Zbiory, których konstrukcje zawdzi¦czamy polskim matematykom

(1)

Wªadysªaw Wilczy«ski (ód¹)

Zbiory, których konstrukcje zawdzi¦czamy polskim matematykom

Streszczenie. W pracy opisane s¡ niektóre zbiory b¦d¡ce wynikiem pomysªowo±ci polskich matematyków XX wieku. Du»a cz¦±¢ konstrukcji pochodzi od Wacªawa Sierpi«skiego; pozostaªe s¡ dzieªem Kazi- mierza Kuratowskiego, Bronisªawa Knastera, Stefana Mazurkiewicza, Stanisªawa Ruziewicza, Ottona Nikodyma, Zenona Waraszkiewicza i Hermana Auerbacha.

2010 Klasykacja tematyczna AMS (2010): 01A60, 28A05, 54-03.

Sªowa kluczowe: zbiory, kontinua, rodziny zbiorów, historia matema- tyki.

Ka»dy matematyk wie, co to jest zbiór Cantora czy kostka Hil- berta. Polscy matematycy wzbogacili nasz¡ wiedz¦ o wiele ciekawych zbiorów, których konstrukcje czasem s¡ dªugie i skomplikowane, a czasem zaskakuj¡co proste. Niektóre z tych zbiorów zdobyªy zasªu»one uznanie w ±wiecie matematycznym. Do tej grupy nale»¡ m.in. trój- k¡t Sierpi«skiego (v. [Si2]), dywan Sierpi«skiego (v. [Si3]), zwany rów- nie» uniwersaln¡ krzyw¡ pªask¡ lub uszczelk¡ (gasket) Sierpi«skiego, paradoksalny rozkªad kuli BanachaTarskiego (v. [BT]) czy dziedzicznie nierozkªadalne kontinuum Knastera (v. [Kn]). Obszerne informacje o wymienionych wy»ej zbiorach mo»na znale¹¢ w [K3, Vol. 2, ss. 274

277], [W], [Du], [Bi], [Mo] lub [SS, s. 147]. W niniejszym opracowaniu przedstawimy pewien (subiektywny) wybór zbiorów made in Poland.

Uwag¦ po±wi¦cimy gªównie mniej znanym zbiorom maj¡cym polskie po- chodzenie. W przypadku mniej zªo»onych konstrukcji zaprezentujemy przynajmniej szkic budowy.

Oznaczenia i terminologia nie odbiegaj¡ od powszechnie stosowa- nych. W szczególno±ci: N oznacza zbiór wszystkich liczb naturalnych, Q zbiór wszystkich liczb wymiernych, R zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Pozostaªe oznaczenia wyja±nione s¡ w tek±cie.

Jedna z wczesnych konstrukcji Wacªawa Sierpi«skiego dotyczy roz- kªadu pªaszczyzny na dwa zbiory punktoksztaªtne, czyli niezawieraj¡ce

(2)

»adnego kontinuum (skªadaj¡cego si¦ z wi¦cej ni» jednego punktu).

W pracy [Si1], oddaj¡c pierwsze«stwo Stefanowi Mazurkiewiczowi (v.

[M1]) i u»ywaj¡c przeliczalnej rodziny okr¦gów o wymiernych promie- niach i wymiernych wspóªrz¦dnych ±rodków oraz subtelnych wªasno±ci niesko«czonych rozwini¦¢ dziesi¦tnych liczb rzeczywistych, Sierpi«ski buduje dwa rozª¡czne zbiory punktoksztaªtne daj¡ce w sumie caª¡ pªasz- czyzn¦. Konstrukcja obejmuje nieco wi¦cej ni» cztery strony. W ostat- niej cz¦±ci pracy znajdujemy prosty rozkªad pªaszczyzny na trzy zbiory punktoksztaªtne: A = {(x, y): x ∈ Q ∧ y ∈ Q}, B = {(x, y): x ∈ R \ Q ∧ y ∈ R \ Q} oraz C = R² \ (A ∪ B). Nietrudno sprawdzi¢, »e zbiory A i B s¡ punktoksztaªtne. Istotnie, zbiór A jest przeliczalny, a rzuty zbioru B na obie osie wspóªrz¦dnych nie zawieraj¡ odcinka.

Nieco trudniej pokaza¢, »e t¦ wªasno±¢ posiada tak»e zbiór C. Je»eli Φ(x, y) = ⁴₅x +³₅y, −³₅x + ⁴₅y

, to Φ jest zanurzeniem (obrotem o k¡t α = arctg³₄) oraz Φ(C) ⊂ B, poniewa» obydwie wspóªrz¦dne punktu Φ(x, y) s¡ niewymierne, je±li (x, y) ma dokªadnie jedn¡ wspóªrz¦dn¡

niewymiern¡.

Do tej tematyki Wacªaw Sierpi«ski powraca kilka lat pó¹niej, budu- j¡c w pracy [Si4] rozkªad pªaszczyzny na dwa zbiory punktoksztaªtne i spójne. Dowodzi on, »e je±li A oraz B stanowi¡ podziaª pªaszczy- zny na dwa zbiory Bernsteina (czyli zbiory, które nie zawieraj¡ »adnego zbioru doskonaªego), to obydwa te zbiory s¡ punktoksztaªtne i spójne.

W istocie dowodzi on nieco wi¦cej: pokazuje, »e dopeªnienie dowolnego zbioru punktoksztaªtnego na pªaszczy¹nie jest zbiorem spójnym. Przy- toczymy poni»ej dowód tego faktu. Wiadomo ([SS], ss. 142 i 225226 lub [New] s. 124), »e je±li zbiór otwarty U na pªaszczy¹nie nie jest g¦- sty, to jego brzeg FrU zawiera pewne kontinuum K. Je±li zbiór A jest punktoksztaªtny, to nie mo»e zawiera¢ K, zatem (R²\ A) ∩ K 6= ∅, czyli tak»e (R² \ A) ∩FrU 6= ∅. Zbiór R² \ A przecina wi¦c brzeg ka»dego zbioru otwartego U ⊂ R², który nie jest g¦sty. Wynika st¡d ªatwo, »e R²\ A jest zbiorem spójnym.

Warto przypomnie¢, »e zbiór Bernsteina jest niemierzalny w sensie Lebesgue'a oraz nie ma wªasno±ci Baire'a. Poniewa» zbiory Bernsteina w czasie ukazania si¦ pracy [Si4] byªy nowo±ci¡, Sierpi«ski przedstawia ich konstrukcj¦ w przypisach u doªu strony. Zauwa»my przy okazji, »e podziaª pªaszczyzny na dwa zbiory punktoksztaªtne musi by¢ realizo- wany przy pomocy zbiorów spójnych, a przy podziale na trzy zbiory punktoksztaªtne sytuacja jest odmienna (zbiory A, B, C z pracy [Si1]

nie s¡ spójne).

