ALGEBRA Z GEOMETRIA ANALITYCZN¨A„ Maciej Burnecki

ALGEBRA Z GEOMETRIA ANALITYCZN ¨ A„

Maciej Burnecki

Spis treści

I Wstęp 2

Zbiory liczbowe i wyrażenia algebraiczne 2

Silnia i symbol Newtona 2

Wzór dwumianowy Newtona 3

Zasada indukcji matematycznej 3

II Geometria analityczna w R

3

Płaszczyzna i wektory 3

Własności operacji na wektorach 4

Iloczyn skalarny 4

Zastosowanie iloczynu skalarnego do wyznaczania kątów 4

Własności długości wektorów i iloczynu skalarnego 4

Miary stopniowa i łukowa kąta 5

Kąty trójkąta równobocznego 6

Kąty równoramiennego trójkąta prostokątnego 6

Prosta i okrąg na płaszczyźnie 7

III Liczby zespolone 7

Rys historyczny 7

Podstawowe definicje i własności 8

Postać trygonometryczna 9

Postać wykładnicza 11

Pierwiastkowanie 11

Rozwiązywanie równań kwadratowych 12

IV Wielomiany i funkcje wymierne 12

Wielomiany 12

Funkcje wymierne 13

V Macierze i wyznaczniki 14

Macierze 14

Wyznaczniki 16

Postać macierzy odwrotnej 18

Część I

Wstęp

Zbiory liczbowe i wyrażenia algebraiczne

Definicja 1 Określamy

ˆ N = {0, 1, 2, . . .} – zbiór liczb naturalnych,

ˆ N+= {1, 2, 3, . . .} – zbiór liczb naturalnych dodatnich,

ˆ Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . .} – zbiór liczb całkowitych,

ˆ Q =nn

m : n ∈ Z ∧ m ∈ N⁺o

– zbiór liczb wymiernych (ułamków),

ˆ R – zbiór liczb rzeczywistych.

Silnia i symbol Newtona

Definicja 2 Określamy

ˆ 0! = 1,

ˆ n! = 1 · 2 · 3 . . . · n dla n ∈ N+,

ˆ n k



= n!

k!(n − k)! dla k ¬ n ∈ N.

Twierdzenie 1 1. n k



=

 n n − k



dla k ¬ n ∈ N,

2. n 0



=n n



= 1 dla n ∈ N,

3. n 1



=

 n n − 1



= n dla n ∈ N+,

4. n k

 +

 n k + 1



=n + 1 k + 1



dla k < n ∈ N.

Wzór dwumianowy Newtona

Twierdzenie 2 Jeśli a, b ∈ R oraz n ∈ N, to

(a + b)ⁿ =

n

X

k=0

n k



· a^n−k· b^k

 .

Zasada indukcji matematycznej

Twierdzenie 3 Rozważmy ciąg twierdzeń T1, T2, T3, . . .. Jeśli 1. prawdziwe jest twierdzenie T1 oraz

2. dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n, z prawdziwości twierdzeń T1, T2, . . . , Tn wynika prawdziwość twierdzenia Tn+1,

to prawdziwe jest każde twierdzenie Tn dla n ∈ N⁺.

Twierdzenia możemy numerować od dowolnej liczby całkowitej k ∈ Z, wtedy zasada indukcji jest prawdziwa dla ciągu twierdzeń postaci Tk, Tk+1, Tk+2, Tk+3, . . ..

Część II

Geometria analityczna w R ²

Płaszczyzna i wektory

ˆ Płaszczyzna w ujęciu geometrii analitycznej to iloczyn kartezjański R²= R × R = {(x, y) : x, y ∈ R}.

ˆ Pary uporządkowane (x, y) ∈ R²traktujemy jak punkty płaszczyzny lub wektory, które możemy dodawać lub mnożyć przez skalary (czyli przez liczby rzeczywiste).

ˆ Dodawanie wektorów: (u1, u2) + (v1, v2) = (u1+ v1, u2+ v2).

ˆ Mnożenie przez skalary: λ(u1, u₂) = (λu₁, λu₂).

ˆ Długość wektora (odległość między końcami tego wektora): |(u1, u₂)| = q

u²₁+ u²₂.

ˆ Wektor zerowy: 0 = (0, 0).

ˆ Wektor przeciwny do danego wektora: −(u1, u₂) = (−u1, −u₂).

Własności operacji na wektorach

ˆ Prawa łączności:

(u + v) + w = u + (v + w), (λµ)u = λ(µu),

ˆ Prawa rozdzielności:

λ(u + v) = λu + λv, (λ + µ)u = λu + µu,

ˆ Przemienność dodawania:

u + v = v + u,

ˆ Inne własności: 0 + u = u + 0 = u, u + (−u) = (−u) + u = 0, 1u = u.

