukaże się w Fund. Math., t. 42.
22. V. 1953. J. Łoś, O rozszerzaniu modeli.
22. Y. 1953. J. C z a j k o w s k i i T. Tietz, O pewnym równaniu róż
niczkowym.
Zob. niniejszy zeszyt Wiad. Mat. str. 162-164.
16. VI. 1953. E. M a r c z e w s k i (Wrocław), 0 procesach stochastycznych.
Oddział Warszawski
9. I. 1953. B. M a r c z y ń s k i , Uniwersalne elektronowe maszyny ma
tematyczne.
16. I. 1953. M. Fisz, Rozkłady graniczne sum niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie dwupunktowym.
Praca ukaże się w Wiadomościach Matematycznych.
23. I. 1953. K. Z a r a n k i e w i c z , O pewnym zagadnieniu P. Tarana.
Niech A = ( a1 , a 2 , . . . , a p) i B — ( b 1, b z , . . . , b t ) będą odpowiednio p-punktowym i <7-punktowym podzbiorem płaszczyzny euklidesowej. Rozważamy wszelkie możliwe takie układy łuków o końcach w punktach a t , bf , żc żadne trzy luki układu nie mają wspólnego punktu wewnętrznego. Niech K { p , g ) oznacza najmniejszą możliwą liczbę punktów przecięcia się tych łuków, a L ( p , q ) najmniejszą możliwą ilość obsza
rów, na jakie te luki rozcinają płaszczyznę.
Autor dowodzi, że
K ( 2 k , 2 n ) — (к2 — k ) ( n 2 — «),
K ( 2 k , 2 n + 1) = (k* - k ) n \ K ( 2 k -f l,2w -f 1 ) = fcaw*,
L { p , q ) — К ( p . q) + (p - 1 ) ( q - 1)1-1.
Dowód został opublikowany w Fund. Math. 41 (1954), str. 137-145.
23.1.1953. A. M o s t o w s k i , Dwie uwagi o wielomianach w ciałach abstrakcyjnych.
13. III. 1953. B. H a m p e l , Długość okresu reszt liczb nn(n = 1 , 2, .. .) według dowolnego modułu m.
Celem pracy jest znalezienie długości najmniejszego okresu Sm w ciągu reszt, modulo m liczb n n ( n ~ 1 , 2 , . . . ) . Załóżmy, że
к
(1) m П p 'li ■
i^i '
Mamy wtedy
к к
w|*VJ W(P^)\ •П Pi 9 (иг) n Pt
1 г=1 /=г
= \Pl9 (/>“ )} ,
Dokładnie
gdzie {^ (р "г)} oznacza n. w. w. liczb q>(pai) ( l = l , 2 , . . . , k ) , a <p(m) oznacza funkcję Oaussa. Okres 8 m daje się prościej napisać w przypadku m == pa i m = 2pa, gdzie p jest liczbą pierwszą. W tedy 8 m= p a{p — \)._
Okres jest czysty w przypadku, gdy р ^ а , (г — 1,2, , к), a mieszany w przy
padku przeciwnym; wystarczy wtedy rozpocząć okres od л = т а х а ( .
W szczególności wTynika stąd, że dla modułów m —pa i m — 2pa (рф2) okres jest czysty dla p ^ a a mieszany dla p < a .
Dokładnie, jeżeli oznaczymy liczbę
i - ft[ i + j s ( - 3 ]
przez nap , okres zaczyna się we wszystkich przypadkach od n=*m axłie 2, ( i— l,2,,..,k).
20. III. 1953. M. Fisz, Rozkłady graniczne sum niezależnych zmien
nych losowych o dowolnym jednakowym rozkładzie r-punktowym ( r ^ 2).
Praca ukazała się w Bulletin de l’Acad. Polonaise des Sciences 1 (1953), str.
2 3 5 - 2 3 8 oraz w Studia Math. 14 (1954), str. 111-123.
27. 111^1953. J. II. 0. W h i t e h e a d (Oxford), Pienvsze przybliżenie do teorii homotopii.
10. IV. 1953. T. Leżaiiski, Teoria Fredholma rów nań linio wy eh w prze
strzeni ach Banacha.
