Momenty absolutne dla rozkładu Laplace’a

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE X (1966)

ANNALES SOCIETATIS MATHEMATICAE POLONAE Serio I: COMMENTATIONES MATHEMATICAE X (1966)

E. K

(Łódź)

Momenty absolutne dla rozkładu Laplace’a

W niniejszej pracy podana jest metoda wyznaczania momentów ab­

solutnych przy użycia odpowiednich funkcji charakterystycznych. Me­

toda sformułowana jest w postaci trzech lematów. W końcu pracy w opar­

ciu o podany układ lematów wyprowadzony jest wzór określający ?i-ty moment absolutny dla rozkładu Laplace’a.

Na wstępie przypomnimy kilka określeń z rachunku prawdopodobień­

stwa [1 ].

Momentem rzędu к i momentem absolutnym rzędu к zmiennej losowej X typu ciągłego o gęstości f{x) nazywamy wyrażenia

OO 00

mk = f xkf (x)dx i = f \xk\f(x)dx,

— 00 —00

Zmienna losowa X posiada rozkład Laplace’a, jeżeli jej gęstość jest określona zależnością

„ 1 / \x — u\\

f(x) = 2~Я e x p \--- 1— )’ - ° ° < ж< 00> д > 0.

L

1. Jeżeli f(x) jest gęstością zmiennej losowej X posiadającej skoń­

czone momenty zwykle nij do rzędu к włącznie, to również zmienna losowa Y o gęstości g{y), gdzie

dla у < O, dla у ^ O, posiada momenty zwykle skończone do rzędu к włącznie.

Słuszność powyższego lematu wynika bezpośrednio z definicji momen­

tów mk.

L

2. Jeżeli zmienne losowe X i Y są zmiennymi wymienionymi w lemacie 1, to moment absolutny (3% rzędu n zmiennej losowej X , gdzie n < fc, jest równy momentowi zwykłemu mv k rzędu n zmiennej losowej Y, tzn. (3% — m”.

(

1

g(y) = i ° \ f ( y ) + f ( - y )

D o w ó d . Dla n < к mamy

oo 0 oo

Pn = f \xn\ f { x ) d x = ( — l ) n j x nf { x ) d x - \ - J x nf ( x ) d x .

— oo —oo 0

Po podstawieniu x — — у do pierwszej całki otrzymujemy

O O O O O O "

Pn = f ynf ( - y ) d y + f ccnf(x)d x = f yn[ f ( y ) + f ( - y ) ] d y =

0 o o

oo oo

= / yny{y)dy = j yng{y)dy = ml.

O - oc

Została więc wykazana słuszność lematu 2. Z powyższych dwóch lematów wynika słuszność lematu 3.

L

3. Jeżeli <p(t) jest funTccją charakterystyczną zmiennej losowej Y o gęstości g(y) określonej ivzorem (1), to moment absolutny rzędu n zmiennej losowej X o gęstości f (x) wyraża związek

(

2

1

<P{v ]{

0).

Ponieważ składnikiem momentu absolutnego zmiennej losowej podlegającej rozkładowi Laplace’a jest moment zwykły mn, co jest po­

dane w twierdzeniu 2 w dalszej części pracy, wykażemy najpierw słu­

szność twierdzenia 1 określającego moment zwykły dla zmiennej losowej podlegającej rozkładowi Laplace’a.

T

1 . Moment rzędu n zmiennej losowej X , podlegającej rozkładowi Laplace'a, wyraża się wzorem

(3) mr, = « !

1 = 0

l + ( - l ) 211

l+n

-l l p .