Iloczyn skalarny

Definicja 3 Iloczyn skalarny pomiędzy wektorami u = (u1, u2) , v = (v1, v2) ∈ R² możemy określić na dwa, równoważne sposoby:

ˆ geometryczny,

u ◦ v = |u| · |v| · cos(ϕ),

gdzie ϕ ∈ [0, π] jest niezorientowanym kątem (tzn. kolejność wektorów nie ma znaczenia) pomiędzy nieze- rowymi wektorami u i v, ponadto przyjmujemy 0 ◦ v = u ◦ 0 = 0

ˆ lub analityczny,

u ◦ v = u₁v₁+ u₂v₂.

Zastosowanie iloczynu skalarnego do wyznaczania kątów

ˆ Jeśli wektory u = (u1, u₂) , v = (v1, v₂) ∈ R²są niezerowe, to kosinus kąta ϕ ∈ [0, π] pomiędzy nimi wyraża się wzorem

cos(ϕ) = u ◦ v

|u| · |v| = u1v1+ u2v2

q

(u1)²+ (u2)²· q

(v1)²+ (v2)² .

ˆ Dwa wektory u, v ∈ R² sa prostopadłe (oznaczamy: u ⊥ v) wtedy i tylko wtedy, gdy u ◦ v = 0.

Własności długości wektorów i iloczynu skalarnego

ˆ |u + v| ¬ |u| + |v| (nierówność trójkąta),

ˆ |λu| = |λ| · |u|,

ˆ |u ◦ v| ¬ |u| · |v|,

ˆ u ◦ v = v ◦ u (przemienność iloczynu skalarnego),

ˆ (λu) ◦ v = u ◦ (λv) = λ (u ◦ v),

ˆ (u1+ u₂) ◦ v = u₁◦ v + u₂◦ v.

Miary stopniowa i łukowa kąta

Kąty trójkąta równobocznego

Kąty równoramiennego trójkąta prostokątnego

Prosta i okrąg na płaszczyźnie

Równanie A · x + B · y + C = 0, gdzie A, B, C ∈ R oraz A²+ B²̸= 0, zwane równaniem ogólnym prostej na płaszczyźnie, wyznacza prostą i jednocześnie, każda prosta na płaszczyźnie daje się opisać takim równaniem.

Z powyższego równania ogólnego natychmiast można odczytać współrzędne wektora prostopadłego do pro- stej, u = (A, B).

Niekiedy prostą opisujemy równaniem parametrycznym

 x = x0+ t · u1

y = y0+ t · u2, gdzie x₀, y₀, u₁, u₂∈ R są usta- lonymi liczbami, a parametr t przebiega zbiór liczb rzeczywistych R.

Z równania parametrycznego prostej natychmiast można odczytać współrzędne jednego z jej punktów:

(x0, y0) oraz wektor kierunkowy u = (u1, u2) tej prostej (czyli niezerowy wektor równoległy do tej prostej). Pro- stą przechodzącą przez punkty (x1, y1) ̸= (x2, y2) ∈ R²opisuje równanie (y − y1)·(x2− x1) = (y2− y1)·(x − x1) .

Kosinus kąta ϕ ∈ h 0,π

2 i

, pomiędzy prostymi o wektorach kierunowych u, v, wyraża się wzorem cos(ϕ) =

|u ◦ v|

|u| · |v|.

Odległość punktu P0 = (x0, y0) ∈ R² od prostej l ⊆ R² o równaniu Ax + By + C = 0 wyraża się wzorem d (P₀, l) = |Ax0+ By₀+ C|

√A²+ B² .

Równaniem okręgu na płaszczyźnie o środku w punkcie (x0, y0) ∈ R² i promieniu r > 0 jest (x − x0)²+ (y − y0)²= r².

Część III

Liczby zespolone

Twierdzenie 4 Jeśli x ∈ R, to

x²­ 0.

Rys historyczny

Potrzeba obliczania pierwiastków keadratowych z liczb ujemnych występowała już w pracach Herona z Alek- sandrii (ok. 75 r.) – przy obliczeniach związanych z piramidami, Diofantusa (3 wiek), matematyków hinduskich:

Bhaskara Acharya (5 wiek) czy Machawira Acharya (ok. 850 r.).

Girolamo Cardano opublikował w 1545 r. pracę Ars Magna o rozwiązywaniu równań kwadratowych x²+ bx + c = 0 i sześciennych x³+ ax²+ bx + c = 0.

W pracy tej znajduje się pierwsze (według obecnej wiedzy) zapisanie pierwiastka z liczby ujemnej.

Problem Cardano

Podziel 10 na dwie części, których iloczyn wynosi 40.

Obliczenia:

x + y = 10, x · y = 40, zatem x(10 − x) = 40, x²− 10x + 40 = 0, co daje rozwiązania x₁= 5 +√

−15, x₂= 5 −√

−15.

Cardano formalnie mnożył x₁· x2= 5²− √

−15
²

= 25 − (−15) = 40.

Dla rozwiązywania równań sześciennych x³= ax + b, Cardano podał wyprowadzony przez Tartaglię i nieza- leżnie Scipione del Ferro, wzór

x = ³ v u u tb

2 + s

 b 2

²

−a 3

3

+ ³ v u u tb

2− s

 b 2

²

−a 3

3

.

