MODELOWANIE I SYMULACJA RUCHU MOBILNEGO ROBOTA TRZYKOŁOWEGO Z NAPĘDEM NA PRZEDNIE KOŁA Z UWZGLĘDNIENIEM POŚLIZGU KÓŁ JEZDNYCH

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 41, s. 411-420, Gliwice 2011

MODELOWANIE I SYMULACJA RUCHU MOBILNEGO ROBOTA TRZYKOŁOWEGO Z NAPĘDEM NA PRZEDNIE KOŁA

Z UWZGLĘDNIENIEM POŚLIZGU KÓŁ JEZDNYCH

MACIEJ TROJNACKI

Przemysłowy Instytut Automatyki i Pomiarów (PIAP) e-mail: mtrojnacki@piap.pl

Streszczenie. W pracy, na przykładzie robota trzykołowego z napędem na przednie koła, zastosowano uniwersalną metodykę modelowania analitycznego dynamiki mobilnych robotów lądowych. Uwzględnia ona warunki współpracy kół jezdnych z podłożem i występowanie poślizgów. Istotą podejścia zastosowanego w pracy jest podział modelu robota na dwie części, tj. na część związaną z interakcją z podłożem obejmującą model opony i na część związaną z platformą mobilną. Ważnym elementem pracy są badania symulacyjne wykonane z zastosowaniem pakietu Matlab/Simulink, które pozwoliły na numeryczną weryfikację opracowanych rozwiązań.

1. WSTĘP

Do modelowania dynamiki mobilnych robotów lądowych stosuje się różne formalizmy.

Do klasycznych można zaliczyć m.in. równania Newtona-Eulera, Lagrange’a, Maggiego i zasadę d’Alamberta. W XX w. została opracowana metoda Kane’a [8], która jest określana jako forma Lagrange’a zasady d’Alamberta. W związku z coraz bardziej powszechnym użyciem komputerów zastosowanie znalazła także metoda układów wieloczłonowych [1], która jest metodą numeryczną. Posiada ona jednak złożony aparat matematyczny, a jej zastosowanie wymaga dobrej znajomości metod numerycznych.

Do podstawowych problemów związanych z modelowaniem dynamiki robotów mobilnych można zaliczyć konieczność opracowywania modelu osobno dla każdego rodzaju robota, a nawet dla poszczególnych jego konfiguracji. Przykładowo, w klasycznym podejściu, rozwiązując symbolicznie równania dynamiki dla robota czterokołowego otrzymuje się różne rozwiązania w zależności od tego, ile jego kół w danej chwili styka się z podłożem, co może być związane z nierównościami podłoża. Kolejnym problemem jest nierozwiązywalność równań dynamiki. Jeżeli np. dla robota czterokołowego, którego ruchome człony traktuje się jako bryły sztywne, należy wyznaczyć 12 składowych sił reakcji podłoża, związanych z kontaktem czterech kół robota z podłożem, do dyspozycji dla robota jako całości będzie tylko 6 równań wynikających z jego dynamiki, a kolejne 4 będą wynikać z toczenia się kół jezdnych.

W literaturze dotyczącej metodyki modelowania analitycznego dynamiki mobilnych robotów kołowych zazwyczaj zakłada się ich ruch bez poślizgów [3,9]. Jest to uzasadnione np.

w przypadku robota Pioneer 2DX [6] poruszającego się z niedużą prędkością. Wiele konstrukcji robotów jest jednak projektowanych w taki sposób, że poślizgi kół jezdnych są nieodłączną

cechą ich ruchu. Przykładem takiego rozwiązania jest robot czterokołowy posiadający cztery napędzane i niekierowane koła. Robot taki w trakcie zakręcania zawsze będzie poruszał się w warunkach poślizgu poprzecznego. O jego ruchu będą decydowały momenty napędowe kół jezdnych i warunki współpracy tych kół z podłożem. Z tego względu w takich przypadkach konieczne jest uwzględnienie modelu opony w modelu dynamiki robota.

Problematyka modelowania ruchu z uwzględnieniem poślizgu kół jezdnych jest od wielu lat przedmiotem badań wielu ośrodków zajmujących się problematyką samochodową. Wyniki takich badań można odnaleźć m.in. w pracach [1,4,5,7,10]. W badaniach tych uwzględnia się modele opon samochodowych bazując na wynikach badań eksperymentalnych. Do rzadkości należą z kolei prace związane z modelowaniem opon małych robotów mobilnych. Wyniki takich prac można znaleźć m.in. w [2].

