Skracanie wyrażeń wymiernych. Wprowadzenie Przeczytaj Film samouczek Sprawdź się Dla nauczyciela

(1)

Skracanie wyrażeń wymiernych

Wprowadzenie Przeczytaj Film samouczek Sprawdź się Dla nauczyciela

(2)

Każdy ułamek zwykły można zapisać na nieskończenie wiele sposobów.

Na przykład

Ułamek zwykły możemy rozszerzać bądź skracać. Możemy doprowadzić go do postaci ułamka nieskracalnego, w którym licznik i mianownik są liczbami względnie pierwszymi.

Analogiczne operacje skracania i rozszerzania określone są dla ułamków algebraicznych.

Twoje cele

Nauczysz się jak skracać wyrażenia wymierne wykorzystując rozkład wielomianów na czynniki.

Wyznaczysz dziedzinę ułamka algebraicznego.

Źródło: licencja: CC 0, dostępny w internecie: pixabay.com.

10075

=

¹²₁₆

=

³₄

= …

Skracanie wyrażeń wymiernych

(3)

Przeczytaj

Dane jest wyrażenie wymierne , gdzie i są pewnymi wielomianami, nie jest wielomianem zerowym. Do dziedziny wyrażenia należą wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem pierwiastków wielomianu .

Jeżeli wielomiany oraz są podzielne przez pewien wielomian niezerowy , to

istnieją wielomiany i takie, że oraz .

Wtedy ułamek możemy skrócić przez wielomian sprowadzając go do postaci .

Wyrażenia oraz są równe dla wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem pierwiastków wielomianu (czyli pierwiastków wielomianów ).

Przykład 1

Skrócimy ułamki, podając potrzebne założenia.

Przykład 2

Skrócimy wyrażenia wymierne, podając potrzebne założenia.

Ułamek możemy skrócić przez ,

przy czym x∈ℝ∖-2;7.

Zauważmy, że .

Ułamek możemy więc skrócić przez

, przy czym x∈ℝ∖12;2.

Po wyłączeniu wspólnych czynników z nawiasów w liczniku i mianowniku, uzyskamy

P(x)Q(x)

P(x) Q(x) Q(x)

Q(x)

P(x) Q(x) W(x)

P

1

(x) Q

1

(x) P(x) = P

1

(x) ⋅ W(x) Q(x) = Q

1

(x) ⋅ W(x)

P(x)

Q(x)

W(x)

P1(x) Q1(x)

P(x)Q(x) P1(x) Q1(x)

Q(x) Q

1

(x)

(x−4)(x+2) (x+2)(x−7)

(x + 2)

(x−4)(x+2)

(x+2)(x−7)

=

^x−4_x−7

(2x−1)²(x−2) (x−2)³(1−2x)

(2x−1)²(x−2)

(x−2)³(1−2x)

=

_−(x−2)^(2x−1)3²(2x−1)^(x−2)

(x − 2)(2x − 1)

(2x−1)²(x−2)

−(x−2)³(2x−1)

=

_−(x−2)^2x−12

=

−(x−2)(x−2)^2x−1

=

_{(x−2)(x−2)}^1−2x

(2x+6)(x²−x+1)(4x−8)² (x²−x+1)(3x+9)(2x−4)⁴

(4)

.

Skracając ułamek przez , mamy

, przy założeniu, że x∈ℝ∖-3;2.

Dodajmy, że wyrażenie dla żadnej liczby rzeczywistej nie przyjmuje wartości .

Przy skracaniu ułamka warto:

1. zapisać licznik i mianownik w postaci iloczynowej;

2. skrócić czynniki powtarzające się zarówwno w liczniku, jak i w mianowniku;

3. uwzględnić założenia (mianownik nie może przyjmować wartości ).

Przykład 3

Ustalimy, jakie warunki muszą być spełnione, aby zachodziła równość wyrażeń.

Ułamek możemy skrócić przez .

Równość zachodzi, gdy , czyli dla x∈ℝ∖5.

Ułamek stojący po lewej stronie znaku równości możemy skrócić przez . Równość zachodzi, gdy , czyli dla x∈ℝ∖0.

Zauważmy, że w ułamku stojącym po lewej stronie znaku równości możemy wyłączyć zarówno w liczniku, jak i w mianowniku

.

Następnie ułamek możemy skrócić przez .

Równość zachodzi, gdy , czyli dla x∈ℝ∖0;65.

Zauważmy, że korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, lewą stronę równania możemy zapisać następująco

.

Ułamek możemy zatem skrócić przez .

