S e r ia : E L E K T R Y K A z. 79 Nr 't 0 1. 713
J a n U L M A N
In s t y t u t P o d s t a w o w y c h P r o b l e m ó w E l e k t r o t e c h n i k i i E n e r g o e l e k t r o n i k i
J erzy I H N A T O K I C Z O ś r o d e k E T O
P o l i t e c h n i k i Ś l ę s k i e j
Z A S T O S O W A N I E M E T O D Y S Í A T E K 00 K O M P ’J T E R O L E S A N A L I Z Y P O L A E L E K T R Y C Z N E G O J E D N O F A Z O W Y C H LINII PRZESYLO.A'CH K R Z Y Ż U J Ą C Y C H Sl f POL K Ą T L M P R O S T Y M
S t r e s z c z e n i e . W p r a c y z a s t o s o w a n o m e t o d ę s i a t e k do r o z w i ą z a n i a p r z e s t r z e n n e g o z a g a d n i e n i a D i r i c h l e t a dla s k r z y ż o w a n y c h linii p r z e s y ł o w y c h w y s o k i e g o n a pięci a . P o d a n o m e t o d ę n u m e r y c z n e g o o k r e ś l e n i a w a r u n k ó w b r z e g o w y c h . P r z e p r o w a d z o n o d y s k u s j ę b ł ę d ó w z e o k r p g l e n w y
n i k a j ą c y c h ze z m i e n n o o r z e c i n k o w e j a r y t m e t y k i ¡ a s z y n y c y frowej. U z a s a d n i o n o c e l o w o ś ć z a s t o s o w a n i a i t e r a c y j n e g o n r o c e s u Libmcna.
1. i VST^P
L inie przesyłow.e o k o n f i g u r a c j i o r o s t y c h s k o ś n y c h pod k ę t e n p r o s t y m s t a n o wię f r a g m e n t y s t a c j i t r a n s f o r m a t o r o w o - r o z d z i e l c z y c h . O k r e ś l e n i e r o z k ładu n a t ę ż e n i a pola e l e k t r y c z n e g o w p o d a n y m o b s z a r z e s p r o w a d z a się do r o z w i ę z a n i a r ó w n a n i a L a p l a c e ' a w u j ę c i u t r ó j w y m i a r o w y m z o d p o w i e d n i m i w a r u n k a m i b r z e g o w y m i w p o s t a c i s i n u s o i d a l n i e z m i e n n y c h p o t e n c j a ł ó w p o s z c z e g ó l n y c h p r z e w o d ó w krzyżujęr.ych się linii. Vzajemne oridzieływanie na s i e bie pól e l e k t r y c z n y c h w y t w o r z o n y c h p r z e z p o s z c z e g ó l n e l i n i e p r z e s y ł o w e s k r z y ż o w a n e w z g l ę d e m s i e b i e p o w o d u j e n a r u s z e n i e l i n i o w o ś c i r o z k ł a d u ł a d u n k u q(t) w z d ł u ż linii. P r z e p r o w a d z e n i e a n a l i z y tego pola p r z y z a ł o ż e niu u p r a s z c z a j ą c y m o s tałej g ę s t o ś c i l i n i o w e j ł a d u n k ó w w z d ł u ż p o s z c z e g ó l n y c h p r z e w o d ó w m o ż e p r o w a d z i ć do z n a c z n y c h błędów. K o n s e k w e n c j ę t a k i e g o z a ł o ż e n i a jest p o m i n i ę c i e w p ł y w u w z a j e m n e g o o d d z i a ł y w a n i a p r z e w o d ó w u s y t u o w a n y c h w z g l ę d e m s i e b i e pod k ę t em prostym.
W l i t e r a t u r z e nie sę z n a n e z w i ę z k i o k r e ś l a j ę c e p o j e m n o ś c i w z a j e m n e l i nii p r z e s y ł o w y c h s k o ś n y c h w z g l ę d e m siebie. C e l o w e w i ę c jest p o s z u k i w a n i e r o z w i ę z a n i a z a g a d n i e n i a m e t o d a m i n u m e r y c z n y m i . D o t y c h c z a s z a g a d n i e n i a te rozwięzywario m e t o d a m i p o m i a r o w y m i o r a z m o d e l o w y m i w z g l ę d n i e metod-’ s u p e r p o z y c j i p ól od poszizeg-'lnych pr z e w o d ó w .
2. P O T E N C J A Ł Q U A S I - S T A T Y C Z N Y W O T O C Z E N I U L I NII P R Z E S Y Ł O W Y C H
Je ż e l i p o t e n c j a ł y p r z e w o d ó w r o b o c z y c h są s i n u s o i d a l n i e zmienne, to z g o dnie z w y n i k a m i o t r z y m a n y m i w p r a c a c h [i] , [4j p o t e n c j a ł quasi-st'atyczny w o t o c z e n i u tyc h p r z e w o d ó w s p e ł n i a w p r o s t o k ą t n y m u k ł a d z i e k a r t e z j a ń s k i m z e s p o l o n e r ó w n a n i e L a p l a c e ' a
4 V ( x . y . z ) = o (2.1)
P o d s t a w ę d alszej a n a l i z y jest r o z w i ą z a n i e r ó w n a n i a ( 2 . i). J e ś l i r o z w i ą ż e m y r ó w n a n i e (2.l), to od razu m o ż e m y w y z n a c z y ć z e s p o l o n e s k ł a d o w e w e k t o r a n a t ę ż e n i a pola:
E > . y , ż ) - - | | , E y (x,y,z) . - § | , a z (x,y.z) - -
a n a s t ę p n i e z g o d n i e ze w z o r a m i p o d a n y m i w p r a c y [l] p ł a s z c z y z n ę w i r o w a n i a w e k t o r a n a t ę ż e n i a pola o ra z j eg o m a k s y m a l n ą w a r t o ś ć w w y b r a n y c h p u n k t a c h r o z w a ż a n e g o obszaru.