(3)

Stefan Mazurkiewicz w pracy [M2] zbudowaª zbiór pªaski, który z ka»d¡ prost¡ na pªaszczy¹nie ma dokªadnie dwa punkty wspólne. U»y- waj¡c pewnika wyboru, ustawiª wszystkie punkty pªaszczyzny w ci¡g pozasko«czony typu ωc; to samo uczyniª ze zbiorem wszystkich prostych na pªaszczy¹nie. Nast¦pnie za pomoc¡ indukcji pozasko«czonej wybie- raª kolejne punkty do zbioru, unikaj¡c prostych, które przechodz¡ przez dwa spo±ród wcze±niej wybranych punktów. Wacªaw Sierpi«ski wzmoc- niª ten wynik w dwóch ró»nych kierunkach: w pracy [Si17] udowodniª nast¦puj¡ce twierdzenie: Je±li ka»dej prostej S na pªaszczy¹nie przyporz¡dkowana jest taka liczba kardynalna M(S), »e 2 ≤ M(S) ≤ 2^ℵ⁰, to istnieje taki zbiór pªaski A, »e card(A∩S) = M(S) dla ka»dej prostej S, natomiast w publikacji [Si5] pokazaª, »e mo»na zbudowa¢ niemierzalny zbiór Mazurkiewicza. W obydwu przypadkach istotn¡ rol¦ odgrywa pewnik wyboru (a wªa±ciwie twierdzenie Zermeli). W monograi [Si18]

na s. 450 mo»emy znale¹¢ ciekawe spostrze»enie: Je»eli M(S) = ℵ0 dla ka»dej prostej S, to pewnik wyboru jest zb¦dny, a szukanym zbiorem mo»e by¢ zbiór A = S^∞

n=1

{(x, y) : x²+ y² = n²}.

Wacªaw Sierpi«ski zapytaª, czy istnieje zbiór pªaski E daj¡cy si¦

rozªo»y¢ na takie dwa zbiory rozª¡czne A i B, »e E jest przystaj¡cy za- równo do A, jak i do B. Taki zbiór skonstruowaª Stefan Mazurkiewicz, a jego konstrukcj¦ upro±ciª Sierpi«ski; wynik ich wspóªpracy zostaª opu- blikowany w pracy [MS]. Zbiór E skªada si¦ z punktu 0 na pªaszczy¹nie zespolonej oraz wszystkich punktów, które mo»na otrzyma¢ z punktu 0 poprzez zªo»enie przeksztaªce« R(z) = eⁱ· z oraz F (z) = z + 1 w dowolnej liczbie i kolejno±ci. Zbiór A zawiera 0 oraz wszystkie punkty otrzymane podobnie, przy czym ostatnia skªadana funkcja jest obrotem R, zbiór B analogicznie, ale ostatnia skªadana funkcja jest przesuni¦- ciem F . Oczywi±cie E = A ∪ B, R(E) = A oraz F (E) = B. Nieco trudniej pokaza¢, »e A ∩ B = ∅. Zauwa»my najpierw, »e ka»dy punkt zbioru E jest przedstawiony w postaci wielomianu wzgl¦dem eⁱo wspóª- czynnikach caªkowitych. Je±li punkt nale»y do A, to wyraz wolny tego wielomianu równa si¦ zeru, a je±li punkt nale»y do B, to wyraz wolny jest liczb¡ naturaln¡. Gdyby zbiory A i B miaªy punkt wspólny, to mie- liby±my do czynienia z równaniem wielomianowym o wspóªczynnikach caªkowitych nieznikaj¡cych jednocze±nie, którego pierwiastkiem jest eⁱ. Jest to niemo»liwe, poniewa» eⁱ jest liczb¡ przest¦pn¡ (udowodniª to Hermite w 1873 roku).

Szczegóªow¡ dyskusj¦ dotycz¡c¡ zbioru MazurkiewiczaSierpi«skiego mo»na znale¹¢ w monograi [W], w której jej autor Stan Wagon przedstawia uogólnienie konstrukcji na wy»sze wymiary i wpªyw inicjatywy

(4)

Mazurkiewicza i Sierpi«skiego na pojawienie si¦ rozkªadu kuli Banacha

Tarskiego.

Nikoªaj uzin w pracy [Lu] przy zaªo»eniu hipotezy continuum zbu- dowaª nieprzeliczalny podzbiór prostej, który ma co najwy»ej przeliczaln¡ cz¦±¢ wspóln¡ z ka»dym zbiorem nigdzie g¦stym (lub, co na jedno wychodzi, z ka»dym zbiorem pierwszej kategorii). Dziesi¦¢ lat pó¹niej, w pracy [Si6], Wacªaw Sierpi«ski, równie» zakªadaj¡c hipo- tez¦ continuum, skonstruowaª nieprzeliczalny podzbiór prostej, który ma co najwy»ej przeliczaln¡ cz¦±¢ wspóln¡ z ka»dym zbiorem miary Le- besgue'a zero. Obszerne informacje na temat tych zbiorów, zwanych tradycyjnie zbiorami uzina i Sierpi«skiego, mo»na znale¹¢ w ksi¡»ce Handbook of Set-Theoretic Topology, w rozdziale autorstwa Arnolda W.

Millera, zatytuªowanym Special subsets of the real line ([Mi]). Niedªugo potem Sierpi«ski w publikacji [Si7] zauwa»yª, »e je±li E jest zbiorem

uzina, to dla dowolnej funkcji ci¡gªej f zbiór f(E) jest miary zero, tym samym poprawiaj¡c wyniki awrentiewa, który pokazaª ([La]), »e ka»dy homeomorczny obraz zbioru uzina ma miar¦ zero. W kolejnej pracy ([Si11]) Sierpi«ski wzmocniª ten rezultat, pokazuj¡c, »e dla dowolnej funkcji maj¡cej wªasno±¢ Baire'a obraz zbioru uzina jest zbiorem miary zero. Przy okazji polski matematyk udowodniª, »e rodzina funkcji mierzalnych nie ma tej wªasno±ci, czyli »e dla dowolnego zbioru nieprze- liczalnego istnieje funkcja mierzalna przeksztaªcaj¡ca go na zbiór miary zewn¦trznej dodatniej.

Praca [Si8] Wacªawa Sierpi«skiego zawiera konstrukcj¦ zbioru ana- litycznego A ⊂ R², który jest uniwersalny dla zbiorów borelowskich na prostej. Oznacza to, »e dla dowolnego zbioru borelowskiego B ⊂ R istnieje taka liczba x ∈ R, »e B = projY(A ∩ {(x, y) : y ∈ R}) (projY

oznacza tu rzutowanie na o± Oy). W konstrukcji istotn¡ rol¦ odgrywa uniwersalny zbiór U dla rodziny zbiorów pªaskich typu Gδ, który sam jest zbiorem typu Gδw przestrzeni trójwymiarowej. Uniwersalno±¢ oznacza w tym przypadku, »e iloczyny zbioru U z pªaszczyznami równole- gªymi do pªaszczyzny Oxy (a wªa±ciwie ich rzuty na Oxy) daj¡ wszystkie zbiory pªaskie typu Gδ. Oczywi±cie autorem zbioru U jest równie»

Wacªaw Sierpi«ski.