Dla równania x³= 15x + 4, wzór powyższy daje x = ³

q 2 +√

−121 + ³ q

2 −√

−121,

a sam Cardano, z powodu pierwiastków kwadratowych z liczby ujemnej, uważał ogólny wzór za nie do zastosowania w tym przypadku.

Zauważmy, że powyższe równanie x³ = 15x + 4, ma jednak pierwiastki rzeczywiste: 4, −2 +√

3, −2 −√ 3, czego nie można powiedzieć np. o równaniu x²+ 1 = 0.

Pozostało nadać znaczenie rozwiązaniom x = ³ q

2 +√

−121 + ³ q

2 −√

−121, otrzymanym przez Cardano.

Rafael Bombelli (1526-73) spróbował składniki w powyższej sumie przedstawić jako kolejne sumy dwóch wyrażeń, tylko różniących się znakiem przy drugim członie, ³

q 2 +√

−121 = a +√

−b, ³ q

2 −√

−121 = a −√

−b;

wydedukował, że a = 2, b = 1 i pokazał w ten sposób, że x = ³ q

2 +√

−121 + ³ q

2 −√

−121 = 2 +√

−1 + 2 −√

−1 = 4.

Mówi się tu o narodzinach liczb zespolonych.

Leonhard Euler (1707-83) dziwił się, że wyrażenia takie, jak√

−1,√

−2 nie są ani równe, ani mniejsze ani większe od liczby 0 (czyli są nieporównywalne z zerem). Oznaczył i =√

−1 i był zmieszany absurdem:

6 =√

36 =p

(−4) · (−9) =√

−4 ·√

−9 =√

−1 ·√ 4 ·√

−1 ·√

9 = i · 2 · i · 3 = i²· 6 = −6.

Wątpliwości, jak powyższe, trwały przez około dwa i pół stulecia. Pomimo tego, w tym samym czasie liczby zespolone były intensywnie używane.

Karl Friedrich Gauss (1777-1855) zaproponował geometryczną interpretację liczb zespolonych jako punkty płaszczyzny i wprowadził nazwę: liczby zespolone. Publikacja miała miejsce w roku 1831, ale z jego dziennika wynika, że znał interpretację już w roku 1797.

Wyjaśnienie problemu Eulera Zarówno 6²= 36, jak i (−6)²= 36.

Inaczej: do jednej liczby 36 prowadzą dwie drogi przez podnoszenie do kwadratu, od liczby 6 i od liczby −6, czyli

6 −→ 36 ←− (−6).

Zamiast przyjmować, że √

36 = 6, moglibyśmy określić √

36 = −6. Niestety, stały wybór niedodatnich pier- wiastków kwadratowych prowadzi do sprzeczności nawet bez użycia liczb zespolonych:

−6 =√ 36 =√

4 · 9 =√ 4 ·√

9 = (−2) · (−3) = 6.

Pozostaje przyjąć, że funkcja pierwiastkowania kwadratowego nie jest określona jednoznacznie, albo inaczej:

jest dwuwartościowa dla argumentów niezerowych, np. √

36 = {6, −6}.

Wtedy {6, −6} =√ 36 =p

(−4) · (−9) =√

−4 ·√

−9 = {2i, −2i} · {3i, −3i} = {(2i) · (3i), (2i) · (−3i), (−2i) · (3i), (−2i) · (−3i)} = {−6, 6, 6, −6} = {−6, 6}.

Podstawowe definicje i własności

Liczby zespolone utożsamiamy z punktami płaszczyzny, a zbiór liczb zespolonych oznaczamy przez C.

Jeśli z ∈ C, to z = (x, y), gdzie x, y ∈ R. Liczbę x ∈ R nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z i oznaczamy x = Re(z), a liczbę y ∈ R nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z i oznaczamy y = Im(z).

Liczby zespolone dodajemy, jak wektory na płaszczyźnie, zatem dodawanie liczb zespolonych ma te same własności, co dodawanie wektorów. Oznaczamy i = (0, 1), 1 = (1, 0).

Jeśli z = (x, y) ∈ C, gdzie x, y ∈ R, to z = (x, 0) + (0, y) = x · (1, 0) + y · (0, 1) = x · 1 + y · i = x + y · i.

Definicja 4 Przedstawienie

z = x + y · i,

gdzie x, y ∈ R, nazywamy postacią algebraiczną liczby zespolonej z ∈ C.

Liczby zespolone mnożymy z zachowaniem prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania i przy zało- żeniu i²= −1.

Jeśli z1= x1+ y1· i, z2= x2+ y2· i, gdzie x1, y₁, x₂, y₂∈ R, to z₁· z2= (x₁+ y₁· i) · (x2+ y₂· i) = x1x₂− y1y₂+ (x₁y₂+ x₂y₁) · i.

