1 STATYSTYKA
dr in˙z Krzysztof Bry´s Wyk lad 1
Klasyczny Rachunek Prawdopodobie´nstwa
1. Poj¸ecia wst¸epne.
Do´swiadczeniem losowym nazywamy do´swiadczenie, kt´orego wynik nie jest znany. Posiadamy jedynie informacje o zbiorze mo˙zliwych wynik´ow tego do´swiadczenia. Wynik do´swiadczenia losowego wykluczaj¸acy inne mo˙zliwe wyniki nazywamy zdarzeniem elementarnym.
UWAGA: Zak lada si¸e, ˙ze w wyniku do´swiadczenia losowego zachodzi dok ladnie jedno zdarzenie elementarne.
Zbi´or wszystkich zdarze´n losowych nazywamy przestrzeni¸a zdarze´n elementarnych i oznaczamy przez Ω.
Zdarzeniem losowym nazywamy dowolny wynik do´swiadczenia losowego. Ka˙zde zdarzenie losowe jest zbiorem zdarze´n elementarnych
UWAGA: Je˙zeli Ω jest zbiorem sko´nczonym lub przeliczalnym, to zdarzeniem losowym jest dowolny podzbi´or zbioru Ω
Zdarzenie ∅ nazywamy zdarzeniem niemo˙zliwym.
Zdarzenie Ω nazywamy zdarzeniem pewnym.
Zdarzenie A = Ω \ A nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A.
Je˙zeli dla dw´och zdarze´n A i B zachodzi A ∩ B = ∅, to m´owimy, ˙ze zdarzenia te wykluczaj¸a si¸e (s¸a roz l¸aczne).
Przyk lady. Zdarzenie A = miesi¸ac kwiecie´n ma 31 dni jest zdarzeniem niemo˙zliwym. Zdarzenie B = miesi¸ac kwiecie´n ma 30 dni jest zdarzeniem pewnym. Zdarzeniem przeciwnym do C = dzisiaj jest niedziela jest zdarzenie C = dzisiaj jest inny dzie´n tygodnia ni˙z niedziela.
Rozwa˙zmy teraz przyk lad bardzo prostego do´swiadczenia losowego.
Przyk lad. Rozwa˙zmy do´swiadczenie losowe polegaj¸ace na jednokrotnym rzucie monet¸a. Przestrze´n zdarze´n elementarnych sk lada sie z dw´och element´ow, zdarzenia ωOpolegajacego na wypadni¸eciu or la i ωO, kt´ore oznacza wypadni¸ecie reszki. Wypiszmy wszystkie mo˙zliwe podzbiory zbioru Ω (zdarzenia losowe):
A1 = Ω = {ωO, ωR}, A2 = {ωO}, A3 = {ωR}, A4 = ∅.
Zdarzenie A1polega na wypadni¸eciu or la lub reszki. Jest to zdarzenie pewne. Zdarzenie A4polegaj¸ace na niewypadni¸eciu ani or la ani reszki nie mo˙ze zaj´s´c w wyniku naszego do´swiadczenia losowego. Jest to zdarzenie niemo˙zliwe. Zdarzeniem przeciwnym do A2 - wypad l orze l jest zdarzenie A3 - wypad la reszka. Zwr´o´cmy uwag¸e na to, ˙ze A2∪ A3 = Ω (w wyniku rzutu monet¸a wypadnie orze l lub reszka) oraz A2∩ A3 = ∅ (nie mo˙ze wypa´s´c jednocze´snie orze l i reszka).
2. Klasyczna definicja prawdopodobie´nstwa.
Niech Ω b¸edzie zbiorem sko´nczonym, to znaczy Ω = {ω1, ω2. . . , ωN}. Dla dowolnego zdarzenia A ⊆ Ω takiego, ˙ze A = {ωi1, ωi2, . . . , ωik}, gdzie i1, i2, . . . , ik ∈ {1, 2, . . . N }, definiuje si¸e funkcj¸e prawdopodobie´nstwa w nast¸epuj¸acy spos´ob:
P (A) = P ({ωi1}) + P ({ωi2}) + . . . + P ({ωik}).
2 W przypadku, gdy zdarzenia elementarne s¸a jednakowo prawdopodobne, to znaczy P (ω1) = P (ω2) = . . . = P (ωN) = N1, otrzymujemy nast¸epuj¸acy wz´or:
P (A) = |A|
|Ω| = k
N = liczba zdarze´n elementarnych sprzyjaj¸acych zdarzeniu A liczba wszystkich zdarze´n elementarnych .
Powy˙zsza definicja prawdopodobie´nstwa nie jest poprawna w og´olno´sci, gdy˙z zbi´or Ω nie musi by´c sko´nczony a zdarzenia elementarne nie musz¸a by˙c jednakowo prawdopodobne.
3. Aksjomatyczna definicja prawdopodobie´nstwa.
Niech Ω b¸edzie przestrzeni¸a zdarze´n elementarnych, Z ⊆ 2Ω = P(Ω) zbiorem zdarze´n losowych.
Funkcj¸a prawdopodobie´nstwa nazywamy funkcj¸e:
P : Z → [0, 1]
spe lniaj¸ac¸a nast¸epuj¸ace trzy aksjomaty:
P 1) P (A) ≥ 0 dla ka˙zdego A ∈ Z, P 2) P (Ω) = 1
P 3) je˙zeli A1, A2, . . . , An jest ci¸agiem zdarze´n roz l¸acznych (to znaczy Ai∩ Aj = ∅ dla i 6= j), to P (S+∞i=1Ai) = P+∞i=1P (Ai).
Warto´s´c funkcji P na zbiorze A nazywamy prawdopodobie´nstwem zdarzenia A 4. W lasno´sci funkcji prawdopodobie´nstwa.
1. P (∅) = 0.
2. Je´sli A ⊆ B, to P (A) ≤ P (B).
3. Dla dowolnego A ⊆ Ω P (A) ≤ 1.
4. Je´sli A ⊆ B, to P (B \ A) = P (B) − P (A).
5. Dla dowolnego A ⊆ Ω P (A) + P (A) = 1.
6. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
7. Je˙zeli zdarzenia A1, A2, . . . , Ans¸a parami roz l¸aczne, to P (A1∪A2∪. . .∪An) = P (A1)+P (A2)+
. . . + P (An).
5. Prawdopodobie´nstwo warunkowe i niezale˙zno´s˙c.
Prawdopodobie´nstwo zaj´scia zdarzenia A pod warunkiem, ˙ze zasz lo zdarzenie B:
P (A|B) = P (A ∩ B) P (B)
Do´swiadczenia niezale˙zne = dowolny wynik jednego z nich nie wpywa na wynik drugiego.
Zdarzenia niezale˙zne = zdarzenia A, B, dla kt´orych:
P (A ∩ B) = P (A) · P (B) albo
P (A|B) = P (A) lub P (B|A) = P (B)
Informacja o zaj´sciu jednego z nich nie zmienia szans wyst¸apienia drugiego.