Równość zachodzi, gdy , czyli dla x∈ℝ∖-3;3.

(2x+6)(x²−x+1)(4x−8)²

(x²−x+1)(3x+9)(2x−4)⁴

=

^2(x+3)(x²−x+1)(4(x−2))² (x²−x+1)3(x+3)(2(x−2))⁴

=

^2(x+3)(x²−x+1)16(x−2)² (x²−x+1)3(x+3)16(x−2)⁴

16(x

²

− x + 1)(x + 3)(x − 2)

²

2(x+3)(x²−x+1)16(x−2)²

(x²−x+1)3(x+3)16(x−2)⁴

=

_3(x−2)² 2

(x

²

− x + 1) 0

0

x−5x−5

= 1

(x − 5) x − 5 ≠ 0

x⁵

2x³

=

^x₂²

x

³

2x

³

≠ 0

2x²+3x

5x²−6x

=

^2x+3_5x−6

x

2x²+3x

5x²−6x

=

^x(2x+3)_x(5x−6)

x x(5x − 6) ≠ 0

x²+6x+9

x²−9

=

^x+3_x−3

x²+6x+9

x²−9

=

_(x−3)(x+3)^(x+3)²

(x + 3)

(x + 3)(x − 3) ≠ 0

(5)

Przykład 4

Dane jest wyrażenie wymierne , określone dla . Ustalimy, dla jakich wartości podanego wyrażenia i ułamka są równe.

Po rozłożeniu licznika i mianownika na czynniki, mamy .

Po skróceniu przez , uzyskamy ułamek . Równość zachodzi dla x∈ℝ∖3.

Rozłożywszy licznik i mianownik na czynniki, uzyskamy .

Po skróceniu przez , uzyskamy ułamek . Równość zachodzi dla x∈ℝ∖2;3.

Rozłóżmy licznik i mianownik na czynniki za pomocą metod poznanych przy zapisywaniu wielomianów w postaci iloczynowej

.

Ułamek będzie równy po skróceniu przez . Równość zachodzi dla x∈ℝ∖-3;1;3.

Po zapisaniu licznika i mianownika w postaci iloczynowej, dostaniemy ,

przy czym czynnik jest nierozkładalny.

Po skróceniu przez , uzyskamy ułamek .

Równość zachodzi dla x∈ℝ∖3, ponieważ wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Przykład 5

Skrócimy ułamek .

Zauważmy, że ułamek jest określony dla , ponieważ wyrażenie w mianowniku nie przyjmuje wartości mniejszych od .

x+2x−3

x ∈ R ∖ {3} x

x+2x−3

x²−x−6 x²−6x+9

x²−x−6

x²−6x+9

=

^(x+2)(x−3)_(x−3)2

(x − 3)

^x+2_x−3

x²−4 x²−5x+6

x²−4

x²−5x+6

=

^(x+2)(x−2)_{(x−3)(x−2)}

(x − 2)

^x+2_x−3

x³+4x²+x−6 x³−x²−9x+9

x³+4x²+x−6

x³−x²−9x+9

=

(x+2)(x+3)(x−1) (x−3)(x+3)(x−1)

x+2x−3

(x + 3)(x − 1)

x³+3x²+4x+4 x³−2x²−x−6

x³+3x²+4x+4

x³−2x²−x−6

=

^(x+2)(x_(x−3)(x²2+x+2)^+x+2)

(x

²

+ x + 2)

(x

²

+ x + 2)

^x+2_x−3

(x

²

+ x + 2)

x²+x+1 x⁴+x²+1

x ∈ R

1

(6)

Wielomian w liczniku jest nierozkładalny ( ), więc jeśli ułamek da się skrócić, to tylko przez wyrażenie .

Sposób I

Stosując dzielenie pisemne wielomianów, podzielmy wielomian przez

wielomian .

Uzyskamy iloraz i resztę . Zatem

, x∈ℝ.

Sposób II

Wiadomo, że każdy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu czynników nierozkładalnych stopnia co najwyżej drugiego.

Rozłóżmy więc wielomian czwartego stopnia , używając wzorów skróconego mnożenia

. Zatem

, przy czym x∈ℝ.

Ostatni przykład jest trochę trudniejszy.

Przykład 6

Skrócimy następujące wyrażenie wymierne .

Spróbujmy zapisać licznik w postaci iloczynu. W tym celu użyjemy wzorów skróconego mnożenia

.

Możemy zatem skrócić ułamek przez

.

Pozostało jeszcze ustalenie założeń, czyli wykluczenie sytuacji, gdy .

