problemów wyrównawczych

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMA TYCZNEGO SERIA Ili: MATEMATYKA STOSOWANA III (1974)

Zofia KORDYLEWSKA, Jerzy KORDYLEWSKI i Teresa STYRYLSKA (Kraków)

Wyznaczanie

błędów średnich

przy

rozwiązywaniu

problemów wyrównawczych

O. Wstęp. Problem wyrównywania obserwacji ^metodą najmniejszych kwadratów jest jednym z podstawowych problemów obliczeniowych i występuje niemal we wszystkich dzie- dzinach wiedzy. Dlatego też liczni autorzy zajmują się tym zagadnieniem. jednak istnie-

jąca literatura nie wyczerpuje w ^pełni zagadnienia, pozostawiając istotne luki, zwłaszcza odnośnie wyznaczania błędów średnich. Wielu autorów bowiem, ogranicza ^się jedynie do wyprowad:l.enia wzorów na wyznaczanie poprawek lub wyrównanych spostrzeżeń czy też niewiadomych, nie rozważając wcale lub rozważając tylko ^częściowo sposób

postępowania dla uzyskania błędów średnich tych wielkości. Tymczasem uzgodnienie spostrzeżeń, polegające na wyznaczeniu wartości poprawek i wyrównanych spostrze:leń oraz ewentualnie niewiadomych, nie przedstawiając na ^ogół specjalnych trudności, rozwią­

zuje tylko częściowo problem wyrównawny. Koniecznym i znacznie trudniejszym zadaniem jest charakterystyka stopnia dokładności wyników, którą osiąga się przez wyznaczenie błę­

dów średnich.

Należy także pamiętać o tym, że przy rozwiązywaniu problemu nie zawsze wystarcza ogra-

niczt;~ie się do wyznaczenia błędów średnich poprawek, wyrównanych spostrzeżeń, czy nie- wiadomych. Może to być wystarczające jedynie wtedy, gdy chodzi tylko o określenie dokład­

ności uzyskanych .wielkości. W praktyce jednak bardzo ^często istnieje konieczność dodatko- wego wyznaczenia różnych wielkości pochodnych, będących funkcjami poprawek, wyrówna- nych spostrzeżeń i niewiadomych, przy ^czy~ zmienne te mogą występować łącznie. Stosowa- nie tu wprost prawa przenoszenia błędów nie byłoby poprawne, gdyż zmienne te zależąc od

spostrzeżeń nie są niezależne i uzyskane oszacowania byłyby błędne. Tak więc rozwiązanie

problemu powinno zawierać dodatkowo wzory na wielkości umożliwiające obliczanie błędów średnich funkcji wyznaczanych wielkości.

Niniejsza praca ma na celu przynajmniej częściowe uporządkowanie bogatego ^już mate-

riału dotyczącego problemów wyrównawczych oraz wypełnienie istniejącej luki, przez poda- nie pełnych wzorów na rozwiązanie zagadnienia wyrównywania spostrzeżeń bezpośrednich

zawarunkowanych z niewiadowymi, spełniającego przyjęte założenia (rozdział l ). Przypadek ten obejmuje również wyrównywanie spostrzeżeń pośrednich oraz wyrównywanie spostrze-

żeń bezpośrednich zawarunkowanych ^(rozdział 2). Po porównaniu uzyskanych wyników z

istniejącymi dotychczas rozwiązaniami (rozdział 3), na zakończenie, podane zostały dane o programie obliczeniowym dla elektronicznej maszyny cyfrowej ZAM 41 (rozdział 4 ).

Rachunek wyr6wnawczy wymaga by równania warunków były w postaci liniowej. Ni- niejsza praca dotyczy przypadków, gdy równania te są liniowe lub ich zlinearyzowanie jest

możliwe i rozważania przeprowadzono dla równań już uprzednio sprowadzonych do posta- ci liniowej.

