Proste projekty i funkcje w języku Python. Wprowadzenie Przeczytaj Film samouczek Sprawdź się Dla nauczyciela

(1)

Proste projekty i funkcje w języku Python

Wprowadzenie Przeczytaj Film samouczek Sprawdź się Dla nauczyciela

(2)

W obliczeniach matematycznych bardzo często konieczne jest wielokrotne powtarzanie tych samych, żmudnych obliczeń dla różnych danych wejściowych. W tej lekcji zajmiemy się przygotowaniem warsztatu narzędzi wspomagających takie obliczenia. Stworzymy funkcję, która będzie rozwiązywać równania kwadratowe wykorzystując algorytm stabilny.

Twoje cele

Dowiesz się, jak wykonywać obliczenia korzystając z funkcji w języku Python.

Porównasz rozwiązania równania kwadratowego obliczane algorytmem zwykłym (za pomocą wyznacznika delty) i stabilnym (bazującym na wzorach Viete'a).

Zweryﬁkujesz sposób prezentacji liczb w Pythonie.

Uzupełnisz wiedzę o module matplotlib.

Proste projekty i funkcje w języku Python

Źródło: licencja: CC 0.

(3)

Przeczytaj

Przeanalizujmy funkcję kwadratową postaci:

f(x)=ax2+bx+c dla x∈x0,xn, a następnie rozwiążemy równanie kwadratowe:

ax2+bx+c=0

Przeanalizujmy schemat równania kwadratowego:

Przykład 1

Niech będzie dana funkcja:

f(x)=0.01x2−8x−0.01

Przygotujmy kod, który pozwoli na wizualizację wartości tej funkcji na ekranie komputera dla x∈-200, 1000. Wykorzystamy do tego bibliotekę matplotlib.

import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):

return (0.01 * x * x) - (8 * x) - (0.01)

# tworzymy listy dla x oraz y = f(x) X = [x for x in range(-200, 1000)]

Y = [f(i) for i in X]

Z = [0 for i in X]

# tworzymy wykres - linia ciągła plt.plot(X, Y)

# linia pozioma dla y = 0 plt.plot(X, Z)

# tworzymy wykres - pojedyncze punkty, prawdopodobne miejsca zerowe plt.scatter([0, 800], [0, 0], c = "red")

# wyświetlamy linie pomocnicze plt.grid(True)

plt.show()

Łatwo zauważymy że funkcja posiada dwa miejsca zerowe. Możemy je oznaczyć w przybliżeniu, gdyż obliczając wartości tej funkcji dla argumentów 0 oraz 800 otrzymujemy wynik różny od zera, a więc to nie są idealne miejsca zerowe.

(4)

Znamy sposób rozwiązywania równania kwadratowego.

Musimy obliczyć wyróżnik równania kwadratowego, tzw. deltę.

Δ=b2−4ac Następnie na jej podstawie rozwiązujemy równanie.

DlaΔ>0istniejądwarozwiązania:x1=−b−Δ2aoraz:x2=−b+Δ2a DlaΔ=0istniejejednorozwiązaniex1=x2=−b2a

DlaΔ<0brakrozwiązań.

Przykład 2

Bazując na powyższym sposobie obliczmy wynik równania z dokładnością typową dla float, czyli 6 miejsc po przecinku. Dodatkowo obliczymy pierwiastek kwadratowy z delta, również z taką dokładnością.

def rownanie_kwadratowe_delta(a, b, c):

from math import sqrt

delta = round(b**2 - (4 * a * c), 6)

if delta > 0:

d = round(sqrt(delta), 6)

x1 = round((-b - d) / (2 * a), 6) x2 = round((-b + d) / (2 * a), 6) elif delta == 0:

x1 = round(-b / (2 * a), 6) x2 = x1

else:

# brak rozwiązań return None

return delta, x1, x2

# przykładowe wykonanie

rownanie_kwadratowe_delta(0.01, -8, -0.01) (64.0004, -0.00125, 800.00125)

(5)

Skuteczność i dokładność takiego sposobu obliczania można zakwestionować. Jeżeli wartość iloczynu 4ac jest mała w stosunku do wielkości b ** 2 to delta dąży do kwadratu z wartości b, a więc wyrażenie:

x1=−b±Δ2a

dąży do zera. Wówczas w programie komputerowym może powstać niedokładność wynikająca z zaokrąglenia liczb.