Δ < 0 x

²

+ x + 1

(x

⁴

+ x

²

+ 1) (x

²

+ x + 1)

(x

²

− x + 1) 0

x²+x+1

x⁴+x²+1

=

_x2−x+1¹

(x

⁴

+ x

²

+ 1) x

⁴

+ x

²

+ 1 = (x

⁴

+ 2x

²

+ 1) − x

²

=

(x

²

+ 1)

²

− x

²

= (x

²

+ 1 + x)(x

²

+ 1 − x)

x²+x+1

x⁴+x²+1

=

_(x2+x+1)(x^x²^+x+1²−x+1)

=

_x2−x+1¹

x⁸+2x⁴−3x²+1 x⁴+√3x+1

x

⁸

+ 2x

⁴

− 3x

²

+ 1 = (x

⁸

+ 2x

⁴

+ 1) − 3x

²

=

= (x

⁴

+ 1)

²

− (√3x)

²

=

= (x

⁴

+ 1 + √3x)(x

⁴

+ 1 − √3x)

(x

⁴

+ √3x + 1)

x⁸+2x⁴−3x²+1

x⁴+√3x+1

=

^(x⁴^{−√3x+1)(x}_x₄_+√3x+1⁴^+√3x+1)

= x

⁴

− √3x + 1

x

⁴

+ √3x + 1 = 0

(7)

Po raz kolejny posłużymy się wzorami skróconego mnożenia. Zauważmy, że

.

Uzyskaliśmy sumę dwóch kwadratów. Suma kwadratów liczb rzeczywistych przyjmuje wartość tylko wtedy, gdy wszystkie wyrażenia podnoszone do kwadratu przyjmują jednocześnie wartość . W naszym przypadku jest to niemożliwe - drugie wyrażenie przyjmuje wartość tylko dla , ale wtedy pierwsze wyrażenie przyjmuje wartość różną od .

Zatem .

Słownik

dziedzina wyrażenia algebraicznego

wszystkie liczby rzeczywiste, dla których to wyrażenie ma sens liczbowy równość wyrażeń wymiernych

wyrażenia wymierne są równe, gdy mają tą samą dziedzinę i dla każdego argumentu z dziedziny przyjmują odpowiednio te same wartości

skracanie wyrażenia wymiernego

podzielenie licznika i mianownika przez to samo niezerowe wyrażenie

x

⁴

+ √3x + 1 = (x

⁴

− x

²

+

¹₄

) + (x

²

+ √3x +

³₄

) =

= (x

²

−

¹₂

)

²

+ (x +

^√3₂

)

²

0

0 0 x = −

^√3₂

0 x ∈ R

Q

1

(x) ⋅ W(x) ≠ 0

(8)

Film samouczek

Polecenie 1

Zapoznaj się z przedstawionymi w ﬁlmie przykładami skracania wyrażeń wymiernych.

Zwróć uwagę na konieczność podania założeń.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl Film nawiązujący do treści materiału

Polecenie 2

Skróć ułamek .

Polecenie 3

Skróć wyrażenie wymierne .

10x⁴y²−20x³y² 30xy³−15x²y³

2x²+x−6 4x²−16x+15

(9)

Polecenie 4

Skróć wyrażenie wymierne _x₄_−6x^x³^+x₃_+8x²^−9x−9₂_+6x−9.

(10)

Sprawdź się

Ćwiczenie 1

Ułamek ^2x_x₂³_+2x^−x² można skrócić do postaci

2x²−1 x+2

2x³−x x+2

2x²−x x+2

x²−x x+1

Ćwiczenie 2

Ułamek ^x²_x^+x−2₂₋₁ można skrócić do postaci

x+2x+1

x+2x−1

x−2x−1

x−1x+1



輸

(11)

Ćwiczenie 3

Ułamek ^2x_x₂²_+5x+6^+7x+3 można skrócić do postaci

2x+1x−2

2x+1x+2

2x−1x+2

2x+1x+2

Ćwiczenie 4

Wskaż wyrażenia, które przy odpowiednich założeniach można skrócić do ułamka ^x−3_x+1.

x²−6x+9 x²−2x−3

x²+6x+9 x²−2x−3

x²−4x+3 x²−1

x²+4x+3 x²−1



醙

(12)

Ćwiczenie 5

Wyrażenie wymierne ^x³^−3x_x₂²₋₁^+3x−1 można skrócić do ułamka

x²−2x+1 x+1

x²−2x+1 x−1

x²+2x−1 x+1

x²+2x+1 x+1

Ćwiczenie 6

Wskaż wyrażenia, które przy odpowiednich założeniach można skrócić do ułamka ^x²_x+1^+x+1.

x³−1 x²−1

x³+2x²+2x+1 x²+2x+1

x³+2x²+2x+1 x²−2x+1

x³+1 x²−1

Ćwiczenie 7

Wskaż wyrażenia, do których przy odpowiednich założeniach można skrócić podane ułamki.

