Z e i t s c h r i f t
fü r den
Physikalischen und Chemischen Unterricht.
X I I I . Jahrgang. Zweites Heft. März 1900.
Zur Behandlung- der Sinnsschwingungen und Pendelbewegungen im Unterricht.
Von
Prof. Dr. Alois llö lle r in Wien.
D afs d ie L e h re v o n d e n S c h w i n g u n g e n a m besten an d ie v o n den K r e i s u n g e n (w ie w ir s ta tt „ g le ic h fö r m ig k re is fö rm ig e B e w e g u n g e n “ v e re in fa c h e n d sagen w o lle n ) a n k n ü p ft, n ä m lic h die S in u s s c h w in g u n g als P ro je k tio n d e r K re is u n g a u fg e fa fs t w ir d , is t eine ge g e n w ä r tig schon fa s t a llg e m e in g e w o rd e n e L e h rp ra x is .
W e n n an e in e r b lo fse n Z e ic h n u n g d e r k re is e n d e P u n k t a u f eine in se in e r E bene lie g e n d e G erade p ro jiz ie r t w ir d , so is t dies schon eine g e o m e t r i s c h a n s c h a u l ic h e B e h a n d lu n g . D en Z w e c k e n des e ig e n t
lic h p h y s ik a lis c h e n U n te rric h ts n ä h e r s te h t a b e r d ie p h o r o n o m i s c h a n s c h a u l i c h e V o rfü h r u n g d ie se r B e w e g u n g e n selbst an e in e m M o d e ll, w ie das sehr in s tr u k tiv e v o n Be r g m a n n, das diese Z e its c h rift in ih re m a lle r ersten H e fte ( / 25) g e b ra c h t h a t. E ig e n tlic h p h y s i k a l i s c h a n s c h a u l i c h is t a b e r sogar e in solches ad hoc c o n s tru ie rte s M o d e ll n och n ic h t. Es la g nahe, d ie S inus
s c h w in g u n g e n w ir k lic h d u rc h P ro je k tio n e in e r solchen K re is u n g zu g e w in n e n , d ie au ch sonst den S c h ü le r p h y s ik a lis c h u n m itte lb a r a n g e h t, n ä m lic h des K re is - lcegelpendels. Ic h s c h ild e re zu e rst d ie V e rsu ch e , u n d fü g e d a n n e in ig e A n d e u tu n g e n ü b e r d e n L e h rg a n g bei, in d e n sich diese V e rs u c h e (w ie d ie ü b rig e n , z. B . ü b e r d ie B e z ie h u n g v o n T u n d l, w e lc h e als ohnedies h e i-
Fig- J-
kömmlich nicht besonders erwähnt werden) einzufügen haben.
I . V e rs u c h e .
V ersuch 1. Benutzt w ild hiei- zu das Pendel m it möglichst grofser Pendellänge (Fig. 1), das zu dem Foucaultschen Versuche dient (in Ermanglung eines solchen thut es
u. X III.
Z e its c h r ift f ü r d e n p h y s ik a lis c h e n D r e iz e h n t e r J a h rg a n g .
