5 Przeksztaªcenia konforemne Zad.1 Znale¹¢ odwzorowanie konforemne f(z), które przeksztaªca obszar D = C \ {z ∈ C : Rez ≤ 0 ∧ Imz = 0} na obszar D1 = {z ∈ C : |z| &gt

(1)

Analiza zespolona 2019/2020

Zadania domowe - cz¦±¢ 5 Przeksztaªcenia konforemne

Zad.1 Znale¹¢ odwzorowanie konforemne f(z), które przeksztaªca obszar D = C \ {z ∈ C : Rez ≤ 0 ∧ Imz = 0} na obszar D¹ = {z ∈ C : |z| > 1}.

Odpowied¹ Obszar D mo»na zapisa¢ jako

D = {z ∈ C : −π < Argz < π}.

Wtedy pierwsza gaª¡z pierwiastka f1(z) =√

z przeksztaªca obszar D na D⁰ = {z ∈ C : −π/2 < Argz < π/2}.

(uzasadni¢ dlaczego f1(z) jest konforemne). Funkcja f2(z) = iz odwozoruje D⁰ na D⁰⁰ = {z ∈ C : 0 < Argz < π}.

Zauwa»my, »e D⁰⁰ jest górn¡ póªpªaszczyzn¡. Niech f₃(z) = e^iπ/2z − i

z + i.

Jest to homograa znana z poprzednich zada« (przeksztaªcaj¡ca górn¡ pªaszczyzn¦ na dysk D(0, 1)), gdzie przyj¦to a = i i φ = π/2. Homograa

f₄(z) = 1

z : D(0, 1) → {z ∈ C : |z| > 1}.

Szukane odzworowanie jest nast¦puj¡c¡ superpozycj¡

f (z) = f4◦ f3◦ f2◦ f1.

Zad.2 Znale¹¢ odwzorowanie konforemne f(z), które przeksztaªca obszar

D = C\{z ∈ C : Rez ∈ (−∞, −1]∪[1, ∞) ∧ Imz = 0} na obszar D1 = {z ∈ C : Imz > 0}.

Odpowied¹ Niech g(z) = ^1−z_1+z. Wtedy

g(D) = D⁰ = {z ∈ C : −π < Argz < π}.

Uwaga Nale»y pami¦ta¢, »e je±li D jest obszarem a f jest przeksztalceniem ró»nowarto-

±ciowym i ci¡gªym (w szczególno±ci holomorcznym) to f (∂D) = ∂f (D).

Homograa g zachowuje R:

g((−∞, −1)) = (−∞, −1), g((−1, 1)) = (0, +∞) g([1, +∞)) = (−1, 0].

Dalej korzystaj¡c z porzedniego zadania wiemy, »e f2◦ f₁◦ g przeksztaªci obszar D na górn¡ pópªaszczyzn¦. Szukane odwzorowanie ma posta¢

f (z) = i 1 − z 1 + z

1/2

,

1

(2)

2

gdzie bierzemy pierwsz¡ gaª¡¹ pierwiastka.

Zad.3 Znale¹¢ odwzorowanie konforemne f(z), które przeksztaªca obszar

D = C \ {z ∈ C : −3 ≤ Rez ≤ −1 ∧ Imz = 0} na obszar D¹ = {z ∈ C : Imz > 0}.

Odpowied¹ Niech f1(z) = z + 2. Wtedy

f₁(D) = C \ {z ∈ C : −1 ≤ Rez ≤ 1 ∧ Imz = 0}.

Z kolei f2(z) = ¹_z przeksztaªci

C \ {z ∈ C : −1 ≤ Rez ≤ 1 ∧ Imz = 0}

na pªaszczyzn¦ rozci¦t¡ wzdªu» prostych (−∞, −1] ∪ [1, ∞) (tzn. na pªaszczyzn¦ z której usuni¦to (−∞, −1] ∪ [1, ∞)). Dalej korzystamy z poprzedniego zadania i rozpatrujemy f₃(z) = ^1−z_1+z, bierzemy pierwsz¡ gaª¡¹ f4(z) = z^1/2, f5(z) = iz. Szukane odwzorowanie ma posta¢

f = f₅◦ f₄◦ f₃◦ f₂◦ f₁.