Eozważamy:
1. Ustaloną (B)-przestrzeń A",
2. Ustalony domknięty podzbiór liniowy E przestrzeni X wszystkich funkcjo
nałów liniowych na X ,
3. Ustalony liniowy podzbiór domknięty ft (B)-przestrzeni wszystkich operacji liniowych z E do E,
4. Ustaloną operację liniową Т е й ,
5. Ustalony funkcjonał liniowy F określony na SI.
Użyjem y następujących oznaczeń: Jeżeli x e X i <peE, to <px jest wartością funkcjo
nału w punkcie x. Jeżeli К jest operacją liniową z E do X (lub do E), to K<p jest war
tością odwzorowania К w punkcie ip. W konsekwencji K<px jest wartością funkcjonału K<p w miejscu x. Wyrażenie K<px może być intepretowane jako funkcjonał dwuli- niowy na produkcie kartezjańskim E x X . Odwrotnie, każdy funkcjonał dwuliniowy K<px na Я х ! może być interpretowany jako operacja liniowa К z E do X , w szczegól
ności do E. Będziemy mówili zawsze o operacjach liniowych z E do E, jakkolwiek te operacje będą często określane przez funkcjonały dwuliniowe na E x X .
Superpozycję dwóch operacji К 1, К 2е й będziemy oznaczali K 1K 2. Wyraże
nie K xK 2yx należy czytać: {К гК 2)(рх.
Zakładamy, że spełnione są następujące warunki (K) i ( F ) : л
(К) Odwzorowanie identyczne I z E do E należy do й. Jeżeli К 1, К г ей , to К , К 2ей.
Jeżeli К ей i jeżeli х 0е X , у 0е Е są ustalone, to operacja liniowa M
My>y = Ky>x0 • dla y e A i y>e£
należy również do Л, oraz
(F) F { M ) = K T <p0x 0 .
192 Sprawozdan ia z posiedzeń naukowych P T M.
Przyjmiemy następujące oznaczenia: Jeżeli В ((рг, . . . , <pn, х г, . . . , x j , . . . , pn) e £ ; x l f . .. ,x ne X jest takim funkcjonałem, że dla ustalonych. <рг, .. , ,ср._г ,(р4+1, . .. ,<pn,
x)_ 1,x )+1, . . . , x n operacja liniowa M :
<Pi®i = В {<pt, . . . , <pn , Хг, . . . , x j
należy do й, to F(plxj{B(<p1,...,q ?n, x 1, . . . , x n)} oznacza liczbę F (M ).
Będziemy rozważali równanie liniowe
(1) ( I -f T)<p = гр0,
gdzie уз0еЕ, a rozwiązanie cp powinno też należeć do E.
(<Pl, . . • 9(f \
“ } rozumiemy war-
! ' • • ) Xn I
tość wyznacznika \{К(р^)\, gdzie i , / = 1,2, . . . , n.
Określamy wyznacznik T> (I -f T) równania (1) oraz jego podwyznaczniki D p (I -f- T) w następujący sposób:
d f o o
D { I + T ) = £ F V i V i ■ ■ ■ F Ч>ЯУ Я
q = 0
d f oo
T)p (I -f T) = 21 J?Vi У1 • • • Уп
« = o y1,x l , . . . , x j \ ' Oczywiście, D p{I-\-T) jest funkcją zmiennych
Rzędem operacji 7-f-T nazywamy najmniejszą liczbę naturalną p, dla której 1)рЦ + Т)ф О .
Przy tych oznaczeniach prawdziwe są następujące twierdzenia analogiczne do twierdzeń Fredholma:
Tw i e r d z e n i e 1. Jeżeli operacja I-\-T jest rzędu p >0, to istnieją g i,g2, • • .,g peE, stanowiące bazę zbioru liniowego rozwiązań równania jednorodnego <p-\-T<p— 0.
Tw i e r d z e n i e 2. Jeżeli operacja I + T jest rzędu p > 0, to istnieją takie Wx, F i , . . . . . . , xPpe E, że równanie (1) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy Ч*рра = 0 (i = l ,2, . . . ,p).
(cpx, ..., (p \\ ^ 0 ( T ~ u s t a - xx, . . . , x pf
lone), to gx,g i , . . . , g p,4J1,4J г ,...,Ч * р określa się efektywnie przez gx,g 2... gp oraz x 1,x i , . . .
