Wzór na sumę i różnicę cosinusów. Wprowadzenie Przeczytaj Film samouczek Sprawdź się Dla nauczyciela

Wzór na sumę i różnicę cosinusów

Wprowadzenie Przeczytaj Film samouczek Sprawdź się Dla nauczyciela

Do tej pory poznałeś wzory na funkcje trygonometryczne sumy oraz różnicy kątów. Na tej lekcji dowiesz się, w jaki sposób ze znanych wzorów wyprowadzić wzory na sumę oraz różnicę cosinusów. Na

podstawie tych nowych wzorów będziesz obliczać wartości wyrażeń oraz zmieniać sumy algebraiczne związane z funkcjami trygonometrycznymi na iloczyny.

Twoje cele

Dowiesz się, jak wyglądają wzory na cosα + cosβ oraz cosα - cosβ.

Nauczysz się stosować wzory na cosα + cosβ oraz cosα - cosβ do obliczania wartości wyrażeń.

Wzór na sumę i różnicę cosinusów

pixabay.com.

Przeczytaj

Do wyprowadzenia wzorów na sumę i różnicę cosinusów wykorzystamy poznane wzory na cosinus sumy oraz cosinus różnicy. Przypomnijmy je zatem.

Twierdzenie: wzory na cosinus sumy oraz różnicy argumentów Dla dowolnych α, β ∈ ℝ zachodzą wzory:

cos(α + β) = cosαcosβ − sinαsinβ

cos(α − β) = cosαcosβ + sinαsinβ.

Teraz udowodnimy twierdzenie o sumie cosinusów i różnicy cosinusów.

Twierdzenie: wzory na sumę oraz różnicę cosinusów Dla dowolnych α, β ∈ ℝ zachodzą wzory:

cosα + cosβ = 2cos

α+ β 2 ⋅ cos

α− β 2

cosα − cosβ = − 2sin

α+ β 2 ⋅ sin

α− β 2

Dowód

Zauważmy, że prawdziwe są następujące zależności:

α =

α+ β 2 +

α− β 2 i β =

α+ β 2 −

α− β 2 .

Podstawmy do wyrażenia cosα + cosβ zapisane powyżej zależności:

cosα + cosβ = cos

α+ β 2 +

α− β 2 + cos

α+ β 2 −

α− β

2 =

Skorzystajmy ze wzorów na cosinus sumy i różnicy argumentów:

= cos

α+ β 2 cos

α− β 2 − sin

α+ β 2 ⋅ sin

α− β

2 + cos

α+ β 2 ⋅ cos

α− β 2 + sin

α+ β 2 ⋅ sin

α− β

2 =

Po redukcji wyrażeń otrzymujemy zależność:

= cosα + cosβ = 2cos

α+ β 2 ⋅ cos

α− β 2 . Podobnie postąpimy, aby udowodnić wzór na różnicę cosinusów:

cosα − cosβ = cos

α+ β 2 +

α− β 2 − cos

α+ β 2 −

α− β

2 =

= cos

α+ β 2 cos

α− β 2 − sin

α+ β 2 ⋅ sin

α− β

2 − cos

α+ β 2 ⋅ cos

α− β 2 + sin

α+ β 2 ⋅ sin

α− β

2 =

= − 2sin

α+ β 2 ⋅ sin

α− β 2 .

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Przykład 1

Zapiszemy wyrażenie cos10α ⋅ cos8α + cos8α ⋅ cos6α w postaci iloczynu.

Rozwiązanie

Na początek wyciągnijmy wspólny czynnik przed nawias:

cos10α ⋅ cos8α + cos8α ⋅ cos6α =

= cos8α(cos10α + cos6α) =

Następnie zastosujemy wzór na sumę cosinusów:

= 2cos8α ⋅ cos

10α+ 6α 2 ⋅ cos

10α− 6α

2 =

By ostatecznie otrzymać postać iloczynową:

= 2cos8α ⋅ cos8α ⋅ cos2α = 2cos²8α ⋅ cos2α Przykład 2

Obliczymy wartość wyrażenia

cos7^∘+ cos53^∘+

√

2

√

Rozwiązanie

Wykorzystamy wzór na sumę cosinusów:

cos7^∘+ cos53^∘+

√

2

√

=

=

2cos30^∘⋅ cos23^∘+

√

2

√

=

Następnie zredukujemy wyrazy podobne i otrzymamy wynik:

=

√

√

2

√

= 1 Przykład 3

Obliczymy wartość wyrażenia:

cos8^∘+ cos14^∘+ cos34^∘+ cos40^∘ sin87^∘⋅ cos13^∘⋅ cos24^∘ .

