Zbadać zbieżność iloczynów ∞ Y n=1 1 + (−1)n+1 n

15. Zadania do wykładu Analiza IB, R. Szwarc 1. Obliczyć wartości iloczynów nieskończonych

∞

Y

n=3



1 − 4 n²

 ^∞

Y

n=2

n³+ 1 n³− 1

∞

Y

n=1

cos

 1 2ⁿ



∞

Y

n=1

1 + 1

n(n + 2)

! _∞

Y

n=0

1 + x^2n, |x| < 1

∞

Y

n=1

e^1/n 1 + _n¹

2. Zbadać zbieżność iloczynów

∞

Y

n=1

1 + (−1)ⁿ⁺¹ n

!

,

∞

Y

n=2

1 + (−1)ⁿ n

!

3. Zbadać zbieżność iloczynów

∞

Y

n=1

cos

1 n



,

∞

Y

n=1

n sin

1 n



,

∞

Y

n=1

n log



1 + 1 n



4. Pokazać, że ze zbieżności iloczynów

∞

Y

n=1

(1 + a_n),

∞

Y

n=1

(1 − a_n), |a_n| < 1

wynika zbieżność szeregów

∞

X

n=1

a²_n,

∞

X

n=1

a_n.

5. Pokazać, że dla 0 < x_n< π/2 każdy z iloczynów

∞

Y

n=1

cos x_n,

∞

Y

n=1

sin x_n x_n

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg

∞

X

n=1

x²_n.

1