Zbiór liczb zespolonych C z dodawaniem i mnożeniem jest ciałem, to znaczy

ˆ C z dodawaniem tworzy grupę przemienną (dodawanie jest łączne, przemienne, dodanie elementu neutral- nego – zera – nie zmienia liczby, dodanie liczby przeciwnej daje zero: z + (−z) = 0),

ˆ zbiór C \ {0} z mnożeniem jest także grupą przemienną (elementem neutralnym jest 1),

ˆ w zbiorze C zachodzi prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania.

Definicja 5 Jeśli z = x + y · i jest postacią algebraiczną liczby zespolonej z ∈ C, to

ˆ liczbę zespoloną

z = x − y · i nazywamy sprzężeniem (lub liczbą sprzężoną do) z,

ˆ rzeczywistą liczbę nieujemną

|z| =p x²+ y² nazywamy modułem (niekiedy: wartością bezwzględną) liczby z.

Zauważmy, że

ˆ z · z = |z|²,

ˆ |z| = |z|,

ˆ |z1− z₂| jest odległością pomiędzy punktami z₁, z₂ na płaszczyźnie,

ˆ |z1+ z2| ¬ |z1| + |z2| (nierówność trójkąta),

ˆ |z1· z2| = |z1| · |z2|,

ˆ    

z1

z2

= |z1|

|z2|.

Postać trygonometryczna

Przekształćmy nieco algebraiczną postać niezerowej liczby zespolonej z ∈ C \ {0}:

z = x + y · i = |z| · x

|z|+ y

|z|· i

 .

Definicja 6 Przedstawienie

z = |z| · (cos(ϕ) + i · sin(ϕ)) ,

gdzie ϕ ∈ R, nazywamy postacią trygonometryczną liczby zespolonej z ∈ C \ {0}.

Kąt ϕ ∈ R nazywamy argumentem liczby zespolnej z, a jeśli ϕ ∈ [0, 2π), to mówimy o argumencie głównym.

Przyjrzyjmy się uważniej mnożeniu liczb zespolonych, zapisanych w postaci trygonometrycznej.

Jeśli z1= |z1| · (cos (ϕ1) + i · sin (ϕ1)) , z2= |z2| · (cos (ϕ2) + i · sin (ϕ2)) , to z₁· z₂= |z₁| · |z₂| ·h

cos (ϕ₁) · cos (ϕ₂) − sin (ϕ₁) · sin (ϕ₂) + i · (cos (ϕ1) · sin (ϕ2) + sin (ϕ1) · cos (ϕ2))i

=

|z1| · |z2| · [cos (ϕ1+ ϕ2) + i · sin (ϕ1+ ϕ2)] .

Twierdzenie 5 Liczby zespolone, zapisane w postaci trygonometrycznej, mnożymy według wzoru:

z1· z2= |z1| · |z2| · [cos (ϕ1+ ϕ2) + i · sin (ϕ1+ ϕ2)] ,

zatem modułem iloczynu jest iloczyn modułów, a argumentem iloczynu suma argumentów.

W przypadku, gdy mnożymy liczbę zespolonę przez samą siebie, czyli podnosimy do którejś potęgi, otrzymujemy ważny wniosek:

Wniosek 1 (Wzór de Moivre’a) Liczbę zespoloną, zapisaną w postaci trygonometrycznej z = |z|·(cos(ϕ) + i · sin(ϕ)), podnosimy do potęgi n ∈ N według wzoru:

zⁿ= |z|ⁿ· [cos (n · ϕ) + i · sin (n · ϕ)] , zatem moduł podnosimy do n–tej potęgi, a argument mnożymy przez n.

Postać wykładnicza

Definicja 7 Oznaczmy e^ϕ·i= cos(ϕ) + i · sin(ϕ), gdzie ϕ ∈ R. Przedstawienie z = |z| · e^ϕ·i,

gdzie ϕ ∈ R, nazywamy postacią wykładniczą liczby zespolonej z ∈ C.

Wniosek 2 Rozważmy liczby zespolone z₁, z₂ ∈ C, zapisane w postaciach wykładniczych z1= |z₁| · e^ϕ1·i, z₂ =

|z2| · e^ϕ2·i. Wówczas

z1· z2= |z1| · |z2| · e^(ϕ1+ϕ2)·i.

Jeśli z = |z| · e^ϕ·i∈ C jest liczbą zespoloną zapisaną w postaci wykładniczej oraz n ∈ N, to zⁿ= |z|ⁿ· e^n·ϕ·i

(inny zapis wzoru de Moivre’a)

Pierwiastkowanie

Definicja 8 Jeśli n ∈ N⁺ oraz z ∈ C, to rozwiązania równania wⁿ= z nazywamy pierwiastkami n-tego stopnia z liczby zespolonej z.

Twierdzenie 6 Jeśli n ∈ N⁺ oraz 0 ̸= z ∈ C, to istnieje dokładnie n pierwiastków n-tego stopnia z liczby zespolonej z.