, , , ,

...

3x+12x+1 3x+2 x+2 x+2

2x+2 3x+2 2x+2 x−1

2x−1

3x²+4x+1 2x²+3x+1

=

x²+2x−3 2x²+5x−3

=

3x²+5x+2 x²+3x+2

=



醙

難

(13)

Ćwiczenie 8

Połacz w pary wyrażenia, które będą równe przy odpowiednich założeniach.

x²+2x+1

x−1 x³+x²−x−1

x²+3x+2 x²−1

x+2 x³−2x²+x−2

x²−4 x²+1

x+2 x³+3x²+3x+1

x²−1

Ćwiczenie 9

Wskaż poprawne odpowiedzi.

Ułamek można skrócić do postaci dla .

3x³+4x²−17x−6

9x³−18x²−x+2 x+3

3x−1

x ∈ R ∖ {−

¹₃

;

¹₃

; 2}

9x³+18x²−x−2

3x³−x²−12x+4 3x+1

x−2

x ∈ R ∖ {−2;

¹₃

; 3}

3x³−4x²−13x−6

3x³−7x²−7x+3 3x+2

3x−1

x ∈ R ∖ {−1;

¹₃

; 3}



難

(14)

Dla nauczyciela

Autor: Michał Niedźwiedź Przedmiot: Matematyka

Temat: Skracanie wyrażeń wymiernych Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony Podstawa programowa:

II. Wyrażenia algebraiczne.

Zakres podstawowy. Uczeń:

7) mnoży i dzieli wyrażenia wymierne;

Kształtowane kompetencje kluczowe:

kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

kompetencje cyfrowe

kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się Cele operacyjne:

Uczeń:

skraca wyrażenia wymierne wykorzystując rozkład wielomianów na czynniki;

wyznacza dziedziny przy skracaniu wyrażeń algebraicznych zapisanych w postaci ułamka.

Strategie nauczania:

konstruktywizm;

konektywizm.

Metody i techniki nauczania:

metoda kota i myszy;

dyskusja.

Formy pracy:

(15)

praca indywidualna;

praca w parach;

praca w grupach;

praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

komputery z głośnikami, słuchawkami i dostępem do internetu;

zasoby multimedialne zawarte w e‐materiale;

tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda.

Przebieg lekcji Faza wstępna:

1. nauczyciel przedstawia uczniom temat - „Skracanie wyrażeń wymiernych”, wskazuje cele zajęć;

2. uczniowie proponują kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie w parach zapoznają się z treścią sekcji „Przeczytaj”, a następnie metodą kot i mysz rozwiązują ćwiczenia interaktywne w sekcji „Sprawdź się”. Mysz stara się jak najlepiej rozwiązać zadania, a kot sprawdza ich poprawność. Po 2 nieudanych próbach kot „łapie mysz”, która odpada z gry. Aby gra toczyła się dalej, role uczniów odwracają się i mysz staje się kotem - procedura się powtarza.

2. Uczniowie oglądają ﬁlm samouczek. Nauczyciel dzieli uczniów na trzy grupy. Każda z grup rozwiązuje inne polecenie pod ﬁlmem. Wybrani uczniowie przedstawiają rozwiązania na forum klasy. Problemy w rozwiązaniach dyskutowane wspólnie z nauczycielem.

3. W następnym kroku uczniowie wykonują indywidualnie zadania numer 4‐8. Następnie prezentują swoje rozwiązania. Nauczyciel w razie potrzeby uzupełnia informacje.

Faza podsumowująca:

1. Omówienie ewentualnych problemów z rozwiązaniem ćwiczeń z sekcji „Sprawdź się”.

2. Na koniec zajęć nauczyciel prosi uczniów o rozwinięcie zdania: „Na dzisiejszych zajęciach nauczyłam/łem się jak …”.

Praca domowa:

Uczniowie w domu rozwiązują ćwiczenia 1‐3 z sekcji „Sprawdź się”.

Materiały pomocnicze:

Wyrażenia wymierne. Równania wymierne

(16)

Wskazówki metodyczne:

Film samouczek można wykorzystać na lekcji jako podsumowanie i powtórzenie wiedzy przed sprawdzianem.