W związku z wymienionymi problemami jako cel badań prezentowanych w niniejszej pracy przyjęto opracowanie uniwersalnej metodyki modelowania dynamiki szerokiej gamy mobilnych robotów kołowych z uwzględnieniem występowania poślizgu kół jezdnych i przetestowanie jej na przykładzie robota mobilnego Pioneer 2DX.

2. METODYKA MODELOWANIA

Modelując ruch robotów mobilnych, często konieczne jest zastosowanie kilku układów odniesienia. Stosowane w niniejszej pracy układy odniesienia nazywane są dużymi literami, które stanowią ich początek. Informację o układzie odniesienia, w którym wyrażany jest dany wektor, umieszcza się w lewym górnym indeksie oznaczenia wektora. W prawym dolnym indeksie umieszcza się nr członu lub nazwę punktu i/lub nazwę osi, natomiast w prawym górnym nazwę układu, względem którego następuje ruch lub w przypadku sił i momentów sił nr członu, na który działa siła lub moment. Prawe indeksy pomija się w przypadku, gdy ich nazwa jest taka sama, jak nazwa układu odniesienia, w którym wektory te są opisywane.

W pracy, na przykładzie robota Pioneer 2DX, stosuje się uniwersalną metodykę modelowania analitycznego dynamiki mobilnych robotów lądowych. Przyjętą metodykę modelowania ilustruje rys. 1a. Istotą metody jest zastosowanie modelu kontaktu efektorów z podłożem oraz podział modelu dynamiki robota na części związane z efektorami i na część związaną z platformą mobilną. W modelu dynamiki korzysta się z formalizmu Newtona- Eulera. Przez efektory rozumie się te zespoły robota, które oddziałują na jego otoczenie.

Mogą nimi być np. koła jezdne, chwytaki, stopy itd.

Rys. 1. Schemat ogólny przyjętej metodyki modelowania (a), rozkład prędkości charakterystycznych punktów mobilnego robota trzykołowego w trakcie zakręcania (b)

a) b)

A3

Ov ^A2

Ov

R Ov

A1

Ov 2l1

R

l ψ3

ψ3 Oϕ 0

3

1

2 x y

O ^Ox&_R

R Oy&

MODELOWANIE I SYMULACJA RUCHU MOBILNEGO ROBOTA TRZYKOŁOWEGO… 413 W stosowanej metodzie, dla znanego położenia efektorów i modelu otoczenia, następuje wyznaczenie składowych normalnych sił reakcji działających na poszczególne efektory na podstawie modelu ich kontaktu z podłożem. Następnie z modeli efektorów wyznaczane są pozostałe składowe sił i momentów sił reakcji w miejscach kontaktu. Ostatecznie są one redukowane do punktów zamocowania efektorów do platformy mobilnej. Na podstawie znajomości tych sił i momentów sił wyznaczany jest ruch całego robota. Należy zauważyć, że prezentowana metoda jest metodą numeryczną, co pozwala na łatwe jej zastosowanie dla różnej liczby efektorów. Pozostała część prezentowanego schematu dotyczy sterowania ruchem robota na podstawie zadanej trajektorii z uwzględnieniem modelu napędów.

Badania prezentowane w pracy dotyczą zadania prostego dynamiki dla mobilnego robota trzykołowego, w którym dla zadanych momentów napędowych analizuje się jego ruch po podłożu o różnych właściwościach uwzględniając przy tym występowanie poślizgu kół jezdnych.

3. MODEL ROBOTA

Obiektem badań jest mobilny robot kołowy Pioneer 2DX [6]. Składa się on z korpusu, dwóch napędzanych kół jezdnych oraz z niewielkiego samonastawnego koła podpierającego. Masa robota wynosi ok. 9 [kg], jego wymiary odpowiednio: 44 / 33 / 22 [cm] (długość / szerokość / wysokość), a średnica napędzanych kół jezdnych 16,5 [cm]. Maksymalna prędkość liniowa robota wynosi 1,6 [m/s], natomiast prędkość kątowa obrotu wokół osi pionowej 300 [deg/s].

