19. Ruch złożony punktuOxzy

1 9. Ruch złożony punktu

O x

z

y

Oxyz– nieruchomy układ współrzędnych

O’

x’

z’

y’

O’x’y’z’– ruchomy układ współrzędnych

υ_O’

a_O’

ω

ε

A υ_w

a_w ρ

υ_O’ a_O’ – prędkość i przyspieszenie środka układu ruchomego ω ε – prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe układu ruchomego

υ_w a_w – względna prędkość i względne przyspieszenie punktu A (zmierzone względem układu ruchomego)

ρ – wektor określający położenie punktu A w układzie ruchomym DANEDANE

SZUKANE

SZUKANE bezwzględna prędkość i bezwzględne przyspieszenie punktu A (zmierzone względem układu nieruchomego)

sylwetka śmigłowca pochodzi z: Parker S.: Statki powietrzne, Polska Oficyna Wydawnicza „BGW”, Warszawa 1992

2 O

x

z

y

Oxyz– nieruchomy układ współrzędnych

O’

x’

z’

y’

O’x’y’z’– ruchomy układ współrzędnych

υ_O’

a_O’

ω

ε

A υ_w

a_w ρ

w

O

ω ρ υ

υ

υ ^r = ^r

+ ^r × ^r + ^r

w układzie nieruchomym

υ ^r

( )

O

a

a

a r r r r r r r r r r

+

×

+

×

+

×

×

+

=

ω ω ρ ε ρ 2 ω υ

a r

przyspieszenie unoszenia

a r

przyspieszenie Coriolisa

Zadanie 1/9

Tarcza o środku O i promieniu r obraca się z prędkością kątową ω i przyspieszeniem kątowym ε wokół osi przechodzącej przez punkt A, prostopadłej do jej płaszczy. Wzdłuż krawędzi tarczy porusza się punkt B ze stałą prędkością względem tarczy wyno- szącą υ_w.

Wyznaczyć bezwzględną prędkość υ i bezwzględne przyspiesze- nie a punktu B.

B υ_w

O r

A ω

ε

x

y z

0 0

2

2

2 2

=

=

−

−

=

−

=

+

−

−

=

−

=

z z

y w y

w w x

x

a

r r a r

r r r a r

υ

ε ω ω υ υ

ωυ υ ε ω ω

υ Odp.:

3 Zadanie 2/9

Tarcza obraca się ze stałą prędkością kątową ω wokół prosto- padłej osi przechodzącej przez jej środek. Wzdłuż cięciwy, odległej o b od osi obrotu, porusza się punkt ze stałą prędkością względną w.

Wyznaczyć bezwzględną prędkość i bezwzględne przyspieszenie punktu w funkcji kąta α.

α w

ω b

0 0

2

2 2

=

=

−

=

−

=

−

=

=

z z

y y

x x

a btg a b w

b w a btg

υ

α ω ω

υ

ω ω α

ω υ Odp.:

x y

Zadanie 3/9

Tarcza o promieniu r obraca się wokół średnicy ze stałą prędkoś- cią kątową ω. Wzdłuż krawędzi porusza się punkt ze stałą prędkością względną w.

Wyznaczyć bezwzględną prędkość υ i bezwzględne przyspieszenie a punktu w funkcji kąta α.

α w

ω

r

α ω α

ω υ

α α ω α

υ

α α

υ

cos 2 sin

sin sin cos

cos sin

2 2

2

w a r

r r w a w

r a w w

z z

y y

x x

=

=

−

−

=

=

−

=

−

= Odp.:

x y

4 Zadanie 4/9

Obliczyć bezwzględną prędkość i bezwzględne przyspieszenie punktu poruszającego się po powierzchni Ziemi na północ ze stałą prędkością względną w=100km/godz.

Punkt znajduje się na α=51.5^° szerokości geograficznej pół- nocnej. Ruch Ziemi dookoła Słońca zaniedbać. Promień

Ziemi r=6370km. r

S N

w ω

α

x z

y

2

2 6 2

2 3 2

2

2 3

/ 021 . 0 /

1043 / 7 . 289

/ 10 8 . 94 sin /

29 . 17 cos

/ 10 05 . 21 cos cos /

74 . 21 sin

/ 10 16 . 3 sin 2 /

37 . 288 cos

s m a h km s m

s r m

a w s

m w

s r m

r w a s m w

s m w

a s m r

z z

y y

x x

=

=

=

⋅

−

=

−

=

=

=

⋅

−

=

−

−

=

−

=

−

=

⋅

−

=

−

=

−

=

−

=

−

−

−

υ

α α

υ

α α ω α

υ

α ω α

ω υ

Odp.:

Zadanie 5/9

Rurka AB o długości l=0.5m obraca się ze stałą prędkością obroto- wą n=2obr/s wokół osi tworzącej z osią rurki kąt α=60°. Wewnątrz rurki znajduje się kulka M, której położenie określa współrzędna s=10t³[m], gdy t[s].

Obliczyć bezwzględną prędkość i bezwzględne przyspieszenie kulki w

chwili wylotu z rurki. s

l

α A

B M

s m

s m nl

s l m

s l m

z y x

/ 796 . 6

/ 441 . 5 sin 2

/ 036 . 2 10 cos

30

/ 526 . 3 10 sin

30

3 2 3

2

≅

−

≅

−

=

 ≅



 



= 

 ≅



 



= 

υ

α π υ

α υ

α υ

Odp.:

x y

2 3 2

2 3 2

3 2 2

2

/ 102

/ 62 . 88 10 sin

30 4

/ 05 . 11 10cos 60

/ 24 . 49 10sin

60 sin 4

s m a

s l m

n a

s l m

a

s l m

l n a

z y x

≅

−

 ≅



 



− 

=

≅

=

−

≅ +

−

=

α π

α

α α

π