76____________________________________________________________ J. Ulma n . J. I h n a t o w l c z
3. O K R E Ś L E N I E O B S Z A R U £1 D L A N U M E R Y C Z N E G O R O Z W I Ą Z A N I A Z A G A D N I E N I A DI- R I C H L E T A
N u m e r y c z n ą a n a l i z ę pola e l e k t r y c z n e g o p r z e p r o w a d z o n o w o p a r c i u o m o d e le m a t e m a t y c z n e p r z e d s t a w i o n e w p r a c a c h [l] , [4 J. W o p a r c i u o p r a c ę [5]
u w z g l ę d n i o n o p ł a s z c z y z n ę z i e m i p r z y u ż y c i u m e t o d y o d b i ć z w i e r c i a d l a n y c h . K o n s e k w e n c j ą t a k i e g o p o s t ę p o w a n i a jest u w z g l ę d n i e n i e p ł a s z c z y z n y z i e m i Jako e k w i p o t e n c j a l n e j p ł a s z c z y z n y o p o t e n c j a l e zerowym.
Taki m o d e l m a t e m a t y c z n y z a g a d n i e n i a p o l o w e g o z o s t a ł z w e r y f i k o w a n y p r zy uż y c i u sond p o m i a r o w y c h o ra z m o d e l o w y c h u r z ą d z e ń do p o m i a r u n a t ę ż e ń pól e l e k t r y c z n y c h pod l i niami p r z e s y ł o w y m i [ 4 J .
W e ź m y pod u wa gę d wie linie p r z e s y ł o w e s k r z y ż o w a n e pod k ą t e m prostym.
g d z i e : A (q) A (d)
V , V - p o t e n c j a ł z e s p o l o n y p r z e w o d u g ó r n e g o 1 dolnego w z g l ę dem z i emi,
Px , Py - p r z e k r o j e w z d ł u ż o s i x i y,
(Yg, zg ) ( * d ’ zd^ * w s p ó ł r z ę d n e p r z e w o d u g ó r n e g o i doln e g o .
P r z e w o d y fazowe są w i ą z k a m i 4 x A F L - 525 o o d s t ę p i e p r z e w o d ó w w w i ą z c e 4 5 7 mm.
W d o w o l n y m p u n k c i e na z e w n ą t r z p r z e w o d ó w p o t e n c j a ł quasl-sta t yc z n y speł
nia ró w n a n i e
¿ V ( x , y , z ) = 0
,z V (9>
(xd’zd)', v (d)
y x
Rys. 1. D wa t o r y j e d n o f a z o w e s k r z y ż o w a n e w z g l ę d e m siebie pod k ę t e m p r o s t y »
% z w a r u n k a « i b r z e g o w y m i
V ( x, y,z)
(y ,z)tS
(g)
V (b) ; V ( x , y , z )(x ,z)tS(d) V ( x , y , o )
(3.1) g d z i e :
(g) e(d) - p o w i e r z c h n i a p r z e w o d u g ó r n e g o i dolne g o .
W c e l u r o z w i ą z a n i a m e t o d a m i n u m e r y c z n y m i sformułowanego z a g a d n i e n i a Dl- r l c h l e t a n a l e ż y p r z y j ę ć , że p o s z u k u j e m y f u n k c j i V ( x , y , z ) w p e wnej o g r a n i c z o n e j p r z e s t r z e n i ii . C h c ę c J e d n a k u w z g l ę d n i ć ł a d u n e k e l e k t r y c z n y na p r z e w o d a c h p oza o b s z a r e m il (w n i e s k o ń c z o n o ś c i ) , n a l e ż y tak o k r e ś l i ć w a r u nki b r z e g o w e na b r z e g u ©il o b s z a r u i i , a ż e b y u w z g l ę d n i a ł y one c a ł k o w i t y w p ł y w p r z e w o d ó w w n i e s k o ń c z o n o ś c i . O e s t to z a g a d n i e n i e n u m e r y c z n e g o o k r e ś l e n i a w a r u n k ó w b r z e g o w y c h na Bil d le z a p e w n i e n i a o d p o w i e d n i e j d o k ł a d n o ś c i r o z w i ę z a n i a we w n ę t r z u o b s z a r u il .
