Wrocªaw, 18 pa¹dziernika 2012 FAKULTET MATEMATYCZNY - LISTA 3
MARCIN PREISNER (PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL)
Liczno±¢ zbioru i niesko«czono±ci
Zakªadamy, »e mamy funkcj¦ f : A → B.
De nicja 1. Mówimy, »e funkcja jest ró»nowarto±ciowa (lub jest 1-1, lub jest injekcj¡), je±li
• dla dowolnych a, a0∈ A, a 6= a0, zachodzi f(a) 6= f(a0) lub, równowa»nie,
• dla dowolnych a, a0∈ A, f(a) = f(a0) implikuje a = a0. De nicja 2. Mówimy, »e funkcja jest na (lub jest surjekcj¡), je±li
• dla ka»dego b ∈ B istnieje a ∈ A, takie »e f(a) = b lub, równowa»nie,
• ka»dy element zbioru B jest obrazem pewnego elementu ze zbioru A.
Za pomoc¡ powy»szych de nicji mo»emy okre±li¢, co to znaczy, »e dwa zbiory s¡ równoliczne (lub s¡ tej samej mocy)
De nicja 3. Dla danych zbiorów A i B mówimy, »e s¡ równoliczne, je±li istnieje funkcja f : A → B, która jest jedncze±nie ró»nowarto±ciowa i na (inaczej: jest bijekcj¡).
Takie zdarzenie oznaczamy |A| = |B| (lub A = B lub A ∼ B).
1. Które z nastepujacych funkcji f : R → R sa róznowartosciowe? Które s¡ na?
(a) f(x) = x + 5, (b) f(x) = |x| − 1,
(c) f(x) = x3− 7.
2. Niech funkcja f : (−1, 0] → [0, 1) bedzie zadana wzorem f(x) = x2. Udowodnij, ze jest ona róznowartosciowa i na.
3. Czy podane ni»ej funkcje s¡ róznowartosciowa lub na?
(a) f : Z × N → Z, f(k, n) = k2 − 4n, (b) f : Z → Z, f(k) = k − 4,
(c) f : Z × Z → Z, f(n, k) = n2+ k2,
(d) f : R × R → R × R, f(x, y) = (x − y, x + y).
4. Niech X bedzie zbiorem okregów na pªaszczyznie. Zadajemy funkcje f : X → (0, 1) nastepujaco:
jesli okrag o ∈ X ma promien r, to f(o) = r. Czy taka funkcja jest poprawnie zde niowana? Czy jest ona róznowartosciowa lub na?
5. Wska» jaki¡± bijekcj¦ mi¦dzy zbiorami: A = {n ∈ N : 3 < n < 14 i 2|n} i B = {a, b, c, y, z}.
6. Uzasadnij, »e je±li dwa zbiory sko«czone maj¡ tyle samo elementów, to s¡ równoliczne.
7. Podaj przykªad dwóch zbiorów równolicznych i nierównolicznych (najlepiej niesko«czonych).
8. Udowodnij, »e je±li |A| = |B|, to równie» |B| = |A|.
9. Udowodnij, »e je±li |A| = |B| oraz |B| = |C|, to równie» |A| = |C|.
10. Uzasadnij, »e wszystkie poni»sze zbiory maj¡ t¦ sam¡ moc:
(a) N = {1, 2, ...},
(b) F = {100, 101, 102, ...}, (c) G = {2, 4, 6, ...},
(d) H = {n ∈ N : n ≡ 5 (mod 17)},
1
(e) Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, (f) I = {k ∈ Z : k ≡ 3 (mod 7)}, (g) P = {k ∈ N : k jest l. pierwsza}.
11. Poka», »e dwa dowolne z odcinków [0, 1], [0, 100], [−1, 1], [43, 87], [−137, −54], [a, b] (a < b) s¡ rów- noliczne.
12. Podaj równoliczno±¢ mi¦dzy odcinkami [0, 1], (0, 1], (0, 1).
13. Poka», »e prosta R jest równoliczna z odcinkiem (−1, 1).
14. Wska» równoliczno±¢ mi¦dzy odcinkiem [0, 360o), a okr¦giem O((0, 0), 1).
15. Udowodnij, »e N nie jest równoliczne z (0, 1).
16. Udowodnij, »e N jest równoliczne z N2= {(n, k) : n, k ∈ N}.
17. Sprawd¹, »e funkcja f : (N ∪ {0})2 → N ∪ {0} zadama wzorem f (n, k) = 2n(2k + 1) − 1
jest wzajemnie jednoznaczna ( ⇐⇒ jest bijekcj¡ ⇐⇒ jest ró»nowarto±ciowa i «a").
18. Poka», »e prosta R jest równoliczna z wykresem dowolnej funkcji liniowej na pªaszczy¹nie, tzn.
{(x, y) ∈ R2: y = ax + b}.
De nicja 4. Mówimy, »e zbiór A jest mniejszej mocy ni» zbiór B, gdy istnieje funkcja f : A → B, która jest tylko ró»nowarto±ciowa (nie musi by¢ «a"). Taki przypadek oznaczamy |A| ≤ |B|.
15. Udowodnij, »e je±li A ⊂ B, to |A| ≤ |B|.
16. Udowodnij, »e je±li |A| ≤ |B| i |B| ≤ |C|, to |A| ≤ |C|.
Twierdzenie 5 (Cantor-Bernstein). Je±li |A| ≤ |B| oraz |B| ≤ |A|, to |A| = |B|.
17. Korzystaj¡c z tego twierdzenia udowodnij jeszcze raz zadanie 12.
18. Przypominaj¡c sobie zadanie 16 udowodnij, »e
|N| = Q+= {x ∈ Q : x > 0}.
Niech P(A) oznacza zbiór wszystkich podzbiorów zbioru A, a AB zbiór wszystkich funkcji f : B → A.
Uwaga: Zapis |A| < |B| oznacza |A| ≤ |B| i nieprawda, »e |A| = |B|.
19. Wska» bijekcj¦ mi¦dzy P(A) oraz {0, 1}A. 20. Kilka trudniejszych faktów:
(a) Zbiór liczb niewymiernych NQ jest wi¦kszy od Q (tzn. |Q| < kNQ|), (b) |A| < |P(A)| (wsk. rozwa» zbiór {a ∈ A : a /∈ A},
(c) |{0, 1}N= |NN| = |P(N)| (wsk. P(N) = P(N2)), (d) |R| ≤ |P(Q)| = |P(N)|,
(e) |{0, 1}N| ≤ |R|,
(f) Wniosek: |{0, 1}N= |NN| = |P(N)| = |R|, (g) |R| = |R2|(wsk: skorzystaj z: |R| = |{0, 1}N).
2
