• Ruch po okr ˛egu

Mechanika ruchu obrotowego

Fizyka I (Mechanika)

Wykład VII:

• Ruch po okr ˛egu

• Ruch w jednorodnym polu elektrycznym i magnetycznym

• Prawa ruchu w układzie obracaj ˛ acym si ˛e

Poj ˛ecia podstawowe

Układ współrz ˛ednych

Słu˙zy do okre´slenia poło˙zenia ciała w danym układzie odniesienia Poło˙zenie mo˙zemy zapisa´c na wiele

ró˙znych sposobów:

• układ współrz ˛ednych kartezja ´nskich:

~

r = x · ~i _x + y · ~i _y + z · ~i _z

≡ (x, y, z)

• układ współrz ˛ednych biegunowych:

~ r = (r, Θ, φ)

• układ współrz ˛ednych walcowych:

~

r = (l, φ, z)

r

l i

i i

P Z

z

Θ

X

Y

x

φ y

x

y

z

Oscylator harmoniczny

Równanie oscylatora harmonicznego:

d ² x

dt ² = −ω ² x

d ² ~ r

dt ² = −ω ² ~ r

Równanie oscylatora dobrze opisuje zachowanie bardzo wielu układów fizycznych:

ci ˛e˙zarek na spr ˛e˙zynie, wahadło matematyczne (dla małych wychyle ´n), struna, itp...

Równanie oscylatora harmonicznego jest przykładem równania ró˙zniczkowego.

Ogólna posta´c rozwi ˛ azania:

1D:

x = A · sin(ωt + φ) = A · cos(ωt) + B · sin(ωt)

3D:

~ r = A ~ · cos(ωt) + B ~ · sin(ωt)

W ogólnym przypadku ruch b ˛edzie płaski, w płaszczy´znie wyznaczonej przez pocz ˛ atkowe

poło˙zenie i pr ˛edko´s´c: A = ~ ~ r(0) = ~ r ₀ ω ~ B = ~v(0) = ~v ₀ .

Ruch po okr ˛egu

Ruch jednostajny po okr ˛egu mo˙zemy rozpatrywa´c jako zło˙zeniem dwóch niezale˙znych ruchów harmo- nicznych (z ró˙znic ˛ a faz ∆φ = ± ^π ₂ ):

x = r · cos(ω · t) = r · sin(ω · t + π 2 ) y = r · sin(ω · t)

X Y

s r φ

V

Składowe przyspieszenia (jak dla ruchu harmonicznego):

( a _x = −ω ² · x

a _y = −ω ² · y ⇒ ~a = −ω ² · ~ r ⇒ a _n = ω ² · r = V ² r Przyspieszenie to jest nazywane przyspieszeniem do´srodkowym

lub przyspieszeniem normalnym (prostopadłym do kierunku ruchu).

Gdy ruch po okr ˛egu nie jest jednostajny pojawia si ˛e te˙z składowa styczna: ~a = ~a _n + ~a _s Ciekawostka:

Ruch harmoniczny mo˙zna przedstawi´c jako zło˙zenie dwóch ruchów po okr ˛egu...

Ruch po okr ˛egu

Przypadek ogólny: r =

i z = 0

Poło˙zenie ciała opisane jest jedn ˛ a zmienn ˛ a:

• k ˛ at w płaszczy´znie XY - φ, lub

• długo´s´c łuku okr ˛egu - s = r · φ Warto´s´c pr ˛edko´sci:

V = ds

dt = r dφ

dt = r ω

X Y

s r φ

V

pr ˛edko´s´c k ˛ atowa ω = ^dφ _dt Przyspieszenie k ˛ atowe: α = dω

dt = d ² φ dt ² Przyspieszenie styczne: a _s = dV

dt = d ² s

dt ² = rα ⇐ styczne: ~a _s k ~ V

Ruch jednostajny po okr ˛egu: α = 0 ⇒ ω = const ⇒ V = const ⇒ a _s = 0

ale V 6= ~ const ⇒ ~a _n 6= 0 !!!

Ruch po okr ˛egu

Pr ˛edko´s´c w zapisie wektorowym:

V = ~ ~ ω × ~ r

Przyspieszenie:

~a = d~ V

dt = d~ ω

dt × ~ r + ~ ω × d~ r dt

= α ~ × ~ r + ~ ω × V ~

= a ~ _s + a ~ _n

Z

X

Y

V r

s φ

ω

Oprócz przyspieszenia stycznego a ~ _s k ~ V , opisuj ˛ acego zmian ˛e |~ V |,

jest te˙z przyspieszenie normalne a ~ _n , odpowiedzialne za zmian ˛e kierunku V ~ w czasie.

