Modelvorming

(1)

April 1999

Collegehandleiding

Prof.dr.ir. J.A. Battjes / dr.ir. N. Booij / ir. M.A. Hooimeijer

Ceci n 'est p s une pomme

René Magritte

Technische Universiteit Delft

Faculteit Civiele Techniek en Geowetenschappen Sectie Vloeistofmechanica

(2)

(3)

1 Inleiding . . . 1

1.0 Leerdoelen ... 1

1.1 Wat zijn modellen? ... 1

1.2 Kenmerken van modellen ... 6

1.3 Kenmerken van modelvorming ... 9

1.4 Opzet van de cursus . . . 11

1.5 Studievragen en opdrachten ... 12

2 Gebruik van modellen in de ingenieurspraktijk . . . 13

2.1 Inleiding ... 13

2.2 Fasen in de totstandkoming van een project ... 13

2.3 Gebruik van modellen in de ingenieurspraktijk ... 15

2.4 Wiskundige modellen . . . 19 2.5 Samenvatting ... 22 2.6 Studievragen en opdrachten ... 23 3 Modelleerstappen deel l ... 25 3.0 Leerdoelen ... 25 3 .1 Inleiding ... 25 3.2 Systeembegrippen ... 25 3 .3 Modelleerstappen ... 28

3 .4 Stap 1: Probleemanalyse en vraagstelling ... 29

3.5 Stap 2: Schematisatie ... 30

3.6 Stap 3: Modelformulering ... 35

3.7 Stap 4: Oplossen van vergelijking(en) ... 39

3.8 Evaluatie ... 47 3.9 Samenvatting ... 48 3 .10 Studievragen en opdrachten ... 48 4 Dimensies en eenheden ... 51 4.0 Leerdoelen ... 51 4.1 Dimensies ... 51 4.2 Eenheden ... 52 4.3 Studievragen en opdrachten ... 55 5 Balansvergelijkingen ... 57 5.0 Leerdoelen ... 57 5.1 Inleiding ... 57 5.2 Balansgebied en tijdsinterval ... 57

5.3 Opstellen van de balansvergelijking ... 60

5.4 Voorbeeld: vollopende bouwput ... 62

5 .5 Voorraad-intensiteit en flux-intensiteit ... 69

5.6 Fluxvergelijking ... 71

(4)

6 Gedrag van eerste-orde systemen ... 79

6.1 Inleiding ... 79

6.2 Autonoom systeemgedrag ... 81

6.3 Eerste-orde systemen met invloed van buitenaf ... 87

6.4 Bijzonder geval: f (x)

=

0 ... 94 6.5 Synopsis ... 95 6.6 Studievragen en opdrachten ... 95 7 Hogere-orde systemen ... 97 7.0 Leerdoelen ... 97 7 .1 Inleiding ... 97

7.2 Systeem zonder terugkoppeling . . . 97

7.3 Systemen met terugkoppeling ... 101

7.4 Studievragen en opdrachten ... 109 8 Modelleerstappen deel II ... 111 8.0 Leerdoelen ... 111 8.1 Inleiding ... 111 8.2 Stap 5: Validatie ... 112 8.3 Stap 6: Gevoeligheidsanalyse ... 113 8.4 Stap 7: Calibratie ... 116 8.5 Stap 8: Verificatie ... 118 8.6 Toepassing en evaluatie ... 121 8.7 Studievragen en opdrachten ... 122 Literatuur

(5)

1.0 Leerdoelen

Kennis: wat is een model; typen modellen; kenmerken van modellen; kenmerken van modelvorming; stappen in het proces van het modelleren.

Inzicht: betekenis en beperkingen van modellen; open-eind karakter van modelleervragen. Aan het eind van dit hoofdstuk wordt de opzet van de cursus beschreven.

1.1 Wat zijn modellen?

Het onderwerp van dit vak is modelvorming. Voordat we ingaan op de vraag wat dat inhoudt en hoe we in dit vak daaraan zullen werken, gaan we na wat we onder een model zullen verstaan.

Het begrip "model" dekt een veelheid van ladingen, en wordt op verschillende manieren gedefinieerd. Dit vak gaat over modellen zoals die gebruikt worden in wetenschap en techniek; daarvoor is de volgende formulering geschikt:

Een model is een geschematiseerde representatie van een deel van de werkelijkheid voor een bepaald doel

Modellen kunnen verschillende functies vervullen (verschillende doelen dienen): hulpmiddel om iets te begrijpen, of om iets voor te stellen voor jezelf of aan anderen, of om te kunnen meten of rekenen, b.v. in het ontwerpen van (technische) systemen. In Hoofdstuk 2 wordt uitvoeriger ingegaan op het gebruik van diverse soorten modellen in de ingenieurspraktijk. Om modellen en hun functies na deze globaal gestelde beschrijving toe te lichten beginnen we vanuit een vrij algemene invalshoek en werken we van daaruit toe naar de meer specifieke categorie die het onderwerp vormt van dit vak, nl. wiskundige modellen.

De mens kan de complexe werkelijkheid niet volledig kennen of bevatten. Toch hebben we er wel een beeld van, hoewel die beelden van persoon tot persoon en voor een individu in de loop van de tijd kunnen verschillen. Vaak zijn dit beelden in de vorm van een

vereenvoudigde voorstelling van de werking van processen om ons heen of in ons zelf, de relaties daartussen, enz. Het is ondoenlijk alles tegelijk hierin te betrekken. Gelukkig is dat

(6)

Hoofdstuk 1: Inleidino

ook niet nodig, en kunnen we er mee volstaan ons slechts met enkele aspecten tegelijkertijd bezig te houden. Bovendien doen we dat in min of meer geschematiseerde vorm. Welke aspecten we bekijken en in welke mate van schematisatie hangt af van onze bezigheden en ook van onze voorkennis, interesse, geaardheid, de vereiste precisie enz.

Een vereenvoudigde mentale voorstelling van een deel van de werkelijkheid noemen we een

gedachtenmodel. Een voorbeeld hiervan is het geocentrische wereldbeeld uit de oudheid,

waarin de aarde (geos) werd gezien als het middelpunt ( centrum) van het heelal, of het model van een gas als een stelsel bewegende en (elastisch) botsende puntmassa's die hier de

moleculen moeten voorstellen (wat zelf ook een model is). Op een heel ander vlak liggen b.v. modellen over het functioneren van onze hersenen. In feite is ons dagelijks leven zo

doortrokken van het werken met gedachtenmodellen dat we het ons nauwelijks realiseren. Zo beschouwen we in het dagelijks gebruik, op macro-niveau, allerlei stoffen als massief (b.v. water, beton, staal, kunststoffen), hoewel we weten dat op micro-niveau de materie

opgebouwd gedacht kan worden uit min of meer discrete concentraties van massa's (atoomkernen en electronen).

Naast gedachtenmodellen kennen we modellen die een deel van de werkelijkheid in vereenvoudigde vorm zichtbaar of tastbaar weergeven of afbeelden. Dergelijke modellen komen voor in diverse soorten.

Grafische modellen geven een aspect van de werkelijkheid of van onze ideeën weer door

middel van grafieken. Voorbeelden van grafische modellen zijn de tijd-weg-diagrammen die bij de Spoorwegen in gebruik zijn voor de planning van de treindienst, en plattegronden die de reiziger helpen zijn weg te vinden, zie b.v. de netkaart van London Transport (Figuur 1.1). Grafische voorstellingen zijn twee-dimensionaal maar kunnen wel informatie bevatten over drie-dimensionale objecten (perspectieftekeningen, doorsneden, uitslagen). Het kan wenselijk zijn om over een drie-dimensionale weergave hiervan te beschikken. Zoiets noemen we een

maquette (Figuur 1.2). Dat is een gelijkvormige afbeelding op verkleinde schaal (stadswijk)

of vergrote schaal (molecuul) van een verzameling ruimtelijke objecten en hun onderlinge positionering en stand. Maquettes kunnen een technische functie vervullen, b.v. in het ontwerpen van constructies en gebouwen of van hun inpassing in de omgeving, omdat zij de ruimtelijke relaties direct zichtbaar maken. Tegenwoordig wordt dit echter steeds vaker met de computer gedaan; zie grafische modellen. Andere maquettes hebben een meer educatieve of recreatieve functie (Madurodam).

(7)

L

' G

Figuur 1.1 Plattegrond van de London Underground

l~w-- V'" J--.1 ,._,,~ ·-~trn~..:..~-'-~

~---~--~

... . :::;,;.::..,--::..·~,, .... • ,:_-,i)1..-u,1,,,..;,)<,,~ ·~~~~~~' __.._,..""""' ___ ,,..'1---• • -"-')':"! ,..._...,.._

__

~ 1~~~--~ <-,•-.i).,sJ,_,),,'~ _~.,..., ~~ ,,,,,,_ ... ,..._,l,),"'f,i,'tl,l , . _ : , t l t ~ i a,_,.11,1. t l)J'(d•<';(>-., \ 11..-_,..,.,.,.~, ! t i , . , . , t -l l'n,T'_..., l - - - . • - . . . - - . . . .