W pracy posłużono się symboliką rachunku macierzowego, przyjmując dla ułatwienia zasadę oznaczania macierzy dużymi literami (wyjątkiem jest T oznaczające transponowanie),

[59)

wektorów (macierzy jednokolumnowych) - ^małymi literami, skalarów - literami greckimi.

Ponieważ jednak większość zastosov.·ań rachunku wyrównawczego ujęta jest w posta.ci kra- kowianowej, podano dodatkowo (rozdział 1.5) zasadnicze wzory w symbolice rachunku krakowianowego ([ 1 ]). Dla oznaczenia krakowianów przyjęto półgrube litery (wyją;tkiem

jest T oznaczające krakowian jednostkowy lub transponowanie).

1. Spostrzeżenia bezpośrednie zawarunkowane z niewiadomymi. Z wyrównywaniem

spostrzeżeń bezpośrednich zawarunkowanych z niewiadomymi mamy do czynienia, gdy

wielkości obserwowane muszą spełniać pewne ^związki, a w związkach tych występują do- datkowo nieznane wielkości.

1.1. Sformułowanie problemu. Zagadnienie wyrównywania spostrzeżeń bezpośrednich

za warunkowanych z niewiadomymi ^można, w oparciu o ^metodę najmniejszych kwadratów,

ująć następująco:

Niech l oznacza wektor

v

spostrzeżeń o macierzy ^błędności F (macierz diagonalna stop- nia

v

o elementach przekątniowych dodatnich). Szukamy takich V poprawek v, dla których

(I) ^vT }J -² v = minimum

z równoczesnym spełnieniem przez

v

wyrównanych spostrzeżeń x określonych związkiem

(2) ^{X= [+V}

i przez

a

niewiadomych y układu A ^równań, tzw. warunków ścisłych,

(3) Ax +By= w

sprowadzonych do postaci liniowej, przy czym A jest ^macierzą A. X v, B jest macierzą A. X a, a w jest wektorem o A składowych.

Prócz poprawek v, wyrównanych spostrzeżeń x i niewiadomych y należy wyznaczyć błąd średni µ0 typowego spostrzeżenia (o błędności jednostkowej) oraz współczynniki G

(macierz symetryczna stopnia 2v + a) pozwalające na otrzymywanie błędności i błędów średnich funkcji liniowych poprawek, wyrównanych spostrzeżeń i niewiadomych. Wielkoś­

ci te umożliwiają również obliczenie błędności i błędów średnich poprawek, wyrównany_ch

spostrzeżeń i niewiadomych.

1.2. Założenia. W dalszym cią;gu będziemy oznaczać przez p(X) ^rząd macierzy X. W do- wodzie lematu będziemy korzystać - bez każdorazowego powoływania się - z podstawo- wych ^twierdzeń algebry liniowej, dotyczących istnienia rozwiązań układów algebraicznych

równań liniowych, w zależności od ^rzędów macierzy współczynników równań, a wdowo- dach twierdzeń - z zasad rachunku macierzowego. Wprowadzamy ponadto następujące założenia:

(i) Równania warunków są liniowo niezależne.

(ii) Niewiadome y ^są wyznaczalne jednoznacznie.

(iii) Warunek ( 1) ma istotny ^wpływ na rozwiązanie problemu.

(iv) Równania warunków nie ^pozwalają na wyznaczenie y dla dowolnego x.

Założenie (i) nie zawężając ogólności rozważań jedynie je upraszcza, ^gdyż nie trzeba

eliminować równań równoważnych, założenie (ii) zawęża rozważania jedynie do przypad- ków, w których występuje jednoznaczność rozwiązań, założenie (iii) ogranicza rozważania

jedynie do przypadków niebanalnych, w których proces wyrównywania ^występuje w istot- ny sposób, a założenie (iv) upraszczając rozważania wyklucza jedynie rozwiązania banalne

V= 0.

