ZBIORY
1. Wyznacz podane zbiory:
(a) A = [0, 2], B = (4, 8), A ∩ B =?
(b) A = (−∞, 0], B = (−4, 7), A ∩ B =?
(c) A = [13, 9], B = (−9, 20), A ∪ B =?
(d) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {4, 5, 6, 7, 8}, B \ A =?
(e) A = (5, 6)\{2, 3, 5}, B = {4, 5, 6}\(4, 7), A∩B =?
(f) A = [1, 20], B = [13, 30], B \ A =?
(g) A = [1, 3] ∪ (4, 5), B = {1, 2, 3, 4, 5}, B \ A =?
(h) A = [−4, 0] ∪ (1, ∞), B = (0, 9), A ∪ B =?
(i) A = {5} ∪ (8, ∞), B = {5, 6}, B \ A =?
(j) A = [−8, 9], B = (0, 3), A ∩ B =?
(k) A = (7, ∞), B = (∞, 7), A ∪ B =?
(l) A = {2}, B = [1, 3], B \ A =?
(m) A = [9, 18], B = [10, 20], A ∩ B =?
(n) A = (−∞, 5], B = (5, ∞), A ∪ B =?
(o) A = (−∞0), B = [0, ∞], A ∩ B =?
(p) A = (4, 6), B = [7, 9], A ∩ B =?
(q) A = [−8, 7], B = (−8, 7), B \ A =?
(r) A = [9, 10], B = (−∞, 0) ∪ (9, 10], A ∪ B =?
(s) A = {2, 5, 7, 9}, B = {2, 5, 6, 7, 8}, A ∩ B =?
(t) A = [5, 8], B = [9, 11], B \ A =?
2. Zaznacz podane zbiory na płaszczyźnie:
(a) {(x, y) ∈ R2: x ¬ 0, y ¬ 0}
(b) {(x, y) ∈ R2: x ¬ 0, y 0}
(c) {(x, y) ∈ R2: x2+ y2= 9}
(d) {(x, y) ∈ R2: x2+ y2¬ 4}
(e) {(x, y) ∈ R2: x2+ y2> 16}
(f) {(x, y) ∈ R2: x42 +y92 = 1}
(g) {(x, y) ∈ R2: x2 0}
(h) {(x, y) ∈ R2: y > x2} (i) {(x, y) ∈ R2: x 6= 0, y x1}
(j) {(x, y) ∈ R2: x 6= −2, y = x+21 + 1}
(k) {(x, y) ∈ R2: |x| + |y| = 1}
(l) {(x, y) ∈ R2: |x| + |y| ¬ 1}
(m) {(x, y) ∈ R2: |x + 2| + |y − 2| = 2}
(n) {(x, y) ∈ R2: |x + 1| + |y + 6| 3}
(o) {(x, y) ∈ R2: x + y = 0}
(p) {(x, y) ∈ R2: 4x − 5y = 1}
(q) {(x, y) ∈ R2: y 12x}
(r) {(x, y) ∈ R2: y ¬ 2x}
(s) {(x, y) ∈ R2: y = |x|}
(t) {(x, y) ∈ R2: |y| = |x|}
Zasada włączania i wyłączania
3. W pewnej szkole jest 600 uczniów. 400 z nich gra w piłkę nożną, 200 w siatkówkę, a 300 w koszykówkę. W siatkówkę i w piłkę nożną gra 100 osób, w kosza i w nogę 150, natomiast w siatkę i kosza 50. Ile osób uprawia wszystkie trzy dyscypliny?
4. W akwarium jest 60 rybek: 40 złotych i 30 jedzących rośliny. Ile jest złotych rybek, które jedzą rośliny?
5. W salonie samochodowym są samochody czerwone, terenowe i używane. Czerwonych jest 50, 60 terenowych, a 30 używanych. Czerwonych terenowych jest 20, czerwonych używanych - 10, natomiast terenowych i używanych - 15. Czerwonych terenowych używanych samochodów jest 3. Ile jest samochodów w salonie?
6. W grupie 4000 osób przeprowadzono badania na temat muzyki, której słuchają. Każdą osobę spytano, czy słucha muzyki klasycznej, hip-hopu, czy disco polo. Okazało się, że każda osoba zaznaczyła przynajmniej jedną odpowiedź. Klasycznej muzyki słuchało 500 osób, hip-hopu 1500, a disco polo 3000. Wszystkich trzech typów muzyki słucha 100 osób, disco polo i klasycznej słucha 200, a klasycznej i hip-hopu 300. Ile osób słucha hip-hopu i disco polo?