"'

,. .-h.,,W.-~•;::~;~

~-

:iotuol~~-... ~;:-,:_ lr..--..-. ~;,~-;--· t"i-.,,,,,_ _ _ ,i....~ ... ,!'"_.__..

Naast de (statische) maquettes zijn er schaalmodellen waarin niet alleen objecten op schaal

worden afgebeeld (b.v. een maquette van een uitwateringssluis of een vliegtuig) maar waarin ook fysische processen daarin of daaromheen (b.v. stroming van water oflucht) worden

gesimuleerd. Deze heten ook wel fysische modellen. In de civiel-technische praktijk worden zij veel gebruikt om waterloopkundige verschijnselen te onderzoeken, b.v. voor de

minimalisering van stromingsweerstand, of golfdoordringing in een haven (Figuur 1.3 ), maar ook voor spanningsverdelingen in constructies of in een grondmassief.

Bij een schaalmodel worden alle afmetingen, verplaatsingen, snelheden, versnellingen, krachten etc. volgens bepaalde schaalregels verkleind. De krachten en bewegingen die in het

laboratorium worden gemeten worden daarna volgens dezelfde schaalregels weer

terugvertaald naar de werkelijkheid (het z.g. prototype). In een schaalmodel zit dezelfde

(8)

Hoofdstuk 1: Inleiding

Figuur 1.2: Maquette van een weggedeelte tussen Den Hoorn en Rijswijk

Sommige processen verlopen op gelijksoortige manier in verschillende fysische media. Daarvan wordt gebruik gemaakt in analoge modellen. In dergelijke modellen wordt met een fysisch ander medium gewerkt dan dat van het systeem waarvan het een afbeelding is. De stromen van water in een netwerk van pijpleidingen en de bijbehorende waterdrukken b.v. kunnen worden onderzocht in een electrisch netwerk, door het meten van de daarin

voorkomende electrische stroomsterkten en spanningen (Figuur 1.4).

(9)

Figuur 1.4: Analoog moaet van ae waterbeweging m Luw-west Neaertana ten oenoeve van ae ueua-werken (1972)

Analoge modellen berusten op de eigenschap dat het te onderzoeken verschijnsel in verschillende media met dezelfde wiskundige vergelijkingen wordt beschreven. Om zo'n overeenkomst te kunnen constateren moeten van de verschijnselen dus eerst wiskundige modellen zijn gemaakt (zie hierna).

In veel toepassingen is het niet voldoende te weten wat er gebeurt (kwalitatief), maar moet ( ook) bekend zijn in welke mate (kwantitatief). Het kwantificeren van een of meer effecten

is dan noodzakelijk. Dit is het geval in allerlei takken van wetenschap, in de techniek, in financiële en economische vraagstukken, in het milieubeheer, enz. Kwantitatieve uitkomsten kunnen worden verkregen door meting (in het prototype, in schaalmodellen of in analoge

modellen) of door berekening.

In berekeningen wordt gebruik gemaakt van wiskundige modellen. Daarin worden de

grootheden die in het betreffende probleem (of categorie van problemen) van belang worden geacht, en hun onderlinge betrekkingen, in wiskundige vorm gerepresenteerd, waarna er rekenkundige bewerkingen op kunnen worden toegepast, b.v. voor het doen van

voorspellingen, het optimaal regelen van een systeem, enz. Dankzij de ontwikkeling van krachtige en steeds krachtiger wordende computers zijn de toepassingen van wiskundige modellen enorm toegenomen.

(10)

Het vak modelvorming is gericht op het maken van wiskundige modellen. In Hoofdstuk 2 worden enkele soorten wiskundige modellen aangeduid en wordt ingegaan op het gebruik ervan in de ingenieurspraktijk, als voorloper op de behandeling van de wiskundige

modelvorming in de daarop volgende hoofdstukken.

1.2 Kenmerken van modellen

Modellen hebben een aantal wezenlijke kenmerken gemeenschappelijk, ongeacht de specifieke categorie waartoe ze behoren.

Modellen worden ontwikkeld voor een gegeven vraagstelling die betrekking heeft op een deel van de werkelijkheid. Modellen zijn daardoor beperkt tot een bepaald aspect.

Daarnaast kennen zij vaak een begrenzing in ruimte en tijd. Modellen zijn dus nooit

allesomvattend.

Een tweede belangrijk kenmerk van modellen is dat ze - zelfs binnen de beperking tot het gekozen aspect - altijd benaderend zijn. Steeds is er sprake van weglating van veel dat niet

van primair belang is. Hierin ligt het schematiserende karakter van modellen. Het

kernprobleem van modelvorming is het vinden van een geschikte schematisatie, zodanig dat het model hanteerbaar is maar toch de essentie van het betreffende probleem in voldoende mate weergeeft. We komen hier uitvoerig op terug.

Het voorgaande houdt in dat modellen een beperkte geldigheid hebben. Zij hebben immers

betrekking op een bepaald aspect, met weglating van al het andere. Bovendien kunnen de schematisaties weliswaar geschikt zijn binnen een zeker bereik van de onafhankelijke variabelen, maar buiten dat bereik houdt dat ergens op. Vooral in gevallen van een groot aantal invloedsfactoren is het moeilijk het geldigheidsgebied (waarbinnen fouten tot een acceptabele maat beperkt blijven) vooraf aan te geven. Toepassing van modellen brengt dus

onzekerheid met zich mee. Daarom is verificatie noodzakelijk, d.w.z. toetsing van het

model om na te gaan of het voldoende realiteitswaarde heeft.

Het schematisch karakter van modellen houdt eveneens in dat er, voor een gegeven

vraagstelling, niet sprake is van "het juiste model". In tegendeel, een veelheid van modellen kan relevant zijn voor het betreffende probleem. Afhankelijk van de vereiste nauwkeurigheid en beschikbare tijd en middelen kan men een eenvoudig model willen hanteren, of juist een heel gecompliceerd model, waarin meer effecten worden gerepresenteerd, of dezelfde

(11)

effecten in nauwkeuriger vorm. De vraag "welk model is nodig voor de oplossing van dit probleem?" is dus niet terecht: het kunnen er meer dan één zijn. Modelleervragen zijn dus

open-eind vragen.

Als concreet voorbeeld van het voorgaande nemen we de vraag of een stalen ligger op twee steunpunten voldoende draagkracht zal hebben voor een gegeven belasting. Het te

beschouwen aspect is duidelijk de mechanica ( en b.v. niet chemie, biologie, acoustiek). Het is gebruikelijk berekeningen van de spanningen in op buiging belaste liggers te baseren op de veronderstelling dat het constructiemateriaal zich elastisch gedraagt, en wel volgens de wet van Hooke (lineair). Een gebruikelijke aanvullende benadering, gebaseerd op de

veronderstelling van slanke liggers, is dat doorsneden die in onbelaste toestand vlak zijn, vlak blijven bij belasting.

Bovengenoemde benaderingen zijn evenzovele begrenzingen van de geldigheid van dit

conventionele model. Misschien zijn de vervormingen niet voldoende klein voor de geldigheid van de wet van Hooke (met een gegeven foutenmarge), en is de ligger niet voldoende slank voor de veronderstelling van vlak blijvende doorsneden.

Wil men een meer geavanceerd model, b.v. omdat relatief grote vervonningen worden verwacht, dan is een niet-lineair elastisch model mogelijk, of, bij nog grotere vervonningen, een model voor plastisch materiaalgedrag. Voor een relatief hoge ligger en in de omgeving van knooppunten, oplegpunten e.d. zal een model nodig zijn dat niet uitgaat van een vlak blijvende doorsnede.

We gaan na het voorbeeld van de ligger nog even door met de opsomming van enkele kenmerken van modellen in het algemeen.

Met het ontwikkelen van een model worden vaak begrippen en grootheden geïntroduceerd die in letterlijke zin niet voorkomen in de af te beelden realiteit, maar die wel betekenis hebben in het model, waar zij in geïdealiseerde vorm iets van die werkelijkheid weergeven. We spreken hier van modelbegrippen en modelgrootheden. In het continuümmodel van de materie b.v. zien we af van de atomaire en moleculaire structuur van de materie en worden (model)-begrippen zoals "massief" en "geleiding" geïntroduceerd, evenals (model)grootheden zoals massadichtheid, geleidbaarheid enz. Deze hebben slechts betekenis in het kader van het conti-nuümmodel. De vraag of materie "echt" massief is, een massadichtheid kent, enz. is zinloos. Waar het om gaat is dat voor de gegeven vraagstelling de gehanteerde begrippen een

(12)

Toepassing van een model volgens erkende (wiskundige) spelregels brengt modeluitkomsten

voort. Daarvoor geldt iets soortgelijks als voor modelbegrippen en modelgrootheden: de uitkomsten zijn geldig voor het model, en zijn niet zomaar te zien als eigenschappen van het gemodelleerde stukje werkelijkheid. Een model en zijn uitkomsten mogen niet worden vereenzelvigd met de werkelijkheid!

Het voorgaande is te vergelijken met de beperking van spelregels en speluitkomsten tot het spel en het spelen ervan. (Met de uitkomsten van een spelletje Monopoly kun je niet bij een makelaar terecht.)