(4) (5) (6)

Błędy średnie dla problemów wyrównawczych

Pokażemy teraz, że słuszny jest następujący

LEMAT. jeżeli są spełnione założenia od (i) do (iv), to zachodzą związki:

a< X< v +a,

p(B) =a, p([A B]) ="A.

61

Do w.ód. Ze ^względu na rozmiary macierzy A i B, z założenia (i) wynika spełnienie związku (6 ), a z ^założenia (ii) - spełnienie związku (5 ). Równocześnie z ^założenia (iii) wy- nika, że odrzucenie warunku ( 1) musi spowodować niejednoznaczność rozwiązania proble- mu. Wobec tego, ze ^względu na postać związku (2), układ równań (3) traktowany oddziel- nie musi dopuszczać więcej niż jedno rozwiązanie x, y, czyli że

(7) p((A B])

<

v

+a.

Natomiast z ^założenia (iv) wynika, że istnieje takie

x,

iż układ równań

By =w

-Ax

nie ma rozwiązania y, czyli że

p(B)

<

X.

Stąd i ze ^związków (5), (6) oraz (7) wynika (4). To ^kończy dowód lematu.

Założenia od (i) do (iv) ^zostały tak dobrane, by bez istotnych ograniczeń gwarantowały jednoznaczność rozwiązania problemu. Z lematu wynika jedynie, iż związki (4), (5) i (6) są

warunkami koniecznymi istnienia jednoznacznego rozwiązania problemu. W niniejszej pra- cy ograniczamy się do przypadku najczęściej spotykanego w praktyce, gdy dodatkowo

A~V oraz gdy

(8) p(A)·= X

i wykażemy, że takie warunki ^są warunkami wystarczającymi.

1.3. Wyznaczanie poprawek, wyrównanych spostrzeżeń i niewiadomych. Pokażemy

teraz, że słuszne jest następujące

TWIERDZENIE 1. ^jeżeli zachodzi nierówność

(9)

a<

^A~

v

oraz są spełnione związki (5) i (8), to problem jest jednoznacznie rozwiązalny i (10)

( 11)

y = N-¹ BT M-¹ (w - Al), v=F²ATM-¹ (w -Al-By),

a x ^{może być} wyznaczone z wzoru (2), przy czym macierze symetryczne: M stopnia A i N stopnia

a

są określone wzorami:

(12) (13)

D o w ó d. Dla dowodu posłużymy się metodą nieoznaczonych czynników Lagrange'a.

Wprowadzamy pomocniczo A korelat k i szukamy minimum ^wyrażenia

vTF-²v + 2(w - ^{Ax -} By)Tk

przez przyrównanie do zera pochodnych cząstkowych względem zmiennych v i y po wyeli- minowaniu zmiennych ^x za pomocą związku (2). W ten sposób otrzymujemy dodatkowe równania:

(14) (15)

Z (14) otrzymujemy (16~

Eliminując x i v z ^równań warunków przez podstawienie (2) i (16) do (3) otrzymujemy

(1 7) ^{Al+ AF2 AT k} + By = w.

Wpwwadzając macierz M ^określoną przez (12), z (17) dostajemy

(18) Mk= w - Al - By.

Ze ^względu na rozmiary macierzy A oraz ^związki (8), (9) i (12), macierz M jest nieosobli- wa i istnieje M-1 . Zateri'I z (18) mamy

(19) k = M-¹ (w - Al-By),

skąd na podstawie (16) otrzymujemy (11). Podstawiając (19) do (15) otrzymujemy (20) B M ^{T -1 (} w - Al - By ⁾ = O.

Wprowadzając macierz N ^określoną przez (13), z (20) dostajemy

(21) Ny= BT M-¹ (w - Al).

Ze ^względu na rozmiary macierzy B oraz związki (5 ), (9) i (13), macierz N jest nieosobliwa i istnieje N-1 . Zatem z (21) wynika ( 1 O). Jednoznaczność rozwiązania problemu wynika ze sposobu otrzymywania wzorów (10) i (11 ). To ^kończy dowód twierdzenia 1.