D e ś l i p r z y j m i e m y , że o b s z a r & J est s z e ś c i a n e m o k r e ś l o n y m n i e r ó w n o ś c i a m i
ii a a a > z
a - k r a w ę d ź s z e ś c i a n u ,
to d l a a -— »o r o z w i ę z e n l e z a g a d n i e n i a D i r l c h l e t e w p u n k t a c h (x,y ,z)e Bil ma p o s t a ć
- 5S6-(Q(9) in y- ♦ Q(d) ln
o g d (3.2)
78 0. U l m a n , 3. I h n e t o w i c z
g d z i e :
rg ■ V ( z + z g )2 ♦ ( y - V g ) 2 : rg “ V ( z - z g )2 + ( w /
* V(z+zd )2 + (x-xd )2 ; rd =• V(z-zd )2 + (x-xd )2
a (n) a (h)
Q . Q - z e s p o l o n e ła d u n k i p r z y p a d a j ą c e na J e d n o s t k ę d ł u g o ś c i li
nii g ó rnej i doln ej .
W y n i k a to z faktu, że n a r u s z e n i e l i n i o w o ś c i r o z k ł a d u ł a d u n k u w z d ł u ż p r z e w o d ó w w y s t ę p u j e w o b s z a r z e k r z y ż o w a n i e się l i nii, a im d alej od niego, tym bar d z i e j w p ł y w t en Jest p o m l j a l n y [ 4 j .
3.1. Z a g a d n i e n i e n u m e r y c z n e g o o k r e ś l e n i a w a r u n k ó w b r z e g o w y c h na b r z e gu ć)fl
Pr z y p u ś ć m y , że d y s p o n u j e m y a l g o r y t m e m r o z w i ą z u j ą c y m z a g a d n i e n i e (3.1) w o b s z a r z e O,’ p r z y z g ó r y n a r z u c o n y c h w a r t o ś c i a c h w w ę z ł a c h b r z e g u 8ft',
P r z y j m u j e m y :
- o b s z a r £1 jest s z e ś c i a n e m o k r a w ę d z i o k r e ś l o n e j p o c z ą t k o w o p r z e z l i c z bę a ,
- £ - ż ą d a n a d o k ł a d n o ś ć o k r e ś l e n i a w a r u n k ó w b r z e g o w y c h na b r z e g u 611, - <5 - l i c z b a > 0,
- M - l i c z b a > O.
A l g o r y t m p o s t ę p o w a n i a m o ż n e p r z e d s t a w i ć n a s t ę p u j ą c o :
Dest r z e c z ą o c z y w i s t ą , że o b r a n i e p o c z ą t k o w e j w a r t o ś c i a p o w i n n o u m o ż l i w i ć z n a c z n e o d d a l e n i e s i ę od s k r z y ż o w a n i a . L i c z b a M p e ł n i rolę ste- ł e j , o k tórą p o s z e r z a m y o b s z a r a p r z y k o l e j n e j i t e r a c y j n e j p r ó b i e w y z n a c z e n i a w a r u n k ó w brzeg o w y c h . Im w i ę k s z e M, tym s z y b c i e j o k r e ś l i m y o b s z a r fi. L i c z b ę (J d o b r z e J est p r z y j ą ć J a k o k i l k a w a r t o ś c i h (np. 3 h do 5 h), h - s t a ł a siatki.
N a l e ż y w tym m i e j s c u z w r ó c i ć u w a g ę na to, że n u m e r y c z n a r e a l i z a c j a f i n a l n e g o a l g o r y t m u Jest z a g a d n i e n i e m b a r d z o z ł o ż o n y m i w y m a g a z a s t o s o w a n i a t a k i c h r o z w i ą z a ć , a ż e b y z a p e w n i ć o p t y m a l n e w y k o r z y s t a n i e pamięci z e w n ę t r z n y c h m a s z y n y c y f r o w e j o r a z o p t y m a l n y p r z y d a n y c h r o z w i ą z a n i a c h c z a s o b l i czeń.
4. R O Z W I Ą Z A N I E Z A G A D N I E N I A D I R I C H L E T A M E T O D Ą S I A T E K
A b y o t r z y m a ć r ó w n a n i e r ó ż n i c o w e o d p o w i a d a j ą c e r ó w n a n i u L 8 p l a c e ' a
4 + Ą + £ v . 0 (4>1)
© x ‘: 8y « z *
w y s t a r c z y w s t 8 w i ć w m i e j s c e p o c h o d n y c h c z ą s t k o w y c h o d p o w i e d n i e i l o r a z y r ó ż n i c o w e w e d ł u g w z o r ó w
ć>2 V ^ v ( x ł h , y . z ) - 2 V ( x , y . z ) + v ( x - h . y . z )
“
ł,2V ^ V ( x , y » h , z ) - 2 V ( x . y z) + V ( x . y T h.z)
E y ~ h2
c)2 V ^ V(x.y.z-fh) - i V ( » , y z) + V ( x , y . z - h )
® 7 " h 2
D o d a j ę c s t r o n a m i , a n a s t ę p n i e w y l i c z a j ę c v ( x , y , z ) o t r z y m u j e m y
v ( x , y , z ) « ę [ v ( x + h , y , z ) + v ( x - h , y , z ) + v ( x , y + h , z ) +
+ V ( x , y - h , z ) + V ( x , y , z + h ) + V ( x, y , z - h ) ] (4.2)
Ż e b y móc o c e n i ć d o k ł a d n o ś ć takiej z a m i a n y , n a l e ż y , d l a o t r z y m a n i a r ó w n a nia r ó ż n i c o w e g o , z a s t o s o w a ć w z ó r T a y l o r a
f ( x + h , y + k , z + l ) m f(x,y,z) + h ♦ ^ k + l ) f ( x , y , z ) +
+ 5 7 ^ h * e y k + D 2 f(x.y . z ) +
+ + n T ^ i x h + l y k + T z l )"f ( x + ® h , y + e k , z * e l ) ,
g dzie e e (o, l ) . ^
W e ź m y pod u w a g ę p u n k t y A ( x , y , z ) , B ( x - h , y ) , c ( x + h , y , z ) , D ( x , y + h , z ) , E ( x , y - h , z ) . F ( x , y , z + h ) , G ( x , y , z - h ) - ś r o d e k s z e ś c i a n u o r a z ś r o d k i J e g o ś cian i w y r a ź m y w a r t o ś c i f u n k c j i V w p u n k t a c h B, C, D, E, F, G za po- m o c ę w a r t o ś c i tej f u n k c j i i jej p o c h o d n y c h w p u n k c i e A ( x , y , z ) .
