23.5. Pole elektryczne dipola elektrycznego
Na rysunku 23.8a przedstawiono dwie naładowane cząstki o takiej samej war- tości ładunku q, ale przeciwnych znakach, znajdujące się w odległości d. Jak już wspomnieliśmy podczas omawiania rysunku 23.5, taki układ ładunków nazy- wamy dipolem elektrycznym. Znajdźmy pole elektryczne dipola z rysunku 23.8a w punkcie P , w odległości z od środkowego punktu dipola, na osi przechodzącej przez cząstki, zwanej osią dipola.
Rys. 23.8. a) Dipol elektryczny. Wek- tory natężenia pola elektrycznego EE(+)
i EE(−) w punkcie P na osi dipola pochodzą od dwóch ładunków dipola.
Punkt P znajduje się w odległości r(+)
i r(−)od poszczególnych ładunków two- rzących dipol. b) Moment dipolowy Ep dipola jest skierowany od ładunku ujem- nego do ładunku dodatniego
Korzystając z symetrii, wnioskujemy, że natężenie pola elektrycznego EE w punkcie P — a także natężenia pól EE(+)i EE(−)wytworzonych przez oddzielne ładunki tworzące dipol — muszą być skierowane wzdłuż osi dipola, którą wy- braliśmy za oś z. Stosując zasadę superpozycji dla natężeń pól elektrycznych, znajdujemy wartość E natężenia pola elektrycznego w punkcie P :
E= E(+)− E(−)= 1 4πε0
q r(+)2 − 1
4πε0
q r(−)2
= q
4πε0(z−12d)2 − q
4πε0(z+21d)2. (23.5) Po algebraicznym przekształceniu wzór ten można zapisać w postaci:
E= q
4πε0z2
1 − d 2z
−2
−
1 + d
2z
−2
. (23.6)
Jesteśmy zwykle zainteresowani polem dipola w dużych odległościach w po- równaniu z wymiarami dipola, czyli dla z d. Przy tak dużych odległościach we wzorze (23.6) mamy d/(2z) 1. Możemy wtedy rozwinąć w szereg dwie wiel- kości w nawiasach w tym równaniu i po skorzystaniu ze wzoru dwumianowego (dodatek E) otrzymujemy:
1 + 2d 2z(1!) + · · ·
−
1 − 2d 2z(1!) + · · ·
. Stąd:
E= q
4πε0z2
1 +d z + · · ·
−
1 − d
z + · · ·
. (23.7)
Wyrazy, które pominęliśmy, pisząc wzór (23.7), zawierają d/z kolejno w coraz wyższych potęgach. Wartości tych wyrazów są kolejno coraz mniejsze, ponieważ d/z 1. Obliczając E dla dużych odległości, możemy je pominąć. W tym przybliżeniu możemy przepisać wzór (22.7) w postaci:
E= q
4πε0z2 2d
z = 1
2πε0
qd
z3. (23.8)
Iloczyn qd, który zawiera dwie wielkości charakteryzujące dipol, q i d, jest wartością p wielkości wektorowej zwanej momentem dipolowym elektrycz- nym Ep dipola. (Jednostką momentu Ep jest kulomb razy metr (C · m)). Wzór (23.8) możemy więc zapisać w postaci:
E= 1 2πε0
p
z3 (dipol elektryczny). (23.9)
26 23. Pole elektryczne