W roku 1928 Wacªaw Sierpi«ski zaj¡ª si¦ badaniem rozkªadów zbio- rów niesko«czonych na podzbiory prawie rozª¡czne. Nazwaª on zbiorami prawie rozª¡cznymi takie niesko«czone zbiory A i B, których cz¦±¢

wspólna A ∩ B jest mocy mniejszej ni» moc ka»dego z nich. Pierwsza praca po±wi¦cona temu zagadnieniu ([Si9]) zawiera nast¦puj¡cy ogólny wynik: Ka»dy zbiór niesko«czony mocy M mo»na rozªo»y¢ na wi¦cej ni»

(5)

M podzbiorów prawie rozª¡cznych. W pracy [Si10] Sierpi«ski udowod- niª, »e przy zaªo»eniu hipotezy continuum istnieje rozkªad przedziaªu [0, 1] na 2²^ℵ0 podzbiorów, z których ka»dy ma miar¦ zewn¦trzn¡ Le- besgue'a równ¡ jeden, jest II kategorii Baire'a na dowolnym przedziale J ⊂ [0, 1] oraz takich, »e cz¦±¢ wspólna dowolnych dwóch ró»nych zbio- rów jest zbiorem co najwy»ej przeliczalnym. Po kilku latach powróciª do tej tematyki w pracy [Si15], uzyskuj¡c rozkªad przedziaªu [0, 1] na wi¦cej ni» 2^ℵ⁰ podzbiorów o podanych powy»ej wªasno±ciach, tym ra- zem bez zaªo»enia hipotezy continuum (por. [Si13], s. 127). Oczywi±cie wszystkie powy»sze wyniki zostaªy udowodnione przy u»yciu pewnika wyboru.

Je»eli M = ℵ0, to mo»na zbudowa¢ podziaª zbioru przeliczalnego na continuum podzbiorów prawie rozª¡cznych bez u»ycia pewnika wyboru.

W pracy [Si9] dotyczy to zbioru liczb wymiernych. Najpro±ciej mo»na to uczyni¢, przyporz¡dkowuj¡c ka»dej liczbie niewymiernej zbiór wyrazów zbie»nego do niej ci¡gu liczb wymiernych. Ze wzgl¦du na nast¦pn¡ konstrukcj¦ wygodniej jest to pokaza¢ dla zbioru liczb naturalnych, tak jak jest to zrobione w [Si18], s. 81. Niech A(x) = {2ⁿ· (2[nx] + 1) : n ∈ N}

dla x ∈ (0, 1). Oczywi±cie wszystkie zbiory A(x) s¡ niesko«czonymi podzbiorami zbioru liczb naturalnych oraz S

x∈(0,1)

A(x) = N. Poka»emy,

»e je±li x, y ∈ (0, 1), x 6= y, to zbiór A(x) ∩ A(y) jest zbiorem sko«czo- nym. Je±li dla pewnych liczb naturalnych p, q mamy 2^p· (2[px] + 1) = 2^q· (2[qy] + 1), to oczywi±cie p = q oraz [px] = [qy], czyli [px] = [py], zatem |px − py| < 1. Wynika st¡d, »e p < _|x−y|¹ . Zbiór A(x) ∩ A(y) mo»e mie¢ co najwy»ej p elementów, wi¦c rodzina {A(x): x ∈ (0, 1)}

jest rodzin¡ mocy continuum zbiorów prawie rozª¡cznych.

Stanisªaw Hartman nazwaª oddalonymi (distant) takie dwa ci¡gi {a_n}_n∈N, {bn}_n∈N liczb naturalnych, »e dla dowolnej liczby naturalnej c nierówno±¢ |am − b_n| < c zachodzi dla sko«czonej liczby par (m, n).

Wacªaw Sierpi«ski ([Si18], ss. 8283) skonstruowaª rodzin¦ ci¡gów liczb naturalnych, która jest mocy continuum i ma t¦ wªasno±¢, »e ka»de dwa ci¡gi z tej rodziny s¡ oddalone. Dla x > 1 niech S(x) = {un(x)}_n∈N, gdzie un(x) = 2²ⁿ(2[nx] + 1)² dla n ∈ N. Je±li x > 1, y > 1, x 6= y, to ci¡gi S(x) i S(y) s¡ oddalone. Niech k ∈ N. Poka»emy, »e je±li max(m, n) > k +_|x−y|¹ , to 2^2m(2[mx] + 1)²− 2²ⁿ(2[ny] + 1)²

> k. Je-

±li 2^2m(2[mx] + 1)² = 2²ⁿ(2[ny] + 1)², to m = n oraz [mx] = [ny], czyli

(6)

Poniewa»

2^2m(2[mx] + 1)²− 2²ⁿ(2[ny] + 1)² =

=

2^m(2[mx] + 1) − 2ⁿ(2[ny] + 1) ·

2^m(2[mx] + 1) + 2ⁿ(2[ny] + 1) , a pierwszy czynnik jest wi¦kszy od lub równy jeden, podczas gdy drugi jest wi¦kszy od lub równy 2^m+2ⁿ, dostajemy |um(x)−un(x)| ≥ 2^m+2ⁿ. Ale 2^m + 2ⁿ > m + n > k + _|x−y|¹ > k, wi¦c powy»szy iloczyn jest wi¦kszy od k. Liczba par (m, n), dla których max(m, n) ≤ k + _|x−y|¹ , jest sko«czona, wi¦c ci¡gi S(x) i S(y) s¡ oddalone.

Stanisªaw Ruziewicz i Wacªaw Sierpi«ski ([RS]) zbudowali na prostej taki zbiór doskonaªy P , »e dla dowolnej liczby rzeczywistej x 6= 0 zbiory P i (P + x) = {z + x: z ∈ P } maj¡ co najwy»ej jeden punkt wspólny.

Wykorzystali w tym celu funkcj¦ Johna von Neumanna: f : R⁺ → R okre±lon¡ wzorem f(x) = P^∞

n=0 2^2[nx]

2²ⁿ² dla x > 0. Von Neumann poka- zaª ([Neu]), »e zbiór E = f(R⁺) ma nast¦puj¡c¡ wªasno±¢: dowolny sko«czony zbiór {a1, a₂, . . . , a_n} ⊂ E jest algebraicznie niezale»ny, czyli z tego, »e F (a1, a₂, . . . , a_n) = 0, gdzie F jest wielomianem n zmiennych o wspóªczynnikach wymiernych, wynika, »e F ≡ 0. Ruziewicz i Sier- pi«ski udowodnili, »e zbiór E jest analityczny i nieprzeliczalny, zawiera wi¦c doskonaªy podzbiór P . Dowód faktu, »e P ma z dowolnym swoim przesuni¦ciem co najwy»ej jeden punkt wspólny, wynika do±¢ ªatwo z al- gebraicznej niezale»no±ci punktów zbioru P . Zenon Waraszkiewicz po- kazaª, »e funkcj¦ von Neumanna mo»na zast¡pi¢ nieco prostsz¡ funkcj¡

ϕ(x) =

∞

P

n=0 1

10^[10nx] dla x ∈ (1, 2), x /∈ Q.