W pracy przyjęto model robota pokazany na rys. 1b, w którym wyróżniono podstawowe zespoły robota oznaczone jako: 0 – platforma mobilna, 1,2 – napędzane koła jezdne, 3 – samonastawne koło podpierające. W modelu robota przyjęto następujące oznaczenia dla i-tego koła jezdnego: Ai – środek geometryczny, ri – promień, θi – kąt obrotu własnego.

Analizując kinematykę robota, zakłada się, że ruch przyjętego modelu odbywa się w płaszczyźnie xy układu {O}. Platforma mobilna robota może być w ruchu postępowym, obrotowym lub płaskim. Kąt obrotu własnego platformy mobilnej oznaczony jest jako ^Oφ_z, a kąt skrętu samonastawnego koła podpierającego ψ3. Z rozkładu prędkości charakterystycznego punktu R robota (rys. 1b) wynika, że jego rzuty na osie x i y układu odniesienia {O} spełniają równanie:

) tg(^O _z

R O R

Oy& = x& ϕ . (1)

Oznacza to, że na wektor prędkości punktu R narzucone są ograniczenia, czyli więzy, które są nieholonomiczne, a analizowany układ jest również nieholonomiczny [3,9].

W modelu otoczenia zadawana jest geometria i typ podłoża. Dla danego typu podłoża w przypadku robota kołowego definiuje się współczynniki tarcia ślizgowego i oporu toczenia dla par opona-podłoże. Zakłada się, że podłoże jest suche, nie odkształca się pod wpływem działających na nie sił oraz że współczynniki charakteryzujące poszczególne rodzaje podłoża mają jednakowe wartości we wszystkich kierunkach.

W modelu kontaktu odkształcalnej opony z nieodkształcalnym podłożem wyznaczana jest deformacja opony na podstawie geometrii podłoża, promienia nieodkształconej opony oraz położenia środka geometrycznego opony. W niniejszej pracy założono, że podłoże, po którym porusza się robot jest poziome. W związku z tym deformacja opony jest wyznaczona z zależności:

(

)

i x y r z

dr =nneggh(^O , )+ − , (2)

( )

≤

= >

. 0 0

, nneg 0

z dla

z dla

z z (3)

gdzie: ri – promień nieodkształconej opony i-tego koła, ^OzAi – współrzędna pionowa i-tego koła, gh(^OxAi, ^OyAi) – wysokość podłoża dla zadanych współrzędnych ^OxAi, ^OyAi, nneg(z) – funkcja zwracająca nieujemną wartość deformacji opony.

Na podstawie znanej deformacji opony wyznacza się wartość składowej normalnej siły reakcji podłoża w miejscu kontaktu z zależności:

( )

e i i Aiz

OF =k drⁱ+c sgndr dr&, (4)

gdzie: ki – współczynnik sztywności opony, ci – współczynnik tłumienia opony, ei – wykładnik potęgi określający nieliniowość charakterystyki sztywności, d& – prędkość r_i zmiany deformacji opony, sgn(.) – funkcja zwracająca znak argumentu.

W niniejszej pracy z uwagi na poziome podłoże i niewielkie przechylenia robota w trakcie jego ruchu, przyjmuje się, że ^AiFz = ^OFAiz. Zakłada się, że układ odniesienia {Ai} związany z miejscem zamocowania do platformy mobilnej i-go koła nie wykonuje obrotu wraz z kołem.

Następnie wyznacza się pozostałe siły i momenty sił związane z kontaktem koła z podłożem. Uwzględnia się model opony, bazując na zależnościach empirycznych wynikających z badań eksperymentalnych dla opon pojazdów samochodowych [7,10].

W tym celu wprowadza się pojęcia poślizgu wzdłużnego i poprzecznego. W literaturze można spotkać różne konwencje dotyczące poślizgu wzdłużnego, m.in. w postaci [7,10]:

% 100 1 ⎟⎟⎠⎞⋅

⎜⎜⎝⎛

−

=

i i

O x Ai

i r

v

λ θ& , _O

x Ai

i e O x Ai

i v

r

v θ

λ = − & ,

(

)

*

, max _{i i}

i i

i θ θ

θ λ θ & &

&

& −

= , (5)

gdzie: θ& – prędkość kątowa obrotu własnego koła, _i i O x Ai

i^*= v r

θ& – prędkość kątowa, jaką ma koło toczące się bez poślizgu wzdłużnego z prędkością wzdłużną środka geometrycznego równą ^Aiv , ^O_x r_ei =^Aiv^O_x θ&_i – tzw. promień efektywny toczenia.