~

a _n = ~ ω × (~ ω × ~ r) = −ω ² · ~ r A × (B × C) = (A · C) · B − (A · B) · C

przyspieszenie do´srodkowe

Równania ruchu

Podstawowym zagadnieniem dynamiki jest rozwi ˛ azywanie równa ´n ruchu, czyli okre´slanie ruchu ciała ze znajomo´sci działaj ˛ acych na nie sił.

Siła działaj ˛ aca na ciało mo˙ze zale˙ze´c od poło˙zenia i pr ˛edko´sci cz ˛ astki oraz czasu

⇒ równanie ruchu:

m d ² ~ r(t)

dt ² = ~ F (~ r, ~v, t) Ogólne rozwi ˛ azanie ma sze´s´c stałych całkowania:

~ r = ~ r (t, C ₁ , C ₂ , . . . , C ₆ )

Aby ´sci´sle okre´sli´c ruch ciała musimy poza rozwi ˛ azaniem równa ´n ruchu wyznaczy´c warto´sci wolnych parametrów (w ogólnym przypadku sze´sciu) Najcz ˛e´sciej dokonujemy tego okre´slaj ˛ ac warunki pocz ˛ atkowe:

~

r ₀ = ~r (t ₀ )

~v ₀ = ~v (t ₀ ) t ₀

Rówanania ruchu

Pole elektryczne

Rozwa˙zmy cz ˛ astk ˛e naładowan ˛ a o masie m i ładunku q poruszaj ˛ ac ˛ a si ˛e w jednorodnym polu elektrycznym o nat ˛e˙zeniu E ~ (np. wewn ˛ atrz kondensatora płaskiego).

+ + + + + + + + + + + + + + +

− − − − − − − − − − − − − − −

x

y V

E

F

q>0

E = (0, −E, 0) ~

Na cz ˛ astk ˛e działa stała siła (z definicji nat ˛e˙zenia):

F ~ _E = q · ~ E

Ruch odbywa si ˛e ze stałym przyspieszeniem:

~a = F ~ _E

m = q

m · ~ E Pełna analogia do pola grawitacyjnego:

~g ⇔ q

m · ~ E Np. energia potencjalna:

E _p ^g = mgy ⇔ E _p ^E = qEy

Rówanania ruchu

Pole elektryczne

+ + + + + + + + + + + + + +

− − − − − − − − − − − − − − − +

x L

y

V

E

q<0

F

Stałe jednorodne pole elektryczne E = (0, E, 0) ~ W chwili t ₀ = 0 w punkcie ~ r ₀ = (0, 0, 0) w pole wlatuje z pr ˛edko´sci ˛ a v ~ ₀ = (v ₀ , 0, 0) cz ˛ astka o masie m i ładunku Q

F ~ _E = Q ~ E

Równania ruchu:

m d ² x

dt ² = 0 m d ² y

dt ² = Q E

Całkowanie + warunki pocz ˛ atkowe

⇒ x(t) = v ₀ · t y(t) = Q E

2m · t ²

⇒ równanie toru: y = ^{Q E}

2mv ² ₀ · x ² K ˛ at odchylenia:

tan θ = dy dx

 _x=L

= Q E L

m v ₀ ²

Rówanania ruchu

Pole magnetyczne

x

z y

V

B

Stałe jednorodne pole B = (0, 0, B) ~

W chwili t ₀ = 0 w punkcie ~ r ₀ = (0, 0, 0) w pole wlatuje z pr ˛edko´sci ˛ a v ~ ₀ = (0, v ₀ , 0) cz ˛ astka o masie m i ładunku Q

F ~ _B = Q · ~v × ~ B

Z definicji iloczynu wektorowego

m d ² ~ r

dt ² = Q ·











~i _x ~i _y ~i _z

dx dt

dy

dt dz dt

0 0 B











Układ dwóch równa ´n:

m d ² x

dt ² = Q B dy dt m d ² y

dt ² = −Q B dx dt Całkuj ˛ ac pierwsze równanie

m dx

dt = Q B (y − y _c )

⇒ d ² y

dt ² = −

 Q B m

 2

(y − y _c )