Zad.4 Znale¹¢ odwzorowanie konforemne f(z), które przeksztaªca obszar D = {z ∈ C : Imz > 0} \ {z ∈ C : Rez = 0 ∧ 0 < Imz ≤ 1} na obszar D1 = {z ∈ C : |z| < 1}.

Odpowied¹ Niech f1(z) = z². Wtedy f1(D) jest pªaszczyzn¡ rozci¦t¡ wzdlu» póª- prostej [−1, +∞) tzn. pªaszczyzn¡ z której usuni¦to [−1, +∞)). Funkcja f2(z) = z + 1 przesunie rozci¦cie na póªprost¡ [0, +∞). Kolejno f3(z) = −z, f4(z) = z^1/2 pierwsza gaª¡¹ pierwiastka, f5(z) = iz, f6(z) = e^{iφ z−a}_z−¯_a, Ima > 0, odwzoruje na D(0, 1). Zatem

f = f6◦ f5◦ f4◦ f3◦ f2◦ f1.

Zad.5 Znale¹¢ odwzorowanie konforemne f(z), które przeksztaªca koªo D = {z ∈ C :

|z| < 1} na obszar D1 = {z ∈ C : 0 < Imz < π}.

Odpowied¹ f1(z) to homograa odwrotna do homograi przeksztaªaj¡cej górn¡ póª- pªaszczyzn¦ na D(0, 1) (z wykªadu). Zatem f1(D) = {z ∈ C : Imz > 0}. f2(z) = Lnz. Wtedy f2◦ f1 jest szukanym przeksztaªceniem.

Zad.6 Znale¹¢ odwzorowanie konforemne f(z), które przeksztaªca pas D = {z ∈ C : 0 < Imz < ^π₂} na pólkole D = {z ∈ C : Imz > 0 ∧ |z| < 1}.

Odpowied¹ Fukcja f1(z) = e^z przeksztaªca pasek D na D⁰ = {z ∈ C : Rez >

0 ∧Imz > 0}. Za± homograa f2(z) = ^z−1_z+1 przeksztaªci D⁰ na D1. W tym celu zapiszemy D⁰ = A ∩ B, gdzie A = {z ∈ C : Rez > 0 ⇔ |z + 1| > |z − 1|},

B = {z ∈ C : Imz > 0 ⇔ |z + i| > |z − i|}. Homograa odwrotna ma posta¢

z = f₂⁻¹(w) = ^w+1_1−w.

f₂(A) = {w ∈ C :

w + 1 1 − w + 1

>

w + 1 1 − w+ − 1

} = {w ∈ C : |w| < 1}

f₂(B) = {w ∈ C :

w − 1 w + 1 − i

<

w + 1 1 − w + i

<} = {w ∈ C : |w − i| < |w + i|}

(3)

3

St¡d f2(D⁰) = D₁ i f2◦ f₁ jest szukanyn przeksztaªceniem.

Zad. 7 Znale¹¢ odwzorowanie konforemne f(z), które przeksztaªca obszar D b¦d¡cy D(0, 1) = {z ∈ C : |z| < 1} rozci¦tym wzdªu» promienia na obszar D¹ = {z ∈ C : 0 <

Imz < ^π₂}.

Odpowied¹ Niech f1(z) = z^1/2 ( rozci¦cie wzdªu» ujemnej osi). Wtedy D⁰ = f1(D) = {z ∈ C : |z| < 1 ∧ Rez > 0}.

f₂(z) = iz. Dalej skorzysta¢ z poprzedniego zadania.

Zad.8 Znale¹¢ odwzorowanie konforemne f(z), które przeksztaªca wycinek koªowy D = {z ∈ C : 0 < Argz < ^π₃} na obszar D1 = {z ∈ C : |z| < 1}.

Odpowied¹ Fukcja f1(z) = z³ przeksztaªca k¡t D na górn¡ póªpªaszczyzn¦, a homograa (z wykªadu) na D(0, 1).