Momenty rozkładu ładunku elektrycznego

Momenty rozkładu ładunku elektrycznego

W naszych rozważaniach (na przykład o dielektrykach) używamy pojęcia dipola elektrycznego będącego układem dwóch

jednakowych ładunków o przeciwnych znakach. 

W badaniach złożonych konfiguracji pola elektrycznego przydaje się bardziej ogólne

podejście. Otóż pole elektryczne

wytworzone przez dowolny układ ładunków możemy potraktować jako złożenie pól od

monopola (czyli pojedynczego ładunku),

dipola, kwadrupola (układu czterech ładunków), oktupola (układu ośmiu ładunków) i tak dalej...  

Rozważmy potencjał pola elektrycznego wytworzony w punkcie A przez odległy ładunek zgromadzony w

otoczeniu środka układu współrzędnych

_A= 1 4  ₀

∫

V

x , y , z

R dV

gdzie całkowanie

przeprowadzamy po całej objętości zajętej przez ładunki.

Korzystając z prawa cosinusów otrzymujemy

R=[r²r '²−2 rr ' cos]

1 2

Zatem wyrażenie na potencjał

_A= 1

4  ₀

∫

V

 [r²r '²−2 rr ' cos ]⁻

1 2dV

Pierwiastek możemy przepisać jako

[r²r '²−2 rr ' cos ]⁻

1 2=1

r [1r '²

r² −2 r '

r cos ]⁻¹²

Wykorzystując fakt, że punkt A jest daleko i korzystając z rozwinięcia pierwiastka w szereg

potęgowy

1−x⁻

1

2=1−1

2 x1

8 x²...

otrzymujemy

[r²r '²−2rr ' cos]⁻

1 2=1

r [1r '

r cos−r ' r 

23 cos²−1

2 ]...

Wstawiamy to wszystko do równania na potencjał i wyciągamy r przed całki

_A= 1 4 ₀[1

r∫

V

dV1 r²∫

V

r ' cos   dV 1 r³∫

V

r '²3cos²−1

2 dV ...]

Wartość każdej z całek zależy jedynie od struktury rozkładu ładunków. Możemy zatem zapisać

_A= 1

4  ₀[ K₀

r K₂

r² K₃

r³ ...]

Wielkości K0, K1, K2... nazywamy momentami rozkładu ładunku (monopolowym, dipolowym,

kwadrupolowym, oktupolowym itd.).

Przedstawienie rozkładu ładunków za pomocą

momentów pozwala wyróżnić te jego własności, które w charakterystyczny sposób zmieniają się z

odległością. Dla zrozumienia zjawisk zachodzących w dielektrykach potrzebne są momenty monopolowy

(czyli wypadkowy ładunek) i dipolowy.

Potencjał dipola elektrycznego

Potencjał dipolowy możemy zapisać jako

_A= 1 4 ₀

1 r²∫

V

r ' cos   dV = 1 4  ₀

1 r²∫

V

r⋅r '  dV = 1 4 ₀

r r²⋅∫

V

r '  dV

Całka po prawej stronie to wektorowy moment  dipolowy rozkładu ładunków:

p=

∫

V

r '  dV

potencjał możemy zapisać jako

_A= 1 4  ₀

r⋅p r²

Do przemyślenia: jak będzie się zmieniało z odległością natężenie pola elektrycznego?