Przykład 3

Uruchomimy kod bazujący na takich wartościach a,b,c, dzięki którym zobaczymy taki przypadek

from math import sqrt a = 1

b = 40000 c = 1

delta = round(b ** 2 - (4 * a * c), 3) print(delta)

1599999996

pierwiastek = round(sqrt(delta), 3) print(pierwiastek)

40000.0

x1 = (-b + pierwiastek) / (2 * a) print(x1)

0.0

Aby zapobiec błędom zaokrągleń i niedokładności obliczeń, istnieje tzw. algorytm stabilny, który bazuje na wzorach Viete'a. W przypadku trójmianu kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych, wzory te przyjmują postać:

x1+x2=−ba x1⋅x2=ca Wykorzystamy drugi z nich, tworząc następujące rozwiązanie:

Δ=b2−4ac

DlaΔ>0istniejądwamożliwerozwiązaniawzależnościodb:

b<0⇒x1=−b−Δ2aorazx2=ca⋅x1 b>0⇒x2=−b+Δ2aorazx1=ca⋅x2 DlaΔ=0istniejejednorozwiązaniex1=x2=−b2a

DlaΔ<0brakrozwiązań.

Przykład 4

Wykorzystajmy przedstawione wzory do napisania funkcji w języku Python i rozwiążemy równanie dla przykładowych wartości. W naszej funkcji wykorzystamy zaokrąglenie wartości obliczanych

zmiennych z dokładnością do 6 miejsc dziesiętnych.

def rownanie_kwadratowe_stabilne(a, b, c):

delta = round(b ** 2 - (4 * a * c), 6)

(6)

if delta > 0:

if b < 0:

x1 = round((-b - round(sqrt(delta), 6)) / (2 * a), 6) x2 = round(c / (a * x1), 6)

if b > 0:

x2 = round((-b + round(sqrt(delta), 6)) / (2 * a), 6) x1 = round(c / (a * x2), 6)

elif delta == 0:

x2 = round(-b / (2 * a), 6) x1 = x2

else:

rownanie_kwadratowe_stabilne(0.01, -8, -0.01) (64.0004, -0.00125, 800.00125)

Przykład 5

Przygotujmy kod, który pozwoli zobaczyć różnicę obliczeń dla algorytmu opartego o obliczanie delty oraz dla algorytmu stabilnego. Użyjemy konwencji f‑string, aby podać wynik z dokładnością do 25 miejsc po przecinku, wówczas zobaczymy różnicę w wynikach obliczeń. Dla algorytmu stabilnego różnica w wyniku pojawia się dopiero na 17 miejscu po przecinku!

def rownanie_kwadratowe_delta_test(a, b, c):

delta = round(b ** 2 - (4 * a * c), 6)

if delta > 0:

d = round(sqrt(delta), 6) x1 = (-b - d) / (2 * a) x2 = (-b + d) / (2 * a)

print(f"x1 = {x1:.25f}") print(f"x2 = {x2:.25f}")

x1 = round(x1, 6) x2 = round(x2, 6) elif delta == 0:

x1 = round(-b / (2 * a), 6) x2 = x1

else:

def rownanie_kwadratowe_stabilne_test(a, b, c):

delta = round(b ** 2 - (4 * a * c), 6)

