Działania na pierwiastkach. Wprowadzenie Przeczytaj Film samouczek Sprawdź się Dla nauczyciela

(1)

Działania na pierwiastkach

Wprowadzenie Przeczytaj Film samouczek Sprawdź się Dla nauczyciela

(2)

W tej lekcji omówimy bardziej szczegółowo własności działań na pierwiastkach. Przypomnimy już poznane oraz podamy takie, o których dotychczas nie wspominaliśmy. Zagadnienia te ilustrujemy przykładami, w których będziemy korzystać z własności działań na pierwiastkach w zbiorze liczb rzeczywistych.

Twoje cele

Zastosujesz własności działań na pierwiastkach.

Zastosujesz prawa działań na pierwiastkach w zbiorze liczb rzeczywistych.

Działania na pierwiastkach

Źródło: licencja: CC 0, dostępny w internecie:

pixabay.com.

(3)

Przeczytaj

Przypomnijmy, że pierwiastkiem stopnia n z liczby nieujemnej a jest taka liczba nieujemna b, która podniesiona do potęgi n jest równa liczbie a, czyli

√

na = b wtedy i tylko wtedy, gdy a = bⁿ, dla a ≥ 0, b ≥ 0 i n∈ℕ∖0, 1.

Ponadto jeśli stopień pierwiastka jest liczbą nieparzystą, to możemy zdeﬁniować również pierwiastek z liczby ujemnej.

Własność: Własności pierwiastkowania

Przy okazji wcześniejszych tematów omówiliśmy dwie własności pierwiastkowania:

rozdzielność pierwiastkowania względem mnożenia, która orzeka, że:

a⋅bn=an⋅bn, dla a≥0, b≥0 i n∈ℕ∖0, 1,

rozdzielność pierwiastkowania względem dzielenia, która orzeka, że:

a:bn=an:bn, dla a≥0, b>0 i n∈ℕ∖0, 1.

Analogiczne własności mają pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych.

W poniższej tabelce zestawimy pozostałe własności pierwiastkowania wraz z koniecznymi założeniami:

ann=a a∈ℝ, n∈ℕ∖0, 1

ann=a a≥0, n∈ℕ∖0, 1

anp=apn a≥0, p∈ℝ, n∈ℕ∖0, 1

Rozważmy teraz następujący przykład.

Przykład 1 7293=273=3 7293=9=3 7296=3 10245=325=2 10245=4=2 102410=2

Na podstawie powyższego przykładu można postawić hipotezę, że:

amn=anm=anm, dla a≥0 oraz n, m∈ℕ∖0, 1, której dowód tutaj pomijamy.

W trakcie rozwiązywania zadań będą nam przydatne również prawa działań w zbiorze liczb rzeczywistych:

przemienność dodawania i mnożenia:

a+b=b+a oraz a⋅b=b⋅a, dla dowolnych a, b∈ℝ;

rozdzielność mnożenia względem dodawania i odejmowania:

ax+y=a⋅x+a⋅y oraz ax-y=a⋅x-a⋅y, dla dowolnych a, x, y∈ℝ;

prawostronna rozdzielność dzielenia względem dodawania i odejmowania:

x+y:a=x:a+y:a oraz x-y:a=x:a-y:a, dla dowolnych x, y∈ℝ, a∈ℝ∖0.

Przykład 2

(4)

Przekształcimy do postaci sumy następujące wyrażenia:

a) 2-13+1=

Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania.

=2·3+1-1⋅3+1=

Z rozdzielności mnożenia względem dodawania.

=2⋅3+2-3-1=

Z rozdzielności pierwiastkowania względem mnożenia.

=6+2-3-1 b) 2+32-4=

Z rozdzielności mnożenia względem dodawania.

=2·2-4+3·2-4=

=2⋅2-42+32-3⋅4=

=2-42+32-12=

Redukcja wyrazów podobnych.

=-2-10 c) 253+5:53=

=253:53+5:53=

Z rozdzielności dzielenia względem dodawania.

=25:53+553=

Z rozdzielności pierwiastkowania względem dzielenia.

=53+553⋅253253=

Usunięcie niewymierności z mianownika.

=53+52535=

=53+253 Przykład 3

Przedstawimy podane liczby w postaci iloczynów a) 85-45=

=4⋅25-45=

=45⋅25-45=

(5)

=45·25-1

b) 104-324-454+12=

=24⋅54-324-454+12=

=24·54-3-4·54-3=

=54-324-4 Przykład 4

Uprościmy wyrażenie 1087+547+2277367+187+297:

1087+547+2277367+187+297=27⋅47+27⋅27+22779⋅47+9⋅27+297=

=277 ⋅47+27⋅727+227797 ⋅47+97⋅27+297=277·47+27+297·47+27+2=27797=37 Przykład 5

Suma dwóch liczb jest równa 10, zaś ich różnica jest równa 5. Wyznaczymy ich iloczyn.