Wacªaw Sierpi«ski wielokrotnie interesowaª si¦ zachowaniem zbio- rów na prostej wzgl¦dem rodziny ich przesuni¦¢. W pracy [Si12] zbudo- waª (przy zaªo»eniu hipotezy continuum) zbiór o zupeªnie odmiennych wªasno±ciach: zbiór E jest nieprzeliczalny, miary zero (lub I kategorii Baire'a) oraz card(E4(E + x)) < 2^ℵ⁰ dla dowolnej liczby rzeczywistej x, gdzie card(A) oznacza liczb¦ kardynaln¡ zbioru A (moc zbioru A), a symbol A4B ró»nic¦ symetryczn¡ zbiorów A i B, czyli zbiór A4B = (A \ B) ∪ (B \ A). W kolejnej pracy [Si14] skonstruowaª taki zbiór na prostej, zawieraj¡cy zbiór doskonaªy, »e ka»de przesuni¦cie tego zbioru ró»ni si¦ od niego o zbiór mocy mniejszej ni» 2^ℵ⁰, a jego dopeª- nienie ma takie same wªasno±ci.

Zbiór o jeszcze innym zachowaniu znajdujemy w pracy [Si16] (por.

tak»e [Si18], ss. 446447). Niech F (E) = {E + a: a ∈ R} b¦dzie rodzin¡ wszystkich przesuni¦¢ zbioru E ⊂ R. W cytowanej pracy Wacªaw

(7)

Sierpi«ski dowodzi, »e je±li ∅ 6= E 6= R, to card (F (E)) ≥ ℵ0 oraz pokazuje, »e dla dowolnej liczby kardynalnej M < 2^ℵ⁰ istnieje taki zbiór E ⊂ R, »e card (F (E)) = M, a je±li card (F (E)) = ℵ0, to zbiór E jest niemierzalny. Dla M = ℵ0konstrukcja nie jest trudna (niezb¦dne jest tu u»ycie pewnika wyboru). Niech H ⊂ R b¦dzie baz¡ Hamela. Ustalmy b ∈ H. Niech P skªada si¦ z liczby 0 oraz wszystkich liczb rzeczywistych, w których rozwini¦ciu wzgl¦dem H nie wyst¦puje b. Nietrudno zauwa»y¢, »e je±li r1, r₂ ∈ Q, r1 6= r₂, to zbiory (P + r1b) i (P + r2b) s¡ rozª¡czne oraz, »e dla dowolnej liczby a ∈ R istnieje taka liczba r, »e P + a = P + rb. St¡d natychmiast wynika, »e F (P ) = {P + rb: r ∈ Q}, wi¦c card (F (P )) = ℵ0. W monograi [Si18], powoªuj¡c si¦ na Isaaca Kapuana, Wacªaw Sierpi«ski stwierdza, »e na pªaszczy¹nie nie istnieje zbiór, dla którego rodzina przesuni¦¢ jest mocy ℵ0.

W monograi [Si18], ss. 6465, znajdujemy pomysªowy przykªad zbioru E ⊂ R³ maj¡cego nast¦puj¡ce wªasno±ci: card(E) = c, »adne trzy punkty zbioru E nie le»¡ na jednej prostej oraz je±li punkty x1, x₂, x3, x4 ∈ E s¡ ró»ne, to odcinki x1x₂ oraz x3x₄ nie maj¡ wspól- nego punktu ró»nego od swoich ko«ców. Konstrukcja nie wymaga »ad- nych dodatkowych aksjomatów teorii mnogo±ci, mianowicie zbiór E = {(t, t², t³) : t ∈ R} jest »¡danym zbiorem. Istotnie, gdyby trzy punkty zbioru E le»aªy na jednej prostej, to istniaªyby cztery punkty le»¡ce na jednej pªaszczy¹nie, powiedzmy o równaniu Ax+By +Cz +D = 0. Jest to niemo»liwe, poniewa» równanie At + Bt²+ Ct³+ D = 0 mo»e mie¢

co najwy»ej trzy ró»ne pierwiastki. Gdyby natomiast odcinki x1x₂ oraz x₃x₄ miaªy wspólny punkt ró»ny od swoich ko«ców, to punkty x1, x2, x₃, x4 le»aªyby na jednej pªaszczy¹nie, co jest niemo»liwe. Oczywi±cie card(E) = c.

Specyczny przykªad zbioru uporz¡dkowanego mo»na znale¹¢ w monograi [Si18] na s. 205. Zacznijmy od sformuªowania niezb¦dnych de-

nicji. Mówimy, »e zbiór uporz¡dkowany (A, <) speªnia warunek Asco- liego, je±li iloczyn dowolnego zst¦puj¡cego ci¡gu przedziaªów domkni¦- tych zawartych w tym zbiorze jest niepusty. Uwaga: w tej monograi relacja porz¡dkuj¡ca jest przeciwzwrotna, a przedziaª domkni¦ty (a, b) ma posta¢ {x ∈ A : a < x < b}. Mówimy, »e przekrój [A1, A₂] zbioru A tworzy luk¦, je±li w A1 nie ma elementu najwi¦kszego, a w A2 nie ma elementu najmniejszego. Przypomnijmy przy okazji denicj¦ przekroju Dedekinda oraz arytmetyk¦ typów porz¡dkowych. Przekrojem Dede- kinda zbioru uporz¡dkowanego E nazywamy tak¡ par¦ zbiorów rozª¡cznych niepustych E1, E2, »e E1∪ E₂ = E oraz ka»dy element zbioru E1

poprzedza ka»dy element zbioru E2. Je»eli α i β s¡ typami porz¡dko-

(8)

wymi odpowiednio zbiorów A i B, a ponadto A ∩ B = ∅, to α + β jest typem porz¡dkowym zbioru A ∪ B uporz¡dkowanego w taki sposób, »e w ka»dym ze zbiorów A i B uporz¡dkowanie pozostaje takie, jakie byªo, a wszystkie elementy zbioru A poprzedzaj¡ wszystkie elementy zbioru B. Je»eli α i β s¡ typami porz¡dkowymi odpowiednio zbiorów A i B, to α · β jest typem porz¡dkowym zbioru A × B uporz¡dkowanego w taki sposób, »e para (a1, b₁) poprzedza (a2, b₂), gdy b1 poprzedza w zbiorze B element b2, w przypadku, gdy b1 6= b₂ oraz a1 poprzedza a2 w zbiorze A, gdy b1 = b₂. Wacªaw Sierpi«ski najpierw dowodzi, »e je±li zbiór uporz¡dkowany nie ma luk, to speªnia warunek Ascoliego, a nast¦pnie stwierdza, »e zbiór maj¡cy typ porz¡dkowy (1+λ)(Ω+Ω^∗)+1speªnia warunek Ascoliego i ma luki. Typ porz¡dkowy zbioru liczb rzeczywistych oznaczony jest tu liter¡ λ, liczba porz¡dkowa zbioru liczb porz¡dkowych przeliczalnych to Ω, a gwiazdka oznacza porz¡dek przeciwny.