Rozwiązanie

Najpierw zmienimy kolejność składników sumy w liczniku, aby można było wyciągnąć wspólny czynnik przed nawias:

cos8^∘+ cos14^∘+ cos34^∘+ cos40^∘ sin87^∘⋅ cos13^∘⋅ cos24^∘

=

=

(cos40^∘+ cos8^∘) + (cos34^∘+ cos14^∘) sin87^∘⋅ cos13^∘⋅ cos24^∘

=

( ) ( )

=

2cos24^∘⋅ cos16^∘+ 2cos24^∘⋅ cos10^∘ sin87^∘⋅ cos13^∘⋅ cos24^∘

.

Korzystamy ze wzoru na sumę cosinusów i otrzymujemy wynik:

2cos24^∘ cos10^∘+ cos16^∘

sin 90^∘− 3^∘ ⋅ cos13^∘⋅ cos24^∘

=

2 ⋅ 2cos13^∘⋅ cos3^∘ cos13^∘⋅ cos3^∘

= 4.

Przykład 4

Obliczymy tgx wiedząc, że cos x + 30^∘ + cos x − 30^∘ =

√

Rozwiązanie

Lewą stronę równania cos x + 30^∘ + cos x − 30^∘ =

√

2cos30^∘⋅ cosx =

√

Otrzymujemy równanie:

√

√

które po podzieleniu stronami przez

√

tg x = 1.

Słownik

wzory na cosinus sumy oraz różnicy argumentów Dla dowolnych α, β ∈ ℝ zachodzą wzory:

cos(α + β) = cosαcosβ − sinαsinβ cos(α − β) = cosαcosβ + sinαsinβ.

wzory na sumę oraz różnicę cosinusów Dla dowolnych α, β ∈ ℝ zachodzą wzory:

cosα + cosβ = 2cos

α+ β 2 ⋅ cos

α− β 2

cosα − cosβ = − 2sin

α+ β 2 ⋅ sin

α− β 2 .

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

Film samouczek

Polecenie 1

Obejrzyj uważnie film, a następnie wykonaj polecania umieszczone pod nim.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl Film nawiązujący do treści materiału

Polecenie 2

Wyrażenie cos4x-sin2x zapisane w postaci iloczynu ma postać:

2cos(45°+3x)cos(45°-x) 2cos(45°+3x)cos(45°+x) 2cos(45°-3x)cos(45°+x) 2cos(45°-3x)cos(45°-x) Polecenie 3

Wyrażenie cosx+120°-cosx-120° jest równe:

-3sinx cosx 3sinx -3cosx

Sprawdź się

Ćwiczenie 1

Wartość wyrażenia cosx-cosx-60° jest równa:

sin30°-x 3cosx+60°

sinx-30°

3cosx+30°

Ćwiczenie 2

Wyrażenie cos137°-cos77° jest równe:

-cos17°

cos163°

-sin107°

-3cos17°

cos107°

sin107°

-3sin77°

3sin107°

Ćwiczenie 3

Połącz w pary wyrażenia równe.

<math><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mi>sin</mi><mi>x</mi></math>, <math><msqrt>

<mn>2</mn></msqrt><mi>sin</mi><mi>x</mi></math>, <math><msqrt><mn>2</mn></msqrt>

<mi>cos</mi><mi>x</mi></math>, <math><mi>cos</mi><mi>x</mi></math>

cosx+45°+cosx-45°

cosx-45°-cosx+45°

cosx+60°+cosx-60°

cosx-60°-cosx+60°

Ćwiczenie 4

Wartość wyrażenia jest równa:

1 2 -1 -2

Ćwiczenie 5

Jeżeli α-β=π2,α+β=4π, to wartość wyrażenia cosα+cosβ jest równa:

2 -2 -3 3 1 -1 Ćwiczenie 6

Wartość wyrażenia jest równa:

2 -2 1 -1 4 -4 Ćwiczenie 7

Oblicz wartość wyrażenia: . Ćwiczenie 8

Zapisz poniższe wyrażenie w postaci iloczynu trzech funkcji trygonometrycznych.