Niech szukanymi liczbami będą a i b. Wówczas warunki zadania można zapisać następująco:

a+b=10 1 a-b=5 2

Zauważmy, że gdy dodamy lewą stronę pierwszego równania do lewej strony drugiego równania, zaś prawą stronę pierwszego równania do prawej strony drugiego równania, to otrzymamy równanie:

a+b+a-b=10+5 2a=10+5 a=10+52

Odejmijmy teraz lewą stronę drugiego równania od lewej strony pierwszego równania, zaś prawą stronę drugiego równania od prawej strony pierwszego równania:

a+b-a+b=10-5 2b=10-5 b=10-52

Teraz możemy obliczyć iloczyn liczb a i b:

a⋅b=10+52⋅10-52=10+510-54=

=10·10-5+5·10-54=

=10⋅10-10⋅5+5⋅10-5⋅54=10-50+50-54=54 Ważne!

W przekształceniach wyrażeń postaci a+ba-b możesz korzystać z jednego ze wzorów skróconego mnożenia: a+ba-b=a2-b2, które szczegółowo omówimy w innych lekcjach.

(6)

Przykład 6

Skorzystamy z powyższego wzoru w następujących przykładach:

7-27+2=72-22=7-4=3 11-311+3=112-32=11-3=8

(23+5)(23−5)=(23)2−52=12−25=−13 Przykład 7

Usuniemy niewymierności z mianowników następujących ułamków:

23-1=23-1⋅3+13+1=2·3+13-13+1=2·3-132-12=

=2·3-13-1=2·3-12=3-1

15+2=15+2⋅5-25-2=5-25+25-2=

=5-252-22=5-25-2=5-23 Przykład 8

Przedstawimy w postaci sumy następujące wyrażenia:

7+22=7+27+2=7·7+2+2·7+2=

=7⋅7+7⋅2+2⋅7+4=7+27+27+4=11+47 23-52=23-523-5=23·23-5-5·23-5=

=23⋅23-23⋅5-5⋅23-5⋅-5=12-103-103+25=

=37-203 Ważne!

W przekształceniach wyrażeń postaci a+b2 i a-b2 możesz korzystać z tzw. wzorów skróconego mnożenia:

a+b2=a2+2ab+b2 a-b2=a2-2ab+b2 Przykład 9

Zastosujemy powyższe wzory do następujących wyrażeń:

32-12=322-2⋅32⋅1+12=18-62+1=19-62 2+32=22+2⋅2⋅3+32=2+26+3=5+26

Słownik

rozdzielność mnożenia względem dodawania ax+y=a⋅x+a⋅y, dla dowolnych a, x, y∈ℝ

rozdzielność mnożenia względem odejmowania ax-y=a⋅x-a⋅y, dla dowolnych a, x, y∈ℝ

(7)

Film samouczek

Polecenie 1

Przeanalizuj informacje zawarte w poniższym ﬁlmie.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl Film nawiązujący do treści materiału

Polecenie 2

Na podstawie informacji zawartych w ﬁlmie rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

Dwie spośród poniższych liczb są równe. Wskaż je.

223 43 163

2+8 10 32

27-5 7+5 7-5

Dwie spośród poniższych liczb są wzajemnie odwrotne. Wskaż je.

10-11 11-10 10+11

(8)

Sprawdź się

Ćwiczenie 1

Połącz w pary liczby równe.

<mn>7</mn></mroot></math>, <math><mroot><mn>7</mn><mn>6</mn></mroot></math>,

<mn>3</mn></mroot></math>, <math><mroot><mn>7</mn><mn>10</mn></mroot></math>,

73

7745

75

49777

743

498

74

762

輸

Ćwiczenie 2

Przyporządkuj poszczególnym przekształceniom nazwy własności, na podstawie których je wykonano.

Przeciągnij i upuść.

33·23-2+3·23-2=, 33⋅23-233+323-3⋅2=, 63-233+323-6

23-233+3= Własność

33·23-2+3·23-2=

33⋅23-233+323-3⋅2=

63-233+323-6

輸

(9)

Ćwiczenie 3

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

Wyrażenie 53·53+253 jest równe:

{#253+1253} {#5+6253:53} {#253+5}

Wyrażenie 45·85+165 jest równe:

{3210+6410} {#2+225} {3225+6425}

Wyrażenie 34-274⋅34 jest równe:

{#94-3} {#3-3} {#94-814}

Wyrażenie 94-274⋅94 jest równe:

{98-2438} {916-24316} {#3-334}

醙

Ćwiczenie 4

Połącz w pary wyrażenia równe. Możesz skorzystać ze wzorów a+b2=a2+2ab+b2 oraz a-b2=a2-2ab+b2.