Kazimierz Kuratowski w angielskiej wersji swojej klasycznej monograi ([K3], Vol. I, s. 42) przedstawia odpowied¹ na pytanie: Je±li do zbioru X w przestrzeni topologicznej E b¦dziemy stosowa¢ dwie ope- racje: X (domkni¦cie) oraz X^c (dopeªnienie), to ile ró»nych zbiorów mo»emy otrzyma¢? Odpowied¹ brzmi co najwy»ej 14. Na poni»szym wykresie przedstawione s¡ wszystkie (potencjalnie) ró»ne zbiory. Dla wi¦kszej przejrzysto±ci strzaªka zast¦puje inkluzj¦, a X⁻ zast¦puje X.

ródªo: K. Kuratowski, Topology, Vol. I, s. 42

Bior¡c pod uwag¦, »e wn¦trze zbioru i domkni¦cie zbioru wi¡»e równo±¢

IntX = E \ (E \ X), powy»szy diagram przedstawia si¦ nast¦puj¡co:

(9)

IntX Int(IntX) IntX X

Int X X

- -

@

@ R

@

@ R Q

Q Q

Q

s

3

Przykªadem zbioru X, z którego mo»na otrzyma¢ 14 ró»nych zbiorów, jest

X = (0, 1) ∪ (1, 2) ∪ Q ∩ (2, 3) ∪ {4}.

Rzecz dzieje si¦ w topologii naturalnej na prostej (por. [K2]). Oka- zuje si¦, »e przestrzenie topologiczne, w których istniej¡ zbiory ilustruj¡ce problem Kuratowskiego, mog¡ by¢ znacznie mniejszej mocy.

H. Hans-Heinrich Herda i Richard Metzler w pracy [HM] oraz niezale»nie Joel Berman i Steven L. Jordan w pracy [BJ] udowodnili nast¦puj¡ce twierdzenie: Przestrze« topologiczna, w której istnieje zbiór ilustruj¡cy problem Kuratowskiego, musi skªada¢ si¦ z co najmniej sied- miu punktów. Konstrukcja przykªadu Bermana i Jordana przedstawia si¦ nast¦puj¡co: Niech E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Baz¡ topologii w E jest rodzina B = {{1}, {1, 2}, {4, 5}, {6, 7}, {7}, X}. Przy pomocy operacji domkni¦cia i dopeªnienia mo»na otrzyma¢ 14 ró»nych zbiorów ze zbio- rów X1 = {1, 3, 4, 6} i X2 = {1, 4, 6} (zamiana 4 na 5 nie powoduje ró»nicy).

W pracy [K1] Kazimierz Kuratowski odpowiada na nast¦puj¡ce pytanie: Dane s¡ dwa zbiory w przestrzeni topologicznej, X i Y . Zbiór Y jest obrazem ci¡gªym i ró»nowarto±ciowym zbioru X, zbiór X jest obrazem ci¡gªym i ró»nowarto±ciowym zbioru Y . Czy zbiory X i Y s¡

homeomorczne? Odpowied¹ jest negatywna. Je±li

X = (0, 1) ∪ {2} ∪ (3, 4) ∪ {5} ∪ . . . ∪ (3n, 3n + 1) ∪ {3n + 2} ∪ . . . , Y = (0, 1] ∪ (3, 4) ∪ {5} ∪ . . . ∪ (3n, 3n + 1) ∪ {3n + 2} ∪ . . . ,

to funkcja

f (x) =

(x dla x ∈ X \ {2}

1 dla x = 2

przeksztaªca X na Y oraz jest ró»nowarto±ciowa i ci¡gªa, a funkcja

g(x) =







x

2 dla x ∈ (0, 1]

x−2

2 dla x ∈ (3, 4)

x − 3 dla x ∈ Y \ ((0, 1) ∪ (3, 4))

(10)

przeksztaªca Y na X, jest ró»nowarto±ciowa i ci¡gªa, ale zbiory X i Y nie s¡ homeomorczne, bo skªadowa (0, 1] zbioru X nie jest homeomorczna z »adn¡ skªadow¡ zbioru Y . Wi¦cej informacji na ten temat mo»na znale¹¢ w [Dg].

Zanim przedstawimy kolejny ciekawy zbiór skonstruowany przez Bronisªawa Knastera i Kazimierza Kuratowskiego ([KnK]), przypomnijmy kilka denicji zwi¡zanych z poj¦ciem spójno±ci ([E]). Mówimy, »e przestrze« X jest dziedzicznie niespójna, je±li nie zawiera podprzestrzeni spójnych zªo»onych z wi¦cej ni» jednego punktu; jest caªkowicie nie- spójna, je±li quasi-skªadowe s¡ jednopunktowe. Quasi-skªadow¡ punktu xw przestrzeni topologicznej X nazywamy iloczyn wszystkich podzbio- rów domkni¦to-otwartych przestrzeni X zawieraj¡cych punkt x. Niech C b¦dzie zbiorem Cantora, C0 = C × {0}, K = {(x, 0): x jest ko«cem skªadowej dopeªnienia zbioru C}, P = C0 \ K. Przez L(c) oznaczmy odcinek domkni¦ty na pªaszczy¹nie ª¡cz¡cy punkt (c, 0) ∈ C0z punktem (¹₂,¹₂) = q. Je»eli c jest ko«cem skªadowej dopeªnienia zbioru C, to

M (c) = {(x, y) ∈ L(c) : y jest liczb¡ wymiern¡}, dla pozostaªych c ∈ C niech

M (c) = {(x, y) ∈ L(c) : y jest liczb¡ niewymiern¡}.

Na koniec, niech M = S

c∈C

M (c). Zbiór M nazywamy mioteªk¡ Knastera

Kuratowskiego. Jest to zbiór spójny i punktoksztaªtny. Zbiór M \ {q}

jest dziedzicznie niespójny (mo»na powiedzie¢, »e po usuni¦ciu punktu q zbiór rozpada si¦ na pojedyncze punkty), ale nie jest caªkowicie nie- spójny ([E], s. 458). Dokªadne dowody wszystkich tych faktów (w tym postaci quasi-skªadowych) mo»na znale¹¢ w [SS] na s. 145, ale przedstawiony tam zbiór nazwano sto»kowym namiotem india«skim Cantora (Cantor's teepee). Zainteresowany czytelnik mo»e znale¹¢ wiele informacji na temat mioteªki KnasteraKuratowskiego w ksi¡»kach [Le] (ss.

7881) oraz [Mio] (s. 51). Konstruktorzy mioteªki zauwa»yli interesu- j¡cy zwi¡zek ich zbioru z funkcj¡ Pompeiu ([P]), czyli funkcj¡ okre±lon¡

na przedziale [a, b], ±ci±le rosn¡c¡, ró»niczkowaln¡ w ka»dym punkcie, której pochodna zeruje si¦ na g¦stym podzbiorze przedziaªu [a, b]. Je±li g : [a, b] → R jest funkcj¡ Pompeiu, to zbiór {(x, y) ∈ R²: y = g⁰(x)}

ma wªasno±ci analogiczne do mioteªki ([K3], Vol. II, s. 189). Konstruk- cja funkcji Pompeiu mo»e wygl¡da¢ nast¦puj¡co: Niech {dn: n ∈ N}

b¦dzie g¦stym podzbiorem [0, 1], a {an}_n∈N takim ci¡giem dodatnim,

»e P^∞

n=1

a_n< ∞. Wtedy F (x) = P^∞

n=1

a_n(x − d_n)¹³ jest funkcj¡ ci¡gª¡, ±ci±le

(11)

rosn¡c¡ na [0, 1], a F⁻¹ jest funkcj¡ Pompeiu okre±lon¡ na przedziale F ([0, 1]) = [a, b](por. [Br2], s. 33).