Dla nauczyciela

Autor: Jacek Dymel Przedmiot: Matematyka

Temat: Wzór na sumę i różnicę cosinusów Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony Podstawa programowa:

VII. Trygonometria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

4) korzysta z wzorów sin2α+cos2α=1, tgα=sinαcosα;

Zakres rozszerzony. Uczeń:

6) rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne o stopniu trudności nie większym niż w przykładach: 4cos2xcos5x=2cos7x+1 , 2sin2x≤1.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

kompetencje obywatelskie;

kompetencje cyfrowe;

kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się;

kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii.

Cele operacyjne:

Uczeń:

stosuje wzory na sumę i różnicę cosinusów do obliczania wartości wyrażeń;

dowodzi prawdziwości twierdzeń, korzystając ze wzorów na sumę i różnicę cosinusów.

Strategie nauczania:

konstruktywizm;

konektywizm.

Metody i techniki nauczania:

dyskusja;

odwrócona klasa;

metoda tekstu przewodniego.

Formy pracy:

praca indywidualna;

praca w parach;

praca w grupach;

praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

komputery z głośnikami, słuchawkami i dostępem do internetu;

zasoby multimedialne zawarte w e‑materiale;

tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda.

Przebieg lekcji Przed lekcją:

1. Nauczyciel prosi uczniów o zapoznanie się z zagadnieniami, które będą poruszane podczas lekcji.

2. Nauczyciel prosi uczniów o zapoznanie się z medium w sekcji „Film samouczek”.

Faza wstępna:

1. Przybliżenie przez nauczyciela tematu: „Wzór na sumę i różnicę cosinusów” i celów lekcji. Określenie wiążących dla uczniów kryteriów sukcesu.

2. Rozpoznawanie wiedzy uczniów. Uczniowie tworzą pytania dotyczące tematu zajęć, na które odpowiedzą w trakcie lekcji.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie pracują w 2 grupach, metodą tekstu przewodniego – wykorzystując odpowiednie treści z sekcji „Przeczytaj” . Celem 1 grupy jest poznanie „zastosowania wzoru na cosinus sumy

argumentów” a grupy 2 – „zastosowania wzoru na cosinus sumy argumentów”. Wszyscy uczniowie spotykają się przy „okrągłym stole”. Zadaniem przedstawicieli grup jest przekazanie zdobytej wiedzy pozostałym uczniom.

2. Prowadzący zapowiada uczniom, że w kolejnym kroku będą rozwiązywać ćwiczenia numer 1 i 2.

Każdy z uczniów robi to samodzielnie. Po ustalonym czasie wybrani uczniowie przedstawiają

odpowiedzi, a reszta klasy wspólnie ustosunkowuje się do nich. Nauczyciel w razie potrzeby koryguje odpowiedzi, dopowiada istotne informacje, udziela uczniom informacji zwrotnej.

3. W kolejnym kroku uczniowie realizują w parach ćwiczenia 3‑5, po ich wykonaniu porównują otrzymane wyniki z inną parą.

4. Uczniowie wykonują indywidualnie ćwiczenia 6, 7 i 8, ale następnie porównują swoje odpowiedzi z kolegą lub koleżanką.

Faza podsumowująca:

1. Omówienie ewentualnych problemów z rozwiązaniem ćwiczeń z sekcji „Sprawdź się”.

2. Nauczyciel ponownie odczytuje temat lekcji: „Wzór na sumę i różnicę cosinusów” i inicjuje krótką rozmowę na temat kryteriów sukcesu. Czego się uczniowie nauczyli? Na koniec prosi chętnego ucznia o podsumowanie i – jeśli to potrzebne – uzupełnia informacje.

Praca domowa:

1. Uczniowie opracowują FAQ (minimum 3 pytania i odpowiedzi prezentujące przykład i rozwiązanie) do tematu lekcji („Wzór na sumę i różnicę cosinusów”).

Materiały pomocnicze:

Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego Wskazówki metodyczne:

Medium w sekcji „Film samouczek” można wykorzystać jako materiał, służący powtórzeniu materiału w temacie „Wzór na sumę i różnicę cosinusów”.

Przetwarzam wzory matematyczne: 21%