7. W pewnym zespole muzycznym jest 5 osób, które potrafią śpiewać altem, 4, które tenorem oraz 2, które śpiewają obydwoma głosami. Ile jest osób w tym zespole?
1
8. W 100-osobowej grupie ludzi, 80 zna angielski, 40 niemiecki, a 20 hiszpański. Hiszpański i niemiecki zna 7 osób, niemiecki i angielski 25, natomiast hiszpański i angielski 10. Ile osób zna wszystkie trzy języki w tej grupie?
9. W grupie 20 przedszkolaków 10 dzieci umie czytać, 12 liczyć, a 8 śpiewać. Wszystkie trzy czynności potrafi wykonać tylko jedno dziecko. Dwójka umie czytać i liczyć, trójka czytać i śpiewać. Ile dzieci potrafi liczyć i śpiewać?
10. Spośród ankietowanych osób 1000 pojechało na wakacje w góry, a 1500 nad morze. 200 było i tu i tu. Ile osób było ankietowanych?
11. (*) W pewnym mieście jest 10000 budowli z cegły i 2000 kamienic. Wiadomo, że jest przynajmniej 1000 ceglanych kamienic. Ile może być co najwyżej kamienic i budowli ceglanych łącznie?
12. (*) W penym zbiorze figur geometrycznych jest co najmniej 10 kwadratów i co najmniej 5 figur zielonych.
Wiadomo, że zielonych kwadratów jest 3. Ile co najmniej figur geomerycznych jest w tym zbiorze?
13. W szafie są koszule w kratkę i koszule ciemne. Jest 10 koszul w kratkę i 13 koszul ciemnych oraz 3 ciemne koszule w kratkę. Ile jest koszul w szafie?
14. W koszyku są owoce. 50 z nich to jabłka, 40 owoce zielone, a 30 to niestety owoce robaczywe. Robaczywych jabłek jest 10, zielonych jabłek 20, a robaczywych zielonych owoców 5. Jest tylko jedno zielone robaczywe jabłko. Ile owoców jest w koszyku?
Dowody niekosntruktywne
15. Wykaż, że √
2 jest niewymierny. A√ 3?
16. (*) Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
17. (*) Wykaż, że istnieję liczby niewymierne x oraz y, takie że xy jest wymierna.
18. Pokaż, że √3
2 jest niewymierny.
19. Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb podzielnych przez 4.
20. Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele potęg dwójki.
21. Pokaż, że nie istnieje czworokąt, którego wszystkie kąty mają miarę wiekszą niż 90o.
22. Dwie drużyny piłkarskie liczące po 11 zawodników przywitały się przed meczem. Zawodnicy jednej drużyny witali się z zawodnikami drugiej (być może nie wszyscy). Wykaż, że łączna liczba przywitań nie przekracza 121.
23. (*) Wykaż, że w trójkącie suma długości dowolnych dwóch boków jest większa od długości trzeciego.
24. (*) Wykaż, że dowolny wielomian stopnia n może mieć co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych.
Zasada szufladkowa Dirichleta
25. W koszu są kule zielone, czerwone i niebieskie. Jaka jest najmniejsza liczba kul, jaką należy wyciągnąć z kosza, aby mieć pewność, że znajdą się wśród nich dwie kule tego samego koloru?
26. Na grzybobraniu zebrano borowiki, maślaki i podgrzybki. Ile najmniej grzybów trzeba wybrać, aby mieć pew- ność, że wśród wybranych grzybów będą przynajmniej trzy jednego gatunku?
27. Ile najmniej musi być osób w grupie, by być pewnym, że znajdą się tam dwie urodzone tego samego miesiąca?
28. Ania ma kolorowe skarpetki w swojej szafie. Wie, że jeśli wyciągnie 10 skarpetek, to na pewno będą wśród nich dwie jednego koloru. Ile co najwyżej kolorów skarpetek może mieć Ania w swojej szafie?
29. Pokaż, że wśród dziesięciu całkowitych znajdą się dwie dające taką samą resztę z dzielenia przez 9.
30. (*) Dany jest zbiór A zawierający 2k kolejnych liczb całkowitych. Pokaż, że wśród liczb będących różnicami liczb ze zbioru A znajdzie się przynajmniej k + 1 liczb będących potęgami dwójki.
2