Omdat elk model berust op schematisaties van (delen van) de werkelijkheid, en daar niet mee mag worden

vereenzelvigd, staat niet van tevoren vast in hoeverre de uitkomsten realistisch zijn in vergelijking met het te representeren deel van de werkelijkheid. Een kritische instelling t.o.v. modellen en hun uitkomsten is daarom op zijn plaats, ook voor modellen die in een eerder stadium al waren geverifieerd. De toepassing zal immers in het algemeen op andere situaties slaan. Het is daarom altijd noodzakelijk de uitkomsten van modellen kritisch te

Figuur 1.5: Dit schilderij van René Magritte geeft goed aan dat men de wer-kelijkheid niet met haar afbeelding (model) moet verwarren.

evalueren, door na te gaan of ze aannemelijk zijn (d.w.z. van de goede orde van grootte). Zonodig zal een beter model moeten worden ontwikkeld, maar we moeten toch altijd met een eenvoudig model beginnen.

Degenen die modellen toepassen moeten voldoende inzicht in en kennis van de te modelleren verschijnselen hebben om een beoordeling ervan te kunnen uitvoeren. Helaas is dat lang niet altijd het geval. De beschikbaarheid van gebruikersvriendelijke computerprogramma's is in dit opzicht in zoverre ongunstig dat het onoordeelkundige personen in staat stelt modellen te hanteren waarvan ze de beperkingen niet kennen en waarvan ze de geldigheid van de

(13)

1.3 Kenmerken van modelvorming

In deze paragraaf worden enkele kenmerken van het proces van modelvorming belicht. Het gaat hier niet om een gedetailleerde uiteenzetting van de systematiek van dat proces ( die komt in de Hoofdstukken 3 en 8 aan de orde), maar om een globale indicatie van wat modelleren inhoudt en welk soort moeilijkheden zich daarbij voor kunnen doen. Dit dient onder meer als motivering van de gekozen werkvorm voor dit vak (zie paragraaf 1.4).

1. Bij de wiskundige modelvorming gaat het om het ontwikkelen van een (wiskundige) beschrijving van het gedrag van een systeem (of categorie van systemen) als

hulpmiddel voor de oplossing van een probleem (of categorie van problemen). Vaak is het probleem aanvankelijk ruim en enigszins vaag gesteld. In de aanvangsfase moet daarom via probleemanalyse gewerkt worden naar een meer afgebakende

vraagstelling. Daarbij zal tevens inzicht in het probleem en in het systeemgedrag

moeten worden ontwikkeld.

2. inzicht in het systeemgedrag is noodzakelijk voor de

schematisatie. In deze fase worden op grond van globale kennis en intuïtie de grenzen van

Citaat Boersma&HoenderkamP,

'Het ontwerpen van een model is een subjectieve ·bezigheid.'

het te beschouwen systeem gekozen en worden de processen en grootheden geïdentificeerd die van essentieel belang worden geacht (subjectief, geen absolute zekerheid!) voor de gestelde vraag. Die zal men in ieder geval in het model willen opnemen (op een later te kiezen manier). Andere processen en grootheden, waarvan gemotiveerd kan worden gezegd dat ze waarschijnlijk niet van primair belang zijn, worden (aanvankelijk) buiten beschouwing gelaten.

3. Na identificatie van de relevant geachte grootheden moeten de relaties ertussen in wiskundige vergelijkingen worden vertaald. Dit is de fase van de modelformulering.

4. Voor het stelsel modelvergelijkingen moet een oplossingsmethode worden gekozen. In eenvoudige gevallen geeft een grafische methode een eerste indruk. In sommige gevallen is een analytische oplossing mogelijk. Tegenwoordig worden vrijwel uitsluitend numerieke oplossingsmethoden gebruikt met behulp van een computer.

(14)

Hoofdstuk 1: Inleidin°

5. De gekozen oplossingsmethodiek kan gebruikt worden om na te gaan of het model ongeveer doet wat ervan verwacht mag worden, op grond van de globale voorkennis die we hebben gebruikt in de vooraf gaande stappen. In deze z.g. validatie worden

enkele gevallen doorgerekend waarvan het gedrag in globale zin bekend is, om na te gaan of het model dat op hoofdlijnen reproduceert. (N.B. De term "validatie" voor deze stap in het modelleren is niet universeel.)

6. In een z.g. gevoeligheidsanalyse wordt nagegaan hoe sterk de met het model

berekende grootheden reageren op variaties in de waarden van bepaalde invoergroootheden zoals systeemparameters, externe grootheden of modelcoëfficiënten.

7. De waarden van onbekende modelcoëffficiënten worden zo goed mogelijk geschat op grond van een vergelijking van modeluitkomsten met meetwaarden. Dit is het proces van ijking of calibratie van het model.

8. De geschiktheid van het geijkte model - dus met de coëfficiëntwaarden zoals bepaald in de ijking - wordt nagegaan door het model toe te passen op een aantal

representatieve, bekende situaties (bijvoorbeeld bekend uit metingen), andere dan die in de ijking zijn gebruikt, en door de modeluitkomsten met deze bekende waarden te vergelijken. Wij zullen dit verificatie noemen. (Deze terminologie is niet universeel:

wat hier "verificatie" heet wordt ook wel "validatie" genoemd, en omgekeerd.)

Zoals hierboven reeds is gezegd wordt het proces van modelvorming vaak in zijn geheel of in delen een aantal malen doorlopen, waarbij de opgedane ervaring wordt gebruikt voor een verbeterde aanpak in de volgende ronde. Dit cyclisch karakter van modelvorming is in

zoverre geruststellend dat de eerste poging niet ineens raak hoeft te zijn. Iemand die dat toch wil durft waarschijnlijk de eerste stappen niet te zetten en bereikt dus niets, ofwel - het andere uiterste - hij wil het in één keer "perfect" doen en strandt in zijn pogingen een veel te

ingewikkeld model te maken.

De kunst van het modelleren is om in de fasen van schematisatie en modelformulering een

goede balans te treffen tussen doelmatigheid (wat moet het model kunnen) en efficiëntie

(hoeveel inspanning, geld etc. mag het kosten in ontwikkeling en gebruik). Zeker in de aanvangsfase van de ontwikkeling van een model is eenvoud een hoge deugd. Ingewikkelder maken kan altijd nog.

(15)

De fasen van het schematiseren en van de modelformulering zijn de meest essentiële en ook de moeilijkste van het modelleren. Het zijn ook de moeilijkste fasen om te onderwijzen

en om mee vertrouwd te raken. Dit is het gevolg van een aantal factoren, die juist in deze fasen een rol spelen:

het open-eind karakter van modelleren ; het niet beschikbaar zijn van recepten;

het beroep dat op inzicht en intuïtie wordt gedaan om hoofdzaken van bijzaken te kunnen onderscheiden; en

het lef dat nodig is om een complex probleem te kunnen vereenvoudigen ( door minder belangrijke zaken weg te laten).

Het benadrukken van bovengenoemde moeilijkheden is niet bedoeld om een gevoel van wanhoop op te roepen, wat zou kunnen leiden tot faalangst. In tegendeel, de cursus is juist gericht op het ontwikkelen van

zelfvertrouwen en lef om vage problemen aan te durven pakken. Daarbij is het goed te weten dat een aanvankelijk gevoel van onzekerheid heel gewoon is en niet te wijten aan een persoonlijke tekortkoming.

Citaat D. Meadows (club v Rome) 'Modelbouw is

meer

kunst dan wetenschap'

De meest effectieve methode om zelfvertrouwen in het modelleren te ontwikkelen is het zelf een aantal keren te doen, samen met één of enkele anderen, en met ondersteuning wanneer daaraan behoefte bestaat. Daarbij wordt dan tevens enige vaardigheid in het modelleren opgedaan. Hoe hieraan wordt gewerkt in dit vak wordt in de volgende paragraaf uiteengezet.

1.4 Opzet van de cursus

Het vak modelvorming heeft de volgende leerdoelen:

De student moet aan de hand van een gegeven vraagstelling een eenvoudig (civiel)-technisch systeem kunnen analyseren en vereenvoudigen.

De student moet een rekenmodel kunnen formuleren, controleren op dimensies en tekens, en de uitkomsten van een berekening kritisch kunnen beschouwen. De student moet de attitude hebben ontwikkeld om dergelijke controles ongevraagd uit te voeren. De student moet een balansvergelijking kunnen opstellen, waarbij een balansgebied kan worden gedefinieerd, en onderscheid kan worden gemaakt tussen voorraad en transporten.

(16)

Hoofdstuk 1: Inleidincr

De student moet bekend zijn met enkele typen systeemgedrag en met grootheden die het gedrag van die systemen kenmerken (responstijd, verblijftijd, demping, enz.)

