Korte golven

T e c h n i s c h e U n i v e r s i t e i t D e l f t F a c u l t e i t d e r C i v i e l e T e c h n i e k

1.1 Doél 1 . 1 1.2 C l a s s i f i c a t i e s v a n g o l v e n 1.1 1.3 P l a a t s v a n de ' k o r t e g o l v e n ' i n de v l o e i s t o f m e c h a n i c a 1.3 1.4 Onderwerpen en aanpak 1.4 1.6 L i t e r a t u u r 1.8 2. BASISVERGELIJKINGEN 2.1 2.1 U i t g a n g s p u n t e n v o o r de t h e o r i e 2.1 2.2 N o t a t i e 2.2 2.3 Behoud v a n volume 2.2 2.4 Behoud v a n i m p u l s 2.3 2.5 B e g i n - en r a n d v o o r w a a r d e n 2.4 2.6 R o t a t i e 2.6 2.7 V e r g e l i j k i n g e n voor r o t a t i e v r i j e beweging 2,10

3. L I N E A I R E THEORIE VOOR LOPENDE GOLVEN IN CONSTANTE D I E P T E 3.1 3.1 I n l e i d i n g 3. 1 3.2 L i n e a r i s e r i n g 3.3 3.3 O p p e r v l a k t e p r o f i e l 3,4 3.4 S n e l h e i d s p o t e n t i a a l 3.5 3.5 S n e l h e i d v a n e e n d e e l t j e 3.7 3.6 Baan v a n e e n d e e l t j e 3.9 3.7 D i s p e r s i e r e l a t i e 3.12 3.8 Druk 3.17 3.9 E n e r g i e 3.19 3.10 Vermogen 3.22 3.11 G o l f g r o e p e n 3.25 3.12 Demping 3.29 3.13 I n v l o e d o p p e r v l a k t e s p a n n i n g 3.33

4.2 S t o k e s theorieën 4.2 4.3 O n d i e p - w a t e r theorieën 4.9

4.4 Numerieke theorieën 4.13

4.5 Hoogste g o l f 4.13

4. 6 L i t e r a t u u r 4.14

5. TERUGKAATSING, BREKING EN OPLOOP VAN GOLVEN TEGEN

EEN HELLING 5.1 5.1 I n l e i d i n g 5.1 5.2 S t a a n d e g o l v e n t e g e n een v e r t i k a l e wand 5.1 5.3 B r e k i n g van g o l v e n op een h e l l i n g 5.5 5.4 T e r u g k a a t s i n g 5.11 5.5 G o l f o p l o o p 5.13 5. 6 L i t e r a t u u r 5.15 6. D I F F R A C T I E 6.1 6.1 I n l e i d i n g 6. 1 6.2 U i t g a n g s p u n t e n 6.2 6.3 I n v l o e d t e r u g k a a t s i n g 6.3 6.4 P r i n c i p e van Huygens 6.4 6.5 S p i r a a l v a n Cornu 6.5 6.6 E n k e l v o u d i g e d i f f r a c t i e 6.9 6.7 G e n e r a l i s a t i e s 6.12 7. REFRACTIE 7. 1 ,7.1 I n l e i d i n g 7. 1 7.2 U i t g a n g s p u n t e n 7.2

7.3.1 S t r a l e n 7.3 7.3.2 A m p l i t u d e n 7.4 7.4 T w e e - d i m e n s i o n a l e s i t u a t i e 7.7 7.5 Problemen en r e m e d i e s 7.9 7.6 L i t e r a t u u r 7.15 GOLFSPANNING 8.1 I n l e i d i n g 8.1 8.2 G o l f s p a n n i n g i n e n k e l v o u d i g e l o p e n d e g o l f : één-dimensionale beschouwing 8.2 8.3 Opstuwing gemiddelde w a t e r s t a n d : één-dimensionale beschouwing 8.6 8.4 G o l f s p a n n i n g i n e n k e l v o u d i g e l o p e n d e g o l f : t w e e - d i m e n s i o n a l e beschouwing 8.15 8.5 A a n d r i j v i n g v a n k u s t s t r o o m door b r e k e n d e g o l v e n 8.20 8.6 L i t e r a t u u r 8,26 APPENDIX 8,27 N.B.

Voor de h o o f d s t u k k e n 6 en 7 i s .gebruik gemaakt v a n b e s t a a n d e t e k s t e n , w a a r v a n e e n ( h . 6) i n h e t E n g e l s . Deze s l u i t e n qua nummering en h e t g e b r u i k v a n symbolen n i e t p r e c i e s a a n op de t e k s t v a n de h o o f d s t u k k e n

v a n h e t v a k b76, ' K o r t e g o l v e n ' , bestemd v o o r s t u d e n t e n v a n de A f d e l i n g d e r C i v i e l e T e c h n i e k v a n de T e c h n i s c h e H o g e s c h o o l D e l f t .

De naam ' K o r t e g o l v e n ' wordt h i e r g e b r u i k t om een c a t e g o r i e g o l v e n i n w a t e r aan t e d u i d e n w a a r v a n de g o l f l e n g t e n i e t z e e r g r o o t i s t . o . v . de d i e p t e , z o d a t de d r u k n i e t a l s h y d r o s t a t i s c h i s t e beschouwen, i n t e g e n s t e l l i n g t o t de s i t u a t i e b i j de z.g. l a n g e g o l v e n ( z i e d a a r v o o r h e t d e s -b e t r e f f e n d e c o l l e g e -b 7 3 ) .

Het d o e l v a n h e t c o l l e g e ' K o r t e g o l v e n ' i s h e t geven v a n een i n l e i d i n g i n de v l o e l s t o f m e c h a n i s c h e a s p e c t e n v a n k o r t e g o l v e n , g e r i c h t op t o e p a s -s i n g e n i n de waterbouwkunde. I n de b e h a n d e l i n g v a n de -s t o f w o r d t r u i m a a n d a c h t gegeven aan de u i t g a n g s p u n t e n , om zowel de h e r k o m s t a l s de be-p e r k i n g e n v a n g e b r u i k s r e s u l t a t e n t o t u i t i n g t e l a t e n komen. T o e be-p a s s i n g e n komen t e r s p r a k e i n g e s c h e m a t i s e e r d e problemen, a l s v o o r b e e l d e n v a n h e t h a n t e r e n van t h e o r e t i s c h e u i t k o m s t e n .

1.2 C l a s s i f i c a t i e s v a n g o l v e n

Een g o l f b e w e g i n g i n een f y s i s c h s y s t e e m kan worden omschreven a l s een z i c h door h e t s y s t e e m voortbewegende v e r s t o r i n g v a n een s t a b i e l e e v e n -w i c h t s t o e s t a n d v a n d a t s y s t e e m , -w a a r b i j e n e r g i e -wordt o v e r g e d r a g e n maar n i e t t e v e n s massa ( a l t h a n s n i e t n o o d z a k e l i j k e r w i j z e ) .

B o v e n s t a a n d e o m s c h r i j v i n g v a n h e t b e g r i p g o l f b e w e g i n g v o o r o n d e r s t e l t d a t h e t beschouwde s y s t e e m een s t a b i e l e e v e n w i c h t s t o e s t a n d k e n t . D i t houdt o.a. i n d a t h e t s y s t e e m o n d e r h e v i g i s aan een k r a c h t e n v e l d d a t a f h a n g t v a n de v e r p l a a t s i n g e n en v e r v o r m i n g e n v a n h e t s y s t e e m . B i j e l k e configu-^ r a t i e v a n h e t s y s t e e m h o o r t dan een z e k e r e potentiële e n e r g i e ( b . v . e l a s -t i s c h e e n e r g i e , e l e c -t r i s c h e e n e r g i e , z w a a r -t e - e n e r g i e ) . Een c o n f i g u r a -t i e w a a r v o o r de potentiële e n e r g i e een minimum h e e f t i s e r één v a n s t a b i e l

e v e n w i c h t , omdat v o o r e l k e v e r s t o r i n g d a a r v a n a r b e i d n o d i g i s ( e n e r g i e moet worden g e l e v e r d aan h e t s y s t e e m ) . A n d e r s u i t g e d r u k t : e e n v e r s t o r i n g v a n een s y s t e e m u i t een s t a b i e l e e v e n w i c h t s c o n f i g u r a t i e r o e p t e v e n w i c h t

zoekende k r a c h t e n op i n d a t s y s t e e m . Het t o t s t a n d b r e n g e n v a n zo'n v e r -s t o r i n g v e r g t a r b e i d , t e v e r r i c h t e n t e g e n de e v e n w i c h t z o e k e n d e k r a c h t e n .

Deze a r b e i d komt t e n goede aan h e t s y s t e e m i n de vorm v a n e e n v e r h o g i n g v a n de potentiële e n e r g i e e r v a n .

G o l v e n kunnen n a a r v e r s c h i l l e n d e kenmerken worden g e c l a s s i f i c e e r d .

