ZMIENNE LOSOWE

ZMIENNE LOSOWE

JJ, IMiF UTP

27

Zmienna losowa

DEFINICJA. Załóżmy, że Ω jest przestrzenią zdarzeń elementarnych danego doświadczenia. Zmienną losową nazywamy funkcję X (e)

przyporządkowującą każdemu zdarzeniu elementarnemu e ∈ Ω dokładnie jedną liczbę X (e) = x .

Jeżeli zbiór wartości jakie przyjmuje funkcja X jest przeliczalny (tzn.

skończony lub równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych), to zmienna losowa jest dyskretna (skokowa).

Jeżeli zbiór wartości jakie przyjmuje funkcja X jest przedziałem, to zmienna losowa jest ciągła.

Zmienna losowa

PRZYKŁAD 1A . Rzucamy raz monetą.

Zbiór zdarzeń elementarnych to Ω = {r , o}, gdzie r to zdarzenie

elementarne (nie dające się „podzielić” na zdarzenia prostsze) polegające na wyrzuceniu reszki, a o na wyrzuceniu orła.

Zmienną losową możemy określić inaczej, na przykład:

X (r ) = −30, X (o) = 50. Wtedy

P(X = −30) = P(r ) = 1 2 P(X = 50) = P(o) = 1

2.

Zmienna losowa

PRZYKŁAD 1A . Rzucamy raz monetą.

Zbiór zdarzeń elementarnych to Ω = {r , o}, gdzie r to zdarzenie

elementarne (nie dające się „podzielić” na zdarzenia prostsze) polegające na wyrzuceniu reszki, a o na wyrzuceniu orła.

Zmienną losową możemy określić inaczej, na przykład:

X (r ) = −30, X (o) = 50. Wtedy

P(X = −30) = P(r ) = 1 2 P(X = 50) = P(o) = 1

2.

Zmienna losowa

PRZYKŁAD 1A . Rzucamy raz monetą.

Zbiór zdarzeń elementarnych to Ω = {r , o}, gdzie r to zdarzenie

elementarne (nie dające się „podzielić” na zdarzenia prostsze) polegające na wyrzuceniu reszki, a o na wyrzuceniu orła.

Zmienną losową możemy określić jako

X (r ) = 1, X (o) = 0.

Wtedy

P(X = 1) = P(r ) = 1 2

P(X = 0) = P(o) = 1 2.

Zmienną losową możemy określić inaczej, na przykład: X (r ) = −30, X (o) = 50. Wtedy

P(X = −30) = P(r ) = 1 2 P(X = 50) = P(o) = 1

2.

Zmienna losowa

PRZYKŁAD 1A . Rzucamy raz monetą.

Zbiór zdarzeń elementarnych to Ω = {r , o}, gdzie r to zdarzenie

elementarne (nie dające się „podzielić” na zdarzenia prostsze) polegające na wyrzuceniu reszki, a o na wyrzuceniu orła.

Zmienną losową możemy określić jako

X (r ) = 1, X (o) = 0.

Wtedy

P(X = 1) = P(r ) = 1 2

P(X = 0) = P(o) = 1 2.

Zmienną losową możemy określić inaczej, na przykład: X (r ) = −30, X (o) = 50. Wtedy

P(X = −30) = P(r ) = 1 2 P(X = 50) = P(o) = 1

2.

Zmienna losowa

PRZYKŁAD 1A*. Rzucamy raz monetą.

Zbiór zdarzeń elementarnych to Ω = {r , o}, gdzie r to zdarzenie

elementarne (nie dające się „podzielić” na zdarzenia prostsze) polegające na wyrzuceniu reszki, a o na wyrzuceniu orła.

Zmienną losową możemy określić inaczej, na przykład:

X (r ) = −30, X (o) = 50.

Wtedy

P(X = −30) = P(r ) = 1 2 P(X = 50) = P(o) = 1

2.

Dystrybuanta

DEFINICJA. Dystrybuanta zmiennej losowej X to funkcja F (x ) = P(X ¬ x ).

WŁASNOŚCI.

1 F (x ) jest funkcją niemalejącą;

2 0 ¬ F (x ) ¬ 1;

3 limx →−∞F (x ) = 0;

4 lim_{x →∞}F (x ) = 1.

x y

0 1

Funkcja gęstości

UWAGA.