Van de student wordt verwacht dat hij/zij actief deelneemt aan de diverse onderdelen van het vak. Modelvorming leer je vrijwel uitsluitend door het te DOEN. Daarom zijn enkele oefeningen verplicht Elke oefening moet door groepjes van ca .. vijf studenten worden gedaan. Voor een gegeven probleem moet een eenvoudig wiskundig model worden geformuleerd. Er is daarbij een begeleider aanwezig voor het beantwoorden van vragen. Deelname aan deze oefenbijeenkomsten is verplicht. Ook moet een z.g. individuele modelleeropdracht worden gemaakt, en numeriek doorgerekend met een simulatiepakket ("Powersim").

Als studiestof is deze handleiding beschikbaar. Ook is er een werkboek, met daarin allerlei beschrijvingen van systemen die gemodelleerd kunnen worden, en aspecten van modellering die geoefend kunnen worden. Het is niet verplicht deze opgaven te maken, maar je kunt er wel assistentie bij krijgen. Verder is er een handboek, d.i. een naslagwerk met

achtergrondgegevens (b.v. materiaaleigenschappen) die nodig kunnen zijn bij de oplossing van problemen. Dit moet meegebracht worden naar de tentamenzitting.

1.5 Studievragen en opdrachten

1. Maak een samenvatting van dit hoofdstuk ( 1 à 2 A4)

2. Wat vind je de belangrijkste punten die in dit hoofdstuk aan de orde zijn gesteld? 3. Noem enkele functies (gebruiksdoelen) van modellen

4. Geef een beschrijving van modellen zoals die in de wetenschap en techniek worden gebruikt

5. Welke verschilende elementen komen voor in de definitie van modellen? Stel je bij elk daarvan iets voor

6. Noem enkele typen modellen. Bedenk voor elk type model een paar voorbeelden 7. Noem een aantal kenmerken van modellen

8. Noem een aantal stappen in modelvorming 9. Noem een aantal kenmerken van modelvorming 10. Wat zijn volgens jou daarvan de meest essentiële?

(17)

2.0 Leerdoelen

Inzicht in de functies van modellen in civieltechnische projecten, en in de behoefte aan verschillende typen modellen daarin.

Kennis van enkele typen wiskundige modellen; onderscheid black box model en proces-model.

2.1 Inleiding

In het vorige hoofdstuk is omschreven wat een model is. In dit hoofdstuk gaan we in op het gebruik van modellen in de praktijk en noemen we een aantal voorbeelden van modellen die voor ingenieursprojecten gebruikt worden.

Modellen worden niet alleen door ingenieurs gebruikt. Ook wetenschappelijke onderzoekers werken in het algemeen met modellen. Bij een onderzoeker is een model meestal de

concretisering van een hypothese over hoe de werkelijkheid zou kunnen werken. Door modelberekeningen laat hij de consequenties van de hypothese zien, die vervolgens met uitkomsten van waarnemingen kunnen worden vergeleken. Als de uitkomsten van het model niet met het in de werkelijkheid waargenomen gedrag overeenkomen was kennelijk de hypothese niet geldig.

De ingenieur gebruikt modellen vooral voor het nemen van beslissingen. De volgende paragraaf bevat een voorbeeld van een project en de daarbij te nemen beslissingen.

2.2 Fasen in de totstandkoming van een project

Een project komt nooit ineens tot stand. Iedereen die de krant leest weet dat het jaren duurt vanaf de eerste ideeën over bijvoorbeeld de bouw van een TGV-lijn of een grote

oeververbinding, totdat daadwerkelijk met de bouw wordt begonnen. Alleen al de

voorbereiding bestaat uit een aantal fasen. In iedere fase moeten besluiten genomen worden. Om die besluiten verantwoord te kunnen nemen moeten de consequenties ervan geschat worden; dat gaat vaak met behulp van modellen. Hieronder zijn een aantal fasen van een project opgesomd, met vermelding van de in die fase te nemen besluiten en de vragen waarop een antwoord beschikbaar moet zijn teneinde het besluit te kunnen nemen.

(18)

Hoofdstuk 2: Gebruik van modellen in de ingenieurspraktijk

Haalbaarheidsstudie. Een haalbaarheidsstudie moet antwoord geven op de vragen of een project technisch uitvoerbaar is, bestuurlijk en politiek voldoende draagvlak heeft en financieel verantwoord is, rekening houdend met het beoogde doel. Voor de

Westerschelde-oeververbinding bijvoorbeeld is het doel een betere bereikbaarheid van Zeeuws Vlaanderen.

Programma van eisen. In het p.v.e. worden de voorwaarden waaraan het project moet voldoen nader uitgewerkt. De eisen hebben onder andere betrekking op veiligheid, kosten, tijdsplanning, milieu-effecten, capaciteit, constructie en uitvoering.

Ontwerpen van alternatieven. Voor de oplossing van een (technisch) probleem zijn meerdere alternatieven mogelijk, bijvoorbeeld brug of tunnel en tracering. De meest kansrijke alternatieven worden zodanig uitgewerkt dat inzicht wordt verkregen in de voor- en nadelen. Op basis hiervan worden de alternatieven vergeleken en een keuze gemaakt. De criteria voor de vergelijking zijn onder andere: kosten, bouwtijd, uitvoeringsrisico, milieu-effecten en esthetische vormgeving.

Uitwerking voorkeursalternatief. Hierbij wordt met behulp van varianten voor de constructie en vormgeving getracht het ontwerp te optimaliseren. De constructie en de onderdelen hiervan worden definitief gedimensioneerd en de wijze van uitvoering wordt vastgesteld. Doel is tevens de beoogde kwaliteit daadwerkelijk te realiseren. Dit gebeurt onder andere door de constructie en de wijze van uitvoering vast te leggen in (detail)tekeningen, bestekken, te hanteren normen en specificaties waaraan moet worden voldaan.

Het kan soms noodzakelijk zijn het ontwerp ingrijpend te wijzigen op grond van controleberekeningen of technische uitwerkingen.

Planning en uitvoering. In deze fase worden alle noodzakelijke werkzaamheden, de tijdsduur hiervan, het benodigde materiaal, de vereiste mankracht en de

hulpwerktuigen (materieel) gepland. Vervolgens kan de uitvoering van het werk starten. Tijdens de uitvoering is toezicht noodzakelijk om de kwaliteit te waarborgen. Niet zelden is overleg met de ontwerper nodig omdat aanpassingen in de constructie of de wijze van uitvoering noodzakelijk blijken. Technische vragen die in dit stadium moeten worden beantwoord zijn b.v. (aannemende dat een afgezonken tunnel gekozen zou zijn): hoe reageert een drijvend tunnel-element op golven en stroming, en wat is het juiste moment voor het afzinken van een element i.v.m. golven, stroming etc.?

(19)

We zien hier dat de beslisser uit de te nemen beslissing een aantal vragen afleidt die hij vervolgens gaat onderzoeken of door een

(ingenieurs)bureau laat onderzoeken. Degene die de vraag op zijn bordje krijgt zal op zijn beurt de gestelde vraag weer moeten analyseren om tot een bruikbare modellering te komen.

LOCATIEKEUZE: Waar?

Eraamua brug Rotterdam

Figuur 2. 1: Verschillende vragen die voor de oeververbinding

moeten worden beantwoord.

2.3 Gebruik van modellen in de ingenieurspraktijk

We zien in bovenstaande opsomming van vragen dat deze zeer uiteenlopen en dat er dus zeer uiteenlopende gegevens en manieren nodig zullen zijn om tot antwoorden te komen. Voor het beantwoorden van elke vraag zul je een ander model, en vaak ook een ander model-type moeten toepassen. Ook is een ingenieur niet voor elke vraag de aangewezen persoon om het antwoord te zoeken.

De vraag over de economische gevolgen van de oeververbinding is iets voor een econoom. Deze gebruikt de resultaten van rekenmodellen voor de te verwachten verkeers- en

vervoersstromen, opgesteld door verkeerskundigen. Het economisch rendement wordt dikwijls beoordeeld met behulp van een kosten/batenanalyse. Hierin zijn alle kosten (aanleg, beheer en onderhoud) en baten (tolgelden, winst in reistijd of afstanden, nieuwe

arbeidsplaatsen) uitgedrukt in geld. De kosten/batenanalyse maakt duidelijk of het

economisch rendement van het project beter of slechter is dan algemeen geldend rendement van economische investeringen (disconto percentage). Een kosten/batenanalyse kan

beschouwd worden als een economisch model.

De vraag over de kosten van de verbinding is wel iets voor de ingenieur. In een vroeg

ontwerpstadium wordt hier veel met globale ervaringscijfers gewerkt, wat gezien kan worden als een ruw model voor vertaling van een uit te voeren werk in kosten.

(20)

(21)

Het benodigde aantal rijstroken voor een oeververbinding is ook een vraag voor de civiel, en meer in het bijzonder de verkeerskundige. Voor het berekenen van de capaciteit (aantal rijstroken) en het berekenen van de kans dat bij een gekozen ontwerp op een gegeven tijdstip files optreden met een zekere tijdsvertraging optreden worden eveneens verkeerskundige modellen gebruikt.

Voor de afweging van voor- en nadelen van alternatieven bestaan methoden die in latere vakken aan de orde komen; je zou b.v. aan een methode kunnen denken zoals die in de Consumentengids wordt gehanteerd(+ en - in een tabel).

