M. K alecki (Warszawa)
O liczbach będących sumami liczb pierwszych pewnego typu *
ШесЬ^)^ oznacza г-tą liczbę pierwszą. Określmy zbiory Qs (s = 1 , 2 , ...) indukcyjnie w sposób następujący. Zbiór Ql składa się z liczb p i+1 (i —
= 1 , 2 , . . . ) . Zbiór Qs składa się z liczb postaci
(1) Pi+i-hq, gdzie qeQs- i i q < р<+2—jP<+i + 3 s - 5
(г = 1 , 2 , 3 , . . . ) . T
w ierdzenie1. Każda liczba q zbioru Qs (s > 2) daje się tylko w jeden sposób przedstawić w postaci ( 1 ).
D o w ó d . Z definicji zbioru Qs wynika przez indukcję, że jeżeli qeQs, to q > 3s. Przypuśćmy teraz, że
q = Pi+i + 3i — Pj+i + q% j
gdzie q1eQa_ lf q2eQ8- i , przy czym
(2) qi < P t + 2 —Pi+i + 38 — 5, q2 < P j +2- P f + i + 3 s - b oraz i < j, a więc pi+2 <p,-+x. Z nierówności (2) otrzymujemy
Pi+l + #1 ^5 ^г+2 + 3s — 5 < + Ss — 5.
Z drugiej strony
+ ffa > P?+i + 3 (e — 1) = p,-+i + 3» — 3.
Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
T
w ierdzenie2. Dla każdego s istnieje taka liczba A s, że wszystkie liczby naturalne spełniające warunki n = s (mod2) oraz 3s — 2 < n A s należą do zbioru Qs, a A sA-2 nie należy do Qs. A s jest wyznaczone przez zależności
* Autor pragnie podziękować doe. A. Schinzlowi za pomoc w sformułowaniu niniejszego artykułu, jak również za wskazanie twierdzenia Prachara, na którym opiera się część dowodu twierdzenia 3.
Prace Matematyczne IX. 2
13(3) А , = 7,
(4) A s = pa-{-As_ 1,
(5) Ómax(Pa) + 3s — 5 < А в_! < P a + i —P a + 3 g —5,
gdzie <5тах(ж) oznacza największą różnicę kolejnych liczb pierwszych nie przewyższających x.
D o w ó d . Dla s = 1 twierdzenie wynika z faktu, że liczby pierwsze 3, 5, 7 pokrywają się z liczbami nieparzystymi spełniającymi nierówność 1 < w < 7, a i j + 2 — 9 nie jest liczbą pierwszą. Załóżmy teraz, że twier
dzenie zachodzi dla zbioru Qs_ x. Wykażemy najpierw, że każda liczba naturalna spełniająca warunki n = s(mod2) i 3s — 2 < n ^ A s należy do Qs.
Ponieważ 3 + (3s — 5) < n, istnieją więc liczby pierwsze pi+1 spełnia
jące nierówność P;+i + (3$ — 5) < n. Dla największej z nich mamy (6) Pi+i + (3$ — 5) < n < p i+2+{3s — 5).
Z zależności (4) i (5) wynika, że n < A s < p a+1 + 3s —5, a więc p i+2 < p a+1 albo i-\-1 < a. Rozróżniamy dwa przypadki i-\-1 ' < a i г- f 1 = a.
W pierwszym przypadku Pi+ 2 —Pi+i < ómax(pa). Zatem, na mocy (5), Pi+2 Pi+\~\~ 3s 6 ^ A s_j,
skąd, wobec (6),
3s — 5 < n Pi+i < P i + 2 ~
P i + i+ 3s — 5 < A s_ x.
Ponieważ n — pi+l = n — 1 = s — l(m od 2), na mocy założenia in
dukcyjnego w —Рг+i. należy do $ s_2 i, na mocy definicji Qs, n = pi+1-\- + {n — pi+1) należy do Qs.
W drugim przypadku
p a + 3s — b < n ^ A s < Pa+i + 3s — 5, a więc biorąc pod uwagę (5)
36— 5 < n — p a < A s_ x < ^a+1 — P a + 3 s — 5.
Zatem, w myśl założenia indukcyjnego, n —p a należy do Qs_ x i n — p a-\~
+ {n—Pa) należy do Qs.