Otto Nikodym w pracy [N] zbudowaª zbiór mierzalny S ⊂ [0, 1]², którego miara pªaska Lebesgue'a równa si¦ jeden. Zbiór ten wypeªnia wi¦c prawie caªy kwadrat jednostkowy, ale przez ka»dy punkt x tego zbioru przechodzi prosta r(x) maj¡ca ze zbiorem S tylko jeden punkt wspólny (oczywi±cie r(x)∩S = {x}). Konstrukcja Nikodyma byªa dªuga i skomplikowana. W ksi¡»ce de Guzmana [G] mo»na znale¹¢ prostsz¡ konstrukcj¦, opart¡ na pomysªach Daviesa ([Da]) i Cunninghama ([C1], [C2]). Niejako po drodze Nikodym zbudowaª zbiór domkni¦ty S ⊂ R² maj¡cy dodatni¡ pªask¡ miar¦ Lebesgue'a oraz taki, »e dla prawie ka»dego (w sensie miary Lebesgue'a) punktu x ∈ S istnieje taki odcinek L(x), »e L(x) ∩ S = {x}. Je±li x jest punktem zbioru S, dla którego taki odcinek istnieje, to nietrudno zbudowa¢ ci¡g {Pk}_k∈N prostok¡tów, których dªu»sze boki s¡ równolegªe do tego odcinka, ±rednice P_k d¡»¡ do zera, x ∈ Pk dla ka»dego k ∈ N oraz lim

k→∞

λ2(S∩Pk) λ2(Pk) = 0 (λ2 oznacza pªask¡ miar¦ Lebesgue'a) (por. [Br1], s. 5). Prostok¡ty o bokach równolegªych do osi dowolnego prostok¡tnego ukªadu wspóª- rz¦dnych zachowuj¡ si¦ o wiele lepiej: klasyczne twierdzenie Lebesgue'a orzeka, »e dla dowolnego zbioru mierzalnego S ⊂ R² prawie wszystkie punkty tego zbioru s¡ punktami silnej g¦sto±ci. Oznacza to, »e prawie wszystkie punkty x ∈ S maj¡ nast¦puj¡c¡ wªasno±¢: Dla ka»dego ci¡gu prostok¡tów {Pk}_k∈N o bokach równolegªych do osi ukªadu wspóªrz¦d- nych, ±rednicach d¡»¡cych do zera i takich, »e x ∈ Pk dla k ∈ N, zachodzi równo±¢ lim

k→∞

λ2(S∩P_k)

λ2(Pk) = 1. Oczywi±cie teza zachowuje si¦ tak»e, gdy prostok¡ty zast¡pimy kwadratami (zwykªa g¦sto±¢). Niech J b¦- dzie rodzin¡ mierzalnych podzbiorów pªaszczyzny, f : R² → R funkcj¡

sumowaln¡ na zbiorach miary sko«czonej oraz niech

(J ) − Df (x) = lim

In→x

R

Inf dλ₂ λ₂(I_n)

oznacza, »e granica istnieje (i jest oczywi±cie taka sama) dla dowolnego takiego ci¡gu {In}_n∈N zbiorów z rodziny J, »e x ∈ In dla n ∈ N oraz diam(In)−→0 dla n → ∞.

Je»eli J1jest rodzin¡ kwadratów o bokach równolegªych do osi ukªadu wspóªrz¦dnych, to mówimy o zwykªej bazie ró»niczkowania, a je±li J2

jest rodzin¡ prostok¡tów o bokach równolegªych do osi ukªadu wspóª-

(12)

rz¦dnych, to tak¡ baz¦ nazywamy siln¡ baz¡. Mamy wówczas (J1) − Df (x) = f (x) λ2− prawie wsz¦dzie dla f ∈ L¹

(J₂) − Df (x) = f (x) λ₂− prawie wsz¦dzie dla f ∈ L¹log L¹, czyli dla takich funkcji f, »e |f| log⁺|f | ∈ L¹, gdzie log⁺x = max(0, log x). Pierwsze twierdzenie jest to klasyczne twierdzenie Lebesgue'a, wcze-

±niej wspomniane ju» dla funkcji charakterystycznej zbioru mierzalnego, za± drugie twierdzenie nale»y do Jessena, Marcinkiewicza i Zygmunda ([JMZ]). Z przykªadu Ottona Nikodyma wynika, »e je±li J3 jest rodzin¡ wszystkich prostok¡tów na pªaszczy¹nie, to (J3) − Df (x) mo»e nie istnie¢ lub by¢ ró»na od f(x) na zbiorze miary dodatniej nawet dla funkcji charakterystycznej zbioru mierzalnego. Wida¢ st¡d, »e zbiór Ni- kodyma stanowi bardzo wa»ne ogniwo w badaniu baz ró»niczkowalno±ci dla funkcji wielu zmiennych.

Zenonowi Waraszkiewiczowi matematyka zawdzi¦cza konstrukcj¦ nie- przeliczalnej rodziny pªaskich kontinuów, zwanych niekiedy spiralami Waraszkiewicza, z których »adne nie jest ci¡gªym obrazem »adnego spo-

±ród pozostaªych ([W1]). Na pytanie Hansa Hahna, czy mo»na zbudowa¢ wspólny model dla rodziny kontinuów metrycznych, Waraszkiewicz odpowiedziaª negatywnie w pracy [W2]. W tym miejscu nie jest mo»- liwy opis zªo»onej konstrukcji rodziny kontinuów; ograniczmy si¦ tylko do przytoczenia ilustracji z pracy [W1]:

ródªo: Z. Waraszkiewicz, Une familie indenombrable de continua plans dont aucun n'est l'image continue d'un autre, s. 128

(13)

Stanisªaw Ulam w Ksi¦dze Szkockiej ([KS], Problem 19; por. [MR1], [MR2]), a tak»e w ksi¡»ce [U], w rozdziale o ciaªach wypukªych, sfor- muªowaª nast¦puj¡cy problem: Ciaªo S o staªym ci¦»arze wªa±ciwym ρ (0 ≤ ρ ≤ 1) pªywa w wodzie w ka»dej orientacji. Czy jest to kula?

Herman Auerbach ([A]) przestawiª cz¦±ciow¡ odpowied¹ dotyczac¡ dwu- wymiarowego wariantu tego zadania (lub przekroju walca) dla g¦sto±ci ρ = ¹₂.

ródªo: H. Auerbach, Sur un probléme de M. Ulam concernant l'équilibre des corps ottants, Studia Math. 7 (1938), s. 141

Rozwi¡zanie wymaga subtelnych rachunków, przedstawimy wi¦c tylko dwa warunki, które musi speªnia¢ gura:

1. Prosta ª¡cz¡ca ±rodek ci¦»ko±ci cz¦±ci zanurzonej i ±rodek ci¦»ko±ci caªej gury w ka»dym poªo»eniu jest prostopadªa do powierzchni wody (dla dowolnej g¦sto±ci ρ ∈ (0, 1)).