Voor de inpassing in het landschap wordt vaak gewerkt met een maquette (zie Figuur 1.2), een montagefoto (Figuur 2.2) of computersimulaties.

Bij de vraag of de ontworpen constructie blijft staan komen modellen uit de constructie-mechanica aan de orde; constructies worden vaak geschematiseerd tot een samenstel van lijnvormige elementen, zoals in een vakwerk (zie het vak Mechanica van Constructies).

Om na te gaan of de automobilisten voldoende uitzicht hebben als zij aan komen rijden zou je een animatie op de computer kunnen maken, waarbij je op het scherm laat zien wat de auto-mobilist ziet als hij over de weg rijdt. Figuur 2.3 laat een voorbeeld zien van een dergelijke toepassing.

~ L GrontmiJ .

..,;~ L!JNDENHOEK Ç

(22)

Tenslotte de uitvoering. Voor de planning en logistiek worden diverse modellen gebruikt, maar bij de bouw van een afgezonken tuunnel b.v. kan een schaalmodel nodig zijn om te onderzoeken hoe een tunnelstuk gaat bewegen in de golven.

De cursus gaat over het ontwikkelen en gebruiken van modellen zoals degene die bij dit project gebruikt worden. Uiteraard zijn de modellen nog relatief eenvoudig, maar de concepten zijn ook bruikbaar bij meer gecompliceerde modellen.

Rol van de ingenieur

Ingenieurs hebben met modellen te maken in verschillende hoedanigheden.

Er zijn ingenieurs die als ontwikkelaar van modellen optreden, en die b.v.

computerpro-gramma's voor simulatie van bepaalde verschijnselen ontwerpen en schrijven. Op de TU en in grote onderzoeken adviesinstellingen kom je dit soort mensen relatief vaak tegen.

Pas afgestudeerden fungeren vaak als gebruiker, d.w.z. iemand die een model in een concrete

situatie toepast. Daarbij hoort het verzamelen van de nodige gegevens, wat ook schematisatie inhoudt, nl. om de complexe werkelijkheid uit te drukken in een beperkt aantal

model-grootheden. Dit is vaak een moeilijke opgave die slechts met kennis van de betreffende processen èn van het model goed kan worden uitgevoerd.

Als ze wat op de carrière-ladder geklommen zijn zullen ingenieurs vaker als opdrachtgever

optreden. Weliswaar werken ze dan niet zelf met modellen, maar ze moeten wel voor een project de goede vragen formuleren, en de voor die vragen geschikte adviseurs en modellen uitkiezen. Het is belangrijk dat de opdrachtgever en de modelonderzoeker ( de gebruiker van hiervoor) het eens zijn over de modelleringsvraag; anders komt er een onbruikbaar antwoord uit het onderzoek.

Alle drie de categorieën van betrokkenen hebben te maken met de fundamentele vragen rond modellen: voor welk type problemen zijn ze gemaakt, welke veronderstellingen liggen ten grondslag aan het model, hoe realistisch en/of hoe nauwkeurig zijn ze?

Opgave: Welke ontwerpvragen zijn te bedenken in het kader van het project waannee je via projectonderwijs bezig (geweest) bent? Wat voor soort modellen zou je voor de beantwoording nodig kunnen hebben?

(23)

2.4 Wiskundige modellen

Deze cursus richt zich op het ontwikkelen van wiskundige modellen, de meest gebruikte categorie modellen in de hedendaagse ingenieurspraktijk. Deze categorie is op diverse manieren onder te verdelen in deelcategorieën, bijvoorbeeld naar de aard van de kennis die eraan ten grondslag ligt, of naar de manier waarop oplossingen tot stand komen.

Ten eerste maken we onderscheid tussen black box modellen of empirische modellen,

waarbij relaties uit metingen worden afgeleid zonder kennis van de achterliggende processen, en procesmodellen of inzichtelijke modellen, waarbij inzicht in de werking van de

werkelijkheid gebruikt wordt om de werkzame processen te modelleren en zodoende de nodige relaties af te leiden. Veel modellen hebben iets van beide in zich waardoor de grens in de praktijk niet zo scherp is als hier gesuggereerd.

Black box modellen

In een black box ( of empirisch) model wordt een samenhang tussen grootheden, die uit waarnemingen is gebleken, wiskundig uitgedrukt.

Veelal wordt een wiskundige functie verondersteld voor het gezochte verband, b.v. een machtsformule (x = a yb) waarin enkele onbekende waarden voorkomen, zoals de

evenredigheidsfactor (a) en de exponent (b). Door gebruik te maken van gegevens uit de werkelijkheid wordt de bruikbaarheid van het veronderstelde type relatie onderzocht en worden de benodigde waarden zo goed mogelijk geschat.

Black box modellen leiden vaak tot relaties tussen grootheden met dimensiedragende coëfficiënten. Dit is een uiting van onvolledige modellering.

In onderstaande inzet wordt een voorbeeld getoond van een empirische relatie tussen afvoer en waterstand op een rivier. Een nadeel van een dergelijke empirische relatie is dat hij alleen geldt voor het riviervak waarin de meting heeft plaatsgevonden en voor de situaties die in de meetperiode zijn opgetreden. Voor een andere rivier kun je hem niet gebruiken. Ook zal het gevonden verband niet meer geldig zijn als de rivier wordt uitgebaggerd of op een andere manier verandert. Extrapolatie naar extreme situaties (zeer hoge waterstanden) die niet zijn voorgekomen gedurende de meting is gevaarlijk.

(24)

Inzet: Voorbeeld van een black box model: schatting van afvoer uit waterstandsmeting Het debiet ( ook wel geheten de afvoer) in een rivier is de hoeveelheid water die per tijdseenheid door een dwarsdoorsnede stroomt. De ervaring leert dat een groot debiet samengaat met een hoge waterstand, en omgekeerd.

Voor allerlei toepassingen is het nuttig het debiet van dag tot dag te kunnen bepalen. Het meten van het debiet is echter een hele onderneming. Het is veel

gemakkelijker de waterstand te bepalen; hiervoor kun je volstaan met een

peilschaal die ergens langs de rivier is opgesteld. Uit een beperkt aantal metingen van waterstand en debiet tegelijkertijd wordt nu een Q-h-relatie

0 0 0 0 0

~

Q-h relatie ometingen

metingen van Q en h en daaraan gefitte Q-h relatie

afgeleid (relatie tussen debiet Q en waterstand h). Vervolgens kan deze worden gebruikt om bij gemeten waterstand het debiet te schatten.

In de figuur staat een aantal gemeten punten, met de Q-h-relatie als een kromme van het type Q = a

Il

die zo goed mogelijk door de puntenwolk getrokken is.

In black box modellen kan slechts een gering aantal invloedsgrootheden in rekening worden gebracht. Daardoor treden vaak forse afwijkingen op tussen de waarnemingen en de

empirische relatie. Bij de eenvoudige inzichtelijke modellen is dit laatste vaak ook zo, maar zij lenen zich beter voor uitbreiding. Ook is daarbij de toepasbaarheid veel breder. Een fysisch gefundeerde relatie tussen debiet en waterstand bijvoorbeeld is op vele rivieren toepasbaar, en blijft ook toepasbaar als het dwarsprofiel van de rivier verandert.

Empirische relaties kunnen gemakkelijk verkeerd gebruikt worden, omdat oorzaak en gevolg er niet goed in onderscheiden worden. Een voorbeeld: als je salarissen van hoogleraren als functie van de tijd uitzet, en het aantal drugsverslaafden ook, dan zie je dat beide de laatste tientallen jaren zijn toegenomen. Als je een black box model zou opstellen dan zou dit een verband leggen tussen de twee verschijnselen, en zou je kunnen concluderen dat het aantal drugsverslaafden verminderd zou kunnen worden door de salarissen van hoogleraren te verminderen.

(25)

Toch kunnen black box modellen erg nuttig zijn, bijvoorbeeld in gevallen waarbij er nog te weinig inzicht in de werkelijkheid bestaat om een procesmodel te maken, of als zo'n model te rekenintensief is voor operationeel gebruik.

Procesmodellen

Black box modellen zijn beperkt tot situaties met een vrij gering aantal variabelen. Wanneer dit aantal te groot wordt, of de relaties ertussen te ingewikkeld, dan

moeten de processen die bepalend zijn voor de uiteindelijke betrekkingen worden gemodelleerd. Bij deze cursus zal het voornamelijk gaan om dit type, z.g. procesmodellen of inzichtelijke modellen.

Citaat Van Soest et al. 'Een model is eigenlijk niets anders dan een nulpmiddel om door de bomen toch het bos te kunnen zien.'

In procesmodellen worden de processen gerepresenteerd die de verbanden bepalen tussen de diverse grootheden. De uitkomsten bevatten in het algemeen dimensieloze coëfficiënten. In

het geval van de afvoer-waterstandsrelatie b.v. leidt een procesmodel tot Q = AU, waarin A het stroomprofiel van de rivier is en U de gemiddelde snelheid, waarvoor bij benadering geldt U = K ✓(gdi) waarin g de zwaartekrachtsversnelling is, d de diepte, i de helling van de

waterspiegel en K een dimensieloze evenredigheidsfactor. Merk het verschil op met de empirische betrekking Q = a hb , waarin onderliggende processen niet tot uiting komen en waarin a een dimensiedragende coëfficiënt is (met dimensie L3-brr; zie Hoofdstuk 4).