Z o a l s gezegd kan h e t f y s i s c h k a r a k t e r v a n de potentiële e n e r g i e v e r s c h i l -l e n d z i j n . H i e r i n -l i g t een w e z e n -l i j k o n d e r s c h e i d van v e r s c h i -l -l e n d e t y p e n g o l f b e w e g i n g e n . Zo k a n men s p r e k e n v a n e l a s t i c i t e i t s g o l v e n , z w a a r t e k r a c h t s -g o l v e n , e n z . D i t h a n -g t v a n z e l f s p r e k e n d nauw samen met h e t medium w a a r i n de g o l f b e w e g i n g p l a a t s v i n d t : p l a s m a ' s , g a s s e n , v l o e i s t o f f e n , v a s t e s t o f f e n , enz. Van de m o g e l i j k e t y p e n g o l v e n i n w a t e r z i j n v o o r de waterbouwkunde v o o r a l de zwaar t e k r a c h t s g o I v e n v a n b e l a n g . Deze z i j n m o g e l i j k i n a a n w e z i g h e i d v a n z o d a n i g e m a s s a d i c h t h e i d s v e r s c h i l l e n , d a t d a a r d o o r i n h e t z w a a r t e -v e l d een t o e s t a n d -v a n s t a b i e l e -v e n w i c h t (minimum potentiële e n e r g i e ) k a n b e s t a a n . A l s d i e d i c h t h e i d s v e r s c h i l l e n a a n w e z i g z i j n i n h e t i n w e n d i g e v a n een u i t g e s t r e k t w a t e r m a s s i e f , w a a r b i j de e v e n t u e l e a a n w e z i g h e i d v a n o n d e r -en b o v e n b e g r e n z i n g e n ge-en r o l s p e e l t , z i j n i n t e r n e z w a a r t e k r a c h t s g o l v e n m o g e l i j k ( z i e h e t c o l l e g e ' d i c h t h e i d s s t r o m e n en i n t e r n e g o l v e n ' ) . Zo'n s i t u a t i e d o e t z i c h b.v. voor b i j r e l a t i e f warm en/of zout-arm w a t e r op r e l a t i e f koud en/of z o u t w a t e r .

E e n m a r k a n t e d i c h t h e i d s v a r i a t i e i s a a n w e z i g b i j h e t o p p e r v l a k v a n h e t

w a t e r , d . i . b i j h e t g r e n s v l a k t u s s e n w a t e r en l u c h t . D a a r d o o r z i j n z w a a r t e -k r a c h t s - o p p e r v l a -k tego I v e n m o g e l i j -k , d i e hun potentiële e n e r g i e o n t l e n e n aan h e t z w a a r t e v e l d . Ook kunnen we aan d a t g r e n s v l a k z e l f een e n e r g i e t o e -kennen, ook w e l o p p e r v l a k t e s p a n n i n g genoemd, d i e z i j n o o r s p r o n g v i n d t i n m o l e c u l a i r e b i n d i n g e n . L a a t s t g e n o e m d e b i j d r a g e aan de potentiële e n e r g i e v a n o p p e r v l a k t e g o l v e n i s t . o . v . d i e v a n h e t z w a a r t e v e l d e c h t e r s l e c h t s v a n b e l a n g v o o r g o l v e n met een l e n g t e v a n e n k e l e cm of m i n d e r .

B e h a l v e n a a r h e t k a r a k t e r v a n h e t medium en de e v e n w i c h t z o e k e n d e k r a c h t kunnen g o l f b e w e g i n g e n worden o n d e r s c h e i d e n n a a r hun o o r s p r o n g . I n de c a t e g o r i e v a n z w a a r t e k r a c h t s g o l v e n i n w a t e r o n d e r s c h e i d t men a l s z o d a n i g o.m. g e t i j d e n , a a r d b e v i n g s g o l v e n , h o o g w a t e r g o l v e n , w i n d g o l v e n en s c h e e p s -g o l v e n .

B i n n e n de qua herkomst d i v e r s e s o o r t e n z w a a r t e k r a c h t s g o l v e n i n w a t e r z i j n de w i n d g o l v e n voor de waterbouwkunde een b e l a n g r i j k e c a t e g o r i e , z e k e r s i n d s

h e t w e r k t e r r e i n v a n de waterbouwkunde ook de zeebouwkunde omvat. Het on-r e g e l m a t i g e k a on-r a k t e on-r v a n w i n d g o l v e n k a n t h e o on-r e t i s c h woon-rden weeon-rgegeven dooon-r ze op t e v a t t e n a l s de som v a n een g r o o t a a n t a l p e r i o d i e k e g o l v e n . Op de problemen d i e o n t s t a a n door een d e r g e l i j k e samenvoeging ( o f , omgekeerd,

een o n t l e d i n g ) gaan we h i e r n i e t i n ( z i e d a a r v o o r h e t c o l l e g e ' w i n d g o l v e n ' ) .

We b e p e r k e n ons h i e r t o t de d e t e r m i n i s t i s c h e , v l o e l s t o f m e c h a n i s c h e a s p e c t e n van p e r i o d i e k e g o l v e n . K e n n i s d a a r v a n g e e f t a l w e l i n z i c h t i n h e t v e r -s c h i j n -s e l , en de b i j b e h o r e n d e o p l o -s -s i n g e n kunnen l a t e r d i e n e n a l -s bouw-stenen i n k w a n t i t a t i e v e m o d e l l e n v o o r o n r e g e l m a t i g e g o l v e n .

E e n l a a t s t e kenmerk d a t h i e r wordt genoemd i s d a t v a n h e t gedwongen dan w e l v r i j e k a r a k t e r , d.w.z. h e t a l dan n i e t e x t e r n geëxciteerd worden. I n h e t vak b76 worden s l e c h t s v r i j e g o l v e n b e h a n d e l d ; de opwekking v a n g o l v e n b l i j f t b u i t e n b e s c h o u w i n g .

Onder v e r w i j z i n g n a a r h e t voorgaande k a n h e t onderwerp v a n h e t vak ' k o r t e g o l v e n ' worden g e p r e c i s e e r d a l s p e r i o d i e k e , k o r t e , v r i j e z w a a r t e k r a c h t s -o p p e r v l a k t e g -o l v e n i n w a t e r .

• 3 Elêat s _ v a n _ d e _ ^ k o r te_go lven_|^_in_de_v^

A l v o r e n s de b e h a n d e l i n g v a n k o r t e g o l v e n t e b e g i n n e n wordt i n g e g a a n op de p l a a t s v a n d i t o n d e r d e e l van de v l o e i s t o f m e c h a n i c a b i n n e n h e t g r o t e r e ge-h e e l . D a a r b i j komt met name de r e l a t i e met de l a n g e g o l v e n aan de o r d e . Lange g o l v e n worden gekenmerkt door de e i g e n s c h a p d a t de s t r o o m l i j n e n zo w e i n i g gekromd z i j n i n h e t v e r t i k a l e v l a k , d a t o v e r de g e h e l e d i e p t e de druk nagenoeg a l s h y d r o s t a t i s c h i s t e beschouwen. De h o r i z o n t a l e d r u k -g r a d i e n t e n , d i e de a a n d r i j v e n d e k r a c h t l e v e r e n v o o r de h o r i z o n t a l e beweg i n beweg e n , z i j n dus c o n s t a n t i n de v e r t i k a a l . A f beweg e z i e n v a n ( b o d e m ) w e e r s t a n d s -i n v l o e d e n zouden de h o r -i z o n t a l e v e r s n e l l -i n g e n en s n e l h e d e n dus u n -i f o r m z i j n i n de v e r t i k a a l . Hoewel d i t een n i e t t e v e r w a a r l o z e n bodemweerstand o p l e v e r t , en de o n t w i k k e l i n g v a n een g r e n s l a a g p r o f i e l t o t g e v o l g h e e f t , i s h e t desondanks z i n v o l om t e r e k e n e n met de o v e r de v e r t i k a a l gemiddelde waarde v a n de h o r i z o n t a l e s n e l h e i d . De v e r t i k a l e coërdinaat k a n d a a r d o o r g e s c h e i d e n worden v a n de h o r i z o n t a l e , z o d a t u i t e i n d e l i j k s l e c h t s h o e f t t e worden g e r e k e n d i n h e t h o r i z o n t a l e v l a k , h e t z i j i n eén dan w e l i n twee d i m e n s i e s .

Ten a a n z i e n v a n b o v e n s t a a n d e p u n t e n g e l d t v o o r k o r t e g o l v e n h e t t e g e n d e e l v a n d a t v o o r l a n g e g o l v e n : s t e r k gekromde s t r o o m l i j n e n , n i e t - h y d r o s t a t i s c h e druk, vei t i k a a l n i e t - u n i f o r m e v e r d e l i n g v a n h o r i z o n t a l e drukgradiënten, v e r s n e l l i n g e n en s n e l h e d e n , (bodem)weerstand o n b e t e k e n e n d . De v e r t i k a l e s t r u c t u u r v a n k o r t e g o l v e n i s dus n i e t a p r i o r i bekend, maar moet a l s d e e l v a n de o p l o s s i n g worden b e p a a l d . I n d i t o p z i c h t z i j n theorieën v o o r k o r t e g o l v e n i n g e w i k k e l d e r dan d i e v o o r l a n g e , maar d a a r s t a a t t e g e n o v e r d a t de w e e r s t a n d een v e e l m i n d e r b e l a n g r i j k e r o l s p e e l t .

Bovengenoemde v e r s c h i l l e n t u s s e n l a n g e en k o r t e g o l v e n z i j n d e z e l f d e a l s de v e r s c h i l l e n t u s s e n de z.g. langzaam variërende s t a t i o n a i r e s t r o m e n ( b . v . stuwkrommen) en de z.g. s t e r k variërende s t a t i o n a i r e s t r o m e n ( b . v . door een o p e n i n g , of o v e r een k o r t e o v e r l a a t ) . Lange g o l v e n z i j n i n f e i t e n i e t a n d e r s dan n i e t - s t a t i o n a i r e , langzaam variërende stromen, t e r w i j l k o r t e g o l v e n de n i e t s t a t i o n a i r e p e n d a n t vormen v a n de s t e r k variërende s t a t i o -n a i r e s t r o m e -n . De methode-n d i e g e b r u i k t worde-n v o o r de b e h a -n d e l i -n g v a -n l a a t s t g e n o e m d e c a t e g o r i e , i n h e t b i j z o n d e r h e t g e b r u i k v a n een s n e l h e i d s -p o t e n t i a a l , z i j n ook b r u i k b a a r v o o r k o r t e g o l v e n . Daaro-p w o r d t u i t v o e r i g e r i n g e g a a n i n h e t v o l g e n d e h o o f d s t u k . De s t o f v a n h e t vak ' k o r t e g o l v e n ' h e e f t b e t r e k k i n g op de v o l g e n d e d r i e categorieën problemen :

a. onvervormde en langzaam variërende g o l f v o o r t p l a n t i n g ; b. g o l v e n b i j g o l f b r e k e r s , dammen en d i j k e n ;

c . g o l v e n i n de k u s t z o n e .