W niniejszej pracy stosuje się konwencję, w której dodatkowo wykorzystuje się informację o znaku momentu napędowego. Poślizg wzdłużny dla i-tego koła w przypadku założonego ruchu do przodu określa się z zależności:

( )

( )

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

≠

=

<

≠

≥

−

=

=

≠

<

−

=

≠

≥

−

=

0 i 0 i 0 dla 1

0 i 0 dla

0 i 0 dla

0

0 i 0 dla

0 i 0 i 0 dla 1

*

*

*

*

*

*

*

i i iy

i iy i

i i

i i

i iy i

i i

i i iy

i

θ θ τ

θ τ θ

θ θ

θ θ

θ τ θ

θ θ

θ θ τ λ

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

& - koło przemieszcza się bez obracania

- koło jest hamowane

- koło jest nieruchome lub toczy się bez poślizgu

- koło jest napędzane - koło obraca się w miejscu

(6)

Poślizg poprzeczny określa tzw. kąt poprzecznego znoszenia (rys. 2a). Tangens tego kąta (dla osi układu odniesienia przyjętych wg tzw. konwencji ISO) jest określony wg zależności:

O x Ai O y Ai

i)= v v

tg(α (7)

gdzie: ^Aiv i ^O_x ^Aiv to prędkości: wzdłużna i poprzeczna środka geometrycznego koła jezdnego. ^O_y W celu wyznaczenia składowej wzdłużnej i poprzecznej siły w miejscu kontaktu czyli ^TiFx i

TiFy oraz momentu stabilizującego ^TiTz korzysta się z zależności „Magic Formula”, która została opracowana na podstawie badań empirycznych przeprowadzonych dla opon samochodowych.

Zależności „Magic Formula” [7,10] definiuje się w następujący sposób:

hl l

l X S

x = + , Xl=

{

}

( )

( )

[

]

sin _{l l l l l l l l}

l

l D C Bx E Bx Bx

y = − − , (9)

vl l

l y S

Y = + , ^Yl=

{

}

1 Kolejność argumentów odpowiada kolejności współrzędnych.

MODELOWANIE I SYMULACJA RUCHU MOBILNEGO ROBOTA TRZYKOŁOWEGO… 415 gdzie: l = {x, y, z}, a współczynniki Bl, Cl, Dl, Shl, Svl są obliczane z zależności podanych w [7,10].

Rys. 2b-c ilustruje działające na koło jezdne siły i momenty sił związane z kontaktem opony z podłożem oraz z zamocowaniem koła do platformy mobilnej.

Rys. 2. Konwencja opisu wielkości kinematycznych modelu koła (a), ilustracja sił i momentów sił związanych z kontaktem opony z podłożem (b), siły i momenty sił reakcji w miejscu zamocowania koła do platformy mobilnej (c) Na bieżącym etapie badań pomija się wpływ momentu przechylającego. Natomiast moment oporów toczenia wyznacza się z zależności:

( )

ri i z Ti y

TiT =− F r f sgnθ& , (11)

gdzie: fri – współczynnik oporów toczenia.

Siły i momenty sił są ostatecznie redukowane do punktu zamocowania koła jezdnego do platformy mobilnej. Otrzymuje się więc:

, F F ^Ti

Ai = ^AiT=^Air_Ti×^TiF+^TiT. (12)

Dynamiczne równania ruchu i-tego koła robota w układzie odniesienia {Ai} (związanym z miejscem zamocowania tego koła do platformy mobilnej) można zapisać w postaci:

g R

F

r_CG^{O Ai Ai i} _i^Ai

Ai

i m

m && = + ⁽⁾+ , (13)