Rówanania ruchu

Pole magnetyczne

Otrzymujemy równania ruchu:

d ² y

dt ² = −ω ² (y − y _c )

dx

dt = ω (y − y _c ) ω = Q B m

⇒ ruch po okr ˛egu ω - cz ˛esto´s´c cyklotronowa

B Q

V F

y

x

B

r

Rozwi ˛ azanie:

x = r · sin(ωt + φ ₀ ) + x _c y = r · cos(ωt + φ ₀ ) + y _c gdzie r - promie ´n cyklotronowy:

r = m v ₀ Q B Z warunków pocz ˛ atkowych (~ r(0) = ~ r ₀ i ~v(0) = ~v ₀ ):

x = r · (1 − cos ωt) y = r · sin ωt

Ruch w polu magnetycznym jest jednostajny: v = const

r = m v

Q B = p

Q B

Rówanania ruchu

W fizyce cz ˛ astek pole magnetyczne powszechnie wykorzystywane jest do pomiaru p ˛edu cz ˛ astek. Wszystkie długo˙zyciowe cz ˛ astki naładowane maj ˛ a ładunek ±1e...

Komora p ˛echerzykowa w CERN Detektor CDF w Fermilab

Rówanania ruchu

Pole magnetyczne

W ogólnym przypadku pr ˛edko´s´c cz ˛ astki V ~ nie musi by´c prostopadła do wektora indukcji pola magnetycznego B ~ .

Jednak siła Lorenza zawsze prostopadła do B ~ ⇒ na kierunku równoległym do pola znika!

W kierunku wektora pola ruch cz ˛ astki jest ruchem jednostajnym.

W ogólnym przypadku torem ruchu jest

spirala.

Rówanania ruchu

Pole magnetyczne

y

L

x V

B

r

Odchylenie cz ˛ astki przelatuj ˛ acej

przez w ˛ aski obszar jednorodnego pola zakładamy ωt ≪ 1:

x ≈ r · ωt y ≈ r ·

"

1 − (ωt) ² 2

!

− 1

#

= − x ² 2 r

K ˛ at odchylenia:

tan θ =

dy dx

 _x=L = L

r = Q B L

m v ₀

Rówanania ruchu

Selektor pr ˛edko´sci

y z

x

V=V _o V>V _o

V<V o

Q > 0 B

E V

Cz ˛ astka w skrzy˙zowanych jednorodnych polach E ~ ⊥ B ~

F ~ _E = Q · ~ E

F ~ _B = Q · ~v × ~ B

Dla pr ˛edko´sci V ₀ = _B ^E

wypadkowa sił F ~ _E + ~ F _B = 0

⇒ tor prostoliniowy

⇒ metoda selekcji cz ˛ astek o ustalonej pr ˛edko´sci

niezale˙znie od ich Q i m

Rówanania ruchu

Spektrometr Bainbridge’a

B B

E

r wiazka jonow

selektor predkosci

klisza fotograficzna o

Mierzymy promie ´n cyklotronowy r = ^{m v} _{Q B} ⁰ dla cz ˛ astek o ustalonej pr ˛edko´sci v ₀ = ^E _B

⇒ pomiar ^m _Q

1 2 3

2 3

1

m <m <m

m m

m

Cz ˛ astki o ró˙znych masach zaczerni ˛ a klisz ˛e

w ró˙znych odległo´sciach od szczeliny

Ruch po okr ˛egu

Siła do´srodkowa

Cz ˛ astka naładowana w polu magnetycznym

B Q

V F

y

x

B

r

Promie ´n cyklotronowy:

r = m v

Q B = p Q B

Siła Lorenza:

F ~ _B = Q · ~v × ~ B

Dla ~v ⊥ ~ B:

F _B = Q v B

⇒ F _B = Q B

m v m v ² = 1

r m v ²

F _B = m v ²

r = m ω ² r

Ruch po okr ˛egu

Zasada bezwładno´sci

“Ka˙zde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu prostoliniowego i jednostajnego, je´sli siły przyło˙zone nie zmuszaj˙z ciała do zmiany tego stanu.” I.Newton

⇒ aby ciało pozostawało w ruchu po okr ˛egu konieczne jest działanie siły ⇒ siła do ´srodkowa

B Q

V F

y

x

B

r

Ruch po okr ˛egu mo˙ze by´c wynikiem działania ró˙znego rodzaju sił:

• siły zewn ˛etrzne

⇒ siła Lorenza (pole magnetyczne)

⇒ siły spr ˛e˙zysto´sci

• siły reakcji wi ˛ezów (kulka na nitce)

• wypadkowej sił reakcji i sił zewn ˛etrznych (regulator Watta, kulka w wiruj ˛ acym naczyniu...)

