Oblicz pochodne poni»szych funkcji: √7 x8+ 1 √8 x7, (2x3+ 3x + 1)16, ex2, cos(ln(sin x

Wrocªaw, 16 pa¹dziernika 2017 ZASTOSOWANIE POCHODNYCH - ZADANIA

1. Oblicz pochodne poni»szych funkcji:

√7

x⁸+ 1

√8

x⁷, (2x³+ 3x + 1)¹⁶, e^x2, cos(ln(sin x)), x⁵ctg(x)5^x, x^x, (cos x)^{sin x}. 2. Napisz równanie stycznej do krzywej f(x) = 4 − x³ wiedz¡c, »e jest ona równolegªa do

prostej 3x + y = 5.

3. Dla jakich warto±ci parametru m prosta y = 5x + m jest styczna do wykresu funkcji y = ^x+3_2−x?

4. Znajd¹ proste, które s¡ jednocze±nie styczne do paraboli y = x²i okr¦gu x²+(y +2)²= 4.

5. Zbadaj monotoniczno±¢ i wyznacz ekstrema lokalne poni»szych funkcji:

15x⁶+ 3x⁵− 90x⁴− 20x³, −3x³+ 5x²− 4x + 2, x²+ 6x + 10

x + 3 , e^x(x + 1), ln(x²+ 1), p

x²− 2x − 3, (2x²− 3)e^x2+1, x²+ 6x + 10 x + 3 .

6. Wyznacz najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji f na zadanym zbiorze A.

(a) f(x) = x²e^−x, A = R, (b) f(x) = _1+x^2x2, A = [−2, 2],

(c) f(x) = x³+ 3|x| + 2, A = [−1, 1], (d) f(x) = _x^x+12+1, A = [−1,¹₂],

(e) f(x) = x − 4√

x + ln x, A = [¹₂, 2], (f) f(x) = |10x − 1| + x³, A = [0, 1], (g) f(x) = 3x + |x³− 9x|, A = [−4,√

10].

7. Udowodnij, »e dla ka»dego n ∈ N zachodzi nierówno±¢

e^x> 1 + x + x² 2! +x³

3! +x⁴

4! + ... + xⁿ n!.

8. Zaªó»my, »e |f⁰(x)| ≤ M dla x ∈ (a, b) i ci¡gªej funkcji f na [a, b]. Korzystaj¡c z twierdzenia o warto±ci ±redniej udowodnij, »e

|f (b) − f (a)| ≤ M (b − a).

9. U»ywaj¡c zadania 8 oszacuj z góry i z doªu liczb: √

101, 28^2/3, 33^1/5, sin(π/10). 10. U»ywaj¡c aproksymacji liniowej f(x + h) ' f(x) + hf√ ⁰(x) oblicz przybli»enia liczb:

101, 28^2/3, 33^1/5, sin(π/10). Porównaj przybli»enie z wªa±ciwym wynikiem.

11. Udowodnij nierówno±ci:

(a) e^x≥ 1 + x, (b) ln(1 + x) ≤ x,

(c) ln(1 + x) ≥ x −^x₂², (d) cos x > 1 −^x₂², (x 6= 0)|,

(e) sin x > x −^x₆³ (x>0),

12. Niech R b¦dzie prostok¡tem le»¡cym w pierwszej ¢wiartce, którego podstawa le»y na osi x, jeden z wierzchoªków znajduje si¦ w pocz¡tku ukªadu, a przeciwny wierzchoªek le»y na wykresie funkcji y = e^−x.

• Pokaza¢, »e dla dowolnej liczby ε > 0 pole R jest mniejsze ni» ε, je±li podstawa prostok¡ta jest odpowiednio du»a.

• Pokaza¢, »e prostok¡t o najwi¦kszym mo»liwym polu ma podstaw¦ równ¡ 1.

Marcin Preisner [ marcin.preisner@uwr.edu.pl ].

1

2 ZASTOSOWANIE POCHODNYCH - ZADANIA

13. Jak¡ najwi¦ksz¡ warto±¢ mo»e mie¢ iloczyn xy, je±li x + y = 4?

14. * Jak¡ najwi¦ksz¡ warto±¢ mo»e mie¢ iloczyn xyz, je±li x + y + z = 8?

15. Wyznacz przedziaªy wypukªo±ci i wkl¦sªo±ci oraz punkty przegi¦cia nast¦puj¡cych funkcji:

x³+ 2x²+ 3x + 4, e^−x2, sin⁴x, √

x − ln x, x⁴+√⁴ x.

16. Zbadaj przebieg zmienno±ci poni»szych funkcji:

x³− 3x²+ x − 3, 1

x²− 2+ 1, x²

x²− 9, x²ln x, x2^1/x, 1 + ln x x³ , ln x

x , x²− 8

+3 , x

x²− 1, x²+ 7 x − 3, e

x2

x2−1, sin³x + cos³x, ln³x − 3 ln x, e

1 1−x2.