(7)

if delta > 0:

d = round(sqrt(delta), 6)

if b > 0:

x1 = (-b - d) / (2 * a) x2 = c / (a * x1)

print(f"x1 = {x1:.25f}") print(f"x2 = {x2:.25f}")

x1 = round(x1, 6) x2 = round(x2, 6)

if b < 0:

x2 = round((-b + d) / (2 * a), 6) x1 = round(c / (a * x2), 6)

elif delta == 0:

x2 = round(-b / (2 * a), 6) x1 = x2

else:

rownanie_kwadratowe_delta_test(0.001, 7845369758436, 0.0001) x1 = -7845369758436000.0000000000000000000000000

x2 = 0.0000000000000000000000000

(6.154982664658214e+25, -7845369758436000.0, 0.0)

rownanie_kwadratowe_stabilne_test(0.001, 7845369758436, 0.0001) x1 = -7845369758436000.0000000000000000000000000

x2 = -0.0000000000000000127463718

(6.154982664658214e+25, -7845369758436000.0, -0.0) Dla zainteresowanych

Możemy w prosty sposób pokazać błędy wynikające z niedokładności języka programowania.

W przypadku języka Python wystarczy prosta pętla odliczająca wartości od 0 do 1, z krokiem co 0.1:

x = 0.0

print(f"Pętla while się rozpocznie, x ma teraz wartość {x:f}.")

while x <= 1:

print(x)

if x == 0.3:

print('Jest 0.3') if round(x, 1) == 0.3:

print('Jest w zaokrągleniu 0.3') if x == 0.4:

print('Jest 0.4')

(8)

if x == 1:

print('Koniec')

x += 0.1

print(f"Pętla while zakończona, x ma teraz wartość {x:f}.") print(f"x ma wartość bez formatowania float {x}.")

# wynik działania:

Pętla while się rozpocznie, x ma teraz wartość 0.000000.

0.0 0.1 0.2

0.30000000000000004 Jest w zaokrągleniu 0.3 0.4

Jest 0.4 0.5 0.6 0.7

0.7999999999999999 0.8999999999999999 0.9999999999999999

Pętla while zakończona, x ma teraz wartość 1.100000.

x ma wartość bez formatowania float 1.0999999999999999.

Już wiesz

Niektóre algorytmy zachowują się niestabilnie przy pewnych zestawach danych wejściowych.

Komputery nie są w stanie dokładnie przechowywać pewnych liczb w swojej pamięci, ponieważ w komputerze liczby wymierne przechowywane są w postaci binarnej, zgodnie z formatem IEEE 754.

Słownik

matplotlib

biblioteka służąca do przedstawienia obrazów złożonych z punktów o współrzędnych x oraz y (wykresów, histogramów, rozkładów itp.); moduł matplotlib nie jest dostępny w standardowej instalacji Pythona; należy zainstalować go korzystając z mechanizmu pip

zaokrąglanie liczb

gdy zaokrąglamy liczbę dziesiętną do pewnego ustalonego rzędu, a więc do określonej liczby po przecinku, sprawdzamy cyfrę rzędu niższego; jeśli jest mniejsza od 5, wówczas pozostawiamy zaokrąglaną wartość niezmienną, w przeciwnym wypadku zwiększamy ją o 1; przykład zaokrąglenia liczby 0.020006 do 2 miejsc po przecinku to 0.02, a do 5 miejsc po przecinku to 0.02001

wzory Viete'a

wzory wiążące współczynniki wielomianów i ich pierwiastki, ich autorem był Francois Viete, Francuz, który w XVI w. jako pierwszy wprowadził oznaczenia literowe dla zmiennych; w trakcie wojny

francusko‑hiszpańskiej złamał szyfr używany przez Hiszpanów f‑string

w Pythonie obecne od wersji 3.6, jest to sposób zapisu zmiennych w łańcuchu znaków przeznaczonym

(9)

do wypisania funkcją print() - dokładnie opisany w dokumencie PEP 498 -- Literal String Interpolation; zakłada format: f"Napis, a w nim {zmienna} do wypisania"

IEEE 754

standard zapisu zmiennoprzecinkowego, opracowany przez Williama Kahenema, deﬁniuje 32‑bitowe oraz 64‑bitowe liczby zmiennoprzecinkowe

(10)

Film samouczek

Polecenie 1

Przeanalizujmy rozwiązanie równania kwadratowego.