Aby wykazać, że A s-f 2 nie należy do Qs przypomnijmy, że q ^ 3s — 3 jeśli ązQs-i- Gdyby ( As-{-2)eQs, to na mocy definicji mielibyśmy (7) Aa + 2 = P i + i + V> gdzie qeQs_ x1
a więc q < Pi+ 2 —Pi+i~\~ 3s — 5 i ponieważ wobec (4) i (5) A s-f 2 < p a+i +
-f Зб — 3, więc г-f1 < a. W przypadku г-f 1 — u otrzymalibyśmy (As_ 1-f 2)
eQa-\, po jest niemożliwe, na mocy założenia indukcyjnego. W przy-
pad к u i + l < a mielibyśmy Pi+t — Pu i < 'b m&y.{pa), skąd na mocy (5) Pi+2—Pi+i + 3 s - n + A a_! *
i wobec (7) A e-\-2 < p aĄ-As_ u co przeczy (4).
W
n i o s e k1 . A x = 7, A 2 = 96, A 3 = 370357 oraz (8) At > ( ^ з - 1 0 ) 2 <- 3 + 3 /+ 1 dla t = 3 , 4 , . . .
D ow ód. Liczbę A s obliczamy znajdując największą liczbę pierwszą pa dla której ^maxW ^ s - i - 3,9-f 5 i dodając do tej liczby A s_ x. Ponieważ A x — 7, więc aby obliczyć A 2 znajdujemy największą liczbę pierwszą p, dla której dm&x(p) + 6. Wynosi ona 89. Po dodaniu 7 otrzymujemy A 2 — 96.
Z kolei obliczamy A s znajdując największą liczbę pierwszą, dla której dmax < 96 —4 == 92. Wynosi ona 370261. Po dodaniu 96 otrzymamy A 3 =
= 370357. Jasne jest, że A 4 jest liczbą bardzo wielką. Nierówność (8) udowodnimy przez indukcję ze względu na t. Dla t = 3 nierówność jest prawdziwa. Załóżmy jej prawdziwość dla t = s — 1. Na mocy twierdzenia Czebyszewa p a+.x > 2p a, zatem z wzorów (4) i (5) otrzymujemy
Ag^i < Pa+i PaA 3s 5 < p aA~ 3s 5, p a -J.s —1 3s-j~ 5 , As — p n-\~As_ x > 2AS_ 1 — 3,9 -f- 5
i na mocy założenia indukcyjnego
As > (JL 3 — 10 )2s~3-f- 6(s —1 ) + 2 — 3s+ 5 = (v43- 1 0 ) 2 *~3 + 3s-f 1 .
W
n i o s e k2. Wszystkie liczby naturalne spełniające warunki n ~
~ s (m od2) i 3s — 2 < n ^ A s, są sumami s liczb pierwszych niepa
rzystych.
D o w ó d wynika z faktu, że wszystkie liczby zbioru Qs są takimi sumami.
W
n i o s e k3. Istnieje taka stała s0, że wszystkie liczby naturalne spełnia
jące warunki n = s0(mod2) i n > 3s0 — 2 są sumami ,90 liczb pierwszych nieparzystych.
D o w ó d . Na mocy twierdzenia Winogradowa istnieje taka stała В , że każda liczba nieparzysta > В jest sumą trzech liczb pierwszych więk
szych od 2. Zatem dla s > 3 każda liczba naturalna spełniająca warunki n = s(mod2) i n > В + 3(8 — 3) jest taką sumą. Z drugiej strony, na mocy nierówności (8), istnieje taka liczba s0 > 3, że A S q > B - r 3 ( s 0 — 3).
Z wniosku 2 wynika, że liczba s0 ma żądane własności. Ponadto łatwo zauważyć, że wszystkie liczby naturalne > 1 są sumami nie więcej niż 80+ l liczb pierwszych (twierdzenie Sznirelmana).
T
w i e r d z e n i e3. Oznaczmy przez n{s){x) ilość liczb q zbioru Qs nieprze- kraczających x. Oznaczmy dalej przez logs® s-ty logarytm iterowany, tzn.
log!® = log® i logsx — log (log,
(9)
Zachodzi zależność
. , N 9, N
gdy N -> oo, gdzie c jest to pewna stała dodatnia niezależna od s oraz < 1.
D o w ó d . Twierdzenie to jest w sposób oczywisty słuszne dla s = 1 , gdyż wtedy c s_1 = 1, a n^(N ) = n(N) — l. Przeprowadzimy teraz dowód dla s — 2, tzn. wykażemy słuszność wzoru
(
10
)e - - . -■■■ Lr (l + o (l)) <я<2’ (-У) < , „ „ ^ „ ^ -(1 + 0(1 )).
loglogJV ' v loglogiV
po czym dowiedziemy twierdzenia dla s > 2 .
