Temat: Wyznaczanie dziedziny funkcji.
Na ostatniej lekcji odczytywaliśmy dziedzinę funkcji mając dany jej wykres. Dziś nauczymy się wyznaczać dziedzinę funkcji, jeśli będziemy mieli dany wzór funkcji.
Przypomnijmy:
Dziedzina funkcji to zbiór argumentów (czyli iksów), dla których dana funkcja ma sens.
Wyznaczając dziedzinę funkcji mając dany jej wzór, musimy zwrócić uwagę na trzy najważniejsze rzeczy:
1) mianowniki
Jeśli wzór funkcji jest ułamkiem, w mianowniku którego pojawia się jakieś wyrażenie zawierające „x”, to cały mianownik nie może być zerem (dlatego że pamiętacie: nie dzielimy przez zero! )
np.:
f ( x )= 5 x−3 4 x +10
Założenie: 4x+10 ≠ 0 4x ≠ -10 /:4 x ≠−10
4
x ≠ -2,5 oznacza to, że do przykładu możemy podkładać każdą liczbę tylko nie -2,5 Zatem:
Df= R-{-2
1
2
} można też zapisać tak: Df= R\{-21
2
}2)pierwiastki parzystego stopnia , w szczególności pierwiastki stopnia drugiego
Jeśli we wzorze funkcji pojawia się pierwiastek parzystego stopnia, to pamiętajmy, że wtedy pod takim pierwiastkiem musi pojawić się liczba większa lub równa zero ( dlatego że nie ma pierwiastków parzystego stopnia z liczb ujemnych) np.:
f ( x )= √ 2 x+8
Założenie: 2x+8≥02x ≥ -8 /:2 dzielimy przez liczbę dodatnią, więc nie zmieniamy znaku nierówności x≥ -4
narysujmy wykres na którym przedstawimy liczby, dla których nasz przykład będzie miał sens (kropka zamalowana w „- 4” bo iksy są większe lub RÓWNE liczbie -4)
Zatem:
Df= <-4, +) przedział czytamy z rysunku od LEWEJ do PRAWEJ;
3) pierwiastki parzystego stopnia w mianowniku
Jeśli we wzorze funkcji pojawia się pierwiastek parzystego stopnia w mianowniku, to pamiętajmy, że wtedy pod takim pierwiastkiem musi pojawić się liczba większa od zera (nie może być w mianowniku zero)
np.:
f ( x )= 5 x−3
√ 4 x +10
Założenie:
4x-10>0 4x>10 /:4 x>2,5
kropka niezamalowana, bo „x” są większe od 2,5 (a nie większe lub równe) zatem:
Df= (2
1 2 ,+∞
¿Dla utrwalenia obejrzyjcie filmik https://www.youtube.com/watch?v=DutMzaNYCUY
Zad. 8.54
d)
f ( x )= 2 x−3
(3 x−4 )(5 x−1)
mamy ułamek; nie ma pierwiastka parzystego stopnia; warunek 1) Założenie:(3 x−4 )(5 x−1)≠ 0
nie wymnażaj! Żeby z mnożenia nie wyszło zero, to żaden z czynników nie może być zerem!3x-4 ≠0 i 5x-1≠0 3x≠4 /:3 5x≠1 /:5 x≠
4
3
x≠1 5
x≠11
3
tzn.: przykład ma sens dla wszystkich liczb, poza liczbami 11
3
oraz1 5
Zatem:
Df= R – {
1 5
, 11 3
}Zad. 8.55
d)
f ( x )= 2 x −5
25−4 x
2 mamy ułamek; nie ma pierwiastka parzystego stopnia; warunek 1)Założenie:
25−4 x2≠ 0
−4 x
2≠−25
/: (-4)x
2≠ −25
−4 x
2≠ 25
4
x ≠ 5
2 i x ≠− 5
2
kwadrat obu tych ułamków dałby wynik25 4
Zatem:
Df= R – {
−5 2
,5
2
}Zadanie Wyznacz dziedzinę funkcji f(x)=
√ 2 x−2
mamy pierwiastek parzystego stopnia (ponieważ zwykły pierwiastek to pierwiastek stopnia drugiego)- warunek 2) Założenie:
2x-2≥0 2x≥2 /:2 x≥1
zaznaczmy powyższe rozwiązanie na osi liczbowej:
Df= <1; +) Praca domowa: 8.54a,b,c 8.55 a,b,c