(

) (

) (

)

i θ φ θ φ I θ φ T M τ

I && + && + & + & × & + & = + + , (14) gdzie: m - masa koła, _i ^Air&& - wektor przyspieszenia środka masy koła, F_CG^{O Ai} - wektor sił w

miejscu kontaktu, T^Ai - wektor momentu sił pochodzący od sił i momentów sił w miejscu kontaktu, ^AiR⁽ⁱ⁾, ^AiM - wektory siły i momentu siły reakcji, działające na koło w miejscu ⁽ⁱ⁾ jego zamocowania do platformy mobilnej, g^Ai - wektor przyspieszenia grawitacyjnego, I - _i tensor bezwładności koła, ^Rφ& ,^{O R}φ&&^O - wektory prędkości i przyspieszenia kątowego platformy mobilnej, ^Aiθ& ,^{R Ai}θ&&^R - wektory prędkości i przyspieszenia kątowego obrotu koła względem platformy mobilnej, ^Aiτ⁽ⁱ⁾=^Aiτ_d⁽ⁱ⁾+^Aiτ⁽_fⁱ⁾ - wektor momentu działający na koło – suma wektorów momentu napędowego i oporów ruchu w połączeniu ruchowym.

Równania te pozwalają na wyznaczenie wartości: ^AiR , ⁽ⁱ_x^{) Ai}R , ⁽ⁱ_y^{) Ai}R , _z^{(i) Ai}M_x⁽ⁱ⁾, ^AiM_z⁽ⁱ⁾ i θ&& . _i Ruch robota jest wynikiem działających na efektory sił i momentów sił zredukowanych do miejsc ich połączeń z platformą mobilną. Pomija się oddziaływanie dodatkowych sił zewnętrznych, w tym sił związanych z oporem ośrodka. Dynamiczne równania ruchu platformy mobilnej, z uwzględnieniem połączonych z nią efektorów, zapisuje się w postaci:

g F

a ^R

i Ai R O CG

R m

m =

∑

x

y z

z AiR

x AiR

z AiM

y AiM

x AiM

y AiR

Ai

τiy

c)

x

y z

Ai

O x Aiv

O y Aiv

O Aiv

αi

θ&i

ψ

γi

a)

x

y z

Ai

z TiF

x TiF

y TiF

Ti

z TiT

y TiT

x TiT

b)

( )

[ ]

∑

=

× +

i

Ai R CG R Ai R Ai R Ai R O R R O R O R

R φ φ I φ τ⁽⁰⁾ T r r F ,

I && & & (16)

gdzie: m,I ,_R ^Ra^O_CG - masa, tensor bezwładności i wektor przyspieszenia środka masy robota.

Na podstawie tych równań wyznaczane są parametry ruchu robota, tj:

⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛ +

=

∑

r ^R

i Ai R O

CG

R m

m

&& 1 , (17)

( )

[ ]

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ + + − × − ×

= ⁻

∑

i

Ai R CG R Ai R Ai R Ai R R O

Rφ&& I¹ τ⁽⁰⁾ T r r F φ& I φ& . (18) Składowe sił i momentów sił działających na efektory w miejscach ich połączeń z

platformą mobilną wynoszą:

Ai l R Ai Ail

RF = F ⋅ e , ^RT_Ail=^AiT ⋅^Re_l^Ai, (19)

natomiast analogiczne składowe działające na platformę mobilną określa się z zależności:

Ai l R i Ai Ail

RR⁽⁰⁾=− R⁽⁾⋅ e , ^RM_Ail⁽⁰⁾=−^AiM⁽ⁱ⁾⋅^Re_l^Ai, ^Rτ⁽_Ail⁰⁾=−^Aiτ⁽ⁱ⁾⋅ ^Re_l^Ai, (20) gdzie: ^Re - wektory jednostkowe osi układu odniesienia {Ai} wyrażone w układzie {R}. _l^Ai

4. BADANIA SYMULACYJNE

Dla opisanego modelu robota zostały przeprowadzone badania symulacyjne. Polegały one na rozwiązaniu zadania prostego dynamiki, w którym zadane były momenty napędowe dla dwóch kół jezdnych robota. Na tej podstawie wyznaczany był ruch robota oraz siły i momenty sił związane z kontaktem kół z podłożem. W symulacji przyjęto następujące parametry robota:

• wymiary geometryczne w [m] (poszczególne oznaczenia pokazano na rysunku 1b): l = 0,217, l1 = 0,163, r1 = r2 = r = 0,0825, r3 = 0,04,

• masy poszczególnych członów w [kg]: m0 = 5,67, m1 = m2 = 1,5, m3 = 0,5,

• tensory bezwładności² w [kg m²]: I0 = [0,078, 0, 0; 0, 0,101, 0; 0, 0, 0,154], I1 = I2 = [0,003, 0, 0; 0, 0,007, 0; 0, 0, 0,003], I3 = [0,00024, 0, 0; 0, 0,00055, 0; 0, 0, 0,00024].