3+22

3-22

23+12

23-12

2+32

2-32

2+32

2-32

醙

(10)

Ćwiczenie 5

Oblicz wartość wyrażeń. Wyniki wpisz w prawej kolumnie. Możesz skorzystać ze wzoru a-ba+b=a2-b2.

Wyrażenie Wynik

2-12+1 3+13-1 3-23+2 2-33+2 5-25+2 5-25+2 25-125+1 -5-35-3

醙

Ćwiczenie 6

Usuń niewymierność z mianownika. Połącz w pary wyrażenia równe.

</math>, <math><mn>2</mn><mo>+</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt></math>, <math><mo>-

</mo><mn>2</mn><mo>-</mo><msqrt><mn>2</mn></msqrt></math>, <math><mn>2</mn>

12-3

-22+2 22-2

22-2

12+3

63-3

63+3

43-5

13-2

醙

Ćwiczenie 7

Uprość i zapisz bez kreski ułamkowej.

a) 3-13+1, b) 5+25-2.

難

(11)

Ćwiczenie 8 Oblicz.

a) 3+102-5+622, b) 24-124+12-1.

難

(12)

Dla nauczyciela

Autor: Sebastian Guz Przedmiot: Matematyka

Temat: Działania na pierwiastkach Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony Podstawa programowa:

Treści nauczania – wymagania szczegółowe:

I. Liczby rzeczywiste. Zakres podstawowy. Uczeń:

3) stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych;

Kształtowane kompetencje kluczowe:

kompetencje obywatelskie;

kompetencje cyfrowe;

kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się;

kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii.

Cele operacyjne:

Uczeń:

zastosuje własności działań na pierwiastkach;

zastosuje prawa działań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Strategie nauczania:

konstruktywizm;

konektywizm.

Metody i techniki nauczania:

odwrócona klasa;

rozmowa nauczająca w oparciu o treści zawarte w sekcji „Film samouczek” i ćwiczenia interaktywne;

dyskusja.

Formy pracy:

praca indywidualna;

praca w parach;

praca w grupach;

praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

komputery z głośnikami, słuchawkami i dostępem do internetu;

zasoby multimedialne zawarte w e‑materiale;

tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda.

Przebieg lekcji

(13)

Faza wstępna:

1. Nauczyciel prosi wybraną osobę o odczytanie tematu lekcji tj. „Działania na pierwiastkach”, a następnie określa cele i kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel prosi, aby wybrany uczeń przeczytał polecenie numer 1 - „Zapoznaj się z ﬁlmem przedstawiającym sposoby wykonywania działań na pierwiastkach.” z sekcji „Film samouczek”.

Uczniowie zapoznają się z materiałem i zapisują ewentualne problemy z jego zrozumieniem.

Następnie dzielą się na grupy i ponownie analizują jego treść wspólnie wyjaśniając zaistniałe wątpliwości.

2. Prowadzący zapowiada uczniom, że w kolejnym kroku będą rozwiązywać ćwiczenia numer 1 i 2.

Każdy z uczniów robi to samodzielnie. Po ustalonym czasie wybrani uczniowie przedstawiają

odpowiedzi, a reszta klasy wspólnie ustosunkowuje się do nich. Nauczyciel w razie potrzeby koryguje odpowiedzi, dopowiada istotne informacje, udziela uczniom informacji zwrotnej.

3. W kolejnym kroku uczniowie realizują w parach ćwiczenia 3‑5, po ich wykonaniu porównują otrzymane wyniki z inną parą.

4. Uczniowie realizują indywidualnie ćwiczenia 6‑8 z sekcji „Sprawdź się”. Po ich wykonaniu nauczyciel omawia najlepsze rozwiązania zastosowane przez uczniów.

Faza podsumowująca:

1. Omówienie ewentualnych problemów z rozwiązaniem ćwiczeń z sekcji „Sprawdź się”.

2. Nauczyciel ponownie odczytuje temat lekcji: „Działania na pierwiastkach” i inicjuje krótką rozmowę na temat kryteriów sukcesu. Czego się uczniowie nauczyli? Na koniec prosi chętnego ucznia o podsumowanie i – jeśli to potrzebne – uzupełnia informacje.

Praca domowa:

1. Uczniowie wykonują wskazane przez nauczyciela ćwiczenia interaktywne przygotowując uzasadnienia poprawnych odpowiedzi.

Materiały pomocnicze:

Działania na pierwiastkach Wskazówki metodyczne:

Medium w sekcji „Film samouczek” można potraktować jako zadania domowe dotyczące analizy problemu w temacie „Działania na pierwiastkach”.

Przetwarzam wzory matematyczne: 1%