Z g o d n i e ze w z o r e m T a y l o r a , p r z y j m u j ę c w n i m n = 4, m a m y
„
1 u4 ® 4 V i * 7 ’* ' h 4 ł 4 T h T ~ Z 'cx
e v l h2 2
8 V 1 h 3 d3 V
8x T T h
i 7 ‘ * T n
ev i h2 62 V 1 h 3 e3 v
T x T T n ~ T * T Tdx n ~ T8x
80 0. U l man, J. I h n a t o w i c z
v ( x , y - h , z ) =. v ( x.y,z) - h ©V 1 .2 © ‘’y h 2 _ 1 l.3 e3 V . 1 .4 g 4 V
V
+ T T h ®ya \ ../ . . ev i . 2 iry i .3 g"v i V(x, y * h , z ) = V ( x,y,z) + ^ l)y + 5 7 7 “ ? * T T + 7
. » ( « . y . , ) . „ g . i r h* Ą - ^ h 5 h4 i i * .
© z oz
® y Ł ® y
TT
i©y
c z
v ( * , y . z + h ) = V (x ,y ,z ) ♦ h § | * ^ h 2 2 % ♦ ^ h 3 Ą * ^ h4
8z 0z- 0Z
g d z i e p o c h o d n e c z ą s t k o w e do t r z e c i e g o r z ęd u w ł ą c z n i e są l i c z o n e w p u n k c i e A ( x , y , z ) , a p o c h o d n e c z w a r t e g o r z ę du są l i c z o n e w p e w n y c h p u n k t a c h p o ś r e dnich.
D o d a j ą c o t r z y m a n e r ó w n o ś c i st r o n a m i , o t r z y m u j e m y
V ( x - h , y , z ) + V(x» h , y , z ' + V ( x , y - h , z ) + V ( x , y + h , z ) + t
+ V ( x , y , z - h ) + V ( x , y , z + h ) =
b2 . © 2 v
— ? — !
ex © y © z
6 V( x . y , z ) + h Ł (— 'i + — ~ + 2— ^) + R (x,y,z)
g d z i e reszta
R h (x,y,z) = j y
4— 4 = 4-* 4ti 4
“ u “ ” „ © V ^ © V , © V
— T i r ? + — r
© V © V 8 V © V © _ v . © v
- j r ■
,(4) _, . 4
©x © x © y © z © z 8 Z-
jest dla V s C v**^ rzędu 0 ( h 4 ). S t ą d m a m y
v ( x - h , y , z ) + v ( x + h , y , z ) + v (x , y ~ h , z ) + v ( x , y + h , z ) +
+ v ( x , y , z - h ) ♦ v ( x , y , z + h ) = 6 V (x , y , z ) + h 2 & V + 0 ( h 4 )
i n a s t ę p n i e
4 V = |v(x-h ,v ,z) + v ( x + h , y , z ) + v ( x , y - h , z ) +
V(x,y+h,z) + v ( x ,y ,z - h ) + v(x,y,z+h) - 6 V(x,y,z)J + 0 ( h2 )
I
O d r z u c a j ą c s k ł a d n i k 0(h'2 ) , o t r z y m u j e m y r ó w n a n i e r ó ż n i c o w e p r z y b l i ż o n e
v( x , y , z ) = ^ J v ( x + h,y,z) + v ( x - h , y , ż ) ♦
+ v ( x , y + h , z ) + V ( x , y - h , z ) + V ( x , y , z + h ) + v ( x , y , z - h ) J ,
o d p o w i a d a j ą c e r ó w n a n i u L a p l a c e ' a A V = 0.
R o z w a ż a n y w p r a c y o b s z a r SL z o s t a ł p o k r y t y s i a t k ą s z e ś c i e n n ą w taki sposó b, że w s z y s t k i e p u n k t y (węzły) b r z e g o w e n a l e ż ą do b r z e g u o b s z a r u ciii.
P o z w o l i ł o to u n i k n ą ć n a d a w a n i a p o p r a w e k w ę z ł o m b r z e g o w y m w g w z o r ó w i n t e r p o l a c y j n y c h .