De aanpak v a n de p r o b l e m e n i s d e e l s d e d u c t i e f o f t h e o r e t i s c h (opbouw v a n een t h e o r e t i s c h model, g e b a s e e r d op geïdealiseerde b e n a d e r i n g e n v a n a s p e c t e n v a n de w e r k e l i j k h e i d ) , d e e l s i n d u c t i e f o f e m p i r i s c h ( o n d e r k e n n i n g en f o r -m u l e r i n g v a n w e t -m a t i g h e d e n op grond v a n w a a r n e -m i n g e n ) .

De v r i j e , o n g e s t o o r d e v o o r t p l a n t i n g v a n g o l v e n ( c a t e g o r i e a ) , met e e n overwegend geordende w a t e r b e w e g i n g , b l i j k t t h e o r e t i s c h goed t e b e s c h r i j v e n . D i t i s m i n d e r h e t g e v a l n a a r m a t e t u r b u l e n t i e en daarmee g e p a a r d gaande e n e r g i e v e r l i e z e n b e l a n g r i j k e r worden, z o a l s z i c h met name v o o r d o e t b i j h e t b r e k e n v a n g o l v e n ( v a n b e l a n g i n d e l e n v a n b, en i n c ) ,

De onderwérpen d i e i n de categorieën a, b en c z u l l e n worden b e h a n d e l d worden h i e r n a k o r t a a n g e d u i d . ad a . Na een f o r m u l e r i n g v a n de u i t g a n g s p u n t e n en daarop b e r u s t e n d e b a s i s v e r g e -l i j k i n g e n ( h f d s . 2) komen o p -l o s s i n g e n a a n de orde v o o r 2 - d i m e n s i o n a -l e p e r i o d i e k e g o l v e n d i e z i c h onvervormd v o o r t p l a n t e n i n w a t e r v a n c o n s t a n t e d i e p t e ( z i e f i g . 1 . 1 ) . D a a r v a n w o r d t de l i n e a i r e t h e o r i e , g e l d i g v o o r s i n u s v o r m i g e g o l v e n , u i t v o e r i g b e h a n d e l d ( h f d s t . 3 ) omdat deze b e t r e k k e l i j k e e n v o u d i g i s en (daarom) h e t m e e s t wordt t o e g e p a s t , en ook omdat daarmee s n e l i n z i c h t i n de m a t e r i e k a n worden v e r k r e g e n . Van de v e r s c h e i d e n h e i d aan meer i n g e w i k k e l d e n i e t - l i n e a i r e theorieën wordt s l e c h t s een g l o b a a l o v e r z i c h t gegeven ( h f d s t . 4 ) . F i g u u r 1. 1 I n e e n l a t e r h o o f d s t u k ( h f d s t . 7) z a l worden i n g e g a a n op de v o o r t p l a n t i n g v a n g o l v e n i n w a t e r v a n g e l e i d e l i j k variërende d i e p t e . D a a r b i j t r e e d t o.m. r e f r a c t i e op ( ' b r e k i n g ' genoemd i n de o p t i c a ) , d.w.z. h e t v e r s c h i j n -s e l v a n v e r a n d e r e n d e g o l f v o o r t p l a n t i n g -s r i c h t i n g a l -s g e v o l g v a n v a r i a t i e -s i n v o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d l a n g s de golfkammen. ( H e t f e i t d a t g o l v e n i n de b r a n d i n g s z o n e v r i j w e l dwars op de k u s t aankomen, hoe hun r i c h t i n g i n d i e p e r w a t e r ook i s , i s h i e r v a n h e t g e v o l g - z i e f i g . 1.2.)

d i e p t e ! i j n F i g u u r 1.2 - R e f r a c t i e ad b. I n de c a t e g o r i e v a n g o l v e n b i j g o l f b r e k e r s , dammen en d i j k e n worden a c h t e r -e -e n v o l g -e n s d-e v o l g -e n d -e ond-erw-erp-en b -e h a n d -e l d : ® b r e k i n g en t e r u g k a a t s i n g op h e l l i n g e n ( h f d s t . 5) 9 d i f f r a c t i e ( ' b u i g i n g ' genoemd i n de o p t i c a ) ( h f d s t . 6) : h e t v e r s c h i j n s e l v a n z i j d e l i n g s u i t w a a i e r e n v a n g o l v e n a c h t e r een o b s t a k e l , h i e r t o e g e -s p i t -s t op h e t g o l f p a t r o o n a c h t e r g o l f b r e k e r -s ( z i e f i g . 1 , 3 ) .

tgolfkam

golfbreker

•^ L i t e r a t u u r

A l g e m e n e _ l i t e r a t u u r :

O Boeken op e l e m e n t a i r n i v e a u :

Dean, R.G. en R.A. D a l r y m p l e , 1984. Water Wave M e c h a n i c s f o r E n g i n e e r s and S c i e n t i s t s , P r e n t i c e - H a l l

Groen, P. en R. D o r r e s t e i n , 1976. Z e e g o l v e n , S t a a t s u i t g e v e r i j ,

H o r i k a w a , K., 1978. C o a s t a l E n g i n e e r i n g , U n i v e r s i t y o f Tokyo P r e s s

I p p e n , A.T. ( e d . ) 1966. E s t u a r i n e and C o a s t l i n e H y d r o d y n a m i c s , McGraww-H i l l

LeMëhauté, B., 1976. Hydrodynamics and Water Waves, S p r i n g e r

S o r e n s e n , R.M., 1978. B a s i c C o a s t a l E n g i n e e r i n g , W i l e y , New Y o r k

W i e g e l , R.L., 1964. O c e a n o g r a p h i c a l E n g i n e e r i n g , P r e n t i c e - H a l l

o Boeken op meer g e a v a n c e e r d n i v e a u :

Kinsman, B., 1965. Wind Waves, P r e n t i c e - H a l l

Lamb, H., 1932. Hydrodynamics, Dover

L e B l o n d , P.H. e n L.A. Mysak, 1978. Waves i n t h e Ocean, E l s e v i e r

L i g h t h i l l , J . , 1978. Waves i n F l u i d s , Cambridge U n i v e r s i t y P r e s s

Mei, C C , 1983. The A p p l i e d Dynamics o f Ocean S u r f a c e Waves, W i l e y , New Y o r k

P h i l l i p s , O.M., 1977. The Dynamics o f t h e Upper Ocean, Cambridge U n i v -v e r s i t y P r e s s , 2nd E d .

Whitham, C B . , 1974. L i n e a r and N o n l i n e a r Waves, W i l e y , New Y o r k

S p e c i f i e k e l i t e r a t u u r o p g a v e n ( v a n a r t i k e l e n ) z i j n opgenomen i n d i e h o o f d -s t u k k e n w a a r i n e r n a a r wordt v e r w e z e n .

2. BASISVERGELIJKINGEN

2.1 U i t g a n g s p u n t e n v o o r de t h e o r i e

Z o a l s e l k e t h e o r i e i s ook d i e v o o r k o r t e g o l v e n een model van de w e r k e l i j k h e i d , g e r i c h t op e n k e l e b e l a n g r i j k g e a c h t e a s p e c t e n . D i e worden d a a r -toe i n geïdealiseerde vorm weergegeven, t e r w i j l de o v e r i g e a s p e c t e n b u i t e n b e s c h o u w i n g worden g e l a t e n . I n een w a t e r l o o p k u n d i g e c o n t e x t z i j n de m e c h a n i s c h e a s p e c t e n van de g o l f beweging v a n b e l a n g , zowel k i n e m a t i s c h e ( v e r p l a a t s i n g e n , s n e l h e d e n , v e r -s n e l l i n g e n , e n z . ) a l -s d y n a m i -s c h e ( k r a c h t e n , e n e r g i e , vermogen, e n z . ) . De h i e r t e b e h a n d e l e n k o r t e - g o l f t h e o r i e i s g e r i c h t op een w e e r g a v e v a n d e z e m e c h a n i s c h e a s p e c t e n , en vormt a l s z o d a n i g een o n d e r d e e l v a n de m e c h a n i c a i n r u i m e r e z i n . De axioma's v a n Newton vormen d a a r v o o r de f o r m e l e b a s i s . Deze worden a a n g e v u l d met s c h e m a t i s e r i n g e n v a n f y s i s c h e e i g e n s c h a p p e n v a n h e t beschouwde medium en de u i t w e n d i g e k r a c h t e n .

I n h o o f d s t u k 1 i s g e s t e l d d a t we ons h i e r b e p e r k e n t o t v r i j e o p p e r v l a k t e g o l v e n i n w a t e r onder i n v l o e d v a n de z w a a r t e k r a c h t . De i r i deze f o r m u l e -r i n g v e -r v a t t e e l e m e n t e n moeten dus i n de t h e o -r i e wo-rden opgenomen, maa-r d a t mag dan w e l i n geïdealiseerde vorm. I n c o n c r e t e z u l l e n de v o l g e n d e i d e a l i s e r i n g e n worden i n g e v o e r d : z w a a r t e v e l d homogeen (g = c o n s t . ) , i n v l o e d a a r d r o t a t i e ( C o r i o l i s -k r a c h t ) v e r w a a r l o o s d ; b. ! B ^ ^ ^ t ^ _ h e t _ w a t e r c o n t i n u medium, Newtonse v l o e i s t o f , c o n s t a n t e m a s s a d i c h t h e i d ( p ) en c o n s t a n t e v i s c o s i t e i t ( y ) ( d u s : v e r w a a r l o z i n g v a n s a m e n d r u k b a a r h e i d en v a n v a r i a t i e s i n z o u t g e h a l t e en t e m p e r a t u u r ) ; c. HJ.iki.i.i-ËÊ-^SÊEÊ'^^iDSêS « g r e n s v l a k w a t e r - l u c h t : o p p e r v l a k t e s p a n n i n g v e r w a a r l o o s d , geen w i s s e l w e r k i n g e n t u s s e n w a t e r en l u c h t .

® bodem : o n b e w e e g l i j k , o n d o o r l a t e n d ( i n meest eenvoudige g e v a l t e v e n s h o r i z o n t a a l )

2.2 N o t a t i e

We gaan de beweging b e s c h r i j v e n t . o . v . een r e c h t h o e k i g a s s e n s t e l s e l Oxyz d a t n i e t beweegt t . o . v . de bodem. De O z - r i c h t i n g i s v e r t i k a a l omhoog, en h e t r e f e r e n t i e v l a k z = O l i g t i n de o n g e s t o o r d e w a t e r s p i e g e l . De momentane hoogte v a n h e t w a t e r o p p e r v l a k boven d i t r e f e r e n t i e v l a k wordt g e s c h r e v e n a l s r | ( x , y , t ) , en de d i e p t e v a n de ( o n b e w e e g l i j k e ) bodem e r o n d e r a l s h ( x , y ) . De e e n h e i d s v e c t o r e n i n de r i c h t i n g e n Ox, Oy en Oz worden g e s c h r e v e n a l s e , e en e , en de p l a a t s v e c t o r r e s p . s n e l h e i d s v e c t o r , b e i d e t . o . v . X y Z Uxyz, a l s r = e x + e y + e z r e s p . u = u e + v e + w e . De m a s s a -x z X y z d i c h t h e i d ( p ) , d y n a m i s c h e v i s c o s i t e i t ( j j ) , k i n e m a t i s c h e v i s c o s i t e i t ( V ^ y / p ) , z w a a r t e k r a c h t s v e r s n e l l i n g ( g ) en d r u k ( p ) worden door de ge-b r u i k e l i j k e symge-bolen v o o r g e s t e l d .

2.3 Behoud v a n volume

Z o a l s g e s t e l d i n p a r . 2.1 gaan we h e t w a t e r a l s onsamendpukbaar i d e a l i -s e r e n . D i t i -s een goede b e n a d e r i n g v o o r o p p e r v l a k t e g o l v e n ; de daarmee g e p a a r d gaande d r u k v a r i a t i e , i s maximaal i n de o r d e v a n 10 m w a t e r k o l o m ,

overeenkomend met r e l a t i e v e d i c h t h e i d s v a r i a t i e s v a n maximaal 0.5 op 10** (6p/p = 6p/K, w a a r i n K de c o m p r e s s i e m o d u l u s i s , met een waarde v a n c a . 2.10^ P a ) .

Van e e n onsamendrukbare v l o e i s t o f b l i j f t h e t volume behouden; h e t s n e l -h e i d s v e l d moet dan d i v e r g e n t i e v r i j z i j n ( z i e b 7 0 ) : V • u = O ( 2 . 1 a ) o f , i n componenten u i t g e s c h r e v e n , ^ ^ 9v ^ 8w _ Q 9x 9y 9z ( 2 . 1 b )

2.4 Behoud van i m p u l s

I n h e t c o l l e g e b70 i s de tweede wet v a n Newton g e f o r m u l e e r d v o o r e e n n i e t - v i s k e u z e v l o e i s t o f . Dat r e s u l t e e r d e i n de z.g. v e r g e l i j k i n g v a n E u l e r , w a a r i n de v e r s n e l l i n g (Du/Dt) g e l i j k i s g e s t e l d aan de som v a n de d r u k k r a c h t (-Vp/p) en de z w a a r t e k r a c h t ( g ) , b e i d e p e r e e n h e i d v a n massa. Voor een v i s k e u z e v l o e i s t o f moet ook nog de b i j d r a g e v a n de v i s k e u z e s p a n n i n g e n i n r e k e n i n g worden g e b r a c h t . Voor een v l o e i s t o f met c o n s t a n t e m a s s a d i c h t h e i d en v i s c o s i t e i t kan worden aangetoond ( z i e boeken o v e r s t r o m i n g s l e e r ) d a t de r e s u l t e r e n d e k r a c h t op een i n f i n i t e -s i m a a l v l o e i -s t o f d e e l t j e , a l -s g e v o l g v a n v i -s c o -s i t e i t , g e l i j k i -s aan vV^u p e r e e n h e i d van m a s s a . Door deze ook i n r e k e n i n g t e b r e n g e n i n de tweede wet van Newton wordt de v o l g e n d e v e r g e l i j k i n g v e r k r e g e n :

i = l - ^ V p VV^^ I I ( 2 . 2 )

D i t i s de z.g. v e r g e l i j k i n g v a n Navïer-Stokes. Deze r e d u c e e r t t o t d i e van E u l e r b i j v e r w a a r l o z i n g van v i s c o s i t e i t s i n v l o e d e n . i

Het l i n k e r l i d i n ( 2 . 2 ) i s de v e r s n e l l i n g v a n een w a t e r d e e l t j e , ge-s c h r e v e n a l ge-s h e t r e ge-s u l t a a t van de t o e p a ge-s ge-s i n g v a n de o p e r a t o r v o o r de z.g. meebewegende a f g e l e i d e n a a r de t i j d

i . ^ . : . v . ^ . „ | . . . ^ . . ^ (,.3)

op de s n e l h e i d u ( z i e b 7 0 ) .

Het r e c h t e r l i d kan op d i v e r s e m a n i e r e n worden h e r s c h r e v e n .

De z w a a r t e k r a c h t i s a f t e l e i d e n v a n de z w a a r t e - p o t e n t i a a l gz ( z i e b7) v o l g e n s

g = - V ( g z )

I n g e v a l v a n c o n s t a n t e p kan de som v a n de e e r s t e twee termen i n h e t r e c h t e r l i d v a n ( 2 . 2 ) dan g e s c h r e v e n worden a l s -V (p/p + g z ) . Sub-s t i t u e r e n we d i t i n ( 2 . 2 ) , en ook ( 2 . 3 ) , dan i Sub-s h e t r e Sub-s u l t a a t

I n de o n g e s t o o r d e t o e s t a n d v a n r u s t ( u = 0 ) en e v e n w i c h t (Du/Dt = 0 ) , w a a r v o o r we de druk a a n d u i d e n met p^, r e d u c e e r t ( 2 . 4 ) t o t O = - V (-^ + g z ) D i t k a n worden geïntegreerd t o t p^ = - pgz + f ( t ) Deze v e r g e l i j k i n g s t e l t ( v a n z e l f s p r e k e n d ) de h y d r o s t a t i s c h e d r u k v e r d e -l i n g v o o r .

Voor de d y n a m i c a v a n de beweging i s s l e c h t s d a t d e e l v a n de druk v a n b e t e k e n i s d a t n i e t i n e v e n w i c h t i s met de z w a a r t e . D u i d e n we d a t d e e l aan met p^ dan g e l d t dus

P = P„ + P+

en g a a t ( 2 . 4 ) o v e r i n

| ^ + ( u - V ) u = - V ( p ^ / p ) + v V 2 S ( 2 . 5 )

2.5 B e g i n - e n r a n d v o o r w a a r d e n

B o v e n s t a a n d e d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e n v o o r u en p, n l . ( 2 . 1 ) e n ( 2 . 2 ) o f ( 2 . 1 ) e n ( 2 . 5 ) , moeten worden a a n g e v u l d met de v o o r een s p e c i f i e k p r o b l e e m g e l d e n d e b e g i n - en r a n d v o o r w a a r d e n om t o t e e n o p l o s s i n g t e kunnen komen van d a t p r o b l e e m . We gaan ons v o o r l o p i g b e p e r k e n t o t g o l f b e w e g i n g e n d i e p e r i o d i e k z i j n i n de t i j d en i n h e t h o r i z o n t a l e v l a k . De b e t r e f f e n d e -b e g i n - en r a n d v o o r w a a r d e n worden dan v e r v a n g e n door v o o r w a a r d e n v a n

p e r i o d i c i t e i t i n t , x en y . We gaan h i e r u i t s l u i t e n d i n op de v o o r w a a r -den d i e g e l d e n t e r p l a a t s e v a n de o n d e r - e n b o v e n b e g r e n z i n g e n v a n de v l o e i s t o f , d.w.z. de bodem ( z = - h ) en h e t o p p e r v l a k ( z = n)• I n b e i d e g e l d t d a t u en p c o n t i n u moeten z i j n o v e r h e t g r e n s v l a k h e e n , en d a t h e t g r e n s v l a k s t e e d s u i t d e z e l f d e d e e l t j e s b e s t a a t ( h e t z i j n z.g. mate-riële b e g r e n z i n g e n ) .

De bodem i s o n b e w e e g l i j k v e r o n d e r s t e l d . Aan de w a t e r d r u k t e r p l a a t s e b e h o e f t daarom geen voorwaarde (geen b e p e r k i n g ) a p r i o r i t e worden op-g e l e op-g d , t e r w i j l de voorwaarde v a n continuïteit v a n de s n e l h e i d i n h e t

g r e n s v l a k t u s s e n bodem en w a t e r ( k l e e f c o n d i t i e ) dan i n h o u d t d a t

->•

u = O v o o r z = -h ( 2 . 6 )

Hiermee i s t e v e n s v o l d a a n aan de voorwaarde d a t de w a t e r d e e l t j e s h e t g r e n s v l a k t u s s e n w a t e r en bodem n i e t v e r l a t e n .

Voor de v o o r w a a r d e n t e r p l a a t s e v a n h e t g r e n s v l a k t u s s e n w a t e r en l u c h t i s h e t v a n b e l a n g d a t we ons b e p e r k e n t o t v r i j e g o l v e n . De opwekking van g o l v e n door de wind b l i j f t daarom b u i t e n b e s c h o u w i n g . De l u c h t s p e e l t dan s l e c h t s e e n p a s s i e v e r o l . G e z i e n de r e l a t i e f g e r i n g e m a s s a -d i c h t h e i -d en v i s c o s i t e i t e r v a n gaan we -de -d y n a m i s c h e i n v l o e -d e n v a n -de l u c h t op de w a t e r b e w e g i n g z e l f s g e h e e l v e r w a a r l o z e n . De voorwaarde v a n continuïteit v a n d e e l t j e s s n e l h e i d o v e r h e t g r e n s v l a k h e e n v e r v a l t dan, t e r w i j l we v o o r de w a t e r d r u k kunnen s t e l l e n p = O v o o r z = n ( 2 . 7 ) D a a r n a a s t g e l d t de v o o r w a a r d e d a t h e t o p p e r v l a k , gegeven door z = r | ( x , y , t ) , s t e e d s u i t d e z e l f d e d e e l t j e s b e s t a a t . D a a r v o o r moet de v e r t i k a l e s n e l h e i d v a n e l k w a t e r d e e l t j e aan h e t o p p e r v l a k g e l i j k z i j n aan de toeneming v a n V] p e r e e n h e i d v a n t i j d , z o a l s e r v a r e n door d a t d e e l t j e (meebewegende a f g e l e i d e ) : Dz Dt ^ ( 2 . 8 a )

z=n

" ^ l ? " " l i " ^ 0

v o o r z

= n

(2.8b)

2.6 R o t a t i e Een b e l a n g r i j k a s p e c t v a n de v l o e i s t o f b e w e g i n g i s de z.g. rotatie. We z u l l e n a c h t e r e e n v o l g e n s n a g a a n : - wat i s r o t a t i e ( d e f i n i t i e en i n t e r p r e t a t i e ) - hoe komt h e t t o t s t a n d - hoe i s de r u i m t e l i j k e v e r d e l i n g e r v a n - wat i s de b e t e k e n i s e r v a n v o o r de t h e o r e t i s c h e b e s c h r i j v i n g v a n de beweging. W a t _ i s _ r o t a t i e M a t h e m a t i s c h i s de r o t a t i e (S^) v a n een s n e l h e i d s v e l d ( u ) g e d e f i n i e e r d a l s h e t u i t w e n d i g p r o d u c t v a n V en u : = V X u ( 2 . 9 a ) I n componenten u i t g e s c h r e v e n i s d i t 9w 7> .9w 9v. , ^ /9u n = e ( _ - _ ) + ( g ^ -X '9y 9z^ s , -> ,9v 9u. •) + e (-r -5—) 9x z 9x 9y ( 2 . 9 b ) F y s i s c h g e z i e n i s de hoeksnelheid v a n e e n w a t e r d e e l t j e om z i j n as ( s p i n ; z i e b 8 ) . Om d i t t e z i e n beschouwen we e e n r e c h t h o e k i g d e e l t j e i n h e t x-y v l a k . y yz y i X2 L a a t V l r e s p . V2 de waarde z i j n v a n de y-component v a n de s n e l h e i d i n h e t midden v a n de z i j d e x = x i r e s p . x = x a . A l s g e v o l g v a n h e t s n e l -h e i d s v e r s c -h i l óv = V2 - V l , o v e r een a f s t a n d 6x = xa x i , z a l de v e r -b i n d i n g s l i j n AB t u s s e n de -b e i d e middens e e n h o e k s n e l h e i d he-b-ben met een waarde 6 v / 6 x , o f w e l 9 v / 9 x i n de l i m i e t v o o r 6x O ( p o s i t i e f i n d i e n t e g e n de w i j z e r s v a n de k l o k i n , i n b o v e n s t a a n d e s c h e t s ) . E v e n z o h e e f t de v e r b i n d i n g s l i j n CD e e n h o e k s n e l h e i d g e l i j k a a n 9 u / 9 y , p o s i t i e f g e r e

-kend met de w i j z e r s van de k l o k mee. Het gemiddelde v a n b e i d e nemen we a l s de h o e k s n e l h e i d v a n h e t beschouwde d e e l t j e . De waarde e r v a n i s

5 ( 9 v / 8 x - 9 u / 9 y ) , a l s we de d r a a i r i c h t i n g t e g e n de w i j z e r s v a n de k l o k i n a l s p o s i t i e f nemen. De beschouwde d r a a i i n g v i n d t p l a a t s i n h e t Oxy-v l a k , o f w e l om de z - a s , en i s t e b e s c h r i j Oxy-v e n a l s 5 x de z-component van

de r o t a t i e s n e l h e i d s v e c t o r i n de O x y z - r u i m t e .

R o t a t i e k a n s l e c h t s o n t s t a a n door de w e r k i n g van een k o p p e l op de v l o e i -s t o f d e e l t j e -s ( z i e b 8 ) . De d r u k kan zo'n k o p p e l n i e t l e v e r e n (denk aan een b o l v o r m i g d e e l t j e ) , en de z w a a r t e evenmin, a l t h a n s i n e e n v l o e i s t o f van c o n s t a n t e d i c h t h e i d . S l e c h t s s c h u i f s p a n n i n g e n kunnen d a t . D i e kunnen op hun b e u r t s l e c h t s b e s t a a n i n een v l o e i s t o f dank z i j de v i s c o -s i t e i t , d . i . h e t vermogen v a n de v l o e i -s t o f om tangentiële i m p u l -s u i t t e w i s s e l e n t u s s e n a a n g r e n z e n d e v l o e i s t o f l a g e n . F y s i s c h g e z i e n i s d i e u i t -w i s s e l i n g een p r o c e s v a n diffusie ( v a n i m p u l s ) .

Het i s kenmerkend v o o r d i f f u s i e p r o c e s s e n d a t d a a r d o o r een h e r v e r d e l i n g t o t s t a n d komt v a n een r e e d s a a n w e z i g e , n i e t - u n i f o r m v e r d e e l d e g r o o t h e i d . Daardoor wordt de aanwezige v o o r r a a d i n h e t g e h e l e beschouwde g e b i e d n i e t beïnvloed, l a a t s t a a n d a t d i e door de d i f f u s i e gecreëerd k a n worden.

Het v o o r g a a n d e houdt i n d a t r o t a t i e n i e t kan o n t s t a a n i n h e t i n w e n d i g e v a n een v l o e i s t o f . Het kan a l l e e n v a n u i t de omgeving aan de v l o e i s t o f worden toegevoegd, t e r p l a a t s e v a n de b e g r e n z i n g e n . I s d a a r een z e k e r e r o t a t i e eenmaal o n t s t a a n dan kan d i e v e r v o l g e n s i n de r e s t v a n de v l o e i -s t o f b i n n e n d r i n g e n .

I n h e t g e v a l v a n o p p p e r v l a k t e g o l v e n doet bovengenoemd v e r s c h i j n s e l z i c h v o o r a l v o o r b i j de bodem. Het o s c i l l e r e n d k a r a k t e r v a n een g o l f b e w e g i n g h e e f t e c h t e r t o t g e v o l g d a t de b o d e m g r e n s l a a g , d . i . de l a a g w a t e r b i j de bodem w a a r i n de r o t a t i e van b e t e k e n i s i s , r e l a t i e f dun i s .

Een e e n v o u d i g e o r d e - v a n - g r o o t t e s c h a t t i n g v a n de g r e n s l a a g d i k t e (ö) voor een o s c i l l e r e n d e w a t e r b e w e g i n g l a n g s de bodem kan worden gemaakt door t e v e r o n d e r s t e l l e n d a t de bodem v l a k i s , en d a t de b e w e g i n g . s i n u s -v o r m i g i n de t i j d -v a r i e e r t en u n i f o r m i s i n de b e w e g i n g s r i c h t i n g . K i e z e n we de x - a s e v e n w i j d i g aan de b e w e g i n g s r i c h t i n g dan r e d u c e e r t de v e r g e l i j k i n g v a n N a v i e r - S t o k e s ( 2 . 5 ) v o o r d i t g e v a l t o t du d^u 9 1 = ^ 3 1 ^ ( 2 . 1 0 ) (N.B. D i t i s de s t a n d a a r d v o r m v a n een d i f f u s i e - v e r g e l i j k i n g d i e b.v. ook de d i f f u s i e en d i s p e r s i e v a n o p g e l o s t e of zwevende s t o f f e n i n een s t r o m i n g b e s c h r i j f t ( z i e b 7 1 ) , of de g e l e i d i n g v a n warmte i n een s t a a f . ) A l s u de s n e l h e i d s a m p l i t u d e i s , en üj de h o e k f r e q u e n t i e , dan h e e f t h e t l i n k e r l i d de g r o o t t e o r d e taü; d i e v a n h e t r e c h t e r l i d i s vü/6^. G e l i j k -s t e l l i n g v a n b e i d e g e e f t a l -s r e -s u l t a a t 6 = 0(v/oj)'/2 ( 2 . 1 1 )

Voor g o l v e n i n w a t e r (v = 10"^ m ^ s " ^ ) , met een p e r i o d e (T = 2IT/W) v a n c a 10 s , i s (v/m)^^ c a 10"^ m. D i t i s v e r w a a r l o o s b a a r t.o.v. de i n de p r a k t i j k v a n b e l a n g z i j n d e w a t e r d i e p t e n . Wanneer de g r e n s l a a g b e w e g i n g n i e t l a m i n a i r i s , z o a l s h i e r b o v e n v e r o n d e r s t e l d , maar t u r b u l e n t , dan i s & w e l i s w a a r g r o t e r dan zou v o l g e n u i t ( 2 . 1 1 ) , maar ook dan nog v e r w a a r -l o o s b a a r k -l e i n t . o . v . de d i e p t e .

G e z i e n h e t b o v e n s t a a n d e komen we t o t h e t v o l g e n d e t o t a a l b e e l d m.b.t. h e t o n t s t a a n en de r u i m t e l i j k e v e r d e l i n g v a n r o t a t i e i n g o l v e n .

We gaan u i t v a n een s i t u a t i e w a a r i n een g o l f b e w e g i n g z i c h v o o r t p l a n t i n een g e b i e d waar a a n v a n k e l i j k geen beweging was ( z i e s c h e t s ) . I n

b i n n e n d r i n g e n d e g o l f f r o n t v e r o o r z a a k t v i a drukgradiënten v e r s n e l l i n g e n en daarmee ook s n e l h e d e n en v e r p l a a t s i n g e n , maar geen r o t a t i e . D i e o n t -s t a a t b i j de bodem a l -s g e v o l g v a n de v i -s c o -s i t e i t ( k l e e f c o n d i t i e ) . De d i k t e v a n de b o d e m g r e n s l a a g b l i j f t e c h t e r b e p e r k t vanwege h e t o s c i l l e r e n d e k a r a k t e r v a n de beweging, en i s v e r w a a r l o o s b a a r k l e i n t . o . v . de g e h e l e d i e p t e . D i t houdt i n d a t o v e r v r i j w e l de g e h e l e d i e p t e ( n l . b u i t e n de g r e n s l a g e n ) de g o l f b e w e g i n g a l s r o t a t i e v r i j i s t e beschouwen. V r i j w e l a l l e theorieën v o o r k o r t e g o l v e n gaan h i e r v a n u i t . B e t e k e n i s _ v a n _ r o t a t i e v r i 2 h e i d

Een rotatievrij s n e l h e i d s v e l d , d . i . een v e c t o r v e l d u w a a r v o o r

ll = Vxu = 0 , i s a f t e l e i d e n v a n een s c a l a i r v e l d , de z.g. snelheids-potentiaal ( h i e r door (j) a a n g e d u i d ) , v o l g e n s

u = ( 2 . 1 2 a ) o f w e l

9(i) 9(1) 9*

" = 9 i ' ^ = 9 7 ' ^ = 9 l (2.12b)

Het b e w i j s h i e r v a n wordt n i e t g e l e v e r d . Het b e w i j s v a n h e t omgekeerde, n l . d a t de gradiëntvector Vtj) r o t a t i e v r i j i s , i s e e n v o u d i g . De waarde v a n ( b . v . ) de xcomponent v a n fi i s (9w/9y 9 v / 9 z ) ( z i e 2 . 9 b ) . S u b s t i -t u -t i e h i e r i n v a n (2.12b) l e v e r -t de g r o o -t h e i d {9/9y(9cJ)/9z) - 9 / 9 z ( 9 ( j ) / 9 y ) } . Omdat b i j h o g e r e a f g e l e i d e n de v o l g o r d e v a n differentiëren n i e t v a n i n -v l o e d i s op de u i t k o m s t , i s de waarde -v a n fi g e l i j k a a n n u l . Voor fi X y en fi^ g e l d t h e t z e l f d e . Het p r a k t i s c h e v o o r d e e l v a n h e t g e b r u i k v a n een s n e l h e i d s p o t e n t i a a l l i g t h i e r i n d a t e e n Vectorveld a l s onbekende i n h e t p r o b l e e m ( d r i e on-bekenden i n e l k p u n t ) wordt v e r v a n g e n door e e n soalairveld (êên onbekende i n e l k p u n t ) . Hebben we i n e e n gegeven p r o b l e e m een o p l o s s i n g v o o r (j) gevonden a l s f u n c t i e v a n p l a a t s en t i j d dan k a n d a a r n a door d i f f e r e n t i -ëren conform ( 2 . 1 2 ) h e t s n e l h e i d s v e l d e e n v o u d i g worden b e p a a l d .

Om een o p l o s s i n g v o o r ^ t e kunnen v i n d e n moeten de v e r g e l i j k i n g e n e e r s t worden g e s c h r e v e n i n termen v a n (j). Dat g e b e u r t i n de v o l g e n d e p a r a g r a a f .

Het z i j opgemerkt d a t i n de bovenomschreven aanpak de p o t e n t i a a l (j) l o u t e r een r e k e n g r o o t h e i d i s . De f y s i s c h e b e t e k e n i s e r v a n i s n i e t e v i d e n t , maar d i t h o e f t h e t g e b r u i k e r v a n n i e t i n de weg t e s t a a n . 2.7 V e r g e l i j k i n g e n v o o r r o t a t i e v r i j e beweging Door s u b s t i t u t i e v a n de voorwaarde v a n r o t a t i e v r i j h e i d en v a n de d e f i -n i t i e v a -n de s -n e l h e i d s p o t e -n t i a a l i -n de d i f f e r e -n t i a a l v e r g e l i j k i -n g e -n e-n i n de b e g i n - en r a n d v o o r w a a r d e n kunnen d e z e worden v e r e e n v o u d i g d en u i t g e d r u k t i n (j). S u b s t i t u t i e v a n ( 2 . 1 2 a ) i n de v o o r w a a r d e v a n o n s a m e n d r u k b a a r h e i d ( 2 . 1 ) l e v e r t V •?(!) = O o f w e l ( 2 . 1 3 a ) I n componenten u i t g e s c h r e v e n i s d i t o ' ( 2 . 1 3 b ) 9 x 2 9 y 2 9 z 2

D i t i s de z.g. Vergelijking van Laplace. Deze komt v e e l v o o r i n de f y s i c a , m.n. i n de p o t e n t i a a l t h e o r i e ( b . v . z w a a r t e k r a c h t , e l e c t r o s t a -t i c a ) . De v e r g e l i j k i n g i s lineair, v a n de -tweede o r d e , en v a n h e -t z.g. e l l i p t i s c h t y p e . V e r g e l i j k i n g e n v a n d i t t y p e z i j n kenmerkend v o o r p r o -blemen w a a r b i j de t o e s t a n d ( i . e . de waarde v a n (|)) i n een w i l l e k e u r i g punt b i n n e n een g e b i e d G beïnvloed w o r d t door de t o e s t a n d i n a l l e a n d e r e p u n t e n i n d a t g e b i e d (op h e t z e l f d e t i j d s t i p ) . D i t houdt een o n e i n d i g g r o t e v o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d i n v a n s t o r i n g e n . Hoewel d a t f y s i s c h onm o g e l i j k i s , i s h e t a l s e i g e n s c h a p v a n een onm a t h e onm a t i s c h onmodel t e v e r -k l a r e n u i t de v e r o n d e r s t e l l i n g v a n o n s a m e n d r u -k b a a r h e i d ( s n e l h e i d v a n c o m p r e s s i e g o l v e n i n de v l o e i s t o f i s V K/p, w a a r i n K de c o m p r e s s i e m o d u l u s i s ; o n s a m e n d r u k b a a r h e i d b e t e k e n t K °°) . E e n g e v o l g v a n h e t voorgaande i s d a t v o o r de o p l o s s i n g v a n de v e r g e l i j -k i n g v a n L a p l a c e i n een b e p a a l d g e b i e d een v o o r w a a r d e n o d i g i s op de g e h e l e r a n d d i e d a t g e b i e d o m s l u i t .

Voor h e t h e r l e i d e n v a n de i m p u l s v e r g e l i j k i n g gaan we u i t v a n ( 2 . 4 ) : 1^ + ( u • V ) u = - V(£- + g z ) + vV^u ( 2 . 4 ) ot p A l s e e r s t e gaan we de v i s c o s i t e i t s t e r m h e r l e i d e n . S u b s t i t u t i e d a a r i n van ( 2 . 1 2 a ) en ( 2 . 1 3 a ) g e e f t (<£)

vV^(V(j)) = vV(V^(j)) = vV(0) = O

De e e r s t e t e r m v a n ( 2 . 4 ) wordt a l a v o l g t h e r l e i d :

Voor h e t h e r l e i d e n v a n de tweede term v a n ( 2 . 4 ) gaan we h i e r v a n e e r s t s l e c h t s éên component beschouwen (de x-component), en s c h r i j v e n we de o p e r a t o r u «V u i t :

7 \

n\ 9u • /9u \ 9u (u • V ) u = U ^ + V W - T —

9x I9y / 9z

Het n u l - z i j n v a n de componenten v a n de r o t a t i e ( z i e v g l . 2.9b) houdt i n d a t 9u/9y = 9v/9x, e n z . , z o d a t n\ 9u |9v\ 9w (U • V ) U = U g ^ + V g^ y o f w e l (U • V)U = A ( l u 2 + i v ^ + .^2) = ^ ( H u P ) = 4 ^1^*1' ^ -> w a a r i n u = de a b s o l u t e g r o o t t e v o o r s t e l t v a n de s n e l h e i d s v e c t o r -y u.

We z i e n d a t - i n e e n r o t a t i e v r i j e beweging - de x-component v a n ( u • V ) u een waarde h e e f t g e l i j k a a n ( ^ l u j ^ ) . G e n e r a l i s e r e n d g e l d t dan v o o r

^ -y °^ (u • V ) u z e l f : (u • V ) u = V ( | | u | 2 ) = V(||V(i)|2) S u b s t i t u t i e v a n b o v e n s t a a n d e t u s s e n - u i t k o m s t e n i n ( 2 . 4 ) , en samennemen v a n termen, g e e f t V ( | ^ + s'l - O

De som v a n de termen t u s s e n haken v a r i e e r t dus n i e t met de p l a a t s , maar h o o g s t e n s met de t i j d :

De waarde v a n de w i l l e k e u r i g e f u n c t i e f ( t ) h e e f t geen f y s i s c h e b e t e -k e n i s en z a l g e m a -k s h a l v e c o n s t a n t worden v e r o n d e r s t e l d , en w e l g e l i j -k aan n u l :

g|- + + £• + gz = c o n s t a n t = O

D i t i s de Vergelijking van Bernoulli v o o r e e n nietstationaire v l o e i -s t o f b e w e g i n g .

Voor de r a n d v o o r w a a r d e n a a n de bodem g e l d t de k l e e f c o n d i t i e ( 2 . 6 ) ; d e z e d r u k t u i t d a t zowel de tangentiële component ( u ^ ) a l s de n o r m a l e component ( u ^ ) v a n de s n e l h e i d t e r p l a a t s e v a n de bodem g e l i j k i s a a n n u l . Voor de v l o e i s t o f b u i t e n de g r e n s l a a g , w a a r t o e we ons h i e r b e -p e r k e n , h o e f t u^ n i e t g e l i j k t e z i j n a a n n u l , omdat d e z e v l o e i s t o f h e e n en weer k a n bewegen t . o . v . de bodem (geen k l e e f c o n d i t i e ) ; s l e c h t s de normaal-component v a n de beweging n e t b u i t e n de g r e n s l a a g wordt door de bodem v e r h i n d e r d . V e r w a a r l o z e n we nu de d i k t e v a n de g r e n s l a a g (maar n i e t h e t e f f e c t e r v a n , n l . h e t f u n g e r e n a l s e e n s m e e r l a a g ) dan g e l d t de

v o l g e n d e r a n d v o o r w a a r d e v o o r de beweging v a n de v l o e i s t o f b u i t e n de g r e n s l a a g : a*

"n ~ " ° ^ = (2.15)

3* _ 8n ^

3(j)

3(j)

ÏÏI-ÏÏT-'ïïi 3 ^ ^ 3 7 3 7 v o o r z = n (2.17)

Met h e t voorgaande z i j n de d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e n en de r a n d -v o o r w a a r d e n zo -v e r m o g e l i j k u i t g e d r u k t i n termen -v a n de (nog onbekende) snelheidspotëntiaal (f). O p l o s s i n g e n v a n d i t s t e l s e l v e r g e l i j k i n g e n , onder a a n v u l l e n d e r a n d v o o r w a a r d e n overeenkomend met een l o p e n d e , p e r i o d i e k e g o l f i n w a t e r v a n c o n s t a n t e d i e p t e , komen i n de v o l g e n d e h o o f d -s t u k k e n a a n de o r d e .

I n h e t v o o r g a a n d e h o o f d s t u k i s een s t e l s e l v e r g e l i j k i n g e n a f g e l e i d voor de w a t e r b e w e g i n g i n z w a a r t e k r a c h t s o p p e r v l a k t e g o l v e n . Vanwege h e t n i e t -l i n e a i r e k a r a k t e r van de v o o r w a a r d e n aan h e t v r i j e o p p e r v -l a k z i j n van d i t s t e l s e l geen e x a c t e o p l o s s i n g e n bekend d i e een p e r i o d i e k e , l o p e n d e g o l f -beweging b e s c h r i j v e n . E r z i j n e c h t e r wel v e e l b e n a d e r e n d e o p l o s s i n g e n .

De meest e e n v o u d i g e b e n a d e r i n g wordt v e r k r e g e n door u i t t e gaan van r e l a t i e f k l e i n e v e r s t o r i n g e n v a n h e t o p p e r v l a k . I n d a t g e v a l z i j n de n i e t - l i n e a i r e termen t e v e r w a a r l o z e n . Het r e s t e r e n d e s t e l s e l l i n e a i r e v e r g e l i j k i n g e n (voor de s n e l h e i d s p o t e n t i a a l ) i s b e t r e k k e l i j k e e n v o u d i g t e i n t e g r e r e n ; de u i t k o m s t e n kunnen worden g e b r u i k t v o o r h e t v i n d e n van ( l i n e a i r e ) benader i n g e n v o o benader a l l e benader l e i e i g e n s c h a p p e n van de g o l f b e w e g i n g z o a l s de d e e l t j e s -s n e l h e d e n , de r e l a t i e t u -s -s e n g o l f l e n g t e en p e r i o d e , e n e r g i e , vermogen, e n z . Aan deze z.g. l i n e a i r e t h e o r i e wordt i n d i t h o o f d s t u k v e e l a a n d a c h t be-s t e e d omdat d a a r d o o r een goed i n z i c h t i n h e t g o l f v e r be-s c h i j n be-s e l kan worden v e r k r e g e n . De u i t k o m s t e n worden i n de p r a k t i j k ook v e e l v u l d i g g e b r u i k t vanwege de b e t r e k k e l i j k e eenvoud e r v a n .

Door de n i e t - l i n e a i r e termen t o t op z e k e r e hoogte i n r e k e n i n g t e b r e n g e n v e r k r i j g t men een n i e t - l i n e a i r e t h e o r i e . D a a r v a n z i j n e r z e e r v e e l . I n h e t v o l g e n d e h o o f d s t u k z a l e r een beknopt o v e r z i c h t van worden gegeven.

De l i n e a i r e en n i e t - l i n e a i r e theorieën d i e h i e r t e r s p r a k e komen hebben a l l e b e t r e k k i n g op v l a k k e , v o r m v a s t e , p e r i o d i e k e , l o p e n d e , v r i j e z w a a r t e k r a c h t s o p p e r v l a k t e g o l v e n i n w a t e r van c o n s t a n t e d i e p t e , met een r o t a t i e v r i j e beweging. Het " v l a k " z i j n van de g o l v e n houdt i n d a t de g o l f v o o r t -p l a n t i n g s r i c h t i n g i n a l l e -punten h e t z e l f d e i s , en d a t de beweging i d e n t i e k i s i n a l l e v e r t i k a l e v l a k k e n i n deze r i c h t i n g . De beweging i s dus a l s t w e e - d i m e n s i o n a a l t e b e s c h r i j v e n . D a a r t o e k i e z e n we een Oxyz a s s e n s t e l s e l met de x-as i n de v o o r t p l a n t i n g s r i c h t i n g en de y - a s dwars d a a r o p , b e i d e i n een h o r i z o n t a a l v l a k . De y-component van de beweging i s dan g e l i j k a a n n u l en z a l n i e t meer i n de v e r g e l i j k i n g e n worden opgenomen. De z-as w o r d t v e r t i k a a l g e k o z e n , p o s i t i e f omhoog, met h e t h o r i z o n t a l e r e f e r e n t i e -v l a k z = O i n h e t gemiddelde w a t e r n i -v e a u ( z o d a t 0 = 0 ) ( z i e f i g u u r 3 . ] ) .

De v e r g e l i j k i n g e n d i e bovengenoemde beweging b e s c h r i j v e n z i j n : e de v e r g e l i j k i n g v a n L a p l a c e v o o r de g e h e l e w a t e r m a s s a : de r a n d v o o r w a a r d e aan de bodem: l i = 9z op z = -h de r a n d v o o r w a a r d e n aan h e t o p p e r v l a k : 9^ _ 9ri , 9()) 9TI 9z 9t 9x 9x op z = n

[t

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

3.2 L i n e a r i s e r i n g

De v e r g e l i j k i n g v a n L a p l a c e i s l i n e a i r ( i n (J)), e v e n a l s de bodemrandvoor¬ waarde, maar d i t g e l d t n i e t v o o r de voorwaarden aan h e t v r i j e o p p e r v l a k , d i e immers p r o d u c t e n b e v a t t e n v a n a f h a n k e l i j k e grootheden, z o a l s en ^ 1 ^ . B o v e n d i e n g e l d e n deze voorwaarden op h e t o p p e r v l a k ( z = n ) , w a a r -3x dx v a n de p o s i t i e z e l f a p r i o r i n i e t bekend i s . De g r o o t t e v a n de n i e t - l i n e a i r e t e r m ( e n ) t . o . v . de l i n e a i r e i n d e z e l f d e v e r g e l i j k i n g neemt a f naarmate de o p p e r v l a k t e - u i t w i j k i n g e n r e l a t i e f k l e i n e r z i j n , d.w.z. naarmate de g o l f h o o g t e H k l e i n e r i s i n v e r h o u d i n g t o t de g o l f l e n g t e ( L ) en de w a t e r d i e p t e ( h ) , o f w e l naarmate H/h en de z.g. g o l f s t e i l h e i d H/L k l e i n e r z i j n . D i t k a n a p r i o r i p l a u s i b e l worden gemaakt, b.v. aan de hand v a n de k i n e m a t i s c h e randvoorwaarde ( 3 . 3 ) .

Z o a l s bekend ( z i e b.v. h o o f d s t u k 1) z i j n i n k o r t e g o l v e n , a l t h a n s i n d i e p w a t e r , de v e r t i k a l e s n e l h e d e n v a n d e z e l f d e g r o o t t e - o r d e a l s de h o r i z o n t a l e . Dat g e l d t dus ook voor en i n ( 3 . 3 ) . Maar, naarmate de o p p e r v l a k t e ¬ u i t w i j k i n g e n k l e i n e r en k l e i n e r worden t . o . v . de g o l f l e n g t e z a l de h e l l i n g van h e t o p p e r v l a k , d.w.z. i n a b s o l u t e waarde k l e i n e r en k l e i n e r worden t . o . v . 1. T e g e l i j k e r t i j d z a l dan de n i e t l i n e a i r e term ^^r! v e r w a a r l o o s

-^ , dx dx

b a a r worden t . o . v . tt^. V o o r t s z a l de r a n d waarop de b e t r e f f e n d e vooirwaarde oz

g e l d t (d.w.z. h e t o p p e r v l a k ) minder en minder a f w i j k e n v a n de o n g e s t o o r d e t o e s t a n d . D i t houdt i n d a t h e t g e b i e d w a a r i n v o o r (j) een o p l o s s i n g moet worden b e p a a l d , i n de l i n e a i r e b e n a d e r i n g aan de b o v e n z i j d e b e g r e n s d wordt g e d a c h t door h e t o p p e r v l a k i n o n g e s t o o r d e t o e s t a n d .

Op grond v a n h e t voorgaande kan ( 3 . 3 ) b i j v o l d o e n d k l e i n e waarden v a n H/L en H/h worden benaderd a l s

/ \ 1 A 1 n A )

I en, om o v e r e e n k o m s t i g e r e d e n e n , ( 3 . 4 ) a l s | C l ' ^

\ + gn = O op z = O / / ( 3 . 7 )

s t e l s e l met c o n s t a n t e coëfficiënten. Exponentiële en sinusoïdale f u n c t i e s z i j n m o g e l i j k e o p l o s s i n g e n d a a r v a n . We gaan i n h e t v o l g e n d e daarom e e n -v o u d i g h e i d s h a l -v e u i t -v a n een s i n u s -v o r m i g o p p e r -v l a k t e p r o f i e l , en we b e p a l e n de d a a r b i j behorende s n e l h e i d s p o t e n t i a a l . Deze wordt v e r v o l g e n s g e b r u i k t v o o r h e t a f l e i d e n v a n a l l e r l e i f y s i s c h i n t e r e s s a n t e e i g e n s c h a p p e n van de g o l f b e w e g i n g .

3.3 O p p e r v l a k t e p r o f i e l

We gaan nu u i t v a n een lopende s i n u s v o r m i g e g o l f met hoogte H en g o l f -l e n g t e L ( b e i d e n c o n s t a n t ) . T.o.v. een w i -l -l e k e u r i g a s s e n s t e -l s e -l Oxyz h e e f t d e z e g o l f b e w e g i n g een z e k e r e p e r i o d e ( T ) en l o o p s n e l h e i d ( c ) . De g r o o t h e d e n L , c en T v o l d o e n a a n de i d e n t i t e i t L = c T .

De waarde v a n L i s o n a f h a n k e l i j k v a n de k e u z e v a n h e t a s s e n s t e l s e l , maar d a t g e l d t n i e t v o o r c en T. Om o n d u b b e l z i n n i g h e i d t e b e r e i k e n moet h e t s t e l s e l Oxyz dus n a d e r worden g e p r e c i s e e r d . We k i e z e n h e t z o d a n i g d a t t e n o p z i c h t e d a a r v a n de gemiddelde s n e l h e i d g e l i j k i s aan n u l i n p u n t e n onder h e t n i v e a u v a n de g o l f d a l e n . ( B . v . : v o o r b e s c h r i j v i n g van g o l v e n a a n h e t o p p e r v l a k v a n de G o l f s t r o o m beweegt Oxyz met deze s t r o o m mee.) B o v e n d i e n k i e z e n we de p o s i t i e v e x r i c h t i n g s a m e n v a l l e n d met de l o o p r i c h -t i n g v a n de g o l f b e w e g i n g . Met bovengenoemde a f s p r a k e n g e l d t v o o r de o p p e r v l a k t e - u i t w i j k i n g , n ( x , t ) = |H s i n ( ^ - ^ ) ( 3 . 9 ) K o r t h e i d s h a l v e v o e r e n we i n 9 de ( u i t w i j k i n g - ) a m p l i t u d e ® de ( h o e k ) f r e q u e n t i e » h e t g o l f g e t a l Daarmee g a a t ( 3 . 9 ) o v e r i n a = k = 2TT T 2Tr L n ( x , t ) , = a s i n (tót - k x ) ( 3 . 1 0 )

o f w e l

r i ( x , t ) = a s i n ^ix,t) ( 3 . 1 1 )

w a a r i n de f a s e f u n c t i e i> g e d e f i n i e e r d i s a l s

i|;(x,t) = (i)t - k x ( 3 . 1 2 )

z A

N.B.: Een waarnemer d i e beweegt met een s n e l h e i d ^ z i e t een v e r a n d e r i n g van f a s e p e r t i j d g e l i j k aan

dip _ ^ ^ dx

d t dt dx d t " - • ' I F

dx ü)

Deze i s g e l i j k aan n u l a l s = ^. D i t i s de z.g. fasesnelheid, d.w.z. de s n e l h e i d waarmee e l k punt v a n c o n s t a n t e f a s e beweegt. Deze s n e l h e i d was h i e r b o v e n " l o o p s n e l h e i d " genoemd. E r g e l d t dus

c = ( 3 . 1 3 )

( D i t had ook d i r e c t kunnen worden g e z i e n u i t c = L / T . )

3.4 S n e l h e i d s p o t e n t i a a l I n deze p a r a g r a a f gaan we e e n u i t d r u k k i n g a f l e i d e n v o o r de s n e l h e i d s -p o t e n t i a a l <|)(x,z,t) b e h o r e n d b i j h e t o -p -p e r v l a k t e -p r o f i e l gegeven door ( 3 . 1 0 ) , T e r w i l l e v a n de a l g e m e e n h e i d en h e t i n z i c h t gaan we d a a r b i j e e r s t u i t s l u i -t e n d de k i n e m a -t i s c h e b e -t r e k k i n g e n g e b r u i k e n , -t.w. d ^ ^ d ^ - ^ ( 3 . 1 )

II

I f - i

Omdat de gegeven u i t w i j k i n g een z u i v e r s i n u s v o r m i g e g o l f i s , lopende i n de x - r i c h t i n g , moet h e t z e l f d e g e l d e n v o o r ( j ) ( x , z , t ) . De a m p l i t u d e v a n ()), t e s c h r i j v e n a l s $, k a n dus n i e t v a n x en t a f h a n g e n . We s t e l l e n . d a a r o m ( j ) ( x , z , t ) = $ ( z ) s i n {ü)t - k x + a } ( 3 . 1 4 ) w a a r i n (()(z) en a v o o r a l s n o g onbekend z i j n . S u b s t i t u t i e h i e r v a n i n de v e r g e l i j k i n g v a n L a p l a c e ( 3 . 1 ) l e v e r t ( | ^ - k ^ $ ) s i n (tüt - k x + a ) = 0 D i t k a n a l l e e n g e l d e n v o o r w i l l e k e u r i g e x en t a l s # | - k ^ $ = 0 dz'' ^

Deze gewone d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g met c o n s t a n t e coëfficiënten h e e f t de exponentiële f u n c t i e a l s e l e m e n t a i r e , o p l o s s i n g : C: A , , - k z (j) = A i e + Aae ( 3 , 15) De i n t e g r a t i e c o n s t a n t e n A i en A2 v o l g e n u i t de r a n d v o o r w a a r d e n . S u b s t i -t u -t i e v a n ( 3 . 1 4 ) en ( 3 . 1 5 ) i n de bodemvoorwaarde ( 3 . 2 ) g e e f -t kAïe"^^ - kAae^^ = O o f w e l A2 = A i e waarmee ( 3 . 1 5 ) o v e r g a a t i n $ ( z ) = 2 A i e " ^ ^ c o s h k ( h + z ) S u b s t i t u t i e h i e r v a n en v a n ( 3 . 1 0 ) i n de k i n e m a t i s c h e o p p e r v l a k t e - v o o r w a a r d e ( 3 . 6 ) l e v e r t -kh 2 A i k e s i n h kh s i n (wt - k x + a ) = ü)a c o s (wt - k x ) w a a r u i t v o l g t TT a = 2

en

-kh

2 A i k e s i n h kh = ü)a

z o d a t de o p l o s s i n g v o o r (j), behorende b i j ( 3 . 1 0 ) , g e s c h r e v e n kan worden a l s

, / OJa c o s h k ( h + z ) , , ,

* ( ^ ' ^ ' ^ ) = - F s i n h k h - ( 3 . 1 6 )

3.5 S n e l h e i d v a n een d e e l t j e

Door t e differentiëren n a a r x r e s p . z v i n d e n we de waarden v a n de o v e r -e -e n k o m s t i g -e compon-ent-en v a n d-e d -e -e l t j -e s s n -e l h -e i d : ''{yi f'"^'" ,^ "^1^ ^1^'^ V»^'^ 9^ 8x u = ooa c o s h k ( h + z ) s i n h kh s i n (tot - k x ) ^ V^-'^' (3.17X) 9d) s m h k ( h + z ) , , , n:li ( = w = ooa • ^ - • ^ cos (wt - k x ) dz s m h kh D i t kan k o r t worden g e s c h r e v e n a l s ( 3 . 1 7 z ) u = ü s i n '4^ en w = w cos i|J w a a r i n u en w de s n e l h e i d s a m p l i t u d e n z i j n , gegeven door ( 3 . 1 8 ) u = (jja c o s h k ( h + z ) s i n h kh en w = wa s i n h k ( h + z ) s i n h kh ( 3 . 1 9 )

Wat de fasen b e t r e f t merken we op d a t de v e r t i k a l e s n e l h e i d en de h o r i -z o n t a l e s n e l h e i d i n e l k punt 90° i n f a s e v e r s c h i l l e n . D i t komt o v e r e e n met een rondgaande d r a a i i n g v a n de s n e l h e i d s v e c t o r i n e l k p u n t .

Wat de amplituden (u en w) b e t r e f t k i j k e n we e e r s t n a a r hun w a a r d e n b i j h e t o p p e r v l a k ( z = 0 ) en b i j de bodem (z = -h) : u = Wa/tanh kh en w = Wa v o o r z = O ü = w a / s i n h kh en w = O v o o r z = -h i \ k V .^f» CA ^ ^ ^ ( 3 . 2 0 ) 3.21)

De r e l a t i e v e g r o o t t e v a n deze g r o o t h e d e n wordt b e p a a l d door de waarde v a n de f a c t o r kh, o f w e l door de v e r h o u d i n g w a t e r d i e p t e / g o l f l e n g t e ( h / L ) .