Pierwiastki, o których mowa w powyższym twierdzeniu, wyliczamy według wzoru wk= |z|¹ⁿ·



cos ϕ + k · 2π n



+ sin ϕ + k · 2π n



· i

 ,

gdzie z = |z| · (cos(ϕ) + i · sin(ϕ)) jest liczbą zespoloną zapisaną w postaci trygonometrycznej, |z|¹ⁿ ­ 0 oznacza

„tradycyjny”, nieujemny pierwiastek n-tego stopnia z liczby |z|, a indeks k ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1}.

Ponieważ w_k+1= w_k·



cos 2π n



+ sin 2π n



· i



, to niekiedy może być łatwiej wyznaczyć pierwiastek w₀, a kolejne otrzymywać za pomocą domnażania przez liczbę cos 2π

n



+ sin 2π n



· i.

Rozwiązywanie równań kwadratowych

Spróbujmy rozwiązać równanie kwadratowe

z²+ b · z + c = 0, gdzie b, c ∈ C.

Przekształcamy tak, jak w przypadku licb rzeczywistych: z²+ b · z + c =

 z +b

2

²

−b² 4 + c =

 z +b

2

²

−∆ 4, gdzie ∆ = b²− 4 · c.

Otrzymujemy

 z +b

2

²

= ∆

4, dlatego z +b 2 ∈

r∆ 4 =

√∆ 2 .

W przypadku liczb zespolonych, rozwiązywanie równań kwadratowych upraszcza się zatem do jednego wzoru:

z ∈ −b +√

∆

2 ,

gdzie

√

∆ = {w ∈ C : w²= ∆}.

Część IV

Wielomiany i funkcje wymierne

Wielomiany

Definicja 9 Niech K = R lub K = C, n ∈ N oraz a⁰, a1, . . . , an∈ K, an̸= 0.

Funkcję P : K → K, określoną wzorem

P (z) = a_n· zⁿ+ an−1· zⁿ⁻¹+ . . . + a1· z + a0=

n

X

k=0

a_k· z^k

nazywamy wielomianem stopnia st(P ) = n.

Dodatkowo, funkcję 0, stale równą zeru, nazywamy wielomianem zerowym, którego stopień dla wygody okre- ślamy jako st(0) = −∞.

Jeśli K = R, to mówimy o wielomianie rzeczywistym, jeśli K = C, to mówimy o wielomianie zespolonym.

Twierdzenie 7 DZIELENIE WIELOMIANÓW

Jeśli P, Q są wielomianami oraz Q ̸= 0, to istnieją wielomiany I (iloraz), R (reszta z dzielenia) takie, że st(R) < st(Q) oraz

P = Q · I + R.

Wniosek 3 TWIERDZENIE BEZOUT

Jeśli liczba a ∈ K jest pierwiastkiem wielomianu P , to P dzieli się przez wielomian z − a z resztą 0 („bez reszty”).

Definicja 10 KROTNOŚĆ PIERWIASTKA

Jeśli liczba a ∈ K jest pierwiastkiem wielomianu P , to największą z liczb naturalnych k ∈ N⁺ takich, że P dzieli się przez wielomian (z − a)^k z resztą 0, nazywamy krotnością pierwiastka a.

Twierdzenie 8 ZASADNICZE TWIERDZENIE ALGEBRY

Każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma przynajmniej jeden pierwiastek (inaczej: miejsce zerowe).

Wniosek 4 ˆ Każdy wielomian zespolony daje się przedstawić w postaci iloczynu stałej i czynników linio- wych postaci z − a,

ˆ a każdy wielomian rzeczywisty daje się przedstawić w postaci iloczynu – stałej,

– nierozkładalnych wielomianów stopni 2, postaci x²+ b · x + c, gdzie ∆ = b²− 4 · c < 0 – oraz czynników liniowych postaci x − a.

Twierdzenie 9 Jeśli P (z) = an· zⁿ+ an−1· zⁿ⁻¹+ . . . + a1· z + a0 jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, to znaczy a0, a₁, . . . , a_n∈ Z, a liczba wymierna z0∈ Q, zapisana w postaci ułamka nieskracalnego z₀= l

m, gdzie l ∈ Z, m ∈ N+, jest pierwiastkiem wielomianu P , to

ˆ l|a0 (liczba l dzieli a₀)

ˆ oraz m|an.

Wniosek 5 Załóżmy, że P (z) = an· zⁿ+ an−1· zⁿ⁻¹+ . . . + a1· z + a0 jest wielomianem o współczynnikach całkowitych. Wówczas

ˆ jeśli liczba całkowita l ∈ Z jest pierwiastkiem wielomianu P , to l|a0 oraz

ˆ jeśli an = 1, to pierwiastkami wymiernymi wielomianu P mogą być tylko liczby całkowite, podzielniki wyrazu a0.

Funkcje wymierne

Definicja 11 Niech K = R lub K = C. Funkcje f : K → K, postaci

f (z) = P (z) Q(z),

gdzie P, Q są wielomianami oraz Q ̸= 0, nazywamy funkcjami wymiernymi.