/ V
Tw i e r d z e n i e 3. Równanie (1) ma rozwiązanie dla każdego y>0eE wtedy i tylko wtedy, gdy D { I - \ - T ) ^0.
Tw i e r d z e n i e 4. Jeżeli operacja I -j -T jest rzędu p, to lF i , F 2 . , Wp stanowią bazę zbioru rozwiązań równania jednorodnego xF -\ -T W ~ 0.
Specjalizując przestrzenie 7 i 2 otrzymujemy warunki dostateczne, by dla równania liniowego <p-\-Tqp = y>0 (gdzie T jest operacją liniową z IPtJF,L, M , V , l , m ) do tejże przestrzeni) twierdzenia 1-4 były prawdziwe.
W przypadku, gdy X — l[m] i 3=т \У\, wymieniony wyznacznik jest uogólnie
niem pojęcia wyznacznika, który K o c h 2) wprowadził dla nieskończonego systemu równań liniowych o nieskończonej ilości zmiennych (definicja Kocha wymaga sil
niejszych założeń).
2) H. y. K o c h , Sur la convergence des determinants inf inis, Rendiconti del Circolo Mathematico di Palermo 28 (1909), str. 266-266.
Oddział War s z aws ki
Istnienie funkcjonału F spełniające warunek (F) gra zasadniczą rolę w naszej teorii równań linio wy cli. Funkcjonał F może być pojmowany jako uogólnienie śladu macierzy kwadratowej. Istotnie, w przypadku gdy X = l [ m ] , S = m [Z], operacje li
niowe K , T mogą być interpretowane jako pewne macierze nieskończone, a F { K ) jest wtedy śladem macierzy K T .
17. IY. 1953. W. P o g o r z e l s k i , Zagadnienie brzegowe Hilberta-Pri- w alow a.
24. IY. 1953. G. H a j ó s (Budapest), O problemie faktoryzacji grup.
8. Y. 1953. G. H a j ó s (Budapest), O wzorze Gaussa-Bonneta.
15. Y. 1953. J. Ł oś (Toruń), O produkcie mocnym grup cyklicznych.
15. Y. 1953. A. Włodzimierz M ost ow sk i, O bazach grup abelowych.
Szel e podał warunek ekstremalności zbioru Z generatorów grupy abelowej G, wystarczający na to, by zbiór Z był bazą w tej grupie. Warunek ten nie jest konieczny3).
W słabej sumie prostej CPl х C>2 х СРз x . . . , gdzie GPj są grupami cyklicznymi rzędu pierwszego pif P i < p 2< • • •, żaden zbiór generatorów nie jest ekstremalny.
Zmodyfikowany warunek Szelego daje następujące
Tw i e r d z e n i e.Zbiór Z różnych od zera generatorów grupy abelowej G jest bazą w G wtedy i tylko wtedy, gdy dla, dowolnych zbiorów skończonych X i Y , generujących tą samą podgrupą grupy G, zachodzą implikacje
X c N Z i Y CG pociąga moc X moc NY , X c S Z i YC SG pociąga П r ( x) ^ П r(y).
xeX yeY
• N i 8 oznaczają odpowiednio zbiór elementów rzędu nieskończonego i skończo
nego grupy G. Liczba r(x) (1< > (ж )^ о о ) oznacza rząd elementu x.
Z twierdzenia tego wynika w prosty sposób twierdzenie o istnieniu bazy dla grup abelowych o skończonej ilości generatorów.
22. Y. 1953. B. Si kors ki , O rozszerzaniu funkcjonałów.
Por. pracę autora On a theorem oj Mazur and Orlicz, Studia Ma*th. 13(1963), str. ,180-182.
29. Y. 1953. A. E h r e n f e u c h t , Dwa twierdzenia o grupach przemien
nych.
Element a grupy G nazywamy skończenie podzielnym, jeżeli równanie nx — a (n jest liczbą naturalną) jest rozwiązalne w G dla skończonej ilości n. J. H. C.
W h i t e h e a d postawił następujące pytania:
1. Czy grupa abelowa jest wolna, jeżeli każdy jej element różny od zera jest skończenie podzielny ?
Odpowiedź jest negatywna. Niech G będzie grupą abelową wolną o generato
rach а1, аг, . . . , a H jej najmniejszą podgrupą zawierającą elementy a4 — ai+1— 3aJ+2 (i = 1,2, . . . ) . W grupie ilorazowej G /H każdy element różny od zera jest skończenie podzielny, choć grupa ta nie jest wolna.
