G. Plebanek Kombinatoryka nr 11 (25.05)
Zadania różne
1. Obliczyć, ile rozwiązań, takich że x1, x2, x3 ∈ {1, 2, . . . , 7}, ma równanie x1+ x2+ x3 = 16.
2. Obliczyć
5
X
k=0
8 k
! 6 5 − k
!
oraz
8
X
k=1
k 8 k
!
.
3. Zbiór A ma 5 elementów, a zbiór B ma 3 elementy. Ustalić, czy więcej jest funkcji ze zbioru A na B, czy funkcji z B w zbiór A.
4. Znaleźć jawną postać funkcji tworzącej ciągu a0 = 1, a1 = 1, an+2 = an+1+ 2an.
5. Automaty wydają resztę monetami 1,2,5 zł. Pierwszy automat wydaje monety pojedynczo, a drugi wysypuje je wszystkie razem. Na ile sposobów może wydać 12 zł pierwszy automat, a na ile drugi?
6. Obliczyć i podać uzasadnienie.
(i) na ile sposobów można ułożyć prostokąt 2 × 10 z klepek o rozmiarze 2 × 1;
(ii) ile jest odwzorowań ze zbioru {1, 2, . . . , 6} na zbiór {1, 2, 3, 4}.
7. Niech anbedzie ilością ciągów (x1, . . . , x2n), o wyrazach xi ∈ {−1, 1}, spełniających warunki
2n
X
i=1
xi = 0 oraz
k
X
i=1
xi 0 dla każdego k ¬ 2n.
Przyjmując, że a0 = 1, wyprowadzić wzór rekurencyjny na an.
8. W grafie dwudzielnym G = (S, T, E) dla każdego zbioru B ⊆ S ∪ T mocy 6 istnieje krawędź {x, y} ∈ E, taka że x, y /∈ B. Udowodnić, że w grafie tym można jednoznacznie skojarzyć co najmniej 7 par.
9. Podać (jakikolwiek) dowód wzoru Eulera dla grafów planarnych (spójnych i jednokrotnych).
Udowodnić, że każdy taki graf ma wierzchołek stopnia ¬ 5.
10. Omówić metodę znajdowania wzorów na wyrażenia postaci Pnk=1kα, dla naturalnych wartości α.
11. (a) Równanie rekurencyjne an = c1an−1+ c2an−2 + c3an−3 + c4an−4 ma wielomian cha- rakterystyczny postaci p(x) = (x − r1)(x − r2)(x − r3)2. Omówić metodę znalezie- nia rozwiązania tego równania przy zadanych wartościach początkowych a0, a1, a2, a3. Rozważyć przypadek, gdy r1, r2, r3 są parami różne oraz przypadek r1 6= r2 = r3. (b) Na przykładzie równania an = an−1+ an−2+ n przedstawić ideę stosowania funkcji
tworzących do rozwiązywania rekurencji.
12. Przedstawić twierdzenie o systemie różnych reprezentantów i twierdzenie o kojarzeniu par w grafach dwudzielnych oraz wyjaśnić, dlaczego to pierwsze twierdzenie łatwo wynika z tego drugiego.