Jeśli st(P ) < st(Q), to mówimy o funkcji wymiernej właściwej, w przeciwnym przypadku o funkcji wymiernej niewłaściwej.

Wniosek 6 WNIOSEK Z DZIELENIA WIELOMIANÓW

Każdą funkcję wymierną niewłaściwą możemy przedstawić w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej.

Twierdzenie 10 ROZKŁAD NA RZECZYWISTE UŁAMKI PROSTE Niech f = P

Q będzie rzeczywistą funkcją wymierną właściwą, przedstawioną w postaci ilorazu wielomianów.

Wówczas f możemy zapisać w postaci sumy tak zwanych ułamków prostych, gdzie w rozkładzie mianownika Q(x) na czynniki nierozkładalne,

1. funkcji liniowej x − a, o krotności k ∈ N+ w wielomianie Q, odpowiada suma

k

X

j=1

b_j

(x − a)^j (ułamki proste pierwszego rodzaju) dla pewnych liczb rzeczywistych bj ∈ R,

2. a funkcji kwadratowej x²+ bx + c, o wyróżniku ∆ = b²− 4c < 0 i krotności k ∈ N+ w wielomianie Q, od- powiada suma

k

X

j=1

c_j· x + dj

(x²+ bx + c)^j (ułamki proste drugiego rodzaju) dla pewnych liczb rzeczywistych cj, dj∈ R.

Twierdzenie 11 ROZKŁAD NA ZESPOLONE UŁAMKI PROSTE Niech f = P

Q będzie zespoloną funkcją wymierną właściwą, przedstawioną w postaci ilorazu wielomianów.

Wówczas f możemy zapisać w postaci sumy zespolonych ułamków prostych, gdzie w rozkładzie mianownika Q na czynniki nierozkładalne,

funkcji liniowej z − α, o krotności k ∈ N⁺ w wielomianie Q, odpowiada suma

k

X

j=1

β_j (z − α)^j dla pewnych liczb zespolonych βj∈ C.

Część V

Macierze i wyznaczniki

Macierze

Definicja 12 Załóżmy, że n, m ∈ N+. Niech K = C lub K = R.

ˆ Funkcję A : {1, 2, 3, . . . , n} × {1, 2, 3, . . . , m} → K nazywamy macierzą nad ciałem K, wymiaru n × m.

Jeśli K = C, to mówimy o macierzy zespolonej, jeśli K = R, to mówimy o macierzy rzeczywistej.

ˆ Zbiór wszystkich macierzy nad K, wymiaru n×m, oznaczamy przez Mn×m(K) lub skrótowo, przez Mn×m.

ˆ Wartości A(i, j) funkcji A, gdzie i ∈ {1, 2, 3, . . . , n}, j ∈ {1, 2, 3, . . . , m}, nazywamy elementami tej ma- cierzy i często oznaczamy A(i, j) = ai j; macierz A zapisujemy wówczas jako A = (ai j)_n×m lub skrótowo, A = (ai j).

ˆ Jeśli n = m, to macierz A nazywamy kwadratową i mówimy, że jest stopnia n. Zbiór macierzy kwadrato- wych oznaczamy symbolem Mn.

Macierz A ∈ Mn×m zwykle przedstawiamy w postaci tablicy,

A =













a11 a12 a13 . . . a1m

a21 a22 a23 . . . a2m

a31 a32 a33 . . . a3m

. . .

an1 an2 a23 . . . anm











 o n wierszach i m kolumnach.

Macierz powstałą z danej macierzy A = (aij) ∈ Mn×m przez zamianę wierszy z kolumnami, nazywamy macierzą transponowaną do A i oznaczamy przez A^T = (aj i) ∈ Mm×n.

W przypadku macierzy kwadratowej A ∈ Mn, elementy postaci aii tworzą tak zwaną główną przekatną.

Macierz zerowa

0n×m=













0 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0

. . . 0 0 0 . . . 0













∈ Mn×m,

macierz jednostkowa

In=













1 0 0 . . . 0 0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0

. . . 0 0 0 . . . 1













∈ Mn,

macierz trójkątna górna













a₁₁ a₁₂ a₁₃ . . . a_1n 0 a₂₂ a₂₃ . . . a_2n 0 0 a₃₃ . . . a_3n

. . .

0 0 0 . . . a_nn













∈ Mn,

macierz trójkątna dolna













a₁₁ 0 0 . . . 0 a₂₁ a₂₂ 0 . . . 0 a31 a32 a33 . . . 0 . . .

an1 an2 a23 . . . ann













∈ M_n.

Macierze liczbowe dodajemy tak, jak funkcje, Aby dodawane było wykonalne, obie macierze potrzebują mieć tą samą dziedzinę, to znaczy powinny być tego samego wymiaru.

