Czworokąty…
1. Punkty 𝑀 i 𝑁 są środkami podstaw 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐵 > 𝐶𝐷), przy czym 𝑀𝑁 =
1
2(𝐴𝐵 − 𝐶𝐷). Udowodnij, że suma miar kątów 𝐵𝐴𝐷 i 𝐴𝐵𝐶 jest równa 90°.
2. Dany jest prostokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷. Niech 𝐾 będzie rzutem prostokątnym wierzchołka 𝐵 na przekątną 𝐴𝐶, a 𝑀 i 𝑁 odpowiednio środkami odcinków 𝐴𝐾 i 𝐶𝐷. Wykaż, że kąt 𝐵𝑀𝑁 jest prosty.
3. Środkami boków 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 są punkty 𝑃 i 𝑄, natomiast środkami jego
przekątnych 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 punkty 𝑀 i 𝑁. Wykaż, że jeśli odcinki 𝑀𝑁 i 𝑃𝑄 są prostopadłe, to boki 𝐴𝐷 i 𝐵𝐶 mają równe długości.
4. Dwa kolejne wierzchołki czworokąta wypukłego połączono ze środkiem przeciwległego boku.
Udowodnij, że jeśli pole takiego trójkąta jest równe połowie pola czworokąta, to czworokąt ten jest trapezem (lub równoległobokiem).
5. Czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wpisany w okrąg. Proste 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 przecinają się w punkcie 𝐾, a proste 𝐴𝐷 i 𝐵𝐶 w punkcie 𝐿. Wykaż, że punkty przecięcia dwusiecznych kątów 𝐴𝐾𝐷 i 𝐵𝐿𝐴 z bokami tego czworokąta są wierzchołkami rombu.
6. Wykaż, że w czworokącie wypukłym przekątne są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy sumy kwadratów długości przeciwległych boków są równe.
7. Wykaż, że pole 𝑆 dowolnego czworokąta o bokach 𝑎, 𝑏, 𝑐 i 𝑑 jest równe 𝑆 = √(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)(𝑝 − 𝑑) − 𝑎𝑏𝑐𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜑, gdzie 𝑝 =12(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑), a 𝜑 =1
2(∢𝐴 + ∢𝐶) (𝐴 i 𝐶 to przeciwległe wierzchołki). Dla czworokąta wpisanego w okrąg mamy więc
𝑆 = √(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)(𝑝 − 𝑑).
8. Okrąg o środku 𝑂 wpisany w czworokąt wypukły 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest styczny do boków 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐷𝐴 odpowiednio w punktach 𝐾, 𝐿, 𝑀, 𝑁. Proste 𝐾𝐿 i 𝑀𝑁 przecinają się w punkcie 𝑆. Wykaż, że proste 𝐵𝐷 i 𝑂𝑆 są prostopadłe.
9. W trapezie 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷) okrąg o średnicy 𝐵𝐶 jest styczny do prostej 𝐴𝐷. Wykaż, że okrąg o średnicy 𝐴𝐷 jest styczny do prostej 𝐵𝐶.
10. Czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wpisany w okrąg. Punkty 𝑃 i 𝑄 leżą odpowiednio na półprostych 𝐴𝐵→ i 𝐴𝐷→, przy czym 𝐴𝑃 = 𝐶𝐷, 𝐴𝑄 = 𝐵𝐶. Wykaż, że środek odcinka 𝑃𝑄 leży na prostej 𝐴𝐶.
11. Punkty 𝐸 i 𝐹 są środkami odpowiednio boków 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 czworokąta wypukłego 𝐴𝐵𝐶𝐷. Wykaż, że środki odcinków 𝐴𝐹, 𝐷𝐸, 𝐵𝐹 i 𝐶𝐸 są wierzchołkami równoległoboku.
12. Okrąg dzieli każdy bok rombu na 3 odcinki. Malujemy otrzymane odcinki kolejno na czerwono, zielono i biało, zaczynając od wierzchołka rombu i poruszając się po jego obwodzie w
ustalonym kierunku. Wykaż, że suma długości odcinków czerwonych jest równa sumie długości odcinków białych.
13. Dany jest kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷. Niech 𝑀 będzie takim punktem wewnętrznym boku 𝐵𝐶, a 𝑁 takim punktem wewnętrznym boku 𝐶𝐷, że ∢𝑀𝐴𝑁 = 45°. Wykaż, że środek okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝑀𝑁 leży na prostej 𝐴𝐶.
…i nie tylko czworokąty
1. W trójkącie równoramiennym 𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐵 = 𝐴𝐶) ∢𝐴 = 20°. 𝐷 i 𝐸 są takimi punktami
odpowiednio na bokach 𝐴𝐵 i 𝐴𝐶, że ∢𝐷𝐶𝐵 = 50°, a ∢𝐸𝐵𝐶 = 60°. Wyznacz miarę kąta 𝐷𝐸𝐵.
2. W trójkącie 𝐴𝐵𝐶 wysokość i środkowa poprowadzone z wierzchołka 𝐶 podzieliły kąt ∢𝐴𝐶𝐵 na trzy równe części. Wyznacz miary kątów w trójkącie 𝐴𝐵𝐶.
3. W trójkącie 𝐴𝐵𝐶 wysokość, dwusieczna i środkowa poprowadzone z wierzchołka 𝐶 podzieliły kąt ∢𝐴𝐶𝐵 na cztery równe części. Wyznacz miary kątów w trójkącie 𝐴𝐵𝐶.
4. Środkowe 𝐴𝐷, 𝐵𝐸, 𝐶𝐹 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 przecinają się w punkcie 𝐺. Na czworokątach 𝐴𝐹𝐺𝐸 i 𝐵𝐷𝐺𝐹 można opisać okręgi. Wykaż, że trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoboczny.
5. Punkty 𝐷, 𝐸, 𝐹 leżą odpowiednio na bokach 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Okręgi wpisane w trójkąty 𝐴𝐸𝐹, 𝐵𝐹𝐷, 𝐶𝐷𝐸 są styczne do okręgu wpisanego w trójkąt 𝐷𝐸𝐹. Udowodnij, że proste 𝐴𝐷, 𝐵𝐸, 𝐶𝐹 przecinają się w jednym punkcie.
6. Udowodnij, że wewnątrz dowolnego trójkąta istnieje taki punkt, że każda prosta przechodząca przez ten punkt dzieli obwód trójkąta w takim samym stosunku, w jakim dzieli ona jego pole.
7. Dwa okręgi o promieniach 𝑟 i 𝑅 są styczne zewnętrznie w punkcie 𝐶. Oblicz odległość punktu 𝐶 od wspólnej stycznej zewnętrznej tych okręgów / Wykaż, że odległość ta jest równa 𝑟+𝑅2𝑟𝑅.
8. W wycinek 𝐴𝑂𝐵 koła o środku 𝑂 i promieniu 𝑅 wpisano koło o promieniu 𝑟. Niech 𝐴𝐵 = 2𝑎.
Wykaż, że 1
𝑟= 1
𝑅+1
𝑎.