• parametry opony: ki = 20 000 [N/m], ci = 250 [Ns/m], ei = 1.

Wartości tych parametrów przyjęto na podstawie prac [3,9] oraz szacunkowych obliczeń autora.

Pierwsza symulacja dotyczyła przypadku ruchu robota dla zadanych momentów napędowych wynoszących 1,7 [Nm]. Uzyskane wyniki symulacji pokazano na rys. 3. W parach kinematycznych związanych z obrotem kół względem platformy mobilnej uwzględniono występowanie sił tarcia.

W związku z tym pojawiają się w nich ujemne momenty wynikające z oporów ruchu, więc momenty, który trafiają na koła wynoszą ok. 1,5 [Nm] (rys. 3a). Robot porusza się początkowo po podłożu betonowym, a następnie wjeżdża na lód (rys. 3b). W początkowej fazie ruchu występuje duży poślizg wzdłużny (rys. 3c), który po rozpędzeniu się napędzanych kół jezdnych osiąga ostatecznie niewielką wartość wynoszącą kilka procent. W momencie, gdy robot wjeżdża na lód następuje nagłe zwiększenie poślizgu wzdłużnego, który ostatecznie osiąga wartość ok. 90%.

W momencie wystąpienia dużego poślizgu wzdłużnego znacznemu zwiększeniu ulegają prędkości kątowe obrotu napędzanych kół jezdnych, przy mniej więcej stałej prędkości ruchu wzdłużnego (rys. 3d). Siły i momenty sił związane z kontaktem koła jezdnego 1 z podłożem pokazane są na rysunkach 3e-h. Wartość składowej wzdłużnej siły po rozpędzeniu się robota oscyluje wokół pewnej wartości. Oscylacje te związane są z nierównomiernym toczeniem się samonastawnego koła podpierającego. W chwili, gdy koło jezdne 1 wjeżdża na lód wartość siły

2 Poszczególne elementy w wierszach macierzy oddzielono przecinkami, a wiersze średnikami.

MODELOWANIE I SYMULACJA RUCHU MOBILNEGO ROBOTA TRZYKOŁOWEGO… 417 wzdłużnej raptownie spada. Wartość składowej stycznej siły reakcji podłoża jest cały czas mniejsza od wartości siły tarcia rozwiniętego. Wartość momentu oporów toczenia (rys. 3g) w trakcie ruchu po podłożu betonowym jest większa w stosunku do ruchu po lodzie. W obu przypadkach wartość oporów toczenia ma niewielki wpływ na ruch robota w stosunku do wpływu siły wzdłużnej.

t [s]

0 1 2 3

-0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

τ^1y [Nm] τ^2y [Nm]

τ^f1y [Nm] τ^f2y [Nm]

0 1 2 3 4

-2 -1 0

OxR [m]

Oy_R [m]

t [s]

0 1 2 3

0 20 40 60 80 100 λ1 [%]

t [s]

0 1 2 3

0 50 100 150 200

250 θ^.1 [rad/s] θ^.1* [rad/s]

t [s]

0 1 2 3

-20 0 20 40 60 80

A1Fx [N] ^A1Fy [N] ^A1Fz [N]

t [s]

0 1 2 3

-20 0 20 40 60

A1Fx [N] ^A1Fxy [N] μp A1Fz [N]

t [s]

0 1 2 3

-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0

T1 T^x [Nm] ^T1 T^y [Nm] ^T1 T^z [Nm]

t [s]

0 1 2 3

-2 -1 0 1 2

A1Tx [Nm] ^A1Ty [Nm] ^A1Tz [Nm]