Uwag a. Przypadek, gdy

A=

v może być rozwiązany prościej na innej drodze, ale uproszczone wzory można też otrzymać z twierdzenia 1 wykorzystując równość

(22)

M-1

= (A -

¹

l ^p-

^{2 A -1 .}

1.4. Wyznaczanie ^błędności i błędów średnich. Obecnie udowodnimy TWIERDZENIE 2. Niech

l/J

= 1;

^{V +}

^f~

^{X +}

1;

^{Y + l/J O}

będzie dowolną funkcjq ^liniową poprawek, wyrównanych spostrzeżeń i niewiadomych, o v współczynnikach

f ,

v współczynnikach

f

i

a

współczynnikach

f

oraz wyrazie wolnym

l/1

_{0 ,} a!{) niech oznacJa jej

błędność. Ponadt~

niech

będą spełnione latożenia

twierdzenia ^1.

Wówczas (23) gdzie

(24)

f

=

[!~ !~ 1;1r.

a {25)

przy czym (26) (27) (28) (29)

Błędy średnie dla problem6w wyrównawczych

CV= F² ATM-¹ (I - BN-¹ BTM-¹ )AF2 '

G _X = F2 - G _V' G _y =N-¹ _' G

=

-F2 ATM-1BN""1

xy

63

(f jest wektorem 2v +

a

współczynników, G _v i G _X . macierzami stopnia v, G _y ^macierzą stop- nia a, a G _xy macierzą v X a).

Do wód. Wprowadzamy tzw. macierze transformujące: Hv stopnia V, Hx stopnia V, H _y macierz

a

^X

v,

w ten sposób bv _•

(30) V= Hvl + kv,

(31)

(32) y=H l+k, _{y y}

Przv czvm wektorv k , k , k o odpowiednio • • • V X y ^V,

v, a

składowvch oznaczaJ· ą składniki • v,

x,

y niezależne od [. Wprowadzając ponadto H jako macierz (2v + a) X V określoną przez (33)

na podstawie (22), (24) oraz (30) - (33) otrzymujemy (34)

przy czym tjJ ₁ oznacza składnik niezależny od l. Z (34), na podstawie prawa przenoszenia

błędów, otrzymujemy {35)

Z (10) i (32) wynika, że

(36)

z (11 ), (30) i (32) wynika, że

(37)

a z (2), (30) i {31) wynika, Że

{38)

Określmy teraz macierz G zgodnie ze ^związkami (25) - (29 ). W oparciu o ^związki (33 ), (36), (37), (38), (12) i (13) można sprawdzić, ~e

G =HF²HT.

skąd na podstawie (35) wynika ('23). To ^kończy dowód twierdzenia 2.

Kolejne elementy z przekątnej macierzy G są wprost kwadratami ^błędności odpowied- nio: poprawek, wyrównanych spostrzeżeń, niewiadomych. Umożliwiają one, po wyznacze- niu błędu średniego µ0 typowego spostrzeżenia ze wzoru

(39)

otrzymanie błędów średnich poprawek, wyrównanych spostrzeżeń oraz niewiadomych, ja- ko iloczynów µ₀ i odpowiednich błędności.

1.5. Wzory krakowianowe. Po wprowadzeniu w miejsce wektorów i macierzy: l, F, v, x, y, A, B, w, M, N, fu' fx, fy, f, G, Gu, Gx' Gy' Gxy' odpowiednio krakowianów: ^ł[ I ,v) ,Ff v,v], v[l,v] • x[l ,v) • Y [1, a)• A [v, X)' 8 [a, X]• w[l, X]• M[ ~\X]•

Nr

^{a, a]• fu [ 1.} v] ,fx [ 1, v)' fy[l,a].f[1,2v+ a]• G[2v+ a,2v+ a]• Cv[V,V)' Gx[V,V)' Gy(a,a)• Gxy[ay] warunek (l)

przyjmie ^postać

(v • F-1 )2 =minimum, definicja (2) przyjmie ^postać

:1'