2 j 71 (Pi + 2 ~Pi+l + l ) +< ™ { ’ (Pn+l—Pn), Pz^’Pi+2<N
gdzie pn jest największą liczbą pierwszą < N oraz O < a < 1. Ponieważ л ^(х) = л(х) — 1 , dla x > 2 możemy napisać
л{2)(Щ = (?r(;pi+2 — i>i+i + l) — l) + a(^(l>n+i — JPn) — !)•
P3<Pi+Z<N
Ponieważ л{р 1 +2 — p i+l-\-l) bywa, ale nie zawsze, większe o jedność od я(Рг +2 —Pi+i)i jak również л(рп+1—p n) = о(л{Щ), mamy dla N oo
( U ) 7Г(2)
W = ^ ™(Pi+2-Pi + l ) ~ P ~ ^ ( l + 0(l)), N
H <Pi+2<N logiV
gdzie O < /9 < 1 . Wprowadzimy oznaczenie pk~ P k -i — (h oraz
^ n{pi+2 — p i+1) = JT* л{дк) — ^ л ( д к).
P$*ZPi+2<N 3<&<л(.У)
Dowiedziemy najpierw, że
(1 2 ) ^ л (dk) < N
(1 + 0(1)).
log log N
Oznaczmy przez
dliczbę (logJV^)1-®, gdzie
ejest dowolnie małą stałą do
datnią. Oznaczmy dalej przez u ilość różnic <5* nie przewyższających d, a przez b sumę dk. Mamy wówczas
d<ók
^ л{6к) < м я (й ) oraz £ л (0к) + b —+ ^ ( l + ° (l)), gdyż
6 k<d d<dk
A h ) , n{d) u . -n
s— < - ^ — l + o ( l ) dla
dk d
d
d ćk > d.
Wobec tego
( “ iog(j + iogei
d N ..
+ T — r l ( l + o d ) b
log Ж logd logd skąd, pamiętając, że d — (logW) e, mamy
/c / Ж (logW)1" 6 N \.
^ \logN (1 —£)loglogW (1 — e)loglogW / ' '
N
(1 — s+oglogW \(logW) i ze względu na dowolność e
J£n(dk) Dowiedziemy z kolei, że
(13) У + 4 ) > e
( ---- _--- 1-1) (1 + 0(1)) =
\ (logW)6 ^ / 1 ^ "
N
N log log Ж
Ж log log Ж
(1 — e) log log Ж
(1 + 0(1 )).
(1 + 0(1 )).
( 1 + 0(1 )(
Z pewnego twierdzenia Prachara ([1]) wynika, że ilość liczb dk więk- szych od A log Ж jest większa od c — Ж gdzie A i c są pewnymi stałymi dodatnimi, przy czym c < 1. Mamy więc (biorąc pod uwagę, że A log Ж >
> (к^Ж )1_е, gdy Ж -> oo)
Ж Ж logЖ
2J л(дк) > C^-—^ 7i{logM) = c log Ж
ж log Ж log log Ж (l + о ( 1 )) —
= G
skąd
log log Ж
£ л(дк) > с (l + о(1 )|,
Ж
log log Ж (l + ° (1 )) • Otrzymujemy teraz ze wzoru (1 1 )
o - — —---(l + o(l)) —^ + ~ loglogЖ t 5"(1 + ° ( 1 )) < » P)(Jy) <
skąd
logN
Ж . Ж ,
~ ( i + » ( i ) ) - ^ ( i + « a ) ) , log log Ж
Ж___
log log Ж, (l + o(l)) < ^ 2)(Ж) Ж log log Ж
log Ж
(l + o (l)),
c. b. d. о.
Dla uogólnienia twierdzenia dla s > 2 wystarczy dowieść, że wzór (9) jest słuszny dla s jeśli jest słuszny dla s — 1 .