2. Dla ρ = ¹₂, przy zaªo»eniu wypukªo±ci: ka»da ci¦ciwa dziel¡ca pole powierzchni na równe cz¦±ci dzieli obwód gury na dwie równe cz¦±ci.

Druga gura oczywi±cie nie jest wypukªa.

Podzi¦kowania: Dzi¦kuj¦ recenzentowi za »yczliwe uwagi.

0Oznaczenie skrótu w bibliograi: OC = Wacªaw Sierpi«ski, Oeuvres Cho- isies, Tom I, Warszawa 1974; Tom II PWN, Warszawa 1975; Tom III, PWN, War- szawa 1976.

(14)

Bibliografia

[A] H. Auerbach, Sur un probléme de M. Ulam concernant l'équilibre des corps

ottants, Studia Mathematica 7 (1938), 121142, JFM 64.0733.04, Zbl 0018.17504.

[BT] S. Banach, A. Tarski, Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes, Fundamenta Mathematicae 6 (1924), 244277, JFM 50.0370.02.

[Kn] B. Knaster, Un continu dont tout sous-continu est indécomposable, Funda- menta Mathematicae 3 (1924), 247286,JFM 48.0212.01.

[KnK] B. Knaster, K. Kuratowski, Sur les ensembles connexes, Fundamenta Ma- thematicae 2 (1921), 206255,JFM 48.0209.02.

[K1] K. Kuratowski, Solution d'un probléme concernant les images continues d'ensembles de points, Fundamenta Mathematicae 2 (1921), 158160, JFM 48.0658.01.

[K2] K. Kuratowski, Sur l'operation A de l'Analysis Situs, Fundamenta Mathema- ticae 3 (1922), 182199,JFM 48.0210.04.

[K3] K. Kuratowski, Topology, Vol. I i II, Academic Press, New YorkLondon

Warszawa 1966, MR0217751,Zbl 0158.40802.

[M1] S. Mazurkiewicz, Contribution á la théorie des ensembles, Bulletin international de l'Académie des sciences de Cracovie, Classe des sciences mathématiques et naturelles. Série A, Sciences mathématique (1913), 4655,JFM 44.0091.03.

[M2] S. Mazurkiewicz, O pewney mnogo±ci pªaskiej, która ma z ka»d¡ prost¡ dwa i tylko dwa punkty wspólne, Comptes Rendus, Société des Sciences (et des Lettres) de Varsovie Serie A, 7 (1914), 322383.

[MS] S. Mazurkiewicz, W. Sierpi«ski, Sur un ensemble superposable avec chacune de ses deux parties, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Paris 158 (1914), 618619 (OC, Vol. II, 8788), JFM 45.0131.01.

[N] O. Nikodym, Sur la mesure des ensembles plans dont tous les points sont rectili- néairement accessibles, Fundamenta Mathematicae 10 (1927), 116168, JFM 53.0176.02.

[RS] S. Ruziewicz, W. Sierpi«ski, Sur un ensemble parfait qui a avec toute sa trans- lation au plus un point commun, Fundamenta Mathematicae 19 (1932), 1721 (OC, Vol. III, 9094), JFM 58.1012.01.

[Si1] W. Sierpi«ski, Sur la décomposition du plan en deux ensembles ponctiformes,

Bulletin international de l'Académie des sciences de Cracovie, Classe des sciences mathématiques et naturelles. Série A, Sciences mathématique A (1913), 7682 (OC, Vol. II, 7277), JFM 44.0092.01.

(15)

[Si2] W. Sierpi«ski, Sur une courbe dont tout point est un point de ramication,

Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Paris 160 (1915), 302305 (OC, tom II, 99106), JFM 45.0628.02.

[Si3] W. Sierpi«ski, Sur le courbe cantorienne qui contient une image biunivoque et continne de toute courbe donnée, Comptes Rendus de l'Académie des Scien- ces Paris 162 (1916), 629632 (OC, tom II, 107119), JFM 46.0295.02, Zbl 0009.30201.

[Si4] W. Sierpi«ski, Sur un ensemble ponctiforme connexe, Fundamenta Mathema- ticae 1 (1920), 710 (OC, Vol. II, 286288), JFM 47.0175.02.

[Si5] W. Sierpi«ski, Sur un problème concernant les ensembles mesurables super- ciellement, Fundamenta Mathematicae 1 (1920), 112115 (OC, Vol. II, 328

330), JFM 47.0180.04.

[Si6] W. Sierpi«ski, Sur l'hypothèse du continu (2^ℵ⁰ = ℵ1), Fundamenta Ma- thematicae 5 (1924), 177187 (OC, Vol. II, 527536), JFM 50.0137.02, Zbl 0031.20506.

[Si7] W. Sierpi«ski, Sur un ensemble non dénombrable, dont toute image continue est de mesure nulle, Fundamenta Mathematicae 11 (1928), 302304 (OC, tom II, 702704), JFM 54.0097.03.

[Si8] W. Sierpi«ski, Sur un ensemble analytique plan, universel pour les ensembles mesurables (B) (Extrait d'une lettre adressée à M. N. Lusin), Fundamenta Mathematicae 12 (1928), 7577. (OC, Vol. II, 708709), JFM 54.0097.04.

[Si9] W. Sierpi«ski, Sur une décomposition d'ensembles, Monatshefte für Mathema- tik und Physik 35 (1928), 239242 (OC, tom II, 719722), MR1549531, JFM 54.0092.01.

[Si10] W. Sierpi«ski, Sur une décomposition du segment, Fundamenta Mathemati- cae 13 (1929), 195200, JFM 55.0056.03.

[Si11] W. Sierpi«ski, Sur un ensemble non dénombrable qui est transformé en un ensemble de mesure nulle par toute fonction de Baire, Mathematica (Cluj) 2 (1929), 115116 (OC, Vol. II, 772773), JFM 55.0056.05.

[Si12] W. Sierpi«ski, Sur les translations des ensembles linéaires, Fundamenta Ma- thematicae 19 (1932), 2228 (OC, Vol. III, 95100), JFM 58.0081.03.

[Si13] W. Sierpi«ski, Hypothèse du continu, Monograe Matematyczne, tom IV, z subwencji Funduszu Kultury Narodowej, druk M. Garasi«ski, Warszawa

Lwów 1934.

[Si14] W. Sierpi«ski, Un théorème concernant les translations d'ensembles, Fun- damenta Mathematicae 26 (1936), 143145 (OC, Vol. III, 299301), JFM 62.0235.01.

(16)

[Si15] W. Sierpi«ski, Sur une décomposition du segment en plus que 2^ℵ⁰ ensembles non mesurables et presque disjoints, Fundamenta Mathematicae 28 (1937), 111114 (OC, Vol. III, 339342), JFM 63.0179.03.

[Si16] W. Sierpi«ski, Sur les translations des ensembles linéaires, Fundamenta Mathematicae 35 (1948), 159164 (OC, Vol. III, 585590), MR0027312, Zbl 0031.20506.