2. Czy grupa C^o (mocny produkt grup cyklicznych nieskończonych) jest grupą wolną ?
193
3) T. Sz el e, On direct sums of cyclic groups, Publicationes Mathematicae, Tom II, fasc. 1 (1951), str. 76.
Roczniki P.T.M.-Prace Matematyczne I 13
194 Sprawozdania z posiedzeń naukowych РТЫ
Odpowiedź też jest negatywna. Prawdziwe jest następujące
Tw i e r d z e n i e.Jeżeli G jest grupą abelową wolną, to dla każdego ciągu nieskoń
czonego elementów niezależnych al , a2). .. istnieje taki podciąg , a*-2 , . . i taki ciąg rosnący liczb pierwszych p l f p 2, . . . , że dla każdego a <sG istnieje liczba N, która spełnia następujący warunek:
Dla każdego układu skończonego liczb naturalnych n1, n2, . . . ,n,, jeżeli 1 > N i n. w. d. (nt ,p,) = 1, to równanie
jest nierozwiązalne w G.
Ponieważ dla O twierdzenie to jest fałszywe, więc O nie jest grupą wolną.
12. YI. 1953. J. K n r z w e i l (Praha), Z teorii aproksymacji w prze
strzeniach Banacha.
2. I. 1953. B. Kn as te r , O F-sigmach.
Por. pracę: B. K n a s t e r et M. R e i c h b a c h , Un lemme sur les F a, Fund.
Math. 40 (1953), str. 172- 179.
2. I. 1953. M. В eichl>a cli, O rozkładzie płaszczyzny na zbiory dom
knięte trójkami rozłączne.
Niech e > 0 . Autor podaje rozkład płaszczyzny euklidesowej na sumę ciągu zbiorów zwartych F t (tzw. dziedzin domkniętych) i = 1,2, . . . , które spełniają nastę
pujące warunki:
1. ó(F1ł) < £ dla i = 1,2, . . . , 2. d im (F iF #) ^ l dla ij=j,
3. F iF jF Je= 0 dla i ^ j , ji^k, ij=-k,
gdzie <5 (F) jest średnicą zbioru F , a dim F jest wymiarem zbioru F w sensie Mengera-Urysohna.
Jest to ilustracja pewnego wniosku z ogólnego twierdzenia, które ukazało się w pracy: B. K n a s t e r et M. R e i c h b a c h , Un lemme sur les F a, Fund. Math. 40
(1953), str. 172-179.
2. I. 1953. K. U r b an ik , O zagadnieniu P. Turana.
Dane są na płaszczyźnie dwa skończone zbiory punktów ax, a2, . . . , a n i bx, b2, . . . , bm.
Każdy punkt pierwszego zbioru jest połączony lukiem z każdym punktem drugiego zbioru tak, że przez każdy punkt płaszczyzny różny od ap (p = l , 2 , . . . , n ) i br ( r = l , 2 , . . . , m ) przechodzą co najwyżej dwa luki. Minimalna ilość punktów przecięcia tych łuków (bez punktów ap (p — l , 2 , . . . , n ) i br ( r = l ,2, . . . , m ) ) jest równa
gdzie [x ] oznacza część całkowitą liczby x.
9. 1 .1953. J. Ł u k a s z e w i c z i H. Steinhaus, O wyznaczaniu środka miedzi sieci telefonicznej.
Praca ta ukazała się w Zastosowaniach Matematyki 1 (1954), str. 299-307.
pt ( * ) = « + пхаьг + п га% + . . . + щац
Oddział Wrocławski
Oddział Wr ocł aws ki 195
9. I. 1953. Ы. Steinhaus, 0 punktach osobliwych trójkąta.
Punkt osobliwy P trójkąta A B G jest z definicji funkcją ciągłą f ( A , B , G ) nie
zmienniczą względem sztywnych ruchów trójkąta, refleksji i homografii. Jeżeli za
żądamy niezmienniczości afinicznej, to P okaże się środkiem ciężkości punktów A , B , C . Oznaczmy przez I, II, III wierzchołki, a przez х г, х 2, х3 długości przeciwle
głych boków dzielone przez obwód. Określmy P jako środek mas g{xt) umieszczonych w odpowiednich wierzchołkach, gdy g(x) jest funkcją dowolną. Dla <7=51 otrzymamy środek ciężkości, dla g = x otrzymamy środek koła wpisanego itd. Tą drogą otrzymuje się także nietrywialne punkty osobliwe.