66 A. Hö f l e f, Si n ü s s c h w i n g ü n g e n.
a b e r a u ch e in S te in an e in e r an d e r Z im m e rd e c k e b e fe s tig te n S c h n u r). I n M annes
höhe is t an dem P e n d e ld ra h t eine le ic h te H o lz k u g e l a n g e b ra c h t. I h r g e g e n ü b e r, u n d z w a r m ö g lic h s t w e it v o n ih r e n tfe rn t, b e fin d e t sich in g le ic h e r H ö h e d ie P ro je k tio n s la m p e . D iese e n tw ir ft v o n d e r K u g e l a u f e in e m S c h irm e , d e r v o n den S tra h le n n o rm a l g e tro ffe n w ir d , e in e n S chatten. W ir d d e r P e n d e lk ö rp e r m it d e r H a n d in K re is u n g e n v e rs e tz t (w o b e i d ie B a h n a u f e in e m P a p ie r b la tt o d e r a u f dem W e in - h o ld s c h e n T e lle r v o rg e z e ic h n e t sein k a n n ), so b e w e g t sieh a u ch d ie H o lz k u g e l in etw as k le in e re n K re is e n v o n w a g re c h te r E bene, u n d d e r S ch a tte n f ü h r t also a u f dem S c h irm e S in u s s c h w in g u n g e n aus. Es s in d a u f dem S c h irm e z w e i G erade als B a h n e n des S chattens v o rg e z e ic h n e t, d ie eine als w a g e re c h te r H a lb m e s s e r eines H a lb k re is e s v o n 30 cm , d ie and e re e n tsp re ch e n d 15 cm H a lb m e sse r. D e r B o gen je d e s V ie rte lk re is e s is t in d re i g le ic h e T e ile g e te ilt, v o n den T e ilu n g s p u n k te n s in d N o rm a le n g e fä llt u n d geben so a u f dem D u rch m e sse r P u n k te an, d ie den E lo n g a tio n e n 0 ^ V ‘ä, a, sow ie d e n g le ic h e n entgegengesetzten, e n tsprechen. Sie s in d m it 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 b e ze ichn e t.
In fo lg e d e r g ro fs e n Masse des P e n d e lk ö rp e rs is t es le ic h t, ih n in lä n g e r a n h a l
te n d e K re is u n g e n v o m g e w ü n s c h te n H a lb m e s s e r m it d e r diesem e n ts p re c h e n d e n G e
s c h w in d ig k e it z u ve rse tze n . D e n n h a t m a n d ie G e s c h w in d ig k e it z u k le in g e w ä h lt, so e m p fin d e t d ie d e n K ö rp e r im K re is e h e ru m fü h re n d e H a n d d e u tlic h d ie n a ch in n e n w irk e n d e C om ponente d e r S c h w e rk ra ft; is t d ie G e s c h w in d ig k e it z u g ro fs, so e m p fin d e t m a n ebenso d ie n a c h a u s w ä rts zie h e nd e C e n trifu g a lk ra ft. Es is t schon f ü r s ich e in anziehendes S chauspiel, das P e n d e l, w e n n es e in m a l in d ie r ic h tig e B e w e g u n g v e r se tzt is t, diese seine K re is u n g e n (K re is k e g e ls c h w in g u n g e n ) d ie ganze S c h u ls tu n d e b in - d u rc h m it m a je s tä tis c h e r R u h e f o r t
setzen zu sehen. — D e r S ch a tte n d e r H o lz k u g e l p a ssie rt d a n n die v o rg e z e ic h n e te n P u n k te des D u rc h messers so, d afs m a n in g le ic h - m ä fs ig e m T e m p o (das s ich d u rc h das M e tro n o m n o ch s c h ä rfe r con- tr o llie r e n lä fs t) in e n ts p re c h e n d e r B e to n u n g zu z ä h le n h a t 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 0, 1, 2 etc.
W a re n d ie K re is u n g e n bezw . S c h w in g u n g e n z u e rs t m it d e r gröfse- re n A m p litu d e n a c h g e z ä h lt w o rd e n u n d w ir d n u n d e r P e n d e lk ö rp e r v o n d e r H a n d a u f d ie K re is u n g e n v o n d e r h a lb e n A m p litu d e g e b ra c h t, so f ä llt es a u f, dafs d ie S c h w in g u n g s d a u e r tro tz d e m n ic h t e tw a m e r k lic h k le in e r w ir d (in W a h rh e it a lle rd in g s n a c h dem V e rh ä ltn is 1 : (/cos (/>, was
F ig . 2.
sich a b e r b e im V e rs u c h e selbst e rst d u rc h N a c h z ä h le n sehr v ie le r S c h w in g u n g e n v e rra te n w ü rd e ).