Rys. 3. Wyniki symulacji ruchu robota dla zadanych jednakowych momentów napędowych Druga symulacja dotyczy przypadku ruchu robota dla zadanych różnych momentów napędowych wynoszących odpowiednio: τ1y = 1,4 [Nm] i τ 2y = 1,6 [Nm]. Wyniki symulacji zilustrowano na rys. 4. Momenty napędowe działające na koła jezdne robota oraz momenty związane z oporami ruchu w parach kinematycznych (ujemne) pokazano na rys. 4a. Robot rozpoczyna jazdę na podłożu betonowym, a następnie wjeżdża na lód (rys. 4b). Ze względu na mniejszy moment napędowy na lewym kole w trakcie jazdy robot skręca w lewo. Największe wartości poślizgu wzdłużnego można zaobserwować w początkowej fazie ruchu (rys. 4c-d). Po rozpędzeniu robota, zmniejszają się one do kilku procent, natomiast po wjechaniu na lód ponownie rosną. Ponieważ lewo koło robota ostatecznie zjeżdża z lodu ponownie na podłoże betonowe, więc poślizg wzdłużny dla tego koła ponownie maleje (rys. 4c). W trakcie poruszania się po lodzie prędkości kątowe obrotu kół jezdnych ulegają istotnemu zwiększeniu, natomiast prędkości ruchu wzdłużnego zmieniają się w niewielkim zakresie (rys. 4e-f). Wskutek wjechania lewego koła na podłoże betonowe przy prawym kole pozostającym na lodzie, platforma mobilna robota w końcowej fazie symulacji doznaje obrotu w prawo. Skutkuje to istotnym zwiększeniem wartości składowej normalnej siły reakcji w miejscu kontaktu dla lewego koła i zmniejszeniem

beton lód

a) b)

c) d)

f)

h) e)

g)

analogicznej wartości dla koła prawego (rys. 4g-h). Spowodowane to jest powstaniem dużej odśrodkowej siły bezwładności związanej z szybkim obracaniem się platformy mobilnej.

Podobnie jak poprzednio wartości składowych wzdłużnych sił reakcji podłoża oraz momentów oporów toczenia ulegają znacznemu zmniejszeniu w trakcie ruchu robota po lodzie (rys. 4g-l).

t [s]

0 1 2 3

-2 -1 0 1 2

τ1y [Nm] τ^2y [Nm]

τf1y [Nm] τf2y [Nm]

0 1 2 3 4

-2 -1 0

OxR [m]

OyR [m]

t [s]

0 1 2 3

-80 -40 0 40 80

λ₁ [%]

t [s]

0 1 2 3

-80 -40 0 40 80

λ₂ [%]

t [s]

0 1 2 3

0 40 80 120 160

200 θ^.1 [rad/s] θ^.1* [rad/s]

t [s]

0 1 2 3

0 40 80 120 160

200 θ^.2 [rad/s] θ^.2* [rad/s]

t [s]

0 1 2 3

-40 -20 0 20 40 60 80

A1Fx [N] ^A1Fy [N] ^A1Fz [N]

t [s]

0 1 2 3

-40 -20 0 20 40 60 80

A2Fx [N] ^A2Fy [N] ^A2Fz [N]

t [s]

0 1 2 3

-40 -20 0 20 40 60

A1Fx [N] ^A1Fxy [N] μp A1Fz [N]

t [s]

0 1 2 3

-40 -20 0 20 40 60

A2Fx [N] ^A2Fxy [N] μp A2Fz [N]

t [s]

0 1 2 3

-0.08 -0.04 0 0.04 0.08

T1 T^x [Nm] ^T1 T^y [Nm] ^T1 T^z [Nm]

t [s]

0 1 2 3

-0.08 -0.04 0 0.04 0.08

T2 T^x [Nm] ^T2 T^y [Nm] ^T2 T^z [Nm]

Rys. 4. Wyniki symulacji ruchu robota dla zadanych różnych momentów napędowych beton

lód

a) b)

c) d)

f)

h) e)

g)

i)

k)

j)

l)

MODELOWANIE I SYMULACJA RUCHU MOBILNEGO ROBOTA TRZYKOŁOWEGO… 419 5. PODSUMOWANIE

Zaprezentowana metodyka modelowania dynamiki jest na tyle uniwersalna, że może być zastosowana do szerokiej gamy mobilnych robotów lądowych. W pracy zaprezentowano wyniki badań symulacyjnych z zastosowaniem omawianej metody dla robota Pioneer 2DX.