Dodawanie możemy zapisać skrótowo, (aij) + (bij) = (aij+ bij) lub przedstawić graficznie,













a₁₁ a₁₂ a₁₃ . . . a_1m a₂₁ a₂₂ a₂₃ . . . a_2m a₃₁ a₃₂ a₃₃ . . . a_3m

. . .

an1 an2 a23 . . . anm











 +













b₁₁ b₁₂ b₁₃ . . . b_1m b₂₁ b₂₂ b₂₃ . . . b_2m b₃₁ b₃₂ b₃₃ . . . b_3m

. . .

bn1 bn2 b23 . . . bnm













=













a₁₁+ b11 a₁₂+ b12 a₁₃+ b13 . . . a_1m+ b1m

a₂₁+ b₂₁ a₂₂+ b₂₂ a₂₃+ b₂₃ . . . a_2m+ b_2m a₃₁+ b₃₁ a₃₂+ b₃₂ a₃₃+ b₃₃ . . . a_3m+ b_3m

. . .

a_n1+ b_n1 a_n2+ b_n2 a₂₃+ b_n3 . . . a_nm+ b_nm











 .

Macierze liczbowe możemy mnożyć przez liczby tak, jak funkcje, to znaczy λ · (a_ij) = (λ · a_ij) .

Zbiór macierzy liczbowych tego samego wymiaru, z dodawaniem i mnożeniem przez skalary, ma podob- ne podstawowe własności, co np. zbiór wielomianów z dodawaniem i mnożeniem przez liczby, lub przestrzeń wektorów z dodawaniem i mnożeniem przez liczby.

Skrótowo ujmujemy to poniższym stwierdzeniem, gdzie pojęcie przestrzeni liniowej ma być wprowadzone później.

Twierdzenie 12 Zbiór macierzy Mn×m(K), z dodawaniem i mnożeniem przez skalary λ ∈ K, tworzy prze- strzeń liniową nad ciałem K.

Ponadto, A^T
T

= A, (A + B)^T = A^T + B^T, (λ · A)^T = λ · A^T.

Ze składaniem tak zwanych przekształceń liniowych związane jest mnożenie macierzy przez inne macierze, ale możemy nauczyć się algorytmu i podstawowych własności bez odwoływania do przekształceń liniowych.

Definicja 13 Załóżmy, że n, k, m ∈ N⁺. Niech ponadto A = (ai s) ∈ Mn×k(K) oraz B = (bs j) ∈ Mk×m(K).

Określamy iloczyn A · B = (ci j) ∈ Mn×m(K) jako macierz, której element ci j jest iloczynem skalarnym i-tego wiersza macierzy A oraz j-tej kolumny macierzy B,

ci j = wi◦ kj =

n

X

s=1

(ai s· bs j) .

Mnożenie macierzy, o ile wykonalne,

ˆ jest łączne, to znaczy (A ◦ B) ◦ C = A ◦ (B ◦ C),

ˆ stałą λ ∈ K możemy umieścić w dowolnym miejscu iloczynu, to znaczy λ·(A◦B) = (λ·A)◦B = A◦(λ·B),

ˆ zachodzą prawa rozdzielności, (A + B) ◦ C = (A ◦ C) + (B ◦ C), A ◦ (B + C) = (A ◦ B) + (A ◦ C),

ˆ nie ma własności przemienności (nawet wykonalne może być tylko w jedną stronę),

ˆ mnożenie macierzy kwadratowej przez macierz jednostkową tego samego stopnia nie zmienia danej macie- rzy, to znaczy I ◦ A = A ◦ I = A,

ˆ w przypadku transponowania, (A ◦ B)^T = B^T ◦ A^T.

Wyznaczniki

Definicja 14 ROZWINIĘCIE LAPLACE’A

Niech n ∈ N⁺, K = R lub K = C. Wyznacznikiem det(A) macierzy A ∈ Mⁿ(K) nazywamy liczbę

ˆ det (a1 1) = a1 1, gdy n = 1

ˆ oraz dla n > 1, det (A) =

n

X

k=1

a1 k· (−1)^1+k· det (A_{1 k}), gdzie (A1 k) jest macierzą powstałą z A przez skreślenie pierwszego wiersza i k-tej kolumny.

Wyznacznik det (A_{1 k}) nazywamy minorem macierzy, a liczbę D_{1 k} = (−1)^1+k · det (A_{1 k}) dopełnieniem algebraicznym elementu a_{1 k}.

Możemy też rozważać inne minory, przez skreślenie innych wierszy lub kolumn.

Twierdzenie 13 Dla dowolnych i, j ∈ {1, 2, 3, . . . , n}, zachodzi det (A) =

n

X

k=1

ai k· (−1)^i+k· det (Ai k) =

n

X

k=1

ak j· (−1)^k+j· det (Ak j) .

Wniosek 7 (zamiana wiersza lub kolumny w rozwinięciu Laplace’a wyznacznika) Jeśli A = (ai j) ∈ Mn(K) oraz i ̸= j ∈ {1, 2, 3, . . . , n}, to

n

X

k=1

(ai k· Dj k) =

n

X

k=1

(ak j· Dk i) = 0.