Z a g a d n i e n i e . Czy istnieje punkt osobliwy, tzn. funkcja f ( A , B , C ) spełniająca warunki podane na początku, różny od środka ciężkości wierzchołków i taki, żeby związki
P = f ( A , B , G ) , A ' —f { P, B, G) , B ' = j ( A , P , G ) , G ' = f ( A , B , P )
pociągały zawsze za sobą P = j ( A ' , B' , G' ) t
1 6 .1 .1953. E. Ma rc z ews ki , O różnych rodzajach zbieżności zmień- mych losowych.
Por. Remarks on the convergence oj measurable sets and measurable functions, Coll. Math., w przygotowaniu.
16. I. 1953. J. M y ciel ski, O zbiorach z osobliwymi własnościami izometrycznymi.
Praca ukaże się w Fund. Math. 41 (1954).
23. I. 1953. W. Ś łeb o (lz i riski, O geometryzacji równań Maxwella.
3 0 .1. 1953. H. St ei nhaus, O liczbach przetasowanych.
Liczby przetasowane od 0000 do 9999 jest to tablica obejmująca wszystkie liczby naturalne (i zero) do 9999 włącznie, każdą tylko raz, a otrzymana przez przemie
szanie tych liczb, określone bez wprowadzenia losu. Tablica ukazała się w Rozpra
wach Matematycznych Inst. Mat. P A N jako tom V I.
30. I. 1953. H. St einhaus, Zastosowania geometryczne twierdzenia Brouwera o punkcie stałym.
Istnieje zawsze do danej bryły wypukłej i danego punktu wewnętrznego P taki przekrój plaski 8 przez P , że środek ciężkości 8 leży w P . Istnieje zawsze taki przekrój 8 , że jego środek ciężkości schodzi się ze środkiem ciężkości jego brzegu.
Jeżeli na powierzchni wypukłej W określimy antypodyzm, to jest taką funkcję ciągłą /(P ) (antypodę P), że f ( P ) ^ P i / ( / ( P ) ) = P dla każdego P , to proste łączące pary an- typod wypełnią cały obszar zamknięty przez TF. (Praca ukaże się Fund. Math. 41)
20. II. 1953. J. Ł u k a s z e w i c z i H. St einhaus, O wyznaczaniu środ
ka miedzi sieci telefonicznej.
C. d. referatu z dn. 9. I. 1953.
20.11.1953. S. Z u b r z y c k i i J. Oder fel d, O sprawdzaniu wodo
mierzy.
Praca ukazała się w Zastosowaniach Matematyki 1 (1954), str. 125-137.
20. II. 1953. H. St ei nhaus, O sumowaniu metodą Poissona.
Jeżeli ciąg ograniczony jest limesowalny do liczby L metodą Abela-Poissona, to jest limesowalny do L metodą C l, tzn. zbieżny średnio do L (i na odwrót).
13*
196 Sprawozdania z posiedzeń naukowych P T M
Dowód opiera się na pewnym twierdzeniu Littlewooda i na lemacie 0 . Sz a s z a , którego inny dowód P. T u r a n a ukaże się w Coll. Math. Po wygłoszeniu odczytu okazało się jednak, że twierdzenie ukazało się wcześniej w książce H a r d y ’ego Divergent Series.
20.11.1953. W. W o l i b n e r , Wyznacznikowy warunek konieczny i do
stateczny, żeby dwie liczby były względnie pierwsze.
24. II. 1953. W. Ś l e b o d z i ń s k i , Dzieło naukowe Kazimierza Żoraw- skiego.
Referat zostanie opublikowany w Coll. Math, i Wiadomościach Matematycz
nych.
27. II. 1953. 8. Z u b r z y c k i , Uwagi o zdarzeniach równoważnych.
Praca ukaże się w Studia Math.