Een belangrijke bouwsteen in alle procesmodellen waarmee we in dit vak te maken krijgen is de balansvergelijking, die weergeeft hoe de hoeveelheid van een beschouwde grootheid (b.v. massa, of warmte, of kapitaal) binnen een zeker domein (de z.g. voorraad) verandert als gevolg van in- en uitvoer over de grenzen en/of interne productie of afbraak.

Tussenvormen tussen black box modellen en procesmodellen komen ook voor. Bijvoorbeeld veel neerslag-afvoer modellen uit de hydrologie (zie § 7 .2) zijn hiertoe te rekenen. Hierin wordt weliswaar van algemene fysische principes gebruik gemaakt (m.n. balansvergelijkingen voor de hoeveelheid water), maar de coëfficiënten kunnen per stroomgebied alleen door vergelijken met metingen worden bepaald.

Ten tweede kunnen wiskundige modellen worden onderscheiden naar oplossingsmethode. Wiskundige modellen waarvoor analytische oplossingen mogelijk zijn worden wel

analytische modellen genoemd, en wiskundige modellen die alleen numeriek oplosbaar zijn, numerieke modellen; de laatste zijn normaal gesproken in de vorm van een

(26)

computerprogramma waarin je alleen getalswaarden van grootheden en coëfficiënten hoeft aan te geven om een oplossing te verkrijgen.

Analytische modellen en oplossingen zijn geformuleerd in termen van wiskundige variabelen (dus niet in getalswaarden). De voordelen daarvan zijn dat de resultaten niet tot een specifiek geval beperkt zijn, en dat goed zichtbaar blijft hoe variabelen elkaar beïnvloeden. Soms leidt dit - na min of meer uitgebreide wiskundige tussenstappen - tot een oplossing in de vorm van een formule (b.v. E = mc2).

Ingewikkelde modellen vergen veelal numerieke oplossingsmethoden. Hierbij wordt

uitsluitend met getallen gerekend. Je moet dus voor alle coëfficiënten en andere gegevens in de vergelijking vooraf waarden invullen, waardoor de uitkomsten slechts op dat specifieke geval betrekking hebben.

In veel gevallen kan het gebruik van analytische modellen in combinatie met numerieke modellen nuttig zijn: een analytisch model ten behoeve van het vergrote inzicht en controle, ook al is daarvoor een sterke schematisatie nodig, en een numeriek model voor de meer exacte bepaling van de getalsmatige uitkomsten.

Een derde onderscheid naar typen modellen heeft betrekking op de vraag of invloedsfactoren en systeemeigenschappen ondubbelzinnig vastliggen (deterministische modellen) of in termen van kansen worden beschreven (stochastische modellen). Een voorbeeld: bij een gegeven (geschematiseerde) draagconstructie en belasting, b.v. als gevolg van een explosie, kan de vervorming van de constructie met een deterministisch model worden berekend (zie Mechanica van Constructies), maar de vraag naar de aanvaardbaarheid van het te lopen risico kan slechts met stochastische modellen worden aangepakt (hoe groot is de kans op zo'n gebeurtenis). Vaak worden deterministische modellen eenvoudigheidshalve als benadering gebruikt waar eigenlijk stochastische modellen meer op hun plaats zouden zijn. Dit is des te meer aanvaardbaar naarmate de te verwachten spreiding ( onzekerheid) in parameters geringer is.

2.5 Samenvatting

Bij de voorbereiding van civieltechnische projecten worden uiteenlopende typen modellen gebruikt. Gemeenschappelijk kenmerk van alle typen modellen is dat ze dienen voor het beantwoorden van specifieke vragen. Modellen geven daarom altijd slechts enkele aspecten van de werkelijkheid weer.

(27)

Deze cursus is gericht op de volgende typen modellen:

de modellen zijn kwantitatief, d.w.z. ze gaan over in getallen uit te drukken grootheden;

het zijn procesmodellen, d.w.z. ze zijn gebaseerd op inzicht in de relevante processen, die in het model worden gerepresenteerd;

ze zijn dynamisch, d.w.z. ze gaan over in de tijd veranderende processen; ze zijn eenvoudig, d.w.z. het aantal vergelijkingen en onbekende grootheden is betrekkelijk gering;

ze zijn deterministisch, d.w.z. ze gaan uit van gegeven omgevingscondities en systeemparameters en brengen de onzekerheid daarin niet in rekening.

De oplossingen van de wiskundige modellen zullen we soms grafisch verkrijgen, soms analytisch. Ook zullen we onze toevlucht nemen tot numerieke methoden. We zullen daarvoor in deze cursus een bestaand simulatiepakket ("Powersim") gebruiken.

De modellen die we bespreken zijn niet optimaliserend, d.w.z. dat ze niet proberen de beste van een reeks alternatieven te vinden. Door het variëren van coëfficiënten zullen we in de cursus niettemin een indruk krijgen hoe onzekerheden of variërende omstandigheden door-werken in de uitkomsten van een model (een z.g. gevoeligheidsonderzoek, zie Hoofdstuk 8).

2.6 Studievragen en opdrachten

1. Maak een samenvatting van dit hoofdstuk.

2. Ga voor een civieltechnisch project dat je kent uit de krant na in welke (hoofd-) fasen en deelvragen dat kan worden opgesplitst, en bedenk welk soort modellen daarbij gebruikt kunnen worden.

3. Wat zijn black box modellen respectievelijk procesmodellen?

4. Noem voordelen en beperkingen van analytische oplossingen van wiskundige modellen.

5. Ga na in welke eerstejaarsvakken die je tot nu toe hebt gedaan wiskundige modellen worden gebruikt; denk na over het karakter van die modellen, de schematisaties die erin zijn gebruikt, etc.

6. Is de "wet van Hooke" een model? Zo ja, zou je het indelen als een black box model of een procesmodel?

(28)

(29)

3.0 Leerdoelen

Inzicht in het modelleerproces

Kennis van de begrippen systeem, -grenzen, -parameters, toestandsgrootheden, externe variabelen, fasen in het modelleren, modelleervraag, schematisatie, causale relatie diagram, modelformulering, oplossingsmethodieken, evaluatie

Attitude van het stellen van een goede modelleervraag, van het zelf (durven) schematiseren, controleren, evalueren

Vaardigheid hierin

3.1 Inleiding

Modelleren is niet gemakkelijk. Er zijn meestal veel onzekerheden. Het probleem is vaak onduidelijk en onsamenhangend gesteld. Je weet niet precies waar je moet beginnen, of hoe. Vaak ontbreken veel gegevens, en voorzover er gegevens zijn, zijn het vaak niet precies dege-ne die je nodig hebt. Om grip te krijgen op het probleem en om orde te brengen in de chaos is een methodische aanpak van groot belang. Daarom worden in dit hoofdstuk enkele begrippen ingevoerd over systemen en worden de diverse stappen in het modelleringsproces behandeld.

3.2 Systeembegrippen

In het modelleren beperken we ons altijd tot delen van de totale werkelijkheid. Dat beschouwde deel (b.v. een wegennet; zie Figuur 3 .1) kan meestal worden gezien als een systeem

van samenstellende onderdelen (individuele wegvakken). De

systeemgrens (b.v. een provinciegrens) scheidt het systeem

van zijn omgeving.

Een systeem kan worden beschreven met behulp van een aantal grootheden die we systeemparameters noemen (b.v. de

afstanden tussen de knooppunten, het aantal rijstroken, etc.). In het systeem spelen zich bepaalde processen af (b.v. de

ver-keersstroom), autonoom of (ook) onder invloed van de omgeving. Deze processen worden in kwantitatieve zin

,-/ Beverw}jk I Haa.rlelri , .___,...,,_n / I I I I I 1 I I

Figuur 3.1: Wegennet van de randstad, met begrenzing en aansluitingen met de omgeving.

(30)

Hoofdstuk 3: Modelleerstappen deel I

beschreven met z.g. toestandsgrootheden (b.v. de posities en snelheden van de voertuigen). In dit vak gaat het vooral om systemen met in de tijd constante parameters maar met in de tijd variërende toestandsgrootheden.

Een systeem kan onder invloed staan van (geëxciteerd worden door) de omgeving via de z.g.

externe grootheden, d.w.z. grootheden die voor gegeven systeempararneters en een gegeven

begintoestand bepalen wat er in het systeem gebeurt, maar die daar zelf niet van af hangen (b.v. de buitentemperatuur die mee de kamertemperatuur bepaalt maar daar zelf niet (merkbaar) van afhangt). De invloed van de externe grootheden is voelbaar via de systeemgrenzen.

In het modelleren moet, uitgaande van de modelleervraag, het systeem worden gekozen (systeemgrenzen, -structuur en -parameters), moeten de belangrijkste processen in het systeem worden geïdentificeerd en beschreven en moeten vergelijkingen worden opgesteld voor de berekening van de toestandsgrootheden.