D o w ó d . Jak wiadomo [1] funkcja charakterystyczna dla rozkładu Laplace’a jest następującej postaci:

(4) <p(t) = exp (itp)

W + l

Bozwińmy funkcję <p (t) w szereg Maclaurina dla — 1 /A < t < 1/A:

<p(t) = f j w f 2

k=O k=O

(i/ttf

M om enty absolutne dla rozkładu Laplace'a 91

skąd 99 (t) jako iloczyn Canchy’ego wymienionych szeregów przyjmuje postać

oo

к

9>(t) = gdzie ak = --- ---

fc=o z=0

Pochodna rzędu n funkcji charakterystycznej 99 (t) ma więc postać

><”>(«)= У ^ i k

k = n

(k —n)\

skąd mamy

mn = ЧО) = ni ---

--- 1 f* •

1=o 2l\

T

2. Jeżeli zmienna losowa X podlega rozkładowi La­

place'a, to jej moment absolutny rzędu n określony jest następującym wzorem:

fin \mn\~k l - ( - l )7 ?г! Awexp \jA_

1 4 gdzie mn jest momentem zwykłym zmiennej losowej X.

D o w ó d . Zgodnie z wyżej podanymi trzema lematami moment ab­

solutny (ix zmiennej losowej X równy jest momentowi zwykłemu mv zmiennej losowej Y o gęstości (1 ):

( 0 dla у < 0,

g{y) = \ 1 Г / ^\y+iu\\ , / ^л1

Ы г Н —H +exp(—HJ ^{y >}

Wyznaczamy funkcję charakterystyczną dla rozkładu g(y) :

Vvit) I

— 00

g{y)exp(ity)dy =

= P f exp 2Л J O

exp(itljuj)

\y_Y/A A iMex p

l r

/ \y—p\\

exp (Uy)dy + — J e x p l--- -— lexp (ity)dy =

+

И 1 АЧ2Х 1 ' АЧ* + 1 Zgodnie z lematem 3 mamy

— Tiił) 2 ⁽ 1 ^)-

qX

Pn — 99^ ( 0) = C9?fr >(0) + 992И)(0)].

% %

Ponieważ dla /л > O funkcja cp^t) jest funkcją charakterystyczną dla roz­

kładu Laplace’a, zatem zgodnie z twierdzeniem 1 możemy napisać

П«(O ) n ' I 1 = 0

H 1 + ( - ! ) ' l+n

r ~ l\fi\l =

21\ \Ш г

Funkcję 9o2(t) rozwijamy w szereg Maclaurina w przedziale —1 /Я < ź <

< 1/Я:

9?2(0 = exp skąd mamy

zatem

\jA

Я (Ш + i3 Я 3 if3 -f- i5 Я51 -f- ...)== exp

2 п!Я” ехр _и

я >

N„| + 1 - ( - 1 Г

а!Я№ ехр

¥)■

Z twierdzenia 2 otrzymujemy, że w przypadku /л = 0 moment ab­

solutny (3n zmiennej losowej X podlegającej rozkładowi Laplace’a wyraża się wzorem

■Pn = »!Я".

Na zakończenie pracy wypiszmy wartości kolejnych momentów abso­

lutnych pn (zależności 3 i 5) do szóstego włącznie.

Po — 1 = ш0,

Pi = 1!И + Я ех р | — y j = | т ^ + Я е х р | -у | ,

^2 = 2 ! |я2-)- ~ m2J

Ps = 3! (я2Н + у Н 3| +3!Я3ехр|— y j = |m3|+3!Я3ехр y j ,

Pi — 4! |я4+ у Я У + у ^4j =

Ps = 5!|я4|^| + ~ Я 2|^|3 + у|^|5|+5!Я5е х р | -у | = |w5| + 5!Я5е х р | -у | ,

= 6! |я6+ у Я4^2 + у Я2/44+ у / М 6| = m6.

M om enty absolutne dla rozkładu Laplace'a 93

Prace cytowane

[1] M. F i s z , Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, W ar­

szawa 1958.

E. Kącki (Łódź)

A B SO L U TE M OMENTS OF TH E LAPLAC E D IS T B IB U T IO N S U M M A R Y

The author gives a method of evaluating absolute moments of a random varia­

ble by means of characteristic functions. This method is formulated in three lemmas.

The lemmas are applied to derive a formula for the nth absolute moment of the Laplace distribution.