Zmienną losową skokową charakteryzujemy rozkładem (funkcją

prawdopodobieństwa), a zmienną losową ciągłą charakteryzujemy funkcją gęstości.

OZNACZENIE. Niech X będzie zmienną skokową.

Gdy zmienna X przyjmuje n (skończenie wiele) wartości,

to zapis ^P_i oznacza ^Pn_{i =1}, w przeciwnym razie ^P_i oznacza ^P∞_{i =1}.

Funkcja gęstości

DEFINICJA.

Funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej X , to

P(X = xi) = pi, gdzie ^P_ip_i = 1.

DEFINICJA. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X , to funkcja f (x ) o dziedzinie R spełniająca warunki:

f (x ) ­ 0, Z ∞

−∞

f (x )dx = 1.

WTEDY: ^R_a^bf (x )dx = P(a < X ¬ b) dla a < b.

Rozkład

PRZYKŁAD 2A.

Rzucamy sześcienną kostką do gry. Zbiór zdarzeń elementarnych Ω to zbiór wszystkich wyników. Jeśli w_i oznacza „wyrzucenie i oczek”, to

Ω = {w1, w2, w3, w4, w5, w6}.

Zmienną losową określimy następująco:

X (w_i) = i , dla i = 1, . . . , 6.

Rozkład tej zmiennej losowej jest taki:

P(X = i ) = P(w_i) = 1

6 dla i = 1, . . . , 6.

Funkcja gęstości

PRZYKŁAD 3A.

Metro pewnej linii kursuje regularnie co 10 minut. Pasażer przychodzi w przypadkowym momencie na peron. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że czas oczekiwania będzie między jedną minutą a trzema minutami.

Oznaczmy przez X zmienną losową określającą czas (w minutach) oczekiwania na metro. Czas oczekiwania jest zmienną losową ciągłą przyjmującą wartości z przedziału [0, 10].

Funkcja gęstości

Funkcja gęstości:

f (x ) = 0, dla x < 0;

f (x ) = s, dla 0 ¬ x ¬ 10;

f (x ) = 0, dla x > 10, gdzie s = ₁₀¹, ponieważ

1 = Z ∞

−∞f (x )dx = Z 10

0

sdx =^sx^10₀ = 10s.

x y

0 1 10

Funkcja gęstości

x y

0 1 3

P(1 < X ¬ 3)= Z 3

1

f (x )dx = Z 3

1

0, 1 dx =^0, 1x ]³₁ = 0, 2.

Funkcja gęstości

x y

0 1 3

P(1 < X ¬ 3)= Z 3

1

f (x )dx = Z 3

1

0, 1 dx =^0, 1x ]³₁ = 0, 2.

Dystrybuanta

DEFINICJA. Dystrybuanta zmiennej losowej skokowej X , to funkcja F (x ) = P(X ¬ x ) = ^X

xi¬x

p_i.

DEFINICJA. Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej X , to funkcja F (x ) = P(X ¬ x ) =

Z x

−∞f (x )dx .

Dystrybuanta

PRZYKŁAD 2B.

Dysrtybuanta zmiennej losowej X z przykładu 2A, to F (x ) = 0 dla x < 1, F (x ) = 1

6 dla 1 ¬ x < 2, F (x ) = 2

6 dla 2 ¬ x < 3, F (x ) = 3

6 dla 3 ¬ x < 4, F (x ) = 4

6 dla 4 ¬ x < 5, F (x ) = 5

6 dla 5 ¬ x < 6, F (x ) = 1 dla x ­ 6.

x y

0 1

Wartość oczekiwana

DEFINICJA.

Wartość oczekiwana (przeciętna) zmiennej losowej skokowej X , to

E (X ) =^X

i

xipi.

DEFINICJA.

Wartość oczekiwana (przeciętna) zmiennej losowej ciągłej X , to E (X ) =

Z ∞

−∞

xf (x )dx .

Wartość oczekiwana

E (X ) =^X

i

xipi.

PRZYKŁAD 2C.

Wartość oczekiwana zmiennej losowej X z przykładu 2A, to

E (X ) =

6

X

i =1

xipi

= 1 · 1

6+ 2 ·1

6 + 3 · 1

6+ 4 ·1

6 + 5 ·1

6 + 6 ·1

6 = 3, 5.