27. II. 1953. J. Mi kusi ński , O obrotach czworościanu na płaszczyźnie.
27. II. 1953. E. P ie g at , O podobnych klasach zbiorów.
Praca w przygotowaniu dla Wiadomości Matematycznych.
27.11.1953. J. M y c i el s ki , O twierdzeniu równoważnym z twierdze
niem o czterech barwach.
27. II. 1953. J. M y c i el s ki , Czy są takie kwadraty o boku co najmniej 4, że wszystkie punkty kratowe w ich wnętrzu mają współrzędne względnie pierwsze
6. III. 1953. M. E e i c h b a c h , Uogólnienie twierdzenia Cz. Kylla-Nar- dzewskiego o jednorodności zbioru Cantor a.
Wyniki ukazały zię w pracy: B. K n a s t e r et M. R e i c h b a c h , Notion d’ homo- genćite et prolongements des homeomorphies, Fund. Math. 40 (1953), str. 180-193.
0. III. 1953. H. Stei nhaus, O obrotach czworościanu na płaszczyźnie.
B. K n a s t e r postawił zadanie (ogłoszone w nr 3 (25) Matematyki, str. 54, za
danie nr 322) dotyczące toczenia czworościanu foremnego po płaszczyźnie. Toczenie oznacza tu przewracanie modelu dokoła krawędzi. Okazuje się, że tym sposobem można pokryć całą płaszczyznę i że to pokrycie jest jednoznaczne w tym sensie, że każdemu punktowi płaszczyzny odpowiada tylko jeden punkt powierzchni czwo
rościanu, który może nań paść. To toczenie definiuje zatem jedno-wieloznaczne od
wzorowanie płaszczyzny na czworościan i to takie odwzorowanie, które lokalnie ma charakter przystawania. Obraz płaszczyzny pokrywa nieskończenie wiele razy czworościan i daje na niej model powierzchni Riemanna; oczywiście ta powierzchnia Riemanna już jest jedno-jednoznacznie odwzorowana na płaszczyznę. Pod wzglę
dem topologicznym, tj. pod względem połączenia płatów, ów model nie różni się od powierzchni Riemanna, odpowiadającej funkcji eliptycznej w = w(z) określonej przez
z jest tutaj zmienną zespoloną przypisaną płaszczyźnie (w zwykły sposób), а го zmienną przypisaną sferze przez rzut stereograficzny płaszczyzny, opisanej (w zwykły sposób)
W
Oddział Wrocławski 197
przez w, na ową sferę. Powierzchnia wielolistna powstająca na sferze przez odwzof rowanie na nią płaszczyzny z jest zbudowana tak, jak wyżej opisane nawinięcie płaszczyzny na czworościan; rolę krawędzi czworościanu gra tu 6 łuków na sferze (te łuki można określić przez centralną projekcję krawędzi czworościanu umiarowego wpisanego w sferę, jeżeli gx i g2 są odpowiednio dobrane).
6. III. 1953. M. W ar mus, Rozwiązanie zagadnienia J. Mycielskiego.
J. M y c i e l s k i postawił zagadnienie: Czy istnieją dla n > 2 takie kwadraty utwo
rzone z punktów (x , y }) o współrzędnych naturalnych f
(la) = ( Щ yf = Vi-i + l ( M = 2 , 3 , . . . , » ) , że między parami liczb xi , y j nie ma pary liczb względnie pierwszych.
Można łatwo dowieść, że dla każdego naturalnego n istnieje nieskończenie wiele kwadratów o żądanej właściwości. Mianowicie niech
(2) xt = а, П 1>ц , у , = Ь, П у ц {i,j = 1 , 2 , . . . , n),
£ - 1 i = l . . .
gdzie py są doAvolnie wybranymi różnymi liczbami pierwszymi. Dowolna para liczb (%i,yj) ma wspólny dzielnik wystarczy jeszcze dowieść, że istnieją liczby natu
ralne a., bj , dla których spełnione są warunki (1). Po телу aż dla r ~ 1,2, . . . , n — 1 liczby
n n
П P r j i P r+ \ — П V r + l ,i
są лvzględnie pierwsze, więc istnieją takie naturalne cr^x i dr, że
(3) <>г+1р г + г - drp r = 1-
Warunki (la) będą zatem spełnione, jeżeli uda się znaleźć takie naturalne cr,dr spełniające (3), że
(4) cr = dr dla r = 2 , 3 , . . . , n — 1, i w (2) przyjmie się at = et= d t.