Badania te dotyczyły zadania prostego dynamiki, w którym analizowany był ruch robota po podłożu o różnych właściwościach z uwzględnieniem występowania poślizgu kół jezdnych. W badaniach wyznaczony został także rozkład sił reakcji działających od podłoża na koła robota.

Z wykonanych badań symulacyjnych wynikają następujące wnioski:

• największe wartości poślizgu wzdłużnego dla kół jezdnych robota występują w początkowym etapie ruchu;

• po rozpędzeniu się robota na podłożu betonowym wynoszą one ostatecznie kilka procent;

• zmiana rodzaju podłoża, po którym porusza się robot, w istotny sposób wpływa na jego ruch;

• po wjechaniu robota na lód, poślizgi ulegają zwiększeniu do 80-90%, zależnie od koła jezdnego;

• ruch kół jezdnych po lodzie skutkuje znacznym zmniejszeniem składowych wzdłużnych sił reakcji podłoża i momentów oporów toczenia oraz znacznym zwiększeniem prędkości kątowych obrotu własnego kół jezdnych przy prędkościach wzdłużnych dla tych kół zmieniających się w niewielkim zakresie;

• ruch jednego z kół jezdnych po podłożu betonowym przy drugim poruszającym się po lodzie skutkuje obrotem platformy mobilnej robota;

• z kolei obrót platformy mobilnej powoduje zróżnicowanie składowych normalnych sił reakcji podłoża, co jest związane z występowaniem odśrodkowej siły bezwładności.

LITERATURA

1. Blundell M., Harty D.: The multibody system approach to vehicle dynamics. Elsevier, 2004.

2. Dąbek P., Szosland A.: Identyfikacja parametrów skrętnych opony niepneumatycznej robota mobilnego.”Pomiary, Automatyka, Robotyka” 2011/2, 495-503.

3. Giergiel M. J., Hendzel Z., Żylski W.: Modelowanie i sterowanie mobilnych robotów kołowych. Warszawa: PWN, 2002.

4. Jazar R. N.: Vehicle dynamics: theory and application. Springer + Business Media, 2008.

5. Nasri A., Hazzab A., Bousserhane I. K., Hadjeri S., Sicard P.: The eficiency of the inference system knowledge strategy for induction motor linear speed control of an urban electric vehicle. “Journal of Automation, Mobile Robotics & Intelligent Systems” 2010, Vol. 4, N° 1, p. 85-93.

6. Operations manual the Pioneer 2 mobile robot. ActivMEDIA ROBOTICS, LLC, USA, 1999.

7. Pacejka H. B.: Tire and vehicle dynamics. 2nd ed. SAE International and Elsevier, 2005.

8. Thanjavur K., Rajagopalan R.: Ease of dynamic modelling of wheeled mobile robots (WMRs) using Kane's approach. In: Proc. of the 1997 IEEE International Conference on Robotics and Automation. Albuquerque, New Mexico - April 1997, p. 2926-2931.

9. Trojnacki M.: Sterowanie ruchem nadążnym mobilnego robota kołowego z zastosowaniem sieci neuronowych. Rozprawa doktorska. Rzeszów: Pol. Rzesz., 2003.

10. Wong J. Y.: Theory of ground vehicles. 3rd ed. Wiley-Interscience, 2001.

Niniejsza praca została sfinansowana z Europejskiego Funduszu Rozwoju Regionalnego w ramach Programu Operacyjnego Innowacyjna Gospodarka, 2007-2013 w ramach projektu pt.: "Zintegrowany Mobilny System Wspomagający Działania Antyterrorystyczne i Antykryzysowe" o akronimie PROTEUS (POIG.01.01.02-00-014/08).

MODELING AND SIMULATION OF MOTION OF A THREE-WHEELED MOBILE ROBOT TAKING INTO ACCOUNT WHEELS SLIPPAGE

Summary. In this paper, on example of a three-wheeled mobile robot, a universal methodology for analytical modeling of dynamics of ground mobile robots is presented. This methodology takes into account wheel-ground contact conditions and wheels slippage. Essence of the approach used in this work is the division of the robot model into two separate parts, one concerning the wheel-ground interaction (including a tire model) and the other regarding the mobile platform. The important part of this work is simulation research performed using Matlab/Simulink package which allows for the numerical verification of the elaborated solutions.