P r z y j m u j ą c p e w i e n o d s t ę p h, t w o r z y m y 9 i a t k ę s z e ś c i e n n ą
x Ł » ih; y^ = jh; z^ = kh; i , J , k = O, — 1, — 2,...
u w a ż a j ą c p r z y tym, by w ę z ł y (x if y ^ , z^) s i a t k i a l b o n a l e ż a ł y do o b s z aru SI , a l b o d o j o g o b r z e g u 811.
O z n a c z a j ą c w a r t o ś ć s z u k a n e j fu n k c j i V ( x , y , z w p u n k t a c h (xi . y ^, z |^;
p r zez V ijk = v (x i -Yj .z (j) > m o ż e m y w k a ż d y m p u n k c i e w e w n ę t r z n y m (x^ y.. z^) s i at ki S h z a s t ą p i ć r ó w n a n i e L a p l a c e ' a a r ó w n a n i e m r ó ż n i c o w y m (4.2). Dla w ę z ł ó w b r z e g o w y c h p r z y j m u j e m y V(M) = < p (M ) , g d z i e M jest p u n k t e m brzegu, a <p - f u nkcją o k r e ś l o n ą na g i l . O t r z y m u j e m y w i ę c u kład r ó wnań
V ijk _ 5 ^ V i-l,j ,k + V i+?.,J,k + V i , j - l , k + V i,j + l,k * V i , j . k - 1 + V i,j,kłl) (4.3) g d z i e y j i i ' z k— 1^ P u n k t a m l r a c h u n k o w y m i n a l e ż ą c y m i do w n ę t r z a s i a tki S^.
U kład r ó w n a ń (4.3) p o s i a d a J e d n o z n a c z n e r o z w i ą z a n i e [2 ].
P o n i e w a ż w r o z w a ż a n y m w p r a c y z a g a d n i e n i u D i r i c h l e t a l i c z b a w ę z ł ó w s i a t k i jest tak d uża, że n u m e r y c z n a r e a l i z a c j a u k ł a d u (4.3) p r z e k r a cza w i e l e t y s i ę c y r a z y m o ż l i w o ś c i p a m i ę c i o p e r a c y j n e j m a s z y n y c y f r o w e j , tak w i ę c b e z p o ś r e d n i e r o z w i ą z a n i e Jest w r ę c z n ie m o ż l i w e .
L i czba r ó w n a ń u k ł a d u (4.3) Jest równa l i c z b i e węzłów w e w n ę t r z n y c h s i a t ki i dla s i a t k i s z e ś c i e n n e j w y n o s i w p r z y b l i ż e n i u |il|/h3 , g d z i e ja!
- o bj ęt ość o b s z a r u SI . I s t o t n y w p ł y w na p o p r a w n o ś ć n u m e r y c z n e g o r o z w i ą z a nia u k ł a d u r ó w n a ń (4.3) ma także m i a r a u w a r u n k o w a n i a u k ł a d u [3] , k tóra r o ś nie mniej w i ę c e j tak, jak l i c zb a r ó w n a ń w u k ł a d z i e . Z tego w z g l ę d u s t o s o w a n i e ś c i s ł y c h m etod r o z w i ą z a n i a d l a u k ł a d u (4.3) u z n a n o za n i e u z a s a d n i o n e i p r z e p r o w a d z o n o r o z w i ą z a n i e m e t o d a m i i t e r e c y j n y m i - ś c iś l e p o w i ą z a n y m i z w y p r o w a d z o n y m r ó w n a n i e m (4.3).
Z g o d n i e z p r o c e s e m L i b m e n a , J e ś l i s ? p r z y b l i ż e n i a m i p o c z ą t k o w y mi p r z y b l i ż e n i a 'następne dla w ę z ł ó w w e w n ę t r z n y c h ( x 1 > y j , z k ) s i atki o k r e ś l a m y w z o r e m
P2 O. U l m a n . 3. I h n a t o w i c z
V (n) -
¿ l > - >
+ V (n-1) ♦ v (n_l) + v (n_l) + v (n_l) + v (n_l5]
v ijk 5 L v i - i , j . k + v i+ i j . k v i . j - i , k + v i , j ł i,k + v i , j . k - i ł v i . j . k + iJ' n + 1,2.. .
D a k o w a r t o ś c i p o c z ą t k o w e w y b r a n o w a r t o ś c i p o t e n c j a ł ó w w w ę z ł a ę h s i a t k i o b l i c z o n e p r z y z a ł o ż e n i u s t a łe j g ę s t o ś c i lini o w e j ł a d u n k ó w w z d ł u ż p r z e w o d u g ó r n e g o i d olnego.