=

l +v, równania (3) przyjmą postać

X. TA + y. TB= w,

związki (5), (6) i (8) równoważne są stwierdzeniom, że odpowiednio krakowiany B,{A B}

iA są pełnej rangi, a ^związki (10) - (13) oraz (22) - (29) i (39) przyjmą postać:

y = (w - I ·TA) • M-1 • B · N-^{1 •} v =(w - I· TA - y ·TB)· M-¹ ·A· F2 ,

M = TA · F^{2 •} TA, N=B ·M-^{1 •} B, 1/J=f _U ·v+f ·x+f _{X y} ·y+l/I ₀

\fJ² =

f ·

G ·

f,

f = T {Tfu Tfx Tfy} ,

{

G O O }

G = O u Gx Gxy .

o

^TG _{xy y}

c

G = F 2 • TA • (T - TB. N-^{1 •} TB. M-^{1 ).}

j,r

^{1 • A . F2 •}

V

Btę_dy średm"e dla problemów wyrównawczych 65

G =F_X 2 - G _V' G =N-¹

y '

G xy

=

^{-N-1 • TB • M-1 • A} · F², 2 (v · F-1 )2

µo= '\

I\ - a

2. Spostrzeżenia pośrednie i spostrzeżenia bezpośrednie zawarunkowane jako szczegól- ne przypadki spostrzeżeń bezpośrednich zawarunkowanych z niewiadomymi. W rachunku wyrównawczym rozróżnia się następujące rodzaje spostrzeżeń: spostrzeżenia pośrednie,

gdy równania warunków mają postać

(40) _By= x,

spostrzeżenia pośrednie za warunkowane, gdy równania warunków mają postać

spostrzeżenia bezpośrednie za warunkowane, gdy równania warunków mają postać

(41) Ax=w

i spostrzeżenia bezpośrednie zawarunkowane z niewiadomymi, gdy równania warunków

mają postać (3), które są przedmiotem rozważań niniejszej pracy. Autorzy pracy zauważyli, że spostrzeżenia pośrednie i bezpośrednie za warunkowane stanowią szczególne przypadki

spostrzeżeń bezpośrednich zawarunkowanych z niewiadomymi dla Ą ~ v. Pełne rozwiąza­

nia tych przypadków można otrzymać automatycznie jako wnioski z ^twierdzeń 1 i 2, za- tem oddzielne ich rozpatrywanie, jak to czyniono dotychczas, jest zupełnie zbędne. Tak

więc twierdzenia 1 i 2 rozwiązują trzy spośród czterech istniejących problemów wyrównaw- czych, nie obejmując jedynie wyrównywania spostrzeżeń pośrednich za warunkowanych.

2.1. Spostrzeżenia pośrednie.

J

eżełi przyjmiemy

A=

V i podstawimy A = -I oraz w =O, to równania (3) przyjmą postać (40). Przy założeniu nierówności

a<

^{A oraz związku (5 ),}

z twierdzeń 1 i 2 otrzymuje się rozwiązanie teg~ przypadku dane wzorami:

y =N-¹BTF-²l, X =By, V= X ;-l,

G _V = F2 - G _X' G xy = BN-¹ ' przy czym

2.2 Spostrzeżenia bezpośrednie zawarunkowane. Jeżeli przyjmiemy a= O i odrzucimy

składnik z nieistniejącą macierzą B, to równania (3) przyjmą postać (41 ). Przy założeniu nierówności

A<

v (dla

A=

v nie jest spełnione założenie (iii) i problem staje się banalny) oraz ^związku (8) z twierdzeń 1 i 2 otrzymuje się rozwiązanie tego przypadku dane wzorami:

X= f +V, G = F_X 2 - G _V' przy czym

we wzorach zostały pominięte formalnie wszelkie składniki zawierające jako czynniki nie- istniejące macierze B i N-¹ (dla ścisłości należy zauważyć, że uwzględniając powyższe w twierdzeniach 1 i 2, można dowody twierdzeń poprowadzić analogicznie jak w przypadku ogólnym).