Om toestandsgrootheden te kiezen vraag je je af wat je tenminste zou moeten weten om een goed beeld te hebben van de toestand van de processen in het beschouwde systeem (uiteraard voor zover van belang voor de modelleringsvraag). Dit levert een minimum aantal

Citaat Van Soest et al.:

'Bij het maken van een model is het essentieel om aan te ~even waarop het model van Toepassing is.'

toestandsgrootheden op. Deze moeten in ieder geval in het model worden verwerkt. Het kan handig zijn om naast het minimaal benodigde aantal nog een aantal extra toestandsgrootheden als hulpgrootheden in te voeren (b.v. het waterpeil in een reservoir als hulpgrootheid naast het volume water in het reservoir).

De toekomstige waarden van alle toestandsgrootheden zijn onbekenden en dus zullen we een even groot aantal vergelijkingen nodig hebben om ze te kunnen bepalen. Toevoegen van een hulpgrootheid is in dit opzicht geen probleem omdat we aan de ene kant een onbekende meer hebben, maar aan de andere kant ook een vergelijking meer, namelijk de vergelijking die ons vertelt hoe de hulpgrootheid van de essentiële toestandsgrootheden afhangt.

Een belangrijk type toestandsgrootheid geeft de hoeveelheid weer van een beschouwde soort

die in een zeker gebied of domein op een zeker tijdstip aanwezig is (bijvoorbeeld het aantal voertuigen op een bepaald wegvak). We noemen dat een voorraadgrootheid. Kenmerkend is

(31)

voorraad oplevert voor het gebied bestaande uit de vereniging (samenvoeging) van de

deelgebiedjes. Als een grootheid deze eigenschap niet heeft is het niet een voorraadgrootheid. Voor massa bijvoorbeeld gaat de genoemde optel-eigenschap op, maar niet voor de

massadichtheid. (Samenvoeging van 2 liters water, elk met een massadichtheid van 1 kg/m3 ,

en dus met een massa van 1 kg, levert een totale massa van 2 kg, maar de samenvoeging betekent niet een verdubbeling van de massadichtheid!) Impuls is een voorraadgrootheid, maar snelheid niet. (Het is immers ook niet zinvol om te spreken van "de hoeveelheid snelheid".) Warmte is ook een voorraadgrootheid (evenals elke andere vorm van energie), maar temperatuur weer niet.

Naast voorraden kennen we transporten binnen een systeem of over de systeemgrenzen heen (ook genoemd: stromen, of fluxen, of overdrachten) als een type toestandsgrootheden. Zo kunnen we in de bovengenoemde voorbeelden spreken van verkeersstroom, massastroom, impulsstroom, warmtestroom etc. Stromen binnen een systeem herverdelen de voorraad zonder de totale waarde daarvan te veranderen. Stromen over de systeemgrenzen heen kunnen de waarde van de voorraad in het systeem wel veranderen ( en doen dat ook, voorzover

instroom en uitstroom in waarde verschillen).

Voorraden binnen een systeem kunnen behalve door transporten ook veranderen als gevolg van productie of afbraak binnen het systeem, b.v. van biomassa. De intensiteiten hiervan zijn ook toestandsgrootheden. Wanneer deze processen niet mogelijk zijn of buiten

beschouwing blijven is de betreffende voorraadgrootheid behouden (of "conservatief'). De beïnvloeding van de voorraden in een systeem door stromen over de systeemgrenzen en door eventuele processen van productie of afbraak in het inwendige wordt uitgedrukt in

balansvergelijkingen, één voor elke voorraadgrootheid. Deze spelen in veel

modelle-ringsvraagstukken een belangrijke rol. Het op een correcte manier kunnen opstellen van balansvergelijkingen is daarom een belangrijk leerdoel van dit vak. In de rest van dit hoofdstuk maken we er al even kennis mee; in Hoofdstuk 5 gaan we er uitgebreid op in. Balansvergelijkingen beschrijven de verandering van een voorraad. Om de waarde van de voorraad op een zeker toekomstig tijdstip te kunnen berekenen moet de waarde ervan op een eerder tijdstip bekend zijn: de beginwaarde.

Voor de toepassing van een model in een praktisch geval moeten de systeemparameters en de externe grootheden worden gespecificeerd, evenals de beginwaarden van de te beschouwen toestandsgrootheden. Vervolgens kunnen de onbekende (toekomstige) waarden van deze

(32)

toestandsgrootheden als functie van de tijd worden berekend door integratie van de

balansvergelijking of van een daaruit af te leiden andere vergelijking. In een ontwerpproces wordt dit proces herhaald voor een reeks van verschillende systeemstructuren en

systeemparameters om zodoende de invloed daarvan op het systeemgedrag vast te kunnen stellen en tot een optimaal ontwerp te komen.

3.3 Modelleerstappen

Het modelleerproces kan op verschillende wijzen worden opgesplitst, maar in hoofdlijnen komen de meeste wel op het zelfde neer. We volgen hier de indeling van Hoofdstuk 1:

Stap 1: Probleemanalyse en vraagstelling ... § 3.4 Stap 2: Schematisatie ... § 3 .5

(Bepaling systeemgrenzen, relevante processen en grootheden)

Stap 3: Modelformulering ... § 3.6 (Wiskundige beschrijving van de relaties tussen de grootheden )

Stap 4: Keuze van oplossingsmethodiek ... § 3.7 Stap 5: Validatie ... § 8.2 Stap 6: Gevoeligheidsonderzoek ... § 8.3 Stap 7: Calibratie ... § 8.4 Stap 8: Verificatie ... § 8.5 Zoals je zult merken is modelleren een cyclisch proces: bij de uitwerking van één van de stappen moet je soms op vorige stappen terugkomen.

Stappen 1 t/m 4 worden in de hierna volgende paragrafen toegelicht aan de hand van een voorbeeld (cursief gedrukt). Stappen 5 t/m 8 worden behandeld in Hoofdstuk 8.

Voorbeeld: DAMUITBOUW

Een aannemer moet een korte dam uitbouwen in zee (Figuur 3.2). De opdrachtgever wil dat de dam zo snel mogelijk klaar is en de aannemer heeft, om de opdracht te krijgen, gezegd dat hij de dam binnen drie weken gebouwd kan hebben. Elke dag te laat opleveren komt hem op een flinke boete te staan. De aannemer is er bij nader inzien niet erg gerust op en

(33)

op tijd klaar kan zijn, en zo niet wat hij eraan kan doen om de zaak te versnellen.

Voor het aanbrengen van het materiaal staat de aannemer een flink aantal vrachtwagens ter beschikking. Deze vrachtwagens halen stortsteen uit een groeve, waar het door twee kranen op de vrachtwagens wordt gedeponeerd, die het vervolgens naar de bouwplaats brengen. Het laadvennogen van een vrachtwagen is 10 m3

• De stortsteen heeft een gemiddelde diameter

van 0,5 m, en heeft een massadichtheid van 2600 kg/m3

• Om materiaal te sparen is de dam

smal; een vrachtwagen kan er niet op keren. De vrachtwagens rijden met volle laadbak achteruit over de dam, lossen hun lading en rijden dan weer terug. Pas daarna kan de volgende er weer op. Nadat de chauffeur zijn lading heeft gelost heeft hij een schafttijd in de bouwkeet, waarna hij de volgende lading ophaalt. De dam moet 300 m lang worden. De kruin van de dam moet 4 m breed worden, en op 3 m boven het gemiddeld zeeniveau liggen. De taluds moeten onder een helling van 1 : 2 komen. Omdat de prijs van diesel steeds hoger wordt, met name door verhoogde accijns, wil de aannemer dat de chauffeurs zuinig rijden en het dieselverbruik laag houden. Het zijn roerige tijden in de vakbondwereld; er zijn acties aangekondigd in verband met lopende CAO-onderhandelingen. Bijkomend probleem is dat het ziekteverzuim van de chauffeurs nogal hoog is. De aannemer wil dit terugdringen, en heeft dit ook als factor in de CAO-onderhandelingen ingebracht.

3.4 Stap 1: Probleemanalyse en vraagstelling

Voordat we een model gaan bouwen is het noodzakelijk te weten welke vraag door het model beantwoord moet worden. Onervaren modelleurs gaan soms heel enthousiast een model bouwen om later te ontdekken dat ze niet het juiste probleem hebben zitten oplossen. De modelleervraag of modelleervragen ontstaan bij een analyse van de probleemstelling. Je bekijkt een probleembeschrijving en leidt daar vragen uit

af waarop antwoorden gevonden moeten worden (zie het voorbeeld van de oeververbinding inding Hoofdstuk 2). Sommige van deze vragen kun je schattenderwijs snel beantwoorden, voor de andere moet je één of meer modellen maken. Het is belangrijk om deze vragen zo specifiek mogelijk te krijgen.

Citaat Einstein:

'The proper formulation of a problem is even more essential than its solution.'

In de probleemomschrijving van de damuitbouw is het essentiële element de tijd, namelijk de benodigde tijd voor de bouw van de dam.

(34)

Transport van bouwmateriaal is het belangrijkste element in het bouwproces.