[Si17] W. Sierpi«ski, Une généralisation des théorèmes de S. Mazurkiewicz et F. Bagemihl, Fundamenta Mathematicae 40 (1953), 12, MR0059992, Zbl 0052.04803.

[Si18] W. Sierpi«ski, Cardinal and ordinal numbers, Monograe Matematyczne, tom 34, wyd. 2 zmienione, Pa«stwowe Wydawnictwo Naukowe Warszawa 1965, MR0194339, Zbl 0131.24801.

[W1] Z. Waraszkiewicz, Une familie indenombrable de continua plans dont aucun n'est l'image continue d'un autre, Fundamenta Mathematicae 18 (1932), 118

137, JFM 58.0632.02.

[W2] Z. Waraszkiewicz, Sur un probleme de M. H. Hahn, Fundamenta Mathema- ticae 22 (1934), 180205, JFM 60.0513.01.

Bibliografia dodatkowa

[BJ] J. Berman, S. L. Jordan, The Kuratowski closure-complement problem, The American Mathematical Monthly, Vol. 82(8) (1975), 841842, MR 0388305, Zbl 0312.54003.

[Bi] R. H. Bing, A homogeneous indecomposable plane continuum, Duke Mathema- tical Journal 15 (1948), 729742, MR0027144, Zbl 0035.39103.

[Br1] A. M. Bruckner, Dierentiation of Integrals, The American Mathematical Monthly, Vol. 78 (9) (Number 12 of the Herbert Ellsworth Slaught memorial papers), 159, MR0293044, Zbl 0225.28002.

[Br2] A. M. Bruckner, Dierentiation of Real Functions, (Lecture Notes in Mathe- matics 659), Springer-Verlag, Berlin, Heidelber, New York 1978, MR507448.

[C1] F. Cunningham, The Kakeya problem for simply connected and for star- shaped sets, The American Mathematical Monthly, Vol. 78(2) (1971), 114129, MR0275287.

[C2] F. Cunningham, Three Kakeya problems, The American Mathematical Mon- thly, Vol. 81(6) (1974), 582592, MR0362055.

[Da] R. O. Davis, Accessibility of plane sets and dierentiation of functions of two variables (PhD Dissertation), Cambridge University, Cambridge 1953.

[Du] R. Duda, Od twierdzenia Baire'a o kategorii do problemu przestrzeni polskich,

Antiquitates Mathematicae 2 (2008), 163187.

(17)

[Dg] J. Dugundji, Topology, Allyn and Bacon Inc. Boston-London-Sydney-Toronto 1966, MR0193606, Zbl 0144.21501.

[E] R. Engelking, Topologia ogólna, Biblioteka Matematyczna, tom 47, Pa«stwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1976, MR0500779.

[G] M. de Guzman, Dierentiation of Integrals in Rⁿ, Lecture Notes in Mathema- tics 481, Springer-Verlag, Berlin 1975, MR0476978.

[HM] H. H. Herda, R. Metzler, Closure and interior in nite topological space, Col- loquium Mathematicum 15 (1966), 211216, MR0202101.

[JMZ] B. Jessen, J. Marcinkiewicz, A. Zygmund, Note on dierentiability of multiple integrals, Fundamenta Mathematicae 25 (1935), 217234, JFM 61.0255.01.

[KS] Ksi¦ga Szkocka, r¦kopis, Lwów 19351941.

[La] M. A. Lavrentie, Contribution à la théorie des ensembles homéomorphes, Fun- damenta Mathematicae 6 (1924), 154156, JFM 50.0143.04.

[Le] A. Lelek, Zbiory, Biblioteczka Matematyczna, tom 26, Pa«stwowe Zakªady Wy- dawnictw Szkolnych, Warszawa 1966.

[Lu] N. Lusin, Sur un probléme de M. Baire, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Paris 158 (1914), 12581261, JFM 45.0632.02.

[MR1] R. D. Mauldin, red. The Scottish Book. Mathematics from the Scottish Café, Including selected papers presented at the Scottish Book Conference held at North Texas State University, Denton, Tex., May 1979. Birkhäuser, Boston, Mass., 1981, xiii+268 stron. ISBN: 3-7643-3045-7 MR 666400; Zbl 0485.01013;

doi: 10.1007/978-3-319-22897-6.

[MR2] R. D. Mauldin, The Scottish Book. With selected problems from the new Scottish Book. 2nd updated and enlarged edition. New York, NY: Birkhäu- ser/Springer (ISBN 978-3-319-22896-9/hbk; 978-3-319-22897- 6/ebook), xviii, 310 stron. Zbl 06482040.

[Mi] A. W. Miller, Special subsets of the real line, [w:] Handbook of set-theoretic topology, K. Kunen, J. E. Vaughan (red.), North. Holland Amsterdam-New York-Oxford 1984, 201233.

[Mio] J. Mioduszewski, Wykªady z topologii. Zbiory spójne i kontinua, Wydawnictwo Uniwersytetu l¡skiego, Katowice 2003.

[Mo] E. E. Moise, An indecomposable plane continuum which is homeomorphic to each of its nondegenerable continua, Transactions of the American Mathema- tical Society 63 (1948), 581594, MR0025733, Zbl 0031.41801.

[Neu] J. von Neumann, Ein System algebraisch unabh angiger Zahlen, Mathemati- sche Annalen 99 (1928), 134-141, JFM 54.0096.02.

(18)

[New] M. H. A. Newman, Elements of the Topology of Plane Sets of Points, Cam- bridge University Press, New York, 1939, JFM 65.0873.04, Zbl 0021.06704.

[P] D. Pompeiu, Sur les fonctions dérivées, Mathematische Annalen 63 (1906), 326332, JFM 38.0425.04.

[SS] L. A. Steen, J. A. Seebach, jr., Counterexamples in topology, 2nd edition, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin 1978, MR0266131, Zbl 0386.54001.

[U] S. Ulam, A collection of mathematical problems, Interscience Publishers, New York 1960, MR0120127, Zbl 0086.24101.

[W] S. Wagon, The Banach-Tarski paradox, [w:] Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 24. Cambridge University Press, Cambridge, 1985. xvi+251 pp., MR0803509, Zbl 0569.43001.

Interesting sets which were constructed by Polish mathematicians

Wªadysªaw Wilczy«ski

Abstract. This paper describes several examples of sets having interesting and sometimes unexpected properties which arose thanks to the ingenuity of Polish mathematicians. A considerable number of these constructions are due to Wacªaw Sierpi«ski, the remaining ones come from Kazimierz Kuratowski, Bronisªaw Knaster, Stefan Mazurkiewicz, Stanisªaw Ruziewicz, Otto Nikodym, Zenon Waraszkiewicz and Her- man Auerbach.

2010 Mathematics Subject Classication: 01A60, 28A05, 54-03.

Key words and phrases: sets, classes of sets, teaching mathematics, history of mathematics.

Wªadysªaw Wilczy«ski

ód¹ University

Faculty of Mathematics and Computer Science ul. Stefana Banacha 22, 90-238 ód¹

E-mail: wwil@uni.lodz.pl

Communicated by: Danuta Ciesielska

(Zgªoszona: 14 listopada 2016; Wersja ko«cowa: 24 lutego 2017)