Ruch po okr ˛egu

Siła do´srodkowa

Regulator Watta

ω R

mg

F

Kulka w wiruj ˛ acym naczyniu

ω R

mg

F

Siła do´srodkowa jest wypadkow ˛ a siły reakcji i siły ci ˛e˙zko´sci:

F = ~ m~g + R ~

Ruch po okr ˛egu

Siła do´srodkowa

Z

X

Y V r

s φ

ω

x = r · cos(ω · t) y = r · sin(ω · t) z ≡ 0

⇒ a _x = −ω ² r · cos(ω · t) a _y = −ω ² r · sin(ω · t)

⇒ ~a = −ω ² ~ r

⇒ F ~ = −m ω ² ~ r

~a = d~v dt

dv = v · dφ = v ω dt a = v ω = ω ² r = v ²

r

V dV

r φ = ω dt d

φ d

W zapisie wektorowym: ~ ω = const

~a = d V ~

dt = d(~ ω × ~ r)

dt = ~ ω × d~ r dt

= ~ ω × V ~ = ~ ω × (~ ω × ~ r)

= −ω ² · ~ r _⊥ ~ r _⊥ = (x, y, 0)

Ruch po okr ˛egu

Siła do´srodkowa

Kulka w wiruj ˛ acym naczyniu

α r ω

mg

F R

F = ~ m~g + R ~

Siła do´srodkowa skierowana poziomo ze składania sił:

⇒ R · cos α − mg = 0 F = R · sin α = mg · tan α Z równania ruchu:

F = m ω ² r _⊥ = m ω ² r · sin α

⇒ cos α = g ω ² r

Kulka odchyli si ˛e dopiero dla ω > ^{q g} _r = ω _◦ ω _◦ - cz ˛esto´s´c drga ´n wahadła

matematycznego o długo´sci r

Układy nieinercjalne

Prawa ruchu

Niech układ O’ porusza si ˛e wzgl ˛edem układu inercjalnego O.

Osie obu układów pozostaj ˛ a cały czas równoległe (brak obrotów)

Niech ~ r _◦ (t) opisuje poło˙zenie układu O’ w O. Przyspieszenie: ~a _◦ = ^{d 2 ~ r ◦}

dt ²

Prawa ruchu w układzie inercjalnym O:

m~a = ~ F (~ r, ~v, t) + ~ F _R

⇒ w układzie nieinercjalnym O’:

m~a ^′ = ~ F (~ r ^′ , ~v ^′ , t) + ~ F _R − m~a _◦

⇒ w układzie nieinercjalnym musimy wprowadzi´c sił ˛e bezwładno´sci F ~ _b = −m~a _◦ Czy mo˙zemy to podej´scie zastosowa´c tak˙ze w przypadku,

gdy układy obracaj ˛ a si ˛e wzgl ˛edem siebie?

Problem komplikuje si ˛e, bo przyspieszenie wzgl ˛edne zale˙zy od poło˙zenia...

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Niech układ O’ obraca si ˛e z pr ˛edko´sci ˛ a k ˛ atow ˛ a ~ ω wzgl ˛edem układu inercjalnego O.

Dla uproszenia przyjmijmy, ˙ze pocz ˛ atki obu układów pokrywaj ˛ a si ˛e.

Rozwa˙zmy ruch punktu materialnego spoczywaj ˛ acego w układzie O’:

Z punktu widzenia obserwatora O ciało porusza si ˛e po okr ˛egu i musi na nie dziala´c siła do´srodkowa:

F = −m ω ~ ² ~ r _⊥

W układzie O’, aby opisa´c równowag ˛e sił ( ciało pozostaje w spoczynku) musimy wprowadzi´c sił ˛e bezwładno´sci:

F ~ _b = +m ω ² ~ r _⊥

⇒ siła od´srodkowa

Siły bezwładno´sci s ˛ a siłami pozornymi, wynikaj ˛ acymi z nieinercjalnego charakteru układu odniesienia

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Siła od´srodkowa

Regulator Watta

B

ω=0 F

R

mg

Kulka w wiruj ˛ acym naczyniu

B

ω=0 R

mg F

Równowaga sił w układzie obracaj ˛ acym si ˛e:

m~g + R ~ + F ~ _b = m~a ^′ = 0

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Siła od´srodkowa

Ciecz w wiruj ˛ acym naczyniu

Powierzchnia cieczy przyjmuje kształt paraboliczny

y

r α ω=0

R

F _B mg

Równowaga drobiny na powierzchni cieczy:

mg sin α − mω ² r cos α = 0

(rzut na powierzchnie cieczy) dy

dr = tan α = ω ² g r

⇒ y = ω ²

2g · r ² +y _◦

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Ruch obrotowy Ziemi

ω ≈ 2π

23 ^h 56 ^m 04 ^s ≈ 7.3 · 10 ⁻⁵ 1 s

Ciała nieruchome wzgl ˛edem powierzchni Ziemi.