3. Porównanie uzyskanych wyników z istniejącymi rozwiązaniami. Dla szczególnych przypadków, uzyskane w pracy wzory pokrywają się z podanymi np. w ( 3] dla spostrzeżeń pośrednich i w [ 1] dla spostrzeżeń bezpośrednich za warunkowanych.

Sformułowanie i częściowe rozwiązanie problemu wyrównywania spostrzeżeń bezpo-

średnich zawarunkowanych z niewiadomymi można znaleźć w [

21 ,

gdzie nie poruszono jednak ^zupełnie sprawy wyznaczania błędów Średnich. W [ 4] podano wprawdzie pełniejsze rozwiązania problemu, ale wzór na G x jest niepotrzebnie skomplikowany i nieprzydatny do obliczeń numerycznych. Wzory (26) i (27) nie mają tej wady. Wzoru na Gx-y umożliwia­

jącego wyznaczanie błędów średnich funkcji wyrównanych spostrzeżeń i niewiadomych

łącznie, nie znaleziono w ogóle w literaturze przedmiotu, mimo ^że takie przypadki ^są in-

teresujące z punktu widzenia zarówno teorii błędów jak i praktyki.

4. Dane o programie obliczeniowym. W oparciu o wzory (10), (11), (2), (26), (27), (28) i (39) opracowany ^został program dla elektronicznej maszyny cyfrowej ZAM 41. Dla rozwiązania konkretnego zadania, program wymaga podania informacji o rozmiarach (A, v, a) oraz wprowadzenia elementów macierzy i wektorów: A,_ B, w, l, F.Efektem ^działania programu jest wydawnictwo obejmujące dane oraz uzyskane wyniki: poprawki v, wyrów- nane spostrzeżenia x, niewiadome y, wsoółczynniki Gv, Gx i GY, ^błędności poprawek, wy- równanych spostrzeżeń i niewiadomych, błąd średni µ₀ typowego spostrzeżenia oraz błędy Średnie poprawek, wyrównanych spostrzeżeń i niewiadomych.

Program realizuje obliczenia nie tylko dla wyrównywania spostrzeżeń bezpośrednich

zawarunkowanych z niewiadomymi lecz ^również dla obu omawianych przypadków szcze- gólnych, dla których dotychczas tworzono osobne programy. Przy wyrównywaniu spostrze-

żeń pośrednich trzeba w danych wprowadzić A =-I i w= O. Dla wyrównywania spostrze-

żeń bezpośrednich zawarunkowanych należy podać

a =

O oraz ^pominąć wprowadzanie nie-

istniejącej macierzy B. W tym ostatnim przypadku wydawnictwo nie będzie zawierało wy- ników związanych z niewystępującymi niewiadomymi.

Jeżeli okaże się, że zaproponowany układ nie może być tą metodą rozwiązany (nie są spełnione nierówności ( 5) lub (8)), to program przerywa pracę nad tym układem sygnalizu-

jąc osobliwość odwracanej macierzy.

Ze ^względu na ograniczoną pojemność pamięci maszyny, można rozwiązywać jedynie zadania, w których v ^~ 44. Czas liczenia ^przykładu o rozmiarach a= 10, A= 30, v

=

⁴⁰

wynosi ^około 13 minut.

Literatura

[I

J

T. Ba n ach ie w i cz, Rachunek krakowianowy z zastosowaniami·, Warszawa 1959.

[ 2 J S. H a u s b r a n d t, Rachunek wyrównawczy i obliczenia geodezyjne, t. II, Warszawa 19 71.

[3] J.W. Li n n i k, Metoda najmniejszych kwadratów i teori·a opracowywania obserwacji, Warszawa 1962.

[ 4 J

J.

Sza r gu t, Energetyka cieplna w hutnictwie, Katowice 1971.