Że^takie liczby cr,dr można dobrać, doyyodzi się przez indukcję. Niech miano- лукче
c2P2 dxPi — 1 i c3 p3 d 2Рг ^ 1 * A zatem dla każdych naturalnych m x i m 2
e2P 2 — dxP x = 1 i C3P3 — d2P 2 — 1, jeżeli
c2 = c2 + miPi> dx = dx -f mxP 2, c3 = c3 + m2P 2, d2 = d 2 + m2P 3.
A by równość (4) była spełniona dla r = 2, wystarczy, by c2 -f mxP x d2 + m2P 3 czyli m 1P 1 — m2P 3 =• d2 — c2.
Ponieważ P x i P3 są względnie pierwsze, można zawsze dobrać takie naturalne m x i m2, aby ostatnia równość była spełniona.
Załóżmy teraz, że równość (4) jest spełniona dla r = 2 , 3 , . .. , &. Dowiedziemy, że można wtedy tak dobrać współczynniki cr i dr, aby równość (4) była spełniona
198 Sprawozdania z posiedzeń naukowych P T M
Ala r = 2 , 3 , . . . , f c + l. Niech cr+1Pr+1 — drPr = 1 dla r — 1, 2 , . . . , fc-f 1 oraz cr = dr dla r = 2 , 3 , . . . , & .
Aby równość (4) była spełniona dla r = 2 , 3 , . . . , 1, wystarczy wziąć
m 1+1 _ m *+1
cr+x= cr+1 "Ь p ‘ П Pj i dr — dr -f- — 77 P ( (r = 1,2, . , . , &)-.
r+1 i “ l U -
C* + 2 = CAH-2 “ t“ Ш ’ Ufc+1 ’ ^fc +l = * k + l *ł“ m ' U fc+2
i tak dobrać liczby naturalne m i m, by
к _
C* + l ~ Ct + 1 m П P j = d jt+ i + m P/c+ 2 ~ d)c+1*
1 = 1
czyli
» * Я к
co jest zawsze możliwe, bo liczby П P { i Pł+2 są względnie pierwsze.
i=i
Współczynniki bf we wzorze (2) dobiera się analogicznie.
Dla n — 4 można podać następujący przykład:
a?1 = 10018583223 = 10468739 • 3 • 11 • 29, x 2 = 10018583224 = 12430004 • 2 • 13 • 31, ж3 = 10018583225 = 732085 • 5 • 7 • 17 • 23, ж4 = 10018583226 = 87882309 • 2 • 3 • 19, yx = 5210458824 = 37756948 • 2 • 3 • 23, y2 = 5210458825 = 383545 • 5 • 11 • 13 • 19, y3 = 5210458826 = 5284441 • 2 • 17 ■ 29, у4 = 5210458827 = 8003777 • 3 • 7 • 31.
13. III. 1953. J. Mi к u si ń ski, Kiedy aproksymacje Newtona dają dla ]/n redukty ułamków łańcuchów у cli.
13. III. 1953. A. Zi ęba, Uwagi o twierdzeniu o punkcie stałifm.
20. III. 1953. B. K n a s t e r i K. Ur bani k, O przestrzeniach zero-wy-
miarowych. '
Por. pracę: B. K n a s t e r i K. U r b a n i k , Sur les espaees complets separa- bles de dimension 0, Fund. Math. 40 (1953), str. 194-202.
20. III. 1953. H. St ei nhaus, O odległości obszarów roślinnych.
20. III. 1953. H. St ei nhaus, Byspersjometr.
Autor zaprojektował prosty instrument do obliczania wyrażenia cn\/ x\ + a?2 + • • • + a £ ważnego w praktyce statystycznej. Model znajduje się w Inst. Mat. P A N (OGrZ), a opis ukazał się w Zastosowaniach Matematyki 1 (1954), str. 321-329.
24. III. 1953. J. H. C. W h i t e h e a d (Oxford), m-fields on Sn.
10. IV. 1953. J. Ł oś (Toruń), O wzrastających ciągach grup upo
rządkowanych.