Inne, równoważne możliwości określenia wyznacznika:

ˆ za pomocą permutacji, det ( (ai j) ) = X

σ∈S_n

sgn(σ) · a_{σ(1) 1}· a_{σ(2) 2}· a_{σ(3) 3}· . . . · a_{σ(n) n}
, gdzie Sn jest rodziną permutacji zbioru {1, 2, 3, . . . , n}, sgn(σ) oznacza znak permutacji,

ˆ aksjomatyczna - jako funkcję det : Mn(K) → K, spełniającą warunki:

1. det (k1 k2 . . . ki−1 ki+ λ · k_i^′ ki+1. . . kn) = det (k1 k2 . . . ki−1 ki ki+1. . . kn)+λ·det (k1 k2 . . . ki−1 k_i^′ ki+1. . . kn) dla dowolnej macierzy A = (k1k₂ . . . k_i−1k_i k_i+1. . . k_n) ∈ Mn(K), i ∈ {1, 2, 3, . . . , n}, kolumny

k_i^′ ∈ Mn×1(K), liczby λ ∈ K,

2. det (A) = 0 dla macierzy A o dwóch takich samych kolumnach oraz

3. det (In) = 1.

RÓŻNE WŁASNOŚCI WYZNACZNIKÓW

ˆ Jeśli macierz A ma kolumnę lub wiersz złożony z samych zer, to det (A) = 0.

ˆ Jeśli macierz A^′ powstała z macierzy A przez zamianę dwóch kolumn lub dwóch wierszy, to det (A^′) = −det (A) .

ˆ Niech n ∈ N+, K = R lub K = C, A = (k¹ k2 . . . ki−1ki ki+1. . . kn) ∈ Mn(K). Wówczas det (k1 k2 . . . ki−1 ki+ λ · kj ki+1. . . kn) = det(A)

dla i ̸= j ∈ {1, 2, 3, . . . , n}, λ ∈ K. Analogicznie dla wierszy..

ˆ (obliczanie wyznaczników macierzy stopnia 2) Jeśli A =

 a b c d



∈ M2(K), to

det(A) = ad − bc.

ˆ (obliczanie wyznaczników macierzy stopnia 3 – wzór Sarrusa)

Jeśli A =





a b c

d e f

g h i



∈ M₃(K), to

det(A) = aei + bf g + cdh − ceg − f ha − ibd.

ˆ (wyznacznik macierzy transponowanej) Niech A ∈ Mn(K). Wówczas

det (A) = det A^T
.

ˆ Twierdzenia o wyznacznikach, związane z kolumnami macierzy, mają swoje odpowiedniki dla wierszy i na odwrót.

ˆ Wyznacznik macierzy trójkątnej, zarówno górnej, jak i dolnej, jest równy iloczynowi wyrazów na przekątnej głównej tej macierzy.

Do obliczenia dowolnego wyznacznika wystarczy zatem przekształcić daną macierz do macierzy trójkątnej, przez operacje niezmieniające wyznacznika lub zmieniające go w znany sposób.

ˆ (wyznacznik iloczynu macierzy – twierdzenie Cauchy’ego) Jeśli n ∈ N⁺, A, B ∈ Mn(K), to

det(A ◦ B) = det(A) · det(B).

ˆ (wyznacznik macierzy odwrotnej)

Jeśli istnieje macierz odwrotna A⁻¹do macierzy A ∈ Mn(K), to znaczy A ◦ A⁻¹= A⁻¹◦ A = In, wówczas A⁻¹∈ Mn(K), det(A) ̸= 0 oraz

det A⁻¹
= 1 det(A).

Postać macierzy odwrotnej

Definicja 15 Jeśli A ∈ Mn(K), to macierz A^D= (Di j)^T nazywamy macierzą dołączoną macierzy A.

Twierdzenie 14 Niech A ∈ Mn(K).

ˆ Macierz A jest odwracalna (to znaczy istnieje do niej macierz odwrotna) wtedy i tylko wtedy, gdy det(A) ̸=

0.

ˆ Jeśli det(A) ̸= 0, to macierz odwrotna wyraża się wzorem

A⁻¹= A^D det(A). Uwaga 1 (bezwyznacznikowy sposób znajdowania macierzy odwrotnej)

Niech A ∈ Mn(K) oraz det(A) ̸= 0. Ze wzorów A ◦ A⁻¹ = A⁻¹◦ A = In oraz własności mnożenia macierzy wynika pewien sposób wyznaczania macierzy odwrotnej.

Przez następujące operacje, wykonywane równolegle na wierszach macierzy A i macierzy jednostkowej In:

ˆ dodanie wiersza pomnożonego przez stałą do innego wiersza,

ˆ pomnożenie wiersza przez stałą niezerową,

ˆ zamiana wierszy

doprowadzamy macierz A do macierzy jednostkowej. Wówczas macierz powstała z macierzy jednostkowej to macierz odwrotna A⁻¹.

Macierz odwrotną A⁻¹ otrzymujemy także przez analogiczne operacje wykonywane wyłącznie na kolumnach.