Ne m o c y z a s a d y s u p e r p o z y c j i :
>■ ^ l" £
g d z i e :
rg " V ( * k « g ) 2 ♦ (V j - y g ) 2 * rg * + (V j - y g )2
rd * l/(*k+ z d )2 * (xi‘ xd ) 2 1 rd ■ li(zk - z d )2 * <x i_xd )2
g(g) , c ( 9 ) y ( g ) . g ( d ) = c (d)v (d)
p r z y czym:
g ( g ) _ _ ł a d u n k i p r z y p a d a j ę e e na J e d n o s t k ę d ł u g o ś c i l inii górnej i d o l n e j ,
c ( g ) ( c ( d ) - m a x w e l l o w a k i e p o j e m n o ś c i w ł a s n e l inii g ó r n e j i dolnej.
we w z o r a c h na Q i p o m i n i ę t o p o j e m n o ś c i w z a j e m n e . Nie ma to o c z y w i ś c i e ż a d n e g o w p ł y w u na k o ń c o w y w y n i k p r o c e s u i t e r a c y j n e g o [ 2 ].
N a l e ż y z w r ó c i ć u w a g ę na to. Ze tak o b l i c z o n a i t e r a c j a z e r o w a jest b a r d z o d o b r y m p r z y b l i ż e n i e m k o ń c o w e g o r o z w i ę z a n i a . D l a t e g o w tym w ł a ś n i e z a g a d n i e n i u k o r z y s t n i e Jeat o p r z e ć się na p r o c e s i e i t e r a c y j n y m Libmana. *
M o ż n a d o w i e ś ć [2 ], Ze dl a d o w o l n e j ś r e d n i c y h s i a t k i p r o c e s L ib m a n a jest z b i e ż n y n i e z a l e ż n i e od w y b o r u w a r t o ś c i p o c z ę t k o w y c h , tj. i s t n ie j e
“ - »iji ■ »uk
pr z y c z y m błęd r o z w i ę z a n i a V... w y n o s i z g o d n i e z p o p r z e d n i m i r o z w a ż a -
r 2, J
n i a m i 0(h ).
O b l i c z e n i a n u m e r y c z n e r e a l i z o w a n o dla d w ó c h w a r t o ś c i h: 0 . 9 m oraz 0 , 6 m. P r z y j m u j ę c d o k ł a d n o ś ć 6. » 0 , 0 1 (stała w y k o r z y s t a n a p r z y o k r e ś l e niu w a r u n k ó w b r z e g o w y c h na 811 w pkt. 3.l) o t r z y m a n o :
l) k r a w ę d ź s z e ś c i a n u a sS 8 0 m
7 0 2 3 3 1 d l a h - 0 ,9 m 2) liczba w ę z ł ó w s i a t k i S. in
2 3 7 0 3 6 3 dle h = 0 , 6 m.
O b s z a r il z o s t a ł tak o k r e ś l o n y p r z e z n i e r ó w n o ś c i :
|*| |y| < o *s z ^ 2 e,
g d zie a > z s e n s i e p o l o w
a > z^®^ , a b y m o ż n a by ł o w y d z i e l i ć dwa p o d o b s z a r y s y m e t r y c z n e (w p o l o w y m i g e o m e t r y c z n y m ) . Są to o b s z a r y
ii.•2 “
0 < z < 2a a
p r zy c z y m
O z i ę k i t emu l i c z b a w ę z ł ó w u l e g a d w u k r o t n e m u z m n i e j s z e n i u . R o z w i ę z e n l a o- t r z y m a n e d le h = 0 , 9 o r a z h =■ 0 , 6 p o k a z a ł y . Ze w a r t o ś c i w w ę z ł a c h w i n t e r e s u j ą c y m nas p o d o b s z a r z e (jest to pas p r z e s t r z e n i pod s k r z y ż o w a n i e m do 2 m nad z i e m i ą [4], [l]) r ó ż n i ą się o ok. 0 .1 % .
Z a g a d n i e n i a z w i ą z a n e z r e a l i z a c j ą a l g o r y t m u d l a tak znacznej l i c z b y w ę z ł ó w (np. w p a m i ę c i o p e r a c y j n e j mc O D R A 1 3 05 z p a m i ę c i ą 6 2 K m o ż n e j e d y nie z a p a m i ę t a ć ok. 25 . 103 l i c z b z m i e n n o p r z e c i n k o w y c h ) s t a n o w i ą z u p e ł n i e o d m i e n n ą p r o b l e m a t y k ę w c h o d z ą c ą t a kż e w z a k r e s t e o r i i p r z e t w a r z a n i a d a nych. N ie p r z e p r o w a d z o n o w i ę c tutaj p r ó b y z a p i s u r o z w i ą z a n i a w J ę z y k u a l g o r y t m i c z n y m .
5. U W A G I O B Ł Ę D A C H Z A O K R Ą G L E N I A W Y N I K A J Ą C Y C H Z E Z M I E N N O P R Z E C I N K O W E J A R Y T M E T Y K I M A S Z Y N Y C Y F R O W E J
6 Z g o d n i e z p r o c e s e m L l b m a n a n a l e ż y r o z w a ż y ć b ł ą d s u m y
6 i»l
i l o c z y n u g d z i e y = 0 , 1 6 6 6 6 6 . . .
g d z i e Jest w a r - 6
t o ś c l ą o t r z y m a n ą z o b l i c z e n i a Ix . o z m i e n n y m p r z e c i n k u ( ś w i a d c z y o
i-i 1
tym o p e r a t o r fl).