Polecenie 2

Wykonaj program przedstawiony na ﬁlmie.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Źródło: Contentplus.pl Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Nagranie ﬁlmowe dotyczące stabilnego algorytmu rozwiązywania równania kwadratowego.

(11)

Sprawdź się

Ćwiczenie 1

W dowolnym środowisku wykonaj poniższy kod i porównaj wynik z poniższymi wykresami. Następnie odpowiedz na pytanie.

X = [x for x in range(-50, 50)]

A = [x * x * 1.14 for x in range(-50, 50)]

B = [i * j for i, j in enumerate(A)]

import matplotlib.pyplot as plt plt.plot(X, A)

plt.plot(X, B) plt.grid(True) plt.show()

Wykres 1:

Wykres 2:

輸

(12)

Wykres 3:

Prawidłowy wykres to:

Wykres 2 Wykres 1 Wykres 3

Brak wykresu - ten kod wygeneruje błąd: TypeError: 'int' object is not iterable

Podaj argumenty przemawiające za twoją odpowiedzią. Zapisz swoje spostrzeżenia.

Uzupełnij

Ćwiczenie 2

Zdeﬁniuj funkcję testowa(fun_nazwa, a, b), która zbuduje listę elementów o zakresie (a, b), które mają być parametrami polecenia range(a, b). Wartość tych elementów ma być obliczana na podstawie

醙

(13)

funkcji fun_nazwa(x), która musi być osobno zdeﬁniowana analogicznie jak na przykładzie.

Funkcja testowa() powinna zwrócić listę trzech wartości:

sumę tych elementów

średnią arytmetyczną

wartość maksymalną

Dane wejściowe: fun_nazwa - nazwa zewnętrznej funkcji str, a, b - liczby int

Dane wyjściowe: [suma, średnia, maximum] - list

# tu przykładowy kod dla ucznia - jak można przekazać funkcję jako parametr

def f1(x):

return x * (x / 2.34)

def f2(x):

return -x * (x / 3.4)

def testowa(fun, a, b):

return fun(a), fun(b)

# przykład wywołania funkcji przekazanej jako parametr print(testowa(f1, 3, 5))

# (3.8461538461538467, 10.683760683760683)

print(testowa(f2, 3, 5))

# (-2.6470588235294117, -7.352941176470589)

# przykładowe wykonanie funkcji testowej def fq(x):

return x ** 4 + (1.84 * x ** 3) - (5.41 * x ** 2)

def testowa(fun, a, b):

# definicja funkcji obliczającej...

return [sm, sr, mx]

wynik = testowa(fq, -100, 300) print(wynik)

[487613332826.0, 1219033332.065, 8041239995.75]

Opisz twoje uzasadnienie do kodu napisanej funkcji.

Uzupełnij

(14)

Ćwiczenie 3

Zdeﬁniuj funkcję testowa(a, b, c), która obliczy algorytmem stabilnym oraz niestabilnym rozwiązanie równania kwadratowego i zwróci różnicę wyników.

Funkcja powinna działać tylko dla delta > 0, w innym przypadku powinna zwrócić wartość None. Funkcja powinna zwrócić tuplę, zawierającą wartości bezwzględne różnic między x1 oraz x2 dla obu sposobów obliczania.

Zwracane dane powinny mieć format: (|x1_2 - x1_1|, |x2_2 - x2_1|)

Opisz twoje uzasadnienie do kodu napisanej funkcji.

Uzupełnij

醙

(15)

Dla nauczyciela

Autor: Karolina Biegus Przedmiot: Informatyka

Temat: Proste projekty i funkcje w języku Python Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum Podstawa programowa:

Zakres podstawowy i rozszerzony Cele kształcenia – wymagania ogólne

2) Programowanie i rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem komputera oraz innych urządzeń cyfrowych:

układanie i programowanie algorytmów, organizowanie, wyszukiwanie i udostępnianie informacji, posługiwanie się aplikacjami komputerowymi.

