Matematyka dyskretna - teoria
Jan Rodziewicz-Bielewicz, Wydziaª Informatyki ZUT March 3, 2020
2 Dowodzenie twierdze«
Budowa twierdzenia: przy zaj±ciu zaªo»e« (P ), zachodzi te» teza (Q). (P ⇒ Q) Podstawowe techniki dowodzenia:
• Dowód nie wprost - przypuszczenie faªszywo±ci tezy i doprowadzenie do sprzeczno±ci (zdanie sprzeczne C∧ ∼ C).
• Dowód indukcyjny - wykorzystanie zasady indukcji matematycznej.
• Dowód wprost - przyj¦cie zaªo»enia i przej±cie do tezy.
• Dowód przez kontrapozycj¦ - wykorzystanie tautologii (P ⇒ Q) ⇔ (∼ Q ⇒∼ P ).
• Kontrprzykªad - pokazanie, »e dane twierdzenie jest faªszywe poprzez wskazanie przykªadu, dla którego mimo speªnienia zaªo»e« nie zachodzi teza.
Aksjomat (Zasada Indukcji Matematycznej) Niech P (n) b¦dzie zdaniem zawieraj¡cym liczb¦ natu- raln¡ n. Je»eli:
1. ∃n0∈N
P (n0)jest prawdziwe,
2. ∀
k∈N,k>n0
[P (k)jest prawdziwe ⇒ P (k + 1) jest prawdziwe],
to ∀
n∈N,n>n0
P (n)jest prawdziwe.
References
[1] Larisa Dobryakova, Matematyka dyskretna. Lulu, 2012.
[2] Helena Rasiowa, Wst¦p do matematyki wspóªczesnej. Pa«stwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973.
[3] Wiktor Marek, Janusz Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogo±ci w zadaniach. Pa«stwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972.
[4] Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright, Matematyka dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999.
1