W i e l k o ś c i Sj^ do S & o b l i c z y m y r e k u r e n c y j n i e
84 3. U l m a n , 3. I h n a t o w i c z
S p = f l ( S p -l + x p ) 1 (Sp-l + x p ) • (l + V
g d z i e : I£p | < 2 - t , t - p r e c y z j e m a s z y n y cyfr o w e j . C z y l i
6
+ X 5 ^ ~ ^ (1 + 6 i ) + x g (l+6g)
prz y czym o s z a c o w a n i a i l o c z y n ó w są n a s t ę p u j ą c e
( l- 2_ t )7 ~ p < f i ( l + i i ) ¿S (l + 2 - t )7 - p , (p = 1 ... 6) i-p
G ó r n e o s z a c o w a n i a S 6 : S & =£ ( x 1+ x 2 ) ( i + 2 _ t ) 5 + X j ( l + 2 - t )4 + x4 (l+2_ t )3 + + x 5 ( l+2_ t )2 + x 6 ( l + 2 ~ t ).
O t r z y m a n e o s z a c o w a n i e z a l e ż y od k o l e j n o ś c i s u m o w a n i a . P r z y k o n s t r u k c j i f i n a l n e g o a l g o r y t m u z a d b a n o o to, b y z a p e w n i ć s u m o w a n i e w k o l e j n o ś c i r o s n ą c y c h m o d u ł ó w s k ł a d n i k ó w . T a k i e p o s t ę p o w a n i e p o z w a l a z m i n i m a l i z o w a ć o- s z a c o w a n i e g ó r n e b ł ą d u , g d y ż w y r a ż e n i u (i - 2 - t )5 o d p o w i a d a n a j m n i e j s z a w a r t o ś ć sumy d w ó c h s k ł a d n i k ó w . Z g o d n i e z p r o c e s e m l t e r a c y j n y m L i b m a n e n a l eży J e s z c z e sumę p o m n o ż y ć p r z e z 0 , 1 6 6 6 6 . . . O t r z y m a m y w i ę c w a r t o ś ć i l o c z y n u [ej :
f l ( s 6 y) s S 6 y ( l + e ) ,
g d z i e y - 0 , 1 6 6 6 6 . . . ,
|S|«s2_t.
C z y l i g ó r n e o s z a c o w a n i e \
fl (s6 y) «£ y ( x 1+ x 2 ) ( l + 2 - t )6 + ... * y X g ( l + 2 - t )2
W a r t o z w r ó c i ć u w a g ą na to, że w n a s z y m p r z y p a d k u p e w n a p r o p a g a c j a b ł ę du w m a s z y n i e cy f r o w e j w p ł y w a na w y d ł u ż e n i e p r o c e s u l t e r a c y j n e g o , a nie na k o ń c o w y wynik.
Na rys. 2 1 3 p o d a n o w y k r e s y r o z k ł a d u n a t ę ż e n i a p o l a elektrycznego przy z m i e n i a j ą c e j się w y s o k o ś c i z p r z e w o d u g ó r n e g o . P r z y j ę t o , ż e p o t e n c j a ł y l inii m ają fazy p o c z ą t k o w e r ó w ne zero. O p r a c o w a n y algorytm r o z w i ą z u j e p r o blem O l r l c h l e t a dla z u p e ł n i e d o w o l n y c h p o t e n c j a ł ó w z e s p o l o n y c h liniii R o z w i ą z y w a n e w i ę c z a d a n i e s t a n o w i J e g o s z c z e g ó l n y p r z y p a d e k .
s 2 = f i ( s 1+x 2 ) = (x1 + x2 ) ( i + e 2 )
(x1+ x 2 )
ń
6 6(l + ć ^ + x 3 [|(l+fii ) ♦ x 4 n
1*2 1=3 1=4
Rya. 2 a,b. R o z k ł a d n a t ę ż e n i a p o l a e l e k t r y c z n e g o pod e k r z y Z o w a n l e a d w ó c h t o r ó w J e d n o f a z o w y c h 7 3 5 k v w z d ł u ż p r z e k r o j ó w P I P
y *
1 - r o z w i ą z a n i a p r z y b l i ż o n e , 2 - r o z w i ą z a n i e d o k ł a d n e
86 J. U l nan. J. I h n a t o w i c z
Rys. 3 8 , b. R o z k ł a d n a t ę ż e n i a p o l a e l e k t r y c z n e g o pod s k r z y ż o w e n i e a d w ó c h t o r ó w J e d n o f a z o w y c h 7 3 5 k V w z d ł u ż p r z e k r o j ó w P 1 P
y *
1 - r 'Z w ■ z „nie p r z y b l i ż o n e , 2 - r o z w i ą z a n i e d o k ł a d n e
a«ałN
O bU tz w a r t o ś c i w W ę z T a c h <<>££ (tzn. nci
•ścianach $zgśc iana) p tIy u ż y c ia w z o r o w ( 3 . Z )
R o z w ią z a ć za y a d n ie n ic (3--f)oLL^ d a n e y o o k s ia r u i Z a p a m ię t a ć w a r to ś c i- p o t e n t a t ó w W W f l T a
cK okrfile«ijch n a pTa. siczy zna th :
* = T - * ) r t v ) 3 * - t *
Z - 0 . - 2 S ' r * t a t U c j
O b l i c z w a r t o ś c i U W p z T a c h u m i e s z c z o n y c h
n a p T a s Z c z y z n a c h ; x = f - F , X = - S + £ ' • J - ^ - £ T j < ] — - & . + £ * . 2 — a - 2 5 " p a j u ż y cia
w z o r ó w ( 3 . 2 ) i w y n i k i z a p i s z w t a b l i c y c - r < , . . . « „ a
Oblecz rr*ax I b- - £¿1 oraz zapamiętać wskaźnik i"
r J *
d ia k to re y o występuje m«x
Ofclił* b T a d . wzglfcinij s i i p U
bl__
Pmym<yem*y brasy obszaru @ ja^a /etany s ztictu n u »krawędzi
« * - z r i
Rys. 4
88 3. U l m a n , 3. I h n a t o w l c z
Z p r z e d s t a w i o n e j a n a l i z y w y n i k a , że z m n i e j s z e n i e o d l e g ł o ś c i toru g ó r n ego od d o l n e g o z ok. 15 m dc 8 m s p o w o d o w a ł o z n a c z n e z w i ę k s z e n i e b łędu
(z 1 1 , 5 % d o 16,5%) r o z w i ą z a n i a z a g a d n i e n i a D i r i c h l e t a p r z y u ż y c i u w z o r ó w (3.2) w o d n i e s i e n i u do r o z w i ą z a n i a n u m e r y c z n e g o .