Wartość oczekiwana

E (X ) =^X

i

xipi.

PRZYKŁAD. Zmienna losowa X przyjmuje wartość x_i = 3⁻ⁱ z prawdopodobieństwem p_i = 2⁻ⁱ dla i = 1, 2, . . . .

Wartość oczekiwana tej zmiennej to E (X ) =

∞

X

i =1

x_ip_i =

∞

X

i =1

3⁻ⁱ· 2⁻ⁱ =

∞

X

i =1

1 6

i

= 1 6 · 1

1 −¹₆ = 1 5.

Wartość oczekiwana

E (X ) =

n

x

p

.

PRZYKŁAD. Zmienna losowa X przyjmuje wartość xn= ⁴_n!ⁿ z prawdopodobieństwem p_n= ₂¹n dla n = 1, 2, . . . .

Wartość oczekiwana tej zmiennej to E (X ) =

∞

X

n=1

xnpn=

∞

X

n=1

4ⁿ n! · 1

2ⁿ =

∞

X

n=1

2ⁿ

n! = e²− 1.

Wartość oczekiwana

E (X ) =

k

x

p

.

PRZYKŁAD. Zmienna losowa X przyjmuje wartość x_k = −¹_k · (−2)^k z prawdopodobieństwem p_k = ₂¹k dla k = 1, 2, . . . .

Wartość oczekiwana tej zmiennej to

E (X ) =

∞

X

k=1

x_kp_k =

∞

X

k=1

−1 k

· (−2)^k· 1

2^k = 1 −1 2+1

3−1 4+1

5− · · · = ln 2.

Wartość oczekiwana

E (X ) = Z ∞

−∞

xf (x )dx .

PRZYKŁAD 3C.

Wartość oczekiwana zmiennej losowej X z przykładu 3A, to E (X ) =

Z ∞

−∞

xf (x )dx = Z 10

0

0, 1xdx =^ 1

20x^210₀ = 100 20 = 5.

Oznacza to, że jeżdżąc często tą linią metra przeciętnie będziemy czekali 5 minut.

Wariancja

DEFINICJA. Wariancja zmiennej losowej skokowej X , to liczba D²(X ) = E [X − E (X )]² =^X

i

xi − E (X )^2pi

lub (równoważnie)

D²(X ) = E (X²) − [E (X )]² =^X

i

x_i²p_i − [E (X )]².

DEFINICJA. Wariancja zmiennej losowej ciągłej X , to D²(X ) =

Z ∞

−∞

x − E (X )^2f (x )dx lub (równoważnie)

D²(X ) = Z ∞

−∞

x²f (x )dx − [E (X )]².

Wariancja

PRZYKŁAD 2D. Wariancja zmiennej losowej X z przykładu 2A, to D²(X ) = E [X − E (X )]²

= 1

6(1 − 3, 5)²+1

6(2 − 3, 5)²+1

6(3 − 3, 5)²

+ 1

6(4 − 3, 5)²+1

6(5 − 3, 5)²+1

6(6 − 3, 5)²= 2, 92 lub, z równoważnego wzoru,

D²(X ) = E (X²) − E²(X )

= 1²·1

6 + 2²·1

6 + 3²·1

6 + 4²·1

6 + 5²·1

6+ 6²·1

6− 3, 5²

= 15, 71 − 3, 5² = 2, 92.

Odchylenie standardowe

DEFINICJA.

Odchylenie standardowe σ = D(X ) to ^qD²(X ).

PRZYKŁAD 2D’. Odchylenie standardowe zmiennej losowej X z przykładu 2A jest równe

σ = q

D²(X ) =^p2, 92 ≈ 1, 71.

Odchylenie standardowe

PRZYKŁAD 3D.

Wariancja zmiennej losowej X z przykładu 3A, to D²(X ) =

Z 10 0

(x − 5)²0, 1dx =^ 1

30(x − 5)^310₀ = 25 6 ,

σ = D(X ) = s

25

6 ≈ 2, 04.

Oznacza to, że odchylenie standardowe czasu oczekiwania (od oczekiwanego czasu 5 minut) wynosi 2,04 minuty.