Seria zadań domowych nr 3, AM I Termin oddania: 12.11.2019
Rozwiązania zadań należy starannie uzasadniać i wpisać do zeszytu zadań domowych.
Proszę wybrać 8 zadań. Minimum na zaliczenie wynosi 5 w pełni rozwiązanych zadań. Rozwiązania muszą być zredagowane absolutnie samodzielnie.
Zadanie 1. Znajdź i uzasadnij wzór na sumę kwadratów pierwszych n liczb nieparzystych.
Zadanie 2. Liczby ai, bi, ci, di spełniają warunki 0 ¬ ci ¬ ai ¬ bi ¬ di oraz ai + bi = ci + di dla i = 1, 2, . . . , n. Udowodnić, że
n
Y
i=1
ai+
n
Y
i=1
bi ¬
n
Y
i=1
ci+
n
Y
i=1
di.
Zadanie 3. Korzystając z aksjomatów liczb rzeczywistych wykazać, że istnieje liczba rzeczy- wista α taka, że
α2019+ α = −1.
Wskazówka: rozważyć kres górny zbioru tych liczb x ∈ R, że x2019+ x < −1.
Zadanie 4. Udowodnić, że dla dowolnych a, b ∈ R zachodzi nierówność
n
san+ bn
2 ¬ n+1
san+1+ bn+1
2 .
Zadanie 5. Niech (an) będzie ciągiem dowolnych liczb naturalnych. Definiujemy
rn= 1
a1+a 1
2+ 1
a3+...+
...+ 1an
.
Udowodnij, że granica ciągu (rn) istnieje i jest liczbą niewymierną.
Zadanie 6. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n n! < 3
n 2
n
.
Zadanie 7. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność 1 + 1
2√
2+ 1 3√
3+ . . . + 1 n√
n < 4.
Zadanie 8. Znajdź kresy zbiorów
(a) {nk+1k : k 1, n 1, k, n ∈ N}, (b) {|k−n|k2+n : k, n ∈ N, k 6= n},
(c) {k1 +1l −m1 : k, l, m ∈ N}.
Zadanie 9. Rozwiąż
(a) nierówność log2x+2x+1 ¬ −1, (b) równanie logx4 + log2(x2) = 5.
Zadanie 10. Niech x0 ∈ [0, 2] i niech xn+1 = 14xn(5 − xn) dla n = 0, 1, 2, . . .. Zbadać, dla jakich x0 ciąg (xn) jest zbieżny i dla tych x0 obliczyć limn→∞xn.
Zadanie 11. Oblicz granice ciągów (a) √n
2 · 3n+ 7 · 8n− 5n, (b) n2n+1sin(n!),
(c) √n
12+ 22+ . . . + n2.
Zadanie 12. Wyznacz największy wyraz rozwinięcia (1 +√ 3)18. Zadanie 13. Znajdź wszystkie liczby spełniające
13 − 4x 7x − 14
= 1
x − 2. Zadanie 14. Oblicz sumę
2019
X
k=0
2k 3
.
2