Zmiana efektywnego przyspieszenia ziemskiego zwiazana z ruchem obrotowym Ziemi:

∆g = − ω ² r _⊥ cos φ = − ω ² r _Z cos ² φ

≈ −0.033 m

s ² · cos ² φ φ −

Wyniki pomiarów:

biegun N g = 9.83216 ^m

s ²

Warszawa g = 9.81230 ^m

s ²

równik g = 9.78030 ^m

s ²

Efekt wi ˛ekszy ze wzgl ˛edu na spłaszczenie Ziemi

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Układ O’ obraca si ˛e z pr ˛edko´sci ˛ a k ˛ atow ˛ a ~ ω wzgl ˛edem układu inercjalnego O.

Rozwa˙zmy teraz ruch punktu materialnego spoczywaj ˛ acego w układzie O:

Z punktu widzenia obserwatora O’ ciało porusza si ˛e po okr ˛egu i musi na nie dziala´c siła do´srodkowa:

F = −m ω ~ ² ~ r _⊥

W układzie O’ działa tymczasem pozorna siła od´srodkowa F ~ _b = +m ω ² ~ r _⊥

⇒ musimy wprowadzi´c kolejn ˛ a sił ˛e ?!

Aby “uratowa´c” równania ruchu potrzebujemy

F ~ _c = −2 m ω ² ~ r _⊥

⇒ czy to w ogóle ma sens ?...

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Punkt materialny poruszaj ˛ acy si ˛e po okr ˛egu w układzie O, siła do´srodkowa F _d = m ^V _r ² . W układzie obracaj ˛ acym si ˛e O’ pr ˛edko´s´c punktu wynosi V ^′ = V − ω r

Układ O

v

F _d y

x

ω

Układ O’

v’ _{F c}

x’

y’

ω F _d F _b

Siła wypadkowa w O’:

F _d ^′ = m V ^′2

r = m (V ^′ + ωr) ²

r − 2mωV ^′ − mω ² r = F _d − F _c − F _b

Dodatkowa siła pozorna F ~ _c (siła Coriolisa) konieczna do opisania ruchu po okr ˛egu w O’

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Rozwa˙zmy teraz punkt materialny poruszaj ˛ acy si ˛e radialnie w układzie O’.

W inercjalnym układzie O zbli˙zaj ˛ acy si ˛e do centrum układu punkt materialny zaczyna

“wyprzedza´c” punkty układu O’, gdy˙z ich pr ˛edko´s´c w ruchu obrotowym maleje...

Układ O’

x’

y’

v’ F ^c

ω

Układ O

v

y

x

ω

Pozorna siła Coriolisa pojawia si ˛e w układzie obracaj ˛ acym si ˛e (nieinercjalnym), ˙zeby

opisa´c odchylenie od toru prostoliniowego...

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Układ O’ obraca si ˛e z pr ˛edko´sci ˛ a k ˛ atow ˛ a ~ ω wzgl ˛edem układu inercjalnego O.

Z

Y r

X

Z ω

Y

X

V’

V V _rot

i _x

Dodawanie pr ˛edko´sci:

~v = ~v ^′ + ~v _rot = ~v ^′ + ~ ω × ~ r ^′ Przyspieszenie:

~a = d~v

dt = d~v ^′

dt + d~ ω

dt × ~ r ^′ + ~ ω × d~ r ^′ dt Pochodna dla wektora o z układu O’: (~ r ^′ i ~v ^′ )

d~ o ^′

dt = d~ o ^′

dt ^′ + ω × ~ ~ o ^′

pochodna w O’ + obrót osi O’

