• Nie Znaleziono Wyników

Cwiczenie 1. Dane odwzorowanie F : C ´ 2 → C 2 postaci

N/A
N/A
Info
Pobierz
Protected

Academic year: 2021

Share "Cwiczenie 1. Dane odwzorowanie F : C ´ 2 → C 2 postaci"

Copied!
2
0
0

Ładowanie.... (Zobacz pełny tekst teraz)

Pobierz teraz ( 2 Stron )

Pełen tekst

(1)

ALGEBRA I R

Odwzorowania transponowane, wyznaczniki i ´ slad Javier de Lucas

Cwiczenie 1. Dane odwzorowanie F : C ´ 2 → C 2 postaci

[F ] E E =

 0 i

−i 0



w bazie kanonicznej E , sprawd´ z, ˙ze [F ] B E = ([F ∗ ] E B

∗∗

) T dla bazy B =  1

i

 ,

 1

−i



.

Cwiczenie 2. Niech F : E → E b¸edzie odwzorowaniem liniowym takim, ˙ze F ´ 2 = F i dim E < ∞. Udowodonij, ˙ze istnieje taka baza E dla kt´ orej [F ] E E ma posta´ c

1 0 . . . 0 0 . . . 0 0 1 . . . 0 0 . . . 0 . . . .

0 0 . . . 1 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0 . . . .

0 0 . . . 0 0 . . . 0

 .

Cwiczenie 3. Kommutator macierzy przestrzeni wektorowej M ´ n (C) to [A, B] = A · B − B · A, A, B ∈ M n (C).

Udowodnij, ˙ze odwzorowanie b : (A, B) ∈ M n (C) × M n (C) 7→ [A, B] ∈ M n (C) to odw- zorowanie biliniowe alternuj¸ ace spe lniaj¸ ace

[A, [B, C]] = [[A, B], C] + [B, [A, C]], identyczno´s´ c Jacobiego,

dla dowolnych A, B, C ∈ M n (C). M´owi si¸e wtedy, ˙ze (M n (C), [·, ·]) to algebra Liego.

Ustal, ˙ze Tr[A, B] = 0 dla dowolnych macierzy A, B. Udowodnij, ˙ze z tego wynika, ˙ze zbi´ or macierzy bez´sladowych z dzia laniem b jest algebr¸ a Liego. Czy to jest te˙z prawda:

a) dla macierzy symetrycznych A = A T , b) dla macierzy antysymetrycznych A = −A T .

1

(2)

ALGEBRA I R

Cwiczenie 4. Dane odwzorowanie F : E → E, gdzie E to przestrze´ ´ n liniowa sko´ nczonego wymiaru, wiemy, ˙ze

det F = det[F ] B B , Tr F = Tr[F ] B B

dla dowolnej bazy B. Udowodnij, ˙ze det F i Tr F s¸ a dobrze zdefiniowane (czyli niezale˙zne od bazy).

2

Cytaty

Pobierz teraz ( PDF - 2 Stron - 222.47 KB )

Powiązane dokumenty

Cwiczenie 1. Dane jest odwzorowanie liniowe F : R ´ 3 → R 3 postaci F : (x, y, z) ∈ R 3 7→ (x − y + z, z − x + y, x + y + z) ∈ R 3 . Oblicz ker F , Im F . Udowodnij, ˙ze istnieje F −1 i obliczy´ c macierze F −1 i F w bazach kanonicznych. Czy istnieje v ∈

[r]

Cwiczenie 1. Znale´ ´ z´ c pochodne cz¸ astkowe funkcji f (x, y) = arctg x

ANALIZA II 15 marca 2014.

Cwiczenie 1. Policzy´ ´ c pochodn¸ a kierunkow¸ a funkcji:

Ponadto, w ∂K tylko mamy jeden

Cwiczenie 1. Dane wektory ´

Oblicz obj¸eto´s´ c r´ ownoleg lo´scianu zbu- dowanego z tych wektor´ ow oraz powierzchni ich ´scian.. Oblicz k¸ aty

dla pewnych wielomiam´ ow g(X) i r(X) gdzie r(X) ma stopie´ n jeden, czyli r(X) = c 1 X +c 0 dla c 1 , c 0 ∈ R. Aby zagwarantowa´c, ˙ze f 1 jest podzielny przez f 2 , to musimy szuka´ c a, b takich, ˙ze r(X) = 0.

Z twierdzenia dzielenia wielomian´ ow wynika, ˙ze ta reszta ma stopie´ n jeden... Z twierdzenia dzielenia wielomian´ ow wynika, ˙ze ta reszta ma stopie´

Cwiczenie 2. Rozwi¸ ´ a˙z r´ ownania w ciele C:

Rozwi¸ azanie ka˙zdego zadania musi znaj- dowa´ c si¸e na osobnej kartce oraz by´ c napisane starannie i czytelnie.. ta funkcja jest nieujemna na ca lem zbiorze X lub niedodatnia na

Cwiczenie 1. Dane odwzorowanie F : C ´ 2 → C 2 postaci

Wi¸ec, og´ olnie nie mo˙zna powiedzie´ c, ˙ze zbi´ or macierzy symetrycznych jest algebr¸ a

Cwiczenie 2. Wykaza´ ´ c, ˙ze

[r]