V e r s u c h 2. W e rd e n z w e i S c h irm e u n d z w e i P ro je k tio n s a p p a ra te (F ig . 2) so a u fg e s te llt, dafs d ie S ch irm e b e n e n , b e zw . L ic h ts tra h le n , z u e in a n d e r n o rm a l s in d , so
u n d ch e m is c h e n U n te r r ic h t . H e ft IT . M ä rz 1 9 0 0 .__
A . Hö f l e b, Sin u s s c h w i n g u n g e n. 67
w ir d d ie Z e r l e g u n g e in e r K r e i s u n g in z w e i z u e in a n d e r n o rm a le S in u s s c h w in - g u n g e n v o n g le ic h e r A m p litu d e u n d e in e r P h a s e n d iffe re n z v o n 2 /4 v e ra n s c h a u lic h t;
u n d eben h ie r m it a u ch u m g e k e h rt, d afs z w e i solche S c h w in g u n g e n z u s a m m e n g e s e t z t w ie d e r eine K re is u n g g eben. — D e m e n ts p ric h t a n a ly tis c h d ie H e rle itu n g v o n x i + y i = a 2 aus x = a sin a t u n d y = a cos at.
V e r s u c h 3. W ir d w ä h re n d des v o rig e n V e rsuches v o n den z w e i S c h w in g u n g e n d ie eine so w e it u n te r d rü c k t, dafs d ie A m p litu d e n ic h t m e h r a, s o n d e rn ^ g e m e in b) b e trä g t (w o b e i m a n a m b e q u e m ste n d ie S tre c k e n 2« u n d 2b b e o b a ch te t, d ie v o n d e n S c h a tte n fle c k e n a u f d e n z w e i S c h irm e n d u rc h la u fe n w e rd e n ), so fu r t d e r P e n d e lk ö rp e r u n d ebenso d ie H o lz k u g e l (a n n ä h e rn d ) e l l i p t i s c h e S ch w in g u n g e n aus. — A n a ly tis c h : A u s ~ = s in a t u n d = cos a t e rg ie b t s ich - - + - p - — 1- P h y s ik a lis c h m e r k w ü r d ig is t a u ch h ie r, dafs sich diese E llip s e lä n g e re Z e it e rh a lt, w as w ie d e r den sehr a n n ä h e rn d e n Is o c h ro n is m u s d e r S c h w in g u n g e n v o n v e rs c h ie d e n e r A m p litu d e b e w e is t. D a b e i is t a b e r a lle rd in g s d ie B a h n des S chattens k e in e w a g e re c h te G erade m e h r, s o n d e rn n a c h u n te n c o n v e x (u n d dem e n ts p re c h e n d a u ch die B a h n des P e n d e lk ö rp e rs u n d d e r H o lz k u g e l n ic h t w ir k lic h eine ebene K u rv e , w ie es d ie E llip s e w ä re , so n d e rn eine d o p p e lt g e k rü m m te ).
W ir d d ie A m p litu d e b im m e r k le in e r g e w ä h lt, so geh e n d ie a n n ä h e rn d e llip tis c h e n S c h w in g u n g e n Ü ber in d ie e b e n e n S c h w in g u n g e n des g e w ö h n l i c h e n K r e i s p e n d e l s D e r S c h a tte n fle c k b e s c h re ib t d a n n K re is b ö g e n , w e lc h e d e n e n d e r K u g e l c o n g ru e n t sin d . Es h a t sich so d e r Z u sa m m e n h a n g z w is c h e n d e n in e in e m K r e is b o g e n e rfo lg e n d e n S in u s s c h w in g u n g e n m it den f ü r sie in e rs te r A n n ä h e ru n g e r s e t z b a re n g e n a u e n S in u s s c h w in g u n g e n lä n g s d e r Sehne je n e s K re is b o g e n s v e rfo lg e n lassen.
N ic h t in u n m itte lb a r e x p e rim e n te lle m , w o h l a b e r th e o re tis c h e m Z u sa m m e n h a n g m it d e n b is h e rig e n V e rs u c h e n ste h t d e r fo lg e n d e
i k
Fie:. 3.V e r s u c h 4 m it dem „S c h ie n e n a p p a ra t“ (diese Z e its c h r. V I I 278f f . 1)). Das W ä g e lc h e n is t zw is c h e n z w e i S p ira lfe d e rn g e s p a n n t (F ig . 3), so d a ls es in 0 im G iern i
g e w ic h t steht. A u s d ie se r L a g e u m eine S tre c k e « h e ra usgezogen fü h r t es S ch w m -
>) Als Nachtrag zu der a. a. 0. geschilderten mehrfachen Verwendung jenes Apparates teile ich bei dieser Gelegenheit mit, dafs sich auch das G e g e n w ir k u n g s -P rin z ip hübsch demonstrieren läfst. Die zw e i Wagen werden durch eine Feder verbunden (für Zugspannungen rei, ur r c
„Innungen in einer Kapsel); sie nehmen dann unter der Einwirkung der e in e n ra esc nigungen zu- oder auseinander an, die den M assen proportional sind. - Zn dieser Versuchsanord-
° . mich die Definition des Massenverhältnisses in Ma c hS Lehrbuch (>-• .2 ) 'e ia n a s , uo
r « , «i“ M t a T <™ 1'— i* - T f
übersetzt) die Centrifugalspannung der Massen angenommen und demgemafs das Massenver- j"', T „ • Körper durch das Verhältnis b :a der Radien beim Kreisen definiert; wird. — Die Zug- haltnis zweier P dem Schüler als Veranschaulichung der „e in e n “ K raft
* * ? Z der M i c e h e . D M . » . > % - * . . ™ g l. de»
* i l s c h r . demnächst erscheinenden Aufsatz „Über die Nachahmung der Planetenbewegungen etc.“
68 A. Hö f l e r, Sin u s s c h w i n g u n g e n. Z e its c h r ift f ü r d e n p h y s ik a lis c h e n D r e iz e h n te r J a h rjra n fr.
g u n g e n aus, v o n denen m a n , w e n n d ie S c h w in g u n g s d a u e r g ro fs g e n u g ist, le ic h t ze ig e n k a n n , dafs schon n a c h 1/3 d e r z u m Z u rü c k le g e n v o n a e rfo rd e rlic h e n Z e it z u rü c k g e le g t is t; also w ie d e r e in c h a ra k te ris tis c h e s M e rk m a l d e r S in u s s c h w in g u n g e n .
I I . L eh rg an g .
A lle g e s c h ild e rte n V e rsu ch e s in d als b lo fs p h o r o n o m i s c h e g e d a c h t, d. h. sie k ö n n e n in e in e m L e h rg a n g d e r M e c h a n ik v o rg e fü h rt w e rd e n , ehe n o ch d ie d y n a m is c h e n B e g riffe d e r K r a f t u n d Masse e in g e fü h rt sin d . V ie lm e h r b e d ü rfe n ja diese v ie lu m s tritte n e n B e g riffe eines festen V o rra te s v o n A n s c h a u u n g e n z u d e n selbst w ie d e r p h o ro n o m is c h e n B e g riffe n v o n B e s c h le u n ig u n g (v o n g le ic h m ä fs ig e r, w ie sie am d e u tlic h s te n an d e r F a llr in n e zu sehen ist, u n d v o n u n g le ic h m ä fs ig e r B e s c h le u n ig u n g , u n te r denen das f ü r d e n E le m e n ta ru n te rric h t w ic h tig s te , fa s t a lle in w ic h tig e Gesetz eben das d e r S in u s s c h w in g u n g e n ist).
D e n L e h rg a n g n u n , in w e lc h e n d ie oben g e s c h ild e rte n V e rsu ch e e in z u fü g e n w ä re n , d e n k e ic h m ir e tw a so (in d e m m ir als e in v o r a lle m zu v e rm e id e n d e r M ifs - g r i f f d ie e in s tm a ls s ic h e r n ic h t im m e r v e rm ie d e n e M a n ie r v o rs c h w e b t, das „m a th e m a tis c h e “ P e n d e l als eine r e in m a th e m a tis c h e A u fg a b e h in z u s te lle n ).
A u sg e g a n g e n k a n n a u c h h ie r g a n z w o h l v o n