⇒ ~a = ~a ^′ + d~ ω

dt × ~ r ^′ + ~ ω × (~ ω × ~ r ^′ ) + 2 · ~ ω × ~v ^′

przysp. w O’ przysp. O’ przysp. do´srodkowe przysp. Coriolisa

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Równanie ruchu

W układzie inercjalnym O:

m~a = ~ F (~ r, ~v, t) + ~ F _R

⇒ w układzie nieinercjalnym O’:

m~a ^′ = ~ F (~ r ^′ , ~v ^′ , t) + ~ F _R − m ~ ω × (~ ω × ~ r ^′ ) − 2 · m ~ ω × ~v ^′

W układzie obracaj ˛ acym si ˛e wprowadzamy dwie pozorne siły bezwładno´sci:

• sił ˛e od´srodkow ˛ a F ~ _o = −m ~ ω × (~ ω × ~ r ^′ ) = +m ω ² ~ r _⊥ ^′

• sił ˛e Coriolisa F ~ _c = −2 · m ~ ω × ~v ^′

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Ruch obrotowy Ziemi

Spadek swobodny z du˙zej wysoko´sci

Siła Coriolisa odchyla tor ciała

w kierunku wschodnim (obie półkule!)

Spadek swobodny z wysoko´sci h=5.5 km, zaniedbuj ˛ ac opory powietrza:

y = h − gt ²

2 , v _y = −g t Zaniedbuj ˛ ac odchylenie od pionu:

a _c = 2 ω |v _y | cos φ = 2 ω g cos φ · t Ruch w poziomie (całkuj ˛ ac a _x = a _c ):

v _x = ω g cos φ · t ² , x = 1

3 ω g cos φ · t ³ Ko ´ncowe odchylenie toru od pionu:

t =

s 2h

g ≈ 33s ⇒ ∆ ≈ 9 m · cos φ

w Warszawie około 5.5 m

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Ruch obrotowy Ziemi

Spadek swobodny z du˙zej wysoko´sci

Siła Coriolisa odchyla tor ciała

w kierunku wschodnim (obie półkule!)

Opory powietrza ⇒ przez wi ˛ekszo´s´c czasu spadek z pr ˛edko´sci ˛ a v ≈ 55 m/s:

a _c = 2 ω v cos φ

≈ 0.008 m

s ² · cos φ

Spadek z 5.5 km zajmie t ≈ 100 s.

Ko ´ncowe odchylenie toru od pionu:

∆ = a _c t ²

2 ≈ 40 m · cos φ

w Warszawie około 25 m

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Siła Coriolisa F ^~ _c = −2 · m ~ ω × ~v ^′ Półkula północna

0000 1111 ω

000

V 111

F ^c

W

Wiatry zakr ˛ecaj ˛ a “w prawo”; wy˙z “kr ˛eci si ˛e”

zgodnie z ruchem wskazówek zegara

Półkula południowa

0000

1111 ω _{0000 1111} W

V F _c

Wiatry zakr ˛ecaj ˛ a “w lewo”; wy˙z “kr ˛eci si ˛e”

przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Wahadło Foucault’a 1851 r.

E N

S W

pólkula pólnocna

start z wychylenia maksymalnego

Dla obserwatora na Ziemi płaszczyzna ruchu wahadła obraca si ˛e z pr ˛edko´sci ˛ a k ˛ atow ˛ a

ω ₁ = ω · sin φ

w Warszawie (φ = 52 ^◦ ): ω ₁ ≈ 12 ^◦ /h

dla startu z poło˙zenia równowagi:

Egzamin

Przykładowe pytania testowe:

1. W jednorodnym polu magnetycznym cz ˛ astka naładowana nie mo˙ze porusza´c si ˛e po

A linii ´srubowej B okr ˛egu C elipsie D prostej

2. W ruchu jednostajnym po okr ˛egu warto´s´c siły do´srodkowej wynosi

A mω ² r B ^mω _r

C 0 D mv ² r

3. Przyspieszenie ziemskie wyznaczane z pomiaru spadku swobodnego

A jest najwi ˛eksze dla φ = 45 ^◦ B nie zale˙zy od poło˙zenia na Ziemi C jest najwi ˛eksze na biegunie D jest najwi ˛eksze na równiku

4. W idealnie pionow ˛ a studni ˛e upuszczamy kamie ´n. W któr ˛ a ´scian ˛e studni uderzy

A wschodni ˛ a B południow ˛ a C północn ˛ a D zachodni ˛ a

5. Okres precesji (obrotu płaszczyzny drga ´n) wahadła Foucaulta znajduj ˛ acego si ˛e na równiku wynosi

A 24 h B nie ma precesji C 12 h D 48 h

Projekt współfinansowany ze ´srodków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego