ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
Maciej Burnecki
opracowanie strona główna
Spis treści
I Zadania 2
1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2
2 Geometria analityczna na płaszczyźnie 3
3 Liczby zespolone 3
4 Wielomiany i funkcje wymierne 5
5 Macierze i wyznaczniki 5
6 Układy równań liniowych 7
7 Geometria analityczna w przestrzeni 8
8 ◦ Krzywe stożkowe 9
9 ◦ Iloczyn skalarny i odległość w Rn 9
10 ◦ Przestrzenie i przekształcenia liniowe 10
11 ◦ Rozkład Cholesky’ego 11
12 Pierwsze kolokwium 11
13 Drugie kolokwium 11
14 Egzamin 12
II Odpowiedzi, wskazówki 13
Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 13
Geometria analityczna na płaszczyźnie 13
Liczby zespolone 16
Wielomiany i funkcje wymierne 20
Macierze i wyznaczniki 21
Układy równań liniowych 22
Geometria analityczna w przestrzeni 22
◦ Krzywe stożkowe 24
◦ Iloczyn skalarny i odległość w Rn 25
◦ Przestrzenie i przekształcenia liniowe 25
◦ Rozkład Cholesky’ego 25
Pierwsze kolokwium 26
Drugie kolokwium 26
Egzamin 27
◦ - materiał może nie obowiązywać
Część I
Zadania
1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna
1. Uprość wyrażenie (a) a − b
a2− 2ab + b2
a b − 1
, (b) b − a
a2− b2
b a+ 1
, (c) a4+ a3b + a2b2
a3− b3
b2 a2 − 1
,
(d) a2− b2
a4− a3b + a2b2− ab3+ b4 a6− b6+ ab5− ba5 .
2. W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia f (x) wyznacz współczynnik przy α, jeśli (a) f (x) = (x + sin(x))7, α = x4sin3(x),
(b) f (x) = (1 − ex)10, α = e3x, (c) f (x) =
x4− 1
x2
9
, α = x24,
(d) f (x) = 1 x+√3
x
99
, α =
√3
x x98. 3. Zapisz w prostszej postaci liczbę
(a)
n
X
k=0
n k
3k
,
(b)
n
X
k=0
n k
(−2)k
(c)
n
X
k=0
nk(k + 1)(k + 2) . . . n (n − k)!
,
(d)
n
X
k=0
(−1)k(n − k + 1)(n − k + 2) . . . n k! · nn−k
.
4. Za pomocą indukcji matematycznej udowodnij, że dla wszystkich liczb naturalnych dodatnich n:
(a) 12+ 22+ 32+ . . . + n2=n(n + 1)(2n + 1)
6 ,
(b) 13+ 23+ 33+ . . . + n3=n2(n + 1)2
4 ,
(c) 3n+ 1 (n + 1)2,
(d) liczba 4n− 4 jest podzielna przez 12.
2 Geometria analityczna na płaszczyźnie
1. Wyznacz kąt ϕ pomiędzy wektorami u, v, jeśli (a) u =
1,√ 3
, v =
−1,√ 3
, (b) u =
−√ 3, 1
, v =
−1,√ 3
, (c) u =√
2,√ 2
, v =
−1, −√ 3
, (d) u =
−√ 2, −√
2
, v =√
3, −1 .
2. Wyznacz w mierze łukowej kąt ϕ przy wierzchołku C w trójkącie 4ABC, jeśli (a) A = (1, 1), B =√
3, 2 +√ 3
, C = 1 +√
3, 2 , (b) A = (2, 1), B = (3, 2) oraz C =
2 −√
3, 1 +√ 3
, (c) A =
1, 1 − 2√ 2
, B =
−1 + 2√
6, 1 + 2√ 2 +√
3
, C = (0, 1), (d) A =
0, 3 − 2√ 2
, B = 2√
2, 4 − 2√ 2
, C = (−1, 3).
3. Oblicz wysokość h trójkąta 4ABC o podstawie AC, jeśli (a) A = (3, 5), B = (0, 6) oraz C = (2, 2),
(b) A = (5, −5), B = (−2, 1) oraz C = (−1, 3).
4. Wyznacz punkt P0 przecięcia oraz kąt ϕ, pod jakim przecinają się proste na płaszczyźnie, określone równaniami
(a)
x =√ 3 t, y = −t oraz
x =√ 3, y = −1 + s, (b)
x = 2√ 3 −√
3 t, y = −5 + t oraz
x = s, y = −1 −√
3 s.
5. Wyznacz równanie okręgu, przechodzącego przez punkty (a) A = (4, 6), B = (5, 5) i C = (6, 2),
(b) A = (1, 3 +√
7), B = (0, 3 +√
12) i C = (−1, 3 −√ 15).
6. Wyznacz równanie takiego okręgu o środku w punkcie S, którego jedną ze stycznych jest prosta przecho- dząca przez punkty A, B, jeśli
(a) S = (1, −3), A = (−1, 2), B = (2, 4), (b) S = (−2, −1), A = (1, 2), B = (4, 1).
7. Napisz równania tych stycznych do danego okręgu, które przecinają się z prostą przechodzącą przez punkty A, B, pod kątem ϕ, jeśli
(a) równaniem okręgu jest x2− 2x + y2+ 6y + 5 = 0 oraz A = (−2, 2), B = (1, −1), ϕ = π 4, (b) równaniem okręgu jest x2+ 2x + y2− 3 = 0 oraz A =√
3, 4
, B = (0, 1), ϕ = π 3.
3 Liczby zespolone
1. Zapisz w postaci algebraicznej oraz zaznacz na płaszczyźnie liczbę zespoloną (a) z = 1 + i
2 − i, (b) z = 2 + 3i 4 + 5i.
2. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek
(a) Re(−2iz + 4) 0,
(b) Im(z − i) = Im((2 − i)z + i), (c) Re z2 = [Im(iz)]2− 4, (d) |iz + 2| = |iz − 2i|,
(e) | − 2z| = |4z − 4|.
3. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną (a) z = (1 +√
3i)20 (1 − i)40 , (b) z = (1 + i)40
(√
3 − i)20, (c) z = (√
3 − i)24 (1 −√
3i)14(1 − i)20, (d) z = (−√
3 + i)12 (1 − i)24 , (e) z = (1 − i√
3)700 (−1 + i)1400.
4. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek (a) 0 ¬ arg(1 + iz) ¬ π/2,
(b) Im z4 < 0, (c) 0 ¬ arg(2 − iz) ¬ π
2, (d) Im z4 > 0.
5. Wyznacz pole P figury
(a) F =z ∈ C : Im z3 0 ∧ (−1 ¬ Im(z) < 0) , (b) F =
z ∈ C :
0 ¬ Im(z) ¬ 1
√3Re(z)
∧ (|z| ¬ 2)
.
6. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie (a) z2− 2z + 4 = 0,
(b) z2+ 8z + 25 = 0, (c) z2+ 10z + 34 = 0, (d) z4= (−1 + 2z)4.
7. Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby (a) z = −1,
(b) z = i, (c) z = −2 + 2i, (d) z = 1 + i,
(e) z = −2√ 2.
8. Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki czwartego stopnia z liczby (a) z = 81,
(b) z = −16, (c) z = −8 + 8√
3 i.
4 Wielomiany i funkcje wymierne
1. Wyznacz iloraz i resztę z dzielenia wielomianu P (x) przez Q(x), jeśli (a) P (x) = x5− x4+ 3x3+ x + 7, Q(x) = x3+ x + 1,
(b) P (x) = x4+ 2x3+ x2+ x + 1, Q(x) = x2+ x + 3.
2. Rozłóż wielomian W (x) na nierozkładalne czynniki rzeczywiste, jeśli (a) W (x) = x4+ x3− 3x2− 4x − 4,
(b) W (x) = x4+ 2x3− x − 2.
3. Nie wykonując dzielenia, wyznacz resztę R(x) z dzielenia wielomianu P (x) przez Q(x), jeśli (a) P (x) = x4+ x3+ x2+ x + 1, Q(x) = x2− 1,
(b) P (x) = x5+ x4− 2, Q(x) = x2+ 4.
4. Rozłóż wielomian zespolony W (z) na czynniki liniowe, jeśli (a) W (z) = z3− 2z2+ 4z − 8,
(b) W (z) = z3+ 5z2+ 8z + 6.
5. Rozłóż funkcję wymierną właściwą f (x) na sumę rzeczywistych ułamków prostych, jeśli (a) f (x) = x2+ 3
x3+ 2x2+ 5x + 4, (b) f (x) = −x + 2
x3+ 3x2+ 4x + 4, (c) f (x) = 3x2+ 5x + 1
x3+ 3x2+ 3x + 2, (d) f (x) = 2x3+ 4x2+ 5x + 5
x4+ 3x3+ 3x2+ 3x + 2.
6. Rozłóż funkcję wymierną f (x) na sumę wielomianu i rzeczywistych ułamków prostych, jeśli (a) f (x) = x4− 5x3+ 5x2− 19x − 1
x3− 5x2+ 4x − 20 , (b) f (x) = x5− x4− 5x3− +3x − 2
x3− x2− 5x − 3 .
5 Macierze i wyznaczniki
1. Rozwiąż równanie macierzowe (a) 2A − 3
1 2 0 0 1 −1
=
−1 −6 2 0 −1 3
,
(b)
0 0 1 1 0 0 0 1 0
·
1 1 0 1 1 0
+ 2 · AT =
1 2
3 3
2 −1
,
(c)
1 2 1
2 1 −1
1 0 1
· AT =
2 4 0
.
2. Trzema sposobami: za pomocą odpowiedniego wzoru, przez rozwinięcie Laplace’a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej, oblicz wyznacznik
(a) W =
1 2 3 5
,
(b) W =
−1 7
−2 1 ,
(c) W =
1 1 1 1 2 2 1 2 4
,
(d) W =
8 10 7
9 7 9
5 5 5
.
3. Dwoma sposobami: z użyciem rozwinięcia Laplace’a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej, oblicz wyznacznik
(a) W =
1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 ,
(b) W =
9 4 4 2 5 3 2 4 4 3 1 3 5 5 0 5 .
4. Wyznacz te wartości parametru a ∈ C, dla których macierz A jest nieosobliwa, jeśli (a) A =
a a 2 a
,
(b) A =
a 1 1 1 1 a 1 a 1
,
(c) A =
a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 1 a 1 1 a 1
.
5. Dwoma sposobami: z pomocą twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej oraz przez przekształcanie razem z macierzą jednostkową, wyznacz macierz odwrotną do macierzy A, jeśli
(a) A =
1 1
−1 4
,
(b) A =
1 1 −1
1 −1 1
−1 1 1
,
(c) A =
1 1 1 1 2 1 1 1 2
,
(d) A =
1 2 1 1 3 1 1 2 2
.
6. Zbadaj, dla jakich parametrów a ∈ C istnieje macierz odwrotna A−1 do macierzy A, a następnie wyznacz ogólny wzór na A−1, jeśli
(a) A =
a + 1 2 a + 4 a + 4
,
(b) A =
1 1 1 1 2 1 1 1 a
.
7. Wyznacz rząd r(A) macierzy A, jeśli
(a) A =
1 1 2 2 3 4
,
(b) A =
i 1
−1 i
2i − 1 2 + i
,
(c) A =
1 2 1 4
2 3 2 5
−3 −3 −3 −3
,
(d) A =
5 2i 4 −1
3 i 2 0
3 0 1 2
1 0 0 1
.
8. W zależności od parametru a ∈ C, wyznacz rzędy macierzy z zadania 4.
9. Dla macierzy A, wyznacz wartości własne λ ∈ C i odpowiadające im przykłady wektorów własnych v ∈ C2, jeśli
(a) A =
2 1 4 5
,
(b) A =
1 3 2 2
,
(c) A =
1 −1 2 −1
,
(d) A =
7 2
−17 −3
.
6 Układy równań liniowych
1. Rozwiąż układ równań (a)
x + y = 3 x − 3y = −5,
(b)
x + y + z = 0 x − y + z = 0 x + y − z = 2,
(c)
x + y + z − t = 4 x + y − z + t = −4 x − y + z + t = 2
−x + y + z + t = −2,
(d)
−x − y + z + t = 4 x − y − z + t = 0 x − y − z − t = −8,
(e)
x + y + z = 1 2x + y + 2z = 1 3x + 2y + 3z = 3.
Pierwsze dwa przykłady rozwiąż trzema sposobami: metodą eliminacji Gaussa, ze wzorów Cramera i metodą macierzy odwrotnej.
2. W zależności od parametru a ∈ C, rozwiąż układ równań (a)
2x + 3y = 8 2x − ay = 8,
(b)
(a + 6)x + y + 2z = 4 x + (a + 5)y + 2z = 4 x + 2z = 4.
3. Wyznacz te wartości parametru a ∈ C, dla których poniższy układ równań ma przynajmniej jedno roz- wiązanie:
(a)
2x + 3y = a2
−8x − 12y = −36,
(b)
x + y + 4z = a 4y − 2z = 5 7x + y + 10z = 8.
4. W zależności od parametru a ∈ C, określ ilość rozwiązań układu (a)
x + 2y = 1 7x + ay = a,
(b)
x + y + az = 1 x + ay + z = a ax + y + z = −a − 1.
7 Geometria analityczna w przestrzeni
1. Wyznacz te wartości parametru a ∈ R, dla których
(a) równoległościan o trzech kolejnych wierzchołkach podstawy A = (−5, 2, 1), B = (2, 1, 2), C = (3, a2, 3) i wierzchołku E = (−a − 5, 4, −18) nad A, jest prostopadłościanem,
(b) kąt pomiędzy wektorami u = (a, −16, 4) oraz v = (2a, 1, −4) jest prosty, (c) wektory u = (1, a2, 1), v = (3, 12, 3) są równoległe.
2. Podaj
(a) równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez punkty A = (−1, 1, 1), B = (0, 1, 2), C = (3, 0, 5), (b) równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym
x = 1 + t + s y = 2 + t − s z = 1 + t + s,
(c) równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym
x = 1 + t + s y = −t + s z = 1 − t + 2s, (d) równanie parametryczne płaszczyzny o równaniu ogólnym x + y + 2z + 1 = 0,
(e) równanie parametryczne prostej o równaniu krawędziowym
x + y + z − 1 = 0 x + 2y + 3z − 2 = 0,
(f) równanie krawędziowe prostej o równaniu parametrycznym
x = 1 + t y = 2 − t z = 4 + t,
(g) równanie ogólne płaszczyzny zawierającej proste m :
x = −1 + t y = 1 z = 1 + t
oraz l :
x = 3 − s y = s z = 5 − s;
wyznacz punkt przecięcia tych prostych,
(h) równanie parametryczne prostej prostopadłej do prostych m :
x = t y = 1 z = 1 + t,
l :
x = −s y = 2 + s z = 1 − s, w punkcie ich przecięcia.
3. Wyznacz odległość d(P, π) punktu P od płaszczyzny π, jeśli (a) P = (−2, 1, 3), π : x + 2y + 2z − 3 = 0,
(b) P = (1, 2, 1), π :
x = 1 + t + s y = 2 + s z = −1 − t + s.
4. Wyznacz odległość d(P, l) punktu P od prostej l, jeśli
(a) P = (2, 3, 4), l :
x = 1 + t y = 2 + t z = 3 − t,
.
(b) P =
−5 2, −1
2, 1
, l :
x + y + z + 5 = 0 x − y − z + 2 = 0.
5. Wyznacz rzut prostopadły P0 punktu P = (2, 2, 1) na
(a) prostą l :
x = 1 + t y = 3 + t z = −1 − 2t,
.
(b) prostą l :
x − 2y − 3z + 1 = 0 x − y + z = 0,
(c) płaszczyznę π : x + 2y − 3z + 4 = 0, (d) płaszczyznę π :
x = 1 + 2t − s y = −11 + t + s z = t.
a następnie odbicia symetryczne P00 punktu P względem powyższych prostych i płaszczyzn.
6. Wyznacz kąt ϕ pomiędzy
(a) prostymi l :
x = 1 +
√ 2 2 t y = 2 −
√2 2 t z = t
oraz m :
x = 1 +
√ 2 2 −
√ 2 2 s y = 2 +
√2 2 −
√2 2 s z = 1 − s.
(b) płaszczyznami π1:
x = 1 + t + s y = t − s z = t + s
oraz π2: y − z − 1 = 0,
(c) prostą l :
x + y + z + 2 = 0
x − y + z + 3 = 0 i płaszczyzną π : x + y + 5 = 0.
7. Wyznacz pole P
(a) równoległoboku o kolejnych wierzchołkach A = (2, 2, 4), B = (0, −2, −2), C = (2, 1, 2),
(b) równoległoboku o środku w punkcie O = (2, 1, 2) i końcach jednego z boków A = (2, 2, 4), B = (0, −2, −2),
(c) trójkąta o wierzchołkach A = (−2, −2, −4), B = (0, 2, 2), C = (−2, −1, −2).
8. Wyznacz objętość V
(a) czworościanu o wierzchołkach A = (1, 1, 1), B = (2, 2, 2), C = (1, −2, −2) i D = (−1, 1, −1),
(b) równoległościanu rozpiętego na wektorach u = (1, 1, 1), v = (1, 1, 2) oraz w = (−1, −1, 3) × (1, 2, 3).
8
◦Krzywe stożkowe
1. Wyznacz półosie, półogniskową, mimośród, wierzchołki, ogniska i kierownice elipsy o równaniu 9x2 + 25y2= 225. Naszkicuj tę elipsę oraz podaj równanie stycznej do niej w punkcie A = 3,125.
2. Wyznacz półosie, asymptoty, półogniskową, mimośród, parametr, wierzchołki, ogniska i kierownice hiper- boli o równaniu x2− 4y2 = 16. Naszkicuj tę hiperbolę oraz podaj równanie stycznej do niej w punkcie A = 4√
2, 2.
3. Wyznacz wierzchołek, parametr, ognisko i kierownicę paraboli o równaniu y2− 8x = 0. Naszkicuj tę hiperbolę oraz podaj równanie stycznej do niej w punkcie A = (2, 4).
9
◦Iloczyn skalarny i odległość w R
n1. Wyznacz odległość pomiędzy punktami P, Q ∈ Rn, jeśli (a) n = 4, P = (1, 2, 3, −2), Q = (2, 1, 4, −3),
(b) n = 8, P = (5, 3, −2, 7, 9, 11, 1, 2), Q = (3, 4, −3, 5, 9, 9, 2, 1).
2. Wyznacz cosinus kąta pomiędzy wektorami u, v ∈ Rn, jeśli (a) n = 5, u = (1, 0, −2, 2, 0), v = (−1, 1, 1, 1, 0),
(b) n = 7, u = (1, −2, 0, 3, 1, 0, −1), v = 2 · (1, 1, −1, 1, 1, 2√
3, −5) − (−1, 1, 0, 0, 0, 3√
3, −10).
10
◦Przestrzenie i przekształcenia liniowe
1. Zbadaj liniową niezależność układu złożonego z wektorów (a) (1, 2), (3, 4) ∈ R2,
(b) (1, 2, 3), (3, 4, 5) ∈ R3,
(c) (1, 2, 3), (3, 4, 5), (4, 6, 8) ∈ R3,
(d) (1, 0, −2, 2, 0), (−1, 1, 1, 1, 0), (1, 2, 0, 5, 7) ∈ R5, (e) (1, −2, 0, 3, 1, 0, −1), (3, 1, −2, 2, 2,√
3, 0), (1, 1, −1, 1, 1, 2√ 3, −5), (−1, 1, 0, 0, 0, 3√
3, −10) ∈ R7.
2. Zbadaj, czy układy niezależne w poprzednim zadaniu tworzą bazy danej przestrzeni, a jeśli nie, to uzupełnij do bazy.
3. Załóżmy, że przekształcenie liniowe f : Rn→ Rm jest określone wzorem (a) f (x, y, z, t) = (x − y, x + y + z + 2t),
(b) f (x, y, z) = (x − y, x + y + z, x + y, x − z), gdzie x, y, z, t ∈ R.
Wyznacz n, m ∈ N+, a następnie zapisz w standardowych bazach macierz Af przekształcenia f . 4. Wyznacz jądro, obraz i rząd przekształceń f z poprzedniego zadania.
5. Załóżmy, że macierz Af przekształcenia liniowego f : Rn→ Rmma postać (a) Af =
5 −1 −1 0 0
8 −4 1 1 2
,
(b) Af =
1 −1 0
1 3 2
1 4 6
1 5 7
.
Wyznacz n, m ∈ N+, a następnie zapisz przekształcenie f za pomocą wzoru.
6. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f ◦ g oraz f ◦ g w bazach standardowych, jeżeli f : R3→ R5 oraz g : R4→ R3 są przekształceniami linowymi, danymi wzorami: f (x, y, z) = (x, x + y, x + y + z, x + z, y + z), g(s, t, u, v) = (u + v, t + u + v, s + t + u + v).
7. Niech B1 oznacza bazę w przestrzeni R2, złożoną z wektorów e1+ 5e2, e1− 2e2, gdzie e1, e2 tworzą bazę standardową w R2. Niech ponadto B2oznacza bazę w R4, utworzoną przez wektory ε1, ε1+ ε2, ε1+ ε2+ ε3, ε1+ ε2+ ε3+ ε4, gdzie ε1, ε2, ε3, ε4tworzą bazę standardową w R4. Wyznacz w bazach B1, B2macierz Af przekształcenia liniowego f : R2→ R4, określonego wzorem f (x, y) = (x + y, x − y, x, −y).
8. Wyznacz wartości własne i odpowiadające im wektory własne przekształcenia liniowego f : R2→ R2, jeśli (a) f (x, y) = (−y, 6x − 5y),
(b) f (x, y) = (−x + y, 2x).
11
◦Rozkład Cholesky’ego
• Sprawdź, czy poniższe macierze kwadratowe są symetryczne i dodatnio określone?
• W przypadku pozytywnej odpowiedzi, w każdym poleceniu za pomocą rozkładu Cholesky’ego A = L LT, gdzie L jest macierzą trójkątną dolną o dodatnich wyrazach na głównej przekątnej,
– oblicz wyznacznik det(A), – rozwiąż układ Ax = b oraz – wyznacz macierz odwrotną A−1, jeśli
1. A =
1 1 1 2
, b =
5 8
,
2. A =
4 2 2 5
, b =
6
−1
,
3. A =
1 1 3
1 2 2
3 2 11
, b =
7 5 25
,
4. A =
4 4 2 4 5 3 2 3 6
, b =
−10
−12
−19
.
12 Pierwsze kolokwium
Uwaga: zadania na kolokwiach i egzaminach mogą dotyczyć innych części obowiązującego materiału.
Zestaw A
1. Oblicz wysokość trójkąta 4ABC o podstawie BC, jeśli A = (−2, 2), B = (2, 4) oraz C = (7, 1).
2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = (−√ 3 + i)25 (1 − i)50 . 3. Rozłóż funkcję wymierną właściwą f (x) = 2x2+ 5
x3+ 4x − 5 na sumę rzeczywistych ułamków prostych.
Zestaw B
1. Wyznacz w mierze łukowej kąt przy wierzchołku C w trójkącie o wierzchołkach A = (2, 6), B = (3, 7) oraz C =
2 −√
3, 6 +√ 3
.
2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = (1 − i√ 3)50 (−1 + i)100. 3. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną
f (x) = 3x2+ 6x + 3 x3+ 3x2+ 3x + 2.
13 Drugie kolokwium
Zestaw A
1. Wyznacz te wartości parametru p ∈ C, dla których istnieje macierz odwrotna A−1 do macierzy A =
1 p 4
−2 −4 −8
2p 8 16
, a następnie podaj wzór na A−1.
2. W zależności od parametru q ∈ C, rozwiąż układ równań
2q2x + y + z = 2 + 2q x + 2y + 2z = 6 2x + 2y + z = 7.
3. Niech P = (1, 1, 3) oraz prosta l będzie dana układem równań
x + y + 2z − 6 = 0
x + z − 2 = 0. Wyznacz rzut prostopadły punktu P na prostą l oraz odległość tego punktu od prostej l.
Zestaw B
1. Dla macierzy A =
0 1 1 1 0 1 1 1 0
wyznacz rząd r(A), wartości i wektory własne.
2. W zależności od parametru λ ∈ C, określ ilość rozwiązań układu
x + λ2y + z = 0 x + y + t =√
2 i λ x + z + t = 2 y + z + t = 2.
3. Wyznacz te wartości parametru p ∈ R, dla których prosta l :
x = 1 + t y = 1 − 2pt z = −2 + t
jest prostopadła do płaszczy-
zny π :
x = 1 + u + s y = u + 2s z = 1 + u + 3s.
Ponadto, wyznacz rzut punktu P = (1, 1, −2) na płaszczyznę π oraz odbicie symetryczne tego punktu względem płaszczyzny π.
14 Egzamin
Zestaw A
1. Równanie z3= (1 + 2 z)3rozwiąż w zbiorze liczb zespolonych. Wyniki podaj w postaci algebraicznej.
2. Rozwiąż równanie macierzowe
1 1 0
1 1 −1
1 −1 1
· A =
1 −1 −1
1 1 0
T .
3. W zależności od parametru a ∈ C, określ ilość rozwiązań układu
x + 2y + z = 1 2x + y = 1
−x + a2y + z = 1 + a.
4. Wyznacz wartości i wektory własne macierzy A =
1 1 −1
1 1 −1
1 −1 1
. 5. Wyznacz rzut prostopadły punktu P = (1, 1, 1) na prostą
l :
x + y + z − 2 = 0 x + z − 1 = 0. .
Zestaw B
1. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie z3= (−1 + 2z)3. Wyniki podaj w postaci algebraicznej.
2. Rozwiąż równanie macierzowe AT·
1 1 0
1 1 −1
1 −1 1
T
=
1 −1 −1
1 1 0
.
3. W zależności od parametru a ∈ C, określ ilość rozwiązań układu
6x + 3y + z = 2 4x + y = 1
−2x + a2y + z = 1 + a.
4. Wyznacz wartości i wektory własne macierzy A =
1 1 −1
1 1 −1
1 −1 1
.
5. Wyznacz odbicie symetryczne punktu P = (1, −1, 1) względem płaszczyzny x + y + z + 1 = 0.
Zestaw C
1. Równanie z2+(1+i)z +i 2+1
4 = 0 rozwiąż zbiorze liczb zespolonych. Wyniki podaj w postaci algebraicznej.
2. Oblicz wysokość czworościanu ABCD o podstawie 4ABC, jeśli A = (1, 2, 1), B = (2, 3, 2), C = (0, 1, 1), D = (2, 4, 1).
3. Metodą macierzy odwrotnej rozwiąż układ równań
y + z = 2 x + y = 2 x + z = 4,
z trzema niewiadomymi x, y, z.
4. Wyznacz wartości i wektory własne macierzy B =
1 4 3 2
.
5. W zależności od parametru a ∈ C, określ rząd macierzy Da=
a 1 −1 1 1
a 2 1 1 0
2 1 a 1 1
1 0 a 1 0
2 3 0 2 1
.
Część II
Odpowiedzi, wskazówki
Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna
1. (a) 1 b, (b) −1
a, (c) −a − b, (d) 1.
2. (a) a4=7 3
= 35,
(b) a3= −10 3
= −120,
(c) a2=9 2
= 36,
(d) a1=99 1
= 99.
3. (a) 4n, (b) (−1)n,
(c) (1 + n)n, (d) 1 − n
n
n .
4. Najpierw, przez podstawienie sprawdź, że teza zachodzi dla n = 1; prawdziwe zatem jest twierdzenie T1. Następnie, z prawdziwości twierdzeń T1, T2, . . . , Tn (może wystarczyć użycie tylko Tn), wywnioskuj prawdziwość twierdzenia Tn+1, gdzie n ∈ N+.
Geometria analityczna na płaszczyźnie
1. (a) ϕ = π 3, (b) ϕ = π
6,
(c) 11 12π, (d) ϕ = 7
12π.
Aby nie używać funkcji trygonometrycznych kąta π
12, w dwóch ostatnich przykładach wyniki można otrzymać jako sumy lub różnice odpowiednich kątów.
2. (a) ϕ = π 2, (b) ϕ = π
6, (c) ϕ = 2
3π, (d) ϕ = π
4.
3. (a) h =√ 10, (b) h = 2.
4. (a) P0=√
3, −1 , ϕ = 1
3π,
(b) P0= (√
3, −4), ϕ = π 6.
5. (a) (x − 1)2+ (y − 2)2= 25, (b) (x + 2)2+ (y − 3)2= 16.
6. (a) (x − 1)2+ (y + 3)2=192 13, (b) (x + 2)2+ (y + 1)2=122
10.
7. (a) y = −1, y = −5, x = −1, x = 3, (b) y = −2, y = 2, y = −√
3 x −√
3 + 4, y = −√ 3 x −√
3 − 4.
Liczby zespolone
1. (a) z = 1 5 +3
5i, (b) z = 23
41+ 2 41i.
2. (a) półpłaszczyzna y −2,
(b) prosta y = 1 3x − 2
3,
(c) zbiór będący sumą prostych prostych y = 2, y = −2,
(d) prosta y = x,
(e) okrąg o środku w punkcie 4 3, 0
i promieniu 2 3.
3. (a) z = −1 2+
√3 2 i, (b) z = −1
2−
√3 2 i, (c) z = 1
2 −
√3 2 i, (d) z = 1,
(e) z = −1 2+
√ 3 2 i.
4. (a) Zbiór A składa się z liczb zespolonych z, spełniających trzy warunki: Re(z) 0, Im(z) ¬ 1 oraz z 6= i (przesunięta o wektor (0, 1) czwarta ćwiartka układu współrzędnych, z brzegiem i bez punktu (0, 1)),
(b) arg(z) ∈π 4,π
2
∪ 3π 4 , π
∪ 5π 4 ,3π
2
∪ 7π 4 , 2π
, co na płaszczyźnie przedstawia sumę wnętrz czterech kątów.
(c) Jest to zbiór {z ∈ C : Rez ¬ 0 ∧ Imz −2 ∧ z 6= −2i},
(d) arg(z) ∈ 0,π
4
∪ π 2,3π
4
∪
π,5π
4
∪ 3π 2 ,7π
4
, co na płaszczyźnie jest sumą wnętrz czterech kątów.
5. (a) P =
√ 3 3 ,
(b) P = π 3.
6. (a) z ∈n 1 +√
3 i, 1 −√ 3 io
, (b) z ∈ {−4 + 3 i, −4 − 3 i},
(c) z ∈ {−5 + 3 i, −5 − 3 i}, (d) z ∈
1,2
5−1 5i,1
3,2 5+1
5i
.
7. (a) w0= 1 2+
√3
2 , w1= −1, w2= 1 2−
√3 2 , (b) w0=
√3 2 +1
2i, w1= −
√3 2 +1
2i, w2= −i, (c) w0= 1 + i, w1= −1
2 −
√3
2 + −1 2+
√3 2
!
i, w2= −1 2+
√3
2 + −1 2 −
√3 2
! i,
(d) w0= 1 +√ 3 2√3
2 +
√3 − 1 2√3
2 i, w1= −1
√3
2 + 1
√3
2i, w2= 1 −√ 3 2√3
2 −1 +√ 3 2√3
2 i.
Wskazówka: cos π 12 =
s
1 + cos 2 ·12π
2 =
p2 +√ 3
2 = 1 +√ 3 2√
2 , sin π 12 =
√ 3 − 1 2√
2 . (e) w0=
√2 2 + i
√6
2 , w1= −√ 2, w2=
√2 2 − i
√6 2 . 8. (a) z = 3 ∨ z = 3i ∨ z = −3 ∨ z = −3i,
(b) z =√ 2 +√
2i ∨ z = −√ 2 +√
2i ∨ z = −√ 2 −√
2i ∨ z =√ 2 −√
2i, (c) z =√
3 + i ∨ z = −1 +√
3i ∨ z = −√
3 − i ∨ z = 1 −√ 3i.
Wielomiany i funkcje wymierne
1. (a) I(x) = x2− x + 2, R(x) = 5, (b) I(x) = x2+ x − 3, R(x) = x + 10.
2. (a) W (x) = (x + 2)(x − 2) x2+ x + 1, (b) W (x) = (x − 1)(x + 2)(x2+ x + 1).
3. (a) R(x) = 2x + 3, (b) R(x) = 16x + 14.
4. (a) W (z) = (z − 2)(z + 2i)(z − 2i), (b) W (z) = (z + 3)(z + 1 + i)(z + 1 − i).
5. (a) f (x) = −1
x2+ x + 4+ 1 x + 1, (b) f (x) = −x
x2+ x + 2+ 1 x + 2,
(c) f (x) = 2x
x2+ x + 1+ 1 x + 2, (d) f (x) = 1
x + 1+ 1
x + 2+ 1 x2+ 1. 6. (a) f (x) = x + 1
x − 5 + 1 x2+ 4, (b) f (x) = x2+ 1
(x + 1)2 + 1 x − 3.
Macierze i wyznaczniki
1. (a) A =
1 0 1 0 1 0
,
(b) A =
0 1 1 1 1 −1
, (c) A = 1 1 −1 .
2. (a) W = −1, (b) W = 13,
(c) W = 2, (d) W = −10.
3. (a) W = 1, (b) W = −5.
4. (a) a ∈ C \ {0, 2}, (b) a ∈ C \ {−2, 1},
(c) a ∈ C \ {−3, 1}.
5. (a) A−1=
4 5 −15
1 5
1 5
! ,
(b) A−1=
1 2
1 2 0
1 2 0 12 0 12 12
,
(c) A−1=
3 −1 −1
−1 1 0
−1 0 1
,
(d) A−1=
4 −2 −1
−1 1 0
−1 0 1
.
6. (a) Macierz odwrotna istnieje dla a ∈ C \ {1, −4}, wtedy A−1=
1
a−1 −(a−1)(a+4)2
−1 a−1
a+1 (a−1)(a+4)
! ,
(b) macierz odwrotna istnieje dla a ∈ C \ {1}, wtedy A−1=
2a−1
a−1 −1 a−1−1
−1 1 0
−1
a−1 0 a−11
.
7. (a) r(A) = 2, (b) r(A) = 1, (c) r(A) = 2, (d) r(A) = 3.
8. (a) r(A) = 2 dla a ∈ C \ {0, 2}, r(A) = 1 dla a ∈ {0, 2},
(b) r(B) = 3 dla a ∈ C \ {−2, 1}, r(B) = 2 dla a = −2, r(B) = 1 dla a = 1.
(c) r(C) = 4 dla a ∈ C \ {−3, 1}, r(C) = 3 dla a = −3, r(C) = 1 dla a = 1.
9. (a) wartości własnej λ1 = 1 odpowiadają wektory własne postaci
α
−α
, gdzie α ∈ C \ {0}, na przykład v1 =
1
−1
, wartości własnej λ1 = 6 odpowiadają wektory własne postaci
α 4α
, gdzie α ∈ C \ {0}, na przykład v2=
1 4
,
(b) wartości własnej λ1= 4 odpowiadają wektory własne postaci
α α
, gdzie α ∈ C \ {0}, na przykład v1 =
1 1
, wartości własnej λ1 = −1 odpowiadają wektory własne postaci
3α
−2α
, gdzie α ∈ C \ {0}, na przykład v2=
3
−2
,
(c) wartości własnej λ1 = i odpowiadają wektory własne postaci
α
(1 − i)α
, gdzie α ∈ C \ {0}, na przykład v1 =
1
1 − i
, wartości własnej λ2 = −i odpowiadają wektory własne postaci
α
(1 + i)α
, gdzie α ∈ C \ {0}, na przykład v2=
1
1 + i
,
(d) wartości własnej λ1= 2+3i odpowiadają wektory własne postaci
2α
(−5 + 3i)α
, gdzie α ∈ C\{0}, na przykład v1=
2
−5 + 3i
, wartości własnej λ2= 2 − 3i odpowiadają wektory własne postaci
2α
(−5 − 3i)α
, gdzie α ∈ C \ {0}, na przykład v2=
2
−5 − 3i
.
Układy równań liniowych
1. (a) x = 1, y = 2,
(b) x = 1, y = 0, z = −1,
(c) x = 1, y = −1, z = 2, t = −2.
(d) y = 2, t = 4, z = x + 2, z ∈ C – dowolne, (e) układ sprzeczny (brak rozwiązań).
2. (a) Dla a ∈ C \ {−3} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = 4, y = 0, a dla a = −3 nieskończenie wiele rozwiązań postaci
x = 4 −32y y ∈ C,
(b) dla a ∈ C \ {−5} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = y = 0, z = 2, a dla a = −5 nieskończenie wiele rozwiązań postaci
x = 4 − 2z y = 0 z ∈ C.
3. (a) a = −3 lub a = 3, (b) a = 1.
4. (a) Dla a ∈ C\{14} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, dla a = 14 jest sprzeczny (nie ma rozwiązań), (b) dla a ∈ C \ {−2, 1} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, dla a = −2 nieskończenie wiele rozwiązań,
a dla a = 1 jest sprzeczny (nie ma rozwiązań).
Geometria analityczna w przestrzeni
1. (a) a = −3,
(b) a = 4 lub a = −4, (c) a = 2 lub a = −2.
2. (a) x − z + 2 = 0,
(b) x − z = 0,
(c) x + 3y − 2z + 1 = 0,
(d)
x = −1 + t + 2s y = −t
z = −s,
(e)
x = 1 + t y = −1 − 2t z = 1 + t, (f)
x + y − 4 = 0 y + z − 6 = 0,
(g) punktem wspólnym prostych jest P = (2, 1, 4) (dla t = 3 i s = 1), a płaszczyzna ma równanie x − z + 2 = 0,
(h)
x = 1 + t y = 1 z = 2 − t.
.
3. (a) d(P, π) = 1,
(b) równaniem ogólnym płaszczyzny jest na przykład x − 2y + z + 4 = 0, a odległość d(P, π) = r2
3.
4. (a) d(P, l) = 2√ 6 3 , (b) d(P, l) =√
3.
5. (a) P0 =
−1 2,3
2, 2
, P00= (−3, 1, 3),
(b) P0 = 4 3,5
3, −1 3
, P00= 2 3,4
3, −5 3
,
(c) P0 = 3 2, 1,5
2
, P00= (1, 0, 4), (d) P0 = (1, 1, 4) , P00= (0, 0, 7).
6. (a) ϕ = π 3, (b) ϕ = π
3, (c) ϕ = π
6. 7. (a) P = 2√
6, (b) P = 4√
6, (c) P =√
6.
8. (a) V = 1, (b) V = 15.
◦
Krzywe stożkowe
1. Półosie a = 5, b = 3, półogniskowa c =√
a2− b2= 4, mimośród e = ac =45, wierzchołki (5, 0), (0, 3), (−5, 0), (0, −3), ogniska F1= (c, 0) = (4, 0), F2= (−c, 0) = (−4, 0), kierownice x = ac2 = 254, x = −ac2 = −254; styczna jest
określona ogólnie równaniem x0(x−xa2 0)+y0(y−yb2 0) = 0, co w tym przypadku daje prostą y = −209x + 154. 2. Półosie a = 4, b = 2, asymptoty y = bax = 12x, y = −bax = −12x, półogniskowa c = √
a2+ b2 = 2√ 5, mimośród e = ca =
√5
2 , parametr 2p = 2ba2 = 2, wierzchołki (4, 0), (−4, 0), ogniska F1 = (c, 0) = (2√
5, 0), F2 = (−c, 0) = (−2√
5, 0), kierownice x = ac2 = 8
√ 5
5 , x = −ac2 = −8
√ 5
5 ; styczna jest określona ogólnie równaniem x0(x−xa2 0)−y0(y−yb2 0) = 0, co w tym przypadku daje prostą y =
√2 2 x − 2.
3. Wierzchołek (0, 0), parametr 2p = 8, ognisko F = p2, 0 = (2, 0), kierownica x = −p2 = −2; styczna jest określona ogólnie równaniem y0(y − y0) = 2p(x − x0), co w tym przypadku daje prostą y = x + 2.
◦
Iloczyn skalarny i odległość w R
n1. (a) 2, (b) 4.
2. (a) −16, (b) 209.
◦
Przestrzenie i przekształcenia liniowe
1. (a) liniowo niezależny, (b) liniowo niezależny,
(c) liniowo zależny, (d) liniowo niezależny,
(e) liniowo zależny.
2. Bazą jest tylko układ z pierwszego podpunktu.
3. (a) n = 4, m = 2, Af =
1 −1 0 0
1 1 1 2
,
(b) n = 3, m = 4, Af =
1 −1 0
1 1 1
1 1 0
1 0 −1
.
4. (a) Ker(f ) = {(x, x, 2t − 2x, t) : x, t ∈ R} =
{x(1, 1, −2, 0) + t(0, 0, 2, 1) : x, t ∈ R}(jedna z możliwości zapisu), Im(f ) = R2, Rz(f ) = 2,
(b) Ker(f ) = {(0, 0, 0)},
Im(f ) = {x(1, 1, 1, 1) + y(−1, 1, 1, 0) + z(0, 1, 0, −1) : x, y, z ∈ R}, Rz(f ) = 3.
5. (a) n = 5, m = 2, f (x, y, z, t, u) = (5x − y − z, 8x − 4y + z + t + u),
(b) n = 3, m = 4, f (x, y, z) = (x − y, x + 3y + 2z, x + 4y + 6z, x + 5y + 7z).
6. Złożenie g ◦ f nie istnieje.
Macierz złożenia f ◦ g ma postać
Mf ◦g = Mf· Mg=
1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1
·
0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
=
0 0 1 1 0 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2 2 1 2 2 2
.
7. Af =
2 3
−2 4
1 −2
−2 −3
.
8. (a) Wartości własnej a1 = −2 odpowiadają wektory własne postaci v1 = α(1, 2), wartości własnej a2= −3 odpowiadają wektory własne postaci v2= α(1, 3), gdzie α ∈ R \ {0},
(b) wartości własnej a1= 1 odpowiadają wektory własne postaci v1= α(1, 2), wartości własnej a2= −2 odpowiadają wektory własne postaci v2= α(1, −1) dla α ∈ R \ {0}.
◦
Rozkład Cholesky’ego
1. L =
1 0 1 1
, det(A) = 1, x =
2 3
, A−1=
2 −1
−1 1
,
2. L =
2 0 1 2
, det(A) = 16, x =
2
−1
, A−1=
5 16 −18
−18 14
! ,
3. L =
1 0 0
1 1 0
3 −1 1
, det(A) = 1, x =
1 0 2
, A−1=
18 −5 −4
−5 2 1
−4 1 1
,
4. L =
2 0 0 2 1 0 1 1 2
, det(A) = 16, x =
−2 1
−3
, A−1 =
21
16 −98 18
−98 54 −14
1
8 −14 14
.
Pierwsze kolokwium
Zestaw A
1. h = 22
√34.
2. z = −1 2−
√3 2 i.
3. f (x) = 1
x − 1+ x x2+ x + 5.
Zestaw B
1. π 6. 2. z = 1
2 +
√3 2 i.
3. f (x) = 1
x + 2+ 2x + 1 x2+ x + 1.
Drugie kolokwium
Zestaw A
1. Macierz A jest odwracalna dla p ∈ C \ {2}, wtedy A−1=
0 p−21 2p−41
1 p−2
1
2p−4 0
−2p−41 −8p−16p+2 −8p−161
.
2. Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla q ∈ C \ {−1 2,1
2}, postaci
x = 1+2q2 y =1+8q1+2q z = 1−2q1+2q.
Dla q = 1
2 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, postaci
x = 1 + t y = 52−32t z = t, gdzie t ∈ C.
Dla q = −1
2 układ jest sprzeczny (nie ma rozwiązań).
3. Rzutem jest P0 =
−1 3,5
3,7 3
, a odległość d(P, l) = 2√ 6 3 .
Zestaw B
1. Rząd r(A) = 3, wartościami własnymi są liczby λ1= −1 oraz λ2= 2.
Wektory własne dla wartości własnej λ1= −1 są postaci v =
−t − s t s
, gdzie t, s ∈ C, |t|2+ |s|26= 0,
a wektory własne dla wartości własnej λ1= 2 są postaci v =
t t t
, gdzie 0 6= t ∈ C.
2. Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla λ ∈ C \ {−√ 2 i,√
2 i}, nieskończenie wiele rozwiązań dla λ = −√
2 i oraz jest sprzeczny dla λ =√ 2 i.
3. Prosta jest prostopadła do płaszczyzny dla p = 1.
Rzutem prostopadłym punktu P na płaszczyznę π jest P0 = 11 6 , −2
3, −7 6
, a odbiciem symetrycznym P00= 8
3, −7 3, −1
3
.
Egzamin
Zestaw A
1. Można było na przykład wykorzystać wzór na różnicę trzecich potęg, a potem rozwiązać równanie kwa- dratowe. Rozwiązaniami są liczby z1= −1, z2= − 5
14+
√3
14i, z3= − 5 14−
√3 14i.
2. A =
1 1 0
1 1 −1
1 −1 1
−1
·
1 −1 −1
1 1 0
T
(zła kolejność mnożenia dyswalifikuje rozwiązanie),
A =
0 12 12 1 −12 −12
1 −1 0
·
1 −1
−1 1
−1 0
=
−1 12 2 12
2 0
.
3. Wyznacznik macierzy głównej W = 2a2− 2, zatem dla a ∈ C \ {−1, 1} układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Użycie „rozumowania”: jeśli W = Wx = Wy = Wz = 0, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony), dyskwalifikuje dalszą część rozwiązania.
Dla a = −1 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, dla a = 1 jest sprzeczny (nie ma rozwiązań).
4. Wielomian charakterystyczny w(λ) = λ(λ − 1)(2 − λ).
Wartościami własnymi są λ1= 0, λ2= 1, λ3= 2, a wektory własne są odpowiednio postaci v1=
0 α α
, v2=
α α α
, v3=
α α 0
, gdzie α ∈ C \ {0}.
5. Równaniem parametrycznym prostej l jest na przykład
x = 1 − t y = 1 z = t,
a jej wektorem kierunkowym u = (−1, 0, 1).
Płaszczyzna, do której należy punkt P i która jest prostopadła do l, ma równanie x − z = 0.
Poszukiwanym rzutem jest P0 = 1 2, 1,1
2
.
Zestaw B
1. Można było na przykład wykorzystać wzór na różnicę trzecich potęg, a potem rozwiązać równanie kwa- dratowe. Rozwiązaniami są liczby z1= 1, z2= 5
14+
√3
14i, z3= 5 14−
√3 14i.
2. Można, choć niekoniecznie, wykorzystać wzór (X · Y )T = YT · XT. Wtedy A =
1 1 0
1 1 −1
1 −1 1
−1
·
1 −1 −1
1 1 0
T
(zła kolejność mnożenia dyswalifikuje rozwiązanie),
A =
0 12 12 1 −12 −12
1 −1 0
·
1 −1
−1 1
−1 0
=
−1 12 2 12
2 0
.
3. Wyznacznik macierzy głównej W = 4a2− 4, zatem dla a ∈ C \ {−1, 1} układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Użycie „rozumowania”: jeśli W = Wx = Wy = Wz = 0, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony), dyskwalifikuje dalszą część rozwiązania.
Dla a = −1 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, dla a = 1 jest sprzeczny (nie ma rozwiązań).