Z określenia Qs mamy Tt^{N) =
=
™{s 1} (Pi+
2- Pi
+ 1+ 3e — 5)
+ -U7t(a- ( p n+l - p n +
3,9 —6)
,ł)3<^4-2<W-3s+5
gdzie p n jest największą liczbą pierwszą < j V — 3s + 5, a 0 < a < 1 . Stąd, na podstawie założenia indukcyjnego i biorąc pod uwagę, że
™{S~l\ PUr2 — Pi + 1) < ^ a~l4Pi+%~ ^г + 1 + Зв— 5) < П {8 Л)(Рг + 2~ рг, .J - f 3 « — 5 otrzymujemy
(14) л<‘НЮ= У >»«'-,)(pi+J- p <+1) + r r ^ ( l + » (l)),
gdzie 0 < у < 3s — 5. Wprowadźmy oznaczenie
£ ™(S l)(Pi + 2~Pi+l) =
?)3<Рг+2<ЛГ
Dowiedziemy najpierw, że przy założeniu indukcyjnym zachodzi zależność
(15) N
logs-A 7
Oznaczając, jak wyżej, (logiV)1-6 przez d mamy dla dk < d
^ ( Л * ) < яР-'Нй)
oraz na podstawie założenia indukcyjnego dla ók > d
h ^ 1^ ,1+0(1)>< t o ^ a ( 1+0(1))-
Stąd otrzymujemy, w analogiczny sposób jak wzór ( 1 1 ) w dowodzie twier
dzenia dla s = 2 , wzór (15).
Z kolei dowiedziemy, że (16)
Podobnie jak przy wyprowadzeniu wzoru (13), mamy
l o gN<d/c
logj\T
gdzie c jest pewną stałą dodatnią < 1 niezależną od
.9,skąd przy założeniu
indukcyjnym wynika wzór (16).
Otrzymujemy teraz ze wzoru (14)
с' " д а < 1+в(1)>+ у 10^<1+0(1)^ яМ(л;> <
< ^ b + <,w)+ y ^ b + u W ), gdzie 0 < у < 3,s — 5. Stąd
e. b. d. o.
T
w ierdzenie4. Oznaczmy przez w(n) najmniejsze s, dla którego neQs, a przez v(n) liczbę określoną przez zależności
(17) v(n) ~ R(mod2),
(18) A v^__2 < n < A v{n), przy czym przyjmujemy A _ x = 1 i A 0 — 4.
Wówczas
(a) zachodzi nierówność w(n) < v(n), (b) lim sup w(N) — oo.
D ow ód, (a) Z wniosku 1 z twierdzenia 2 i z oznaczeń A _ x — 1 i A 0 = 4 wynika, że 3s —2 < _2. Stąd i ze wzoru (18) otrzymujemy:
3v(n) — 2 < n <
Zgodnie z twierdzeniem 2, oznacza to, że neQąny Wobec tego według definicji liczby w(n) nie może ona być większa od v(n), c. b. d. o.
(b) Załóżmy, że w { N ) ^ a dla każdego N. Wynika stąd, że każda liczba naturalna większa od 2 należy do tych zbiorów Qs, dla których s < a. Mamy więc dla każdego N
■ * N - 2 < JT1 n(s){N) l<s<a i w myśl twierdzenia 3, dla N -> oo,
N - 2 < У N N { 1 + 0(1)) = — ^ — (1 + 0(1)),
co jest fałszywe i tym samym dowodzi twierdzenia.
Prace cytowane
[1] K. Pr ach ar, fiber ein Resultat von A. Walfisz, Monatshefte fur Mathematik
58 (1954), etr. 114-116.
М.
Ka l e c k i(Warszawa)
ON SUMS OF P R IM E S OF A C E R T A IN T Y P E
S U M M A R Y
The sets Q s , s = 1 , 2 , , . . , are defined as follows: Qt is the set of all primes p > 3 . Qs is the set of all numbers of the fo rm p i+1 + q where qeQ
S - 1and q < P i +2 — Pi+i + + 3s — 5, where i — 1 , 2 , . . . It is shown that this representation of a number of the set Qs is unique. Moreover, it is proved that for every s there exists an integer such that all integers subject to the conditions n s s(m od2), n > 3s —2 and n < A s belong to Qs whereas A s + 2 does not. The number A s is determined by the following relations
A 1 = 7, A s = p a + i , ' ^m ax(Pa)+3s— 5 < Ms_x < Pa + l — Pa A3 s — 5,
where <5т а х (ж) denotes the maximum difference of two consecutive primes not ex
ceeding x.
The sequence A s in conjunction with Vinogradov’s theorem on representation of odd numbers equal to or greater than a certain constant В as a sum of three primes- -affords a new approach to the theorem of Shnirelman about representation of any integer as a sum of a number of primes which does not exceed a certain constant.
Next the following inequality is proved N
logs Ж
( l + o ( l ) ) <n^\N)
<N
logs A