In het proces kunnen allerlei storende elementen optreden; de beschrijving noemt met name de CAO-onderhandelingen. Modelmatig is daaraan voor een civiel niet veel te doen; hooguit kan hij proberen in de planning een paar dagen ruimte te houden zadat een (korte) staking niet desastreus hoeft te zijn. Voor de hier uit te werken modelleervraag wordt daarom gekozen: bepaal de minimale bouwtijd van de dam, uitgaande van de veronderstelling dat de gegeven transportcapaciteit steeds volledig benut kan worden ( continu bedrijf).

Bij de presentatie van de uitkomsten van het model aan de aannemer moeten alle veronderstellingen en

vereenvoudigingen wel vermeld worden. We hebben bijvoorbeeld aangenomen dat geld hier niet zazeer de centrale rol speelt, hoewel het natuurlijk wel de aanleiding vormt voor het probleem; wij houden ons primair bezig met

Citaat 9hannon: 1

Millions of dollars are spent each year in cominJl up with elegant soP.hislicated answers

to

the wrong questions.'

de tijd. Ook dit is een aanname die aan de aannemer gemeld moet worden. We laten zaken als hogere loonkosten 's nachts en in het weekend, de dieselprijs etc. buiten beschouwing. Als uit het model komt dat de dam in de aangegeven tijd gebouwd kan worden, en de hoeveelheid speelruimte is bekend, dan kun je nog altijd de goedkoopste uitvoeringsmethode bepalen.

3.5 Stap 2: Schematisatie

We gaan nu het systeem afbakenen dat van belang is voor de beantwoording van de inmiddels vastgestelde modelleervraag; verder gaan we na welke processen daarvoor(!) van

essentieel(!) belang zijn en welke grootheden daarin een rol spelen. De werkelijkheid dient zich vaak aan als een complexe,

diffuse samenhang van allerlei systemen. Het onderschei-den van relevante deelsystemen en het onderkennen van de belangrijke processen en elementen hierin is dan ook vaak niet gemakkelijk. In deze fase geldt de gulden regel van de modellering: kies de eenvoudigste mogelijkheid die de essentiële vragen nog kan beantwoorden. Dit

betekent dat veel invloeden bewust niet worden

Citaat Fowkes et al.: • .. .the challenge in ( .. ) modellin_á is not to produce "lhe most

com-prehensive modell but

to

produce the simp est model that incorporates the major features of the phenomenon of interest.•

meegenomen of sterk worden vereenvoudigd. Deze beperkingen moeten wel goed worden vastgelegd: de gebruiker moet zich ervan bewust zijn.

(35)

Systeemgrenzen

Bij het definiëren van systeemgrenzen trekken we een duidelijke lijn tussen datgene dat wel en datgene dat niet tot het systeem wordt gerekend. Deze grenzen kunnen ruimtelijk zijn, maar ook andersoortig, zoals organisatorisch (bijvoorbeeld niet de hele TU Delft, maar alleen Civiele Techniek), financieel (alleen mijn bankrekening en niet de jouwe), politiek enz. Het type begrenzing wordt uiteraard bepaald door de te modelleren aspecten.

Een ander belangrijk kenmerk van het systeem is de tijdschaal die we bekijken. Daarmee wordt bedoeld de globale duur van significante variaties in het systeem. Het begrip tijdschaal geeft een grootte orde aan: gaat het om een proces van seconden, minuten, uren, dagen, weken, maanden, jaren, eeuwen ... ? Door tijdschalen onderling te vergelijken kunnen we schatten of bepaalde invloeden wel of niet van belang zullen zijn.

De vraagstelling gaat over bouwtijd. De transportketen is daarvoor het belangrijkste element; deze bestaat uit een aantal delen. We moeten in eerste instantie onze aandacht richten op de zwakste schakel in de keten, d.w.z. het onderdeel dat bepalend is voor de bouwsnelheid.

We onderscheiden drie onderdelen:

• de winning en het transport in de groeve;

• het transport van de groeve naar het bouwterrein; • het transport over de dam zelf.

In principe kan elk hiervan de beperkende factor zijn.

In deze fase moeten we de gulden regel van de modellering volgen en niet alles tegelijk willen oplossen. We mogen aannemen dat de aannemer over een flink aantal auto's beschikt, maar steeds kan slechts één ervan op de dam rijden. Daardoor zal het laatste onderdeel

hoogstwaarschijnlijk maatgevend zijn. Als te bestuderen systeem nemen we daarom de dam zelf. (Merk op dat omgekeerd uit de resultaten van dit model is af te leiden welke capaciteit nodig is in de groeve en voor het transport van de groeve naar de dam om een minimale bouwtijd te bereiken.)

De begrenzing aan landzijde ligt logischerwijs ter plaatse van de aanzet van de dam (waar hij op de kust aansluit). De zeewaartse begrenzing kunnen we leggen bij het einde van de dam (tot waar de bouw is gevorderd). De begrenzing groeit dan met de dam mee. Een andere mogelijkheid is deze grens op voorhand te leggen voorbij het beoogde einde van de dam. De begrenzing ligt dan waar de uiteindelijke dam zal komen te liggen: de begrenzing groeit niet

(36)

mee, maar is constant in de tijd.

De tijdschaal die we beschouwen is bij dit probleem de bouwtijd; deze ligt in de orde van een maand.

Processen

De volgende stap in de opbouw van het wiskundige model is de procesanalyse: welke processen en welke bijbehorende grootheden zullen van belang zijn voor de gegeven vraagstelling? Beantwoording van deze vragen gebeurt op grond van globale kennis van het te modelleren systeem: je moet wel iets van het

probleem weten om het te kunnen modelleren.

Bij de gekozen inperking van de vraag gaat het om de berekening van de bouwtijd, ervan uitgaande dat het uitrijden van het materiaal over de in aanbouw zijnde dam de bottleneck is. Dat proces moet dus

gemodelleerd worden.

Citaat Fowkes et al.: 'Richardson found that seemingly sensible attempts to inoluäe compressibility effects in meteorolo,S!icar models lead to ridiculous predictions - models predicted that weather fronts would move at the speed of sound. In fact, if one ij!nores compressibility entirèly then sensible

predicfions can result. Thus an aprarenty less accurate mode leads to better results.'

Uiteindelijk moet de dam een zekere lengte hebben met een voorgeschreven dwarsprofiel, en zal hij dus ook een zekere hoeveelheid stortsteen moeten bevatten. Bij gegeven laadvermogen per wagen is dus op voorhand uit te rekenen hoeveel wagenladingen nodig zullen zijn.

Daarbij laten we verliezen buiten beschouwing. We zouden eventueel later een percentage toeslag in rekening kunnen te brengen voor verliezen.

De cruciale vraag is nu hoeveel tijd nodig is om de vereiste hoeveelheid stortsteen in het werk te brengen. Hoe langer de dam, hoe langer de rijtijden worden en dus hoe minder snel de bouw vordert. Belangrijke deelprocessen daarin zijn het met geladen vrachtwagens over de dam rijden van de bouwplaats tot het momentane einde van de dam, het lossen en het weer terug rijden naar de bouwplaats.

Causale relatie diagram

Een procesanalyse leidt tot uitspraken over de belangrijk geachte grootheden en hun onderlinge beïnvloedingen. We kunnen dit zichtbaar maken in een z.g. causale relatie

(37)

toestandsgrootheden onderling en van de toestandsgrootheden met de externe grootheden. We hanteren de afspraak dat toestandsgrootheden in een causale relatie diagram in een ovaal worden geschreven en externe grootheden in een rechthoek. Verder staan er pijlen tussen die grootheden waarvan we de onderlinge beïnvloeding in rekening willen brengen. Een pijl van A naar B betekent dat B beïnvloed wordt door (o.a.) A. (Bij een wisselwerking zal Book A beïnvloeden en staan er twee pijlen tussen beide, die in tegengestelde richtingen wijzen.) Later worden die invloeden kwantitatief uitgedrukt, in wiskundige vergelijkingen (zie de volgende paragraaf: Modelformulering).

Omdat we er altijd voor moeten zorgen dat we net zoveel vergelijkingen als onbekenden hebben, moet van elke toestandsgrootheid gecontroleerd worden of er tenminste één pijl naartoe loopt. Als er geen pijl naar toeloopt ( en we kunnen ook geen beïnvloeding bedenken, of de invloed is te verwaarlozen) dan gaat het kennelijk om een constante of om een externe grootheid (b.v. de buitentemperatuur in berekening van de energiehuishouding van een gebouw).

Een causale relatie diagram maakt soms zichtbaar dat er groepen grootheden zijn die

onderling elkaar wel beïnvloeden, maar die van een andere groep niet of nauwelijks. Het kan dan handig zijn afzonderlijke (deel)systemen in te voeren.

Een causale relatie diagram is in de onderstaande figuur getekend (Figuur 3.3 ). (N.B. De symbolen in dit diagram komen hieronder aan bod.)

Volume van de dam V . . .

~

Figuur 3.3 Grootheden

----Tijd nodig per lading T

F

~~

~

Aanvoer van materiaal