9. Residua, twierdzenie o residuach

Funkcje analityczne 1

9. Residua, twierdzenie o residuach

9.1. Obliczyć, residua funkcji f w punktach osobliwych (i)

f (z) = e^2z z⁴,

(ii)

f (z) = e^iz z²+ 6iz − 9, (iii)

f (z) = sin z z²+ z + 1.

9.2. Udowodnić, że jeżeli z0 jest biegunem pierwszego rzędu funkcji f , to res(f, z0) = lim

z→z₀(z − z0)f (z).

9.3. Obliczyć całki (i)

Z

|z|=2

e^2z z⁴dz,

(ii)

Z

|z|=2

e^z z²− 1dz,

(iii)

Z

|z−1|=2

z²exp ¹_z
dz.

9.4. Udowodnić, że jeżeli funkcje h = f /g ma w z0 biegun pierwszego rzędu oraz g⁰(z0) 6= 0, to

res(h, z0) = f (z0) g⁰(z₀).

9.5. Obliczyć Z

|z|=1

e^z+4 sin zdz.

17 Paweł Mleczko (2014)

Funkcje analityczne 1

9.6. Obliczyć residua funkcji z 7→ tg(πz) w punktach osobliwych, a następnie obliczyć wartość całki Z

Γ_n

tg(πz) dz,

gdzie Γ jest kwadratem o dodatniej orientacji i wierzchołkach w punktach ±n ± ni, n ∈ N.

9.7. Obliczyć Z

|z|=1

sin¹_zdz.

9.8. Obliczyć Z

|z|=2

e^z z − 1dz.

9.9. Znaleźć rozwinięcie w szereg Laurenta funkcji f (z) = exp(z + z⁻¹) w obszarze D = {z : 0 < |z| < ∞} oraz obliczyć residuum res(f, 0). Następnie obliczyć całkę

Z

|z|=1

exp(z + z⁻¹)dz.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

D.9.1. Znaleźć wartość residuum funkcji f w punkcie 0, jeżeli (i) f (z) = (z²+ 1)/z,

(ii) f (z) = (z²+ 3z − 5)/z³, (iii) f (z) = e^z/ sin z.

D.9.2. Znajdź wartość residuum funkcji f w punkcie 1, jeśli (i) f (z) = (z³− 1)(z + 2)/(z⁴− 1)²,

(ii) f (z) = _(z−1)(z+1)¹ .

D.9.3. Obliczyć residua funkcji f w punktach osobliwych (i) f (z) = _(z−1)(z+1)^x2−2z ,

(ii) f (z) = _z−z¹3.

D.9.4. Udowodnić, że jeżeli f jest holomorficzna w punkcie z0, to funkcja g określona wzorem

g(z) =

(_{f (z)−f (z0)}

z−z₀ , gdy z 6= z0, f⁰(z₀), gdy z = z₀,

18 Paweł Mleczko (2014)

Funkcje analityczne 1

ma w punkcie z0 osobliwość pozorną (jest w punkcie z0 holomorficzna).

D.9.5. Obliczyć całki (i)

Z

γ

dz sin z,

gdzie γ(t) = 5 cos t + 3i sin t, 0 ¬ t ¬ 2π (Uwaga indeks krzywej γ względem każdego z trzech[!] punktów osobliwych jest równy 1 – porównaj wykład).

(ii) R

|z|=3ctg z dz.

(iii) R

|z−3|=15 z²+1

z−2dz, (iv) R

|z|=1sin¹_zdz.

D.9.6. Scharakteryzować rodzaj osobliwości funkcji f (z) = z cos(1/(z − 1)) w punkcie z₀= 1 oraz oblicz res(f, 1) oraz Z

C

z cos 1 z − 1dz,

gdzie C jest dodatnio zorientowanym okręgiem o środku w punkcie 0 i promieniu 2.

19 Paweł Mleczko (2014)