L I T E R A T U R A
[1] B a r o n 8.: Pole e l e k t r y c z n e l i n i i p r z e s y ł o w y c h t r ó j f a z o w y c h n a j w y ż s z y c h napięć. Z e s z y t y N a u k o w e P o l i t e c h n i k i ś l ę s k i e j . E l e k t r y k a 73, G l i w i c e 1980.
[2] C o l l a t z L . : M e t o d y n u m e r y c z n a r o z w i ą z y w a n i a r ó w n a ń c z ą s t k o w y c h . PWN, W a r s z a w a 1960.
[3] F a d i e j e w D . K . ; F a d i e j e w a W . N . : W y c z l s l i t i e l n y j e m i e t o d y d i n i e j n o j e algi e b r y . M o s k w a 1956.
[4j G r o s z k o M. : A n a l i z a m o d e l o w a p ol a e l e k t r y c z n e g o pod l i n i a m i n a p o w i e t r z n y m i b a r d z o w y s o k i c h n a p i ę ć w a s p e k c i e z a g r o ż e n i a ś r od owiska.
P rac a d o k t o r s k a , G l i w i c e 1978.
[53 S z u l k i n P . , P o g o r z e l s k i S . : P o d s t a w y t e o r i i pola e l e k t r o m a g n e t y c z n e go. WNT, W a r s z a w a 1964.
[6] W i l k i n s o n 3 . H . : B ł ę d y z a o k r ą g l e ń w p r o c e s a c h a l g e b r a i c z n y c h . PWN, War
szawa 1967.
W p ł y n ę ł o do r e d a k c j i 2 VI 1981 r.
R e c e n z e n t : prof, d r lnż. M a c i e j K r a k o w s k i
H P H M E H E H H E M E T O M C E T O K K KOMIIŁiOTEPHOMy AHAJIH3y 3 H E K T P H H E C K 0 r 0 riOJlH 0.HHCXÏA3HÜX JDłHHii H E P E M 1® » C E P E M 1® » CKPEHHBADtUHXCfl n O H IIPHMHM yrJIOM
P e 3 » m e
£ ciaiŁe n p H u e H S H tteiOA c e i o K s p e a e H K D npooipaHCTBeHHOft 3ajta<ix M p * * - jieia a&x CKpenHBaiospixoa 4 h h h S nepeja*!» a u c o K o r o H a n p H x e m t H . IIpeiCTaBJieH u e - t o a 'm c jie H H o ro onpe,ne.aeH H a p e x n u a n o ó e p e ju » « . 0 6 c y *A e H U oh hÓ kh O K p y rz e H ifl, aBJiaionuixcH p e 3 y jib T a T 0 ii ju ia B a s j^ e fi 3 a a a T o ft apz$M eTnKH ttz tjp o B o S b K '-jh c jih t exfc—
HOfl »iaaHHu. O ó o c H O B a H a n e x e c o o S p a 3 H o c t b n p H M e H e h h h H T e p a i H B H o r o n p o n e c o a JlHÓuaHa.
A N A P P L I C A T I O N O F L A T T I C E M E T H O D FOR C O M P U T E R A N A L Y S I S O F S I N G L E - P H A S E T R A N S M I T T I N G W I R E S W H I C H A R E C R O S S E D A T A R I G H T A N G L E
S u m m a r y
In the p a p e r the l a t t i c e m e t h o d is u s ed for s o l u t i o n the s p a t i a l Di- r i c h l e t ' s p r o b l e m of c r o s s e d h i g h - v o l t a g e t r a n s m i t t i n g w i res. It is s h o w n how to get the e dge c o n d i t i o n s in the n u m e r i c a l way. T h e d i s c u s s i o n of c o m p u t e r f l e a t i n g - p o i n t e r r o r s and a p p l i c a t i o n of an i t e r a t i v e L i b s a n ' s p r o ces s io a l s o presented.
