12.05.2020 r.
Zestaw 4
Model atomu Bohra - widma atomowe
Zagadnienia kolokwialne
Prawo Coulomba - siła oddziaływania ładunków punktowych
Korpuskularna teoria światła - energia fotonu
Model atomu wodoru Bohra Wstęp teoretyczny do modelu Bohra
Ruch elektronu wokół jądra wynika z istnienia siły dośrodkowej, która jest siłą Colomba:
= 𝑘 (1)
gdzie m jest masą elektronu, 𝑣 oznacza prędkość elektronu na orbicie n-tej, 𝑟 jest promieniem orbity Bohra, k stała opisująca siłę oddziaływań ładunków, e jest ładunkiem elektronu.
Warunek kwantowy Bohra:
𝑚𝑣 𝑟 = 𝑛 (2)
gdzie h jest stałą Plancka.
Energia elektronu na n-tej orbicie jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej:
𝐸 = 𝐸( )+ 𝐸( ) (3)
gdzie
𝐸( ) = (4)
jest energią kinetyczną,
𝐸( ) = −𝑘 (5)
oznacza energię potencjalną.
Elektron przechodząc z orbity s na orbitę n (s>n) emituje kwant energii w postaci fotonu o częstotliwości f przy czym zachodzi
𝐸 − 𝐸 = ℎ𝑓 (6)
Atom pochłaniając foton o odpowiedniej energii, przechodzi na wyższy stan energetyczny, w którym elektron znajduje się na wyższej orbicie Bohra. Mamy wówczas do czynienia z absorpcją, co opisuję następujący bilans energetyczny,
𝐸 − 𝐸 = ℎ𝑓 (7)
gdzie n>s, a ℎ𝑓 jest tutaj energią pochłanianego fotonu.
Zadanie 1
Wyznaczyć całkowitą energię elektronu na n - tej orbicie Bohra.
Wskazówka:
Ze wzoru (1) wynika 𝑚𝑣 = 𝑘𝑒 /𝑟 . Odpowiedź: 𝐸 = −
Zadanie 2
Wyznaczyć prędkość elektronu na n - tej orbicie Bohra oraz promień tej orbity.
Wskazówka:
Wykorzystać wzory (1) i (2) Odpowiedź: 𝑣 = , 𝑟 = Zadanie 3
Obliczyć zmianę energii elektronu w wyniku jego przejścia z orbity s na orbitę n (s>n).
Wskazówka: wykorzystać wyniki zadań 1 i 2.
Odpowiedź: ∆𝐸 = −
Zadanie 4
Obliczyć zmianę energii kinetycznej i potencjalnej elektronu w wyniku jego przejścia z orbity s na orbitę n (s>n).
Odpowiedź: ∆𝐸( ) = − , ∆𝐸( )= −
Zadanie 5
Obliczyć częstotliwości i długości fal emitowanych przez atom wodoru w serii Balmera (przejścia na orbitę n=2 z orbit s>2 ).
Wskazówka: wykorzystać wynik zadania 3 oraz wzór (6).
Ponadto długość fali można policzyć jako: 𝜆 = 𝑐/𝑓, gdzie c jest prędkością światła.
Odpowiedź: 𝑓 = − , s = 3, 4, ...
Zadanie 6
Obliczyć długość fali świetlnej, której fotony pochłonięte przez atom wodoru będący w stanie n spowodują jego jonizację.
Wskazówka: jonizacja nastąpi gdy atom zostanie wzbudzony do stanu o nieskończenie dużej liczbie s, co oznacza, że można przyjąć = 0.
Odpowiedź: 𝜆 = Zadanie 7
Znając częstotliwość absorbowanego fotonu f obliczyć na jakiej orbicie znajdzie się elektron, jeżeli początkowo atom był w stanie podstawowym.
Wskazówka: bilans energetyczny prowadzi do następującego równania ℎ𝑓 =2𝜋 𝑚𝑒 𝑘
ℎ 1 − 1
𝑠 gdzie s jest nieznanym numerem orbity.
Zadanie 8
Skorygować otrzymane w poprzednich zadaniach wzory tak, aby były słuszne dla zjonizowanych atomów zwierających tylko jeden elektron.
Wskazówka: uwzględniając inny ładunek jądra należy zamienić 𝑒 na 𝑁𝑒 , gdzie N jest liczbą protonów w jądrze jonu.