Zakres rozszerzony

II. Programowanie i rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem komputera i innych urządzeń cyfrowych.

Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

2. stosuje zasady programowania strukturalnego i obiektowego w rozwiązywaniu problemów;

Kształtowane kompetencje kluczowe:

kompetencje obywatelskie;

kompetencje cyfrowe;

kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się;

kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii.

Cele operacyjne (językiem ucznia):

Dowiesz się, jak wykonywać obliczenia korzystając z funkcji w języku Python.

Porównasz rozwiązania równania kwadratowego obliczane algorytmem zwykłym (za pomocą wyznacznika delty) i stabilnym (bazującym na wzorach Viete'a).

Zweryﬁkujesz sposób prezentacji liczb w Pythonie.

Uzupełnisz wiedzę o module matplotlib.

Strategie nauczania:

konstruktywizm;

konektywizm.

Metody i techniki nauczania:

dyskusja;

rozmowa nauczająca z wykorzystaniem multimedium i ćwiczeń interaktywnych.

Formy pracy:

praca indywidualna;

praca w parach;

praca w grupach;

praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

(16)

komputery z głośnikami, słuchawkami i dostępem do internetu;

zasoby multimedialne zawarte w e‑materiale;

tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda;

oprogramowanie dla języka Python 3 (lub nowszej wersji), w tym PyCharm lub IDLE.

Przebieg lekcji Przed lekcją:

1. Przygotowanie do zajęć. Nauczyciel loguje się na platformie i udostępnia e‑materiał: „Proste projekty i funkcje w języku Python”. Nauczyciel prosi uczniów o zapoznanie się z treściami w sekcji

„Przeczytaj”.

Faza wstępna:

1. Nauczyciel wyświetla temat i cele zajęć. Prosi uczniów, by na podstawie wiadomości zdobytych przed lekcją zaproponowali kryteria sukcesu.

2. Rozpoznanie wiedzy uczniów. Nauczyciel zadaje uczniom pytania dotyczące ich aktualnego stanu wiedzy w obszarze poruszanego tematu i programowania, np.

– na czym polega zaokrąglanie liczb?

– do rozwiązywania jakich równań możemy zastosować wzory Viete'a?

– czym się charakteryzują algorytmy stabilne?

Chętni uczniowie udzielają na nie odpowiedzi.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie analizują przykład z sekcji „Przeczytaj” i powtarzają zaprezentowane rozwiązanie na swoim komputerze.

2. Praca z multimedium. Nauczyciel wyświetla zawartość sekcji „Film samouczek”, czyta treść polecenia nr 1 „Przeanalizujmy rozwiązanie równania kwadratowego.” i omawia kolejne kroki rozwiązania.

3. Ćwiczenie umiejętności. Uczniowie wykonują indywidualnie ćwiczenie nr 1, a następnie porównują swoje odpowiedzi z kolegą lub koleżanką.

4. Uczniowie w parach wykonują ćwiczenia nr 2 i 3. Nauczyciel sprawdza poprawność wykonanych zadań, omawiając je wraz z uczniami.

Faza podsumowująca:

1. Nauczyciel ponownie wyświetla na tablicy temat i cele lekcji zwarte w sekcji „Wprowadzenie”.

W kontekście ich realizacji następuje omówienie ewentualnych problemów z rozwiązaniem ćwiczeń z sekcji „Sprawdź się”.

2. Nauczyciel prosi uczniów o podsumowanie zgromadzonej wiedzy w zakresie programowania w języku Python.

Praca domowa:

1. Uczniowie wykonują polecenie nr 2 z sekcji „Film samouczek”.

Materiały pomocnicze:

Oﬁcjalna dokumentacja techniczna dla języka Python 3 (lub nowszej wersji).

Oﬁcjalna dokumentacja techniczna dla oprogramowania PyCharm lub IDLE.

Wskazówki metodyczne:

Treści w sekcji „Film samouczek” można wykorzystać na lekcji jako podsumowanie i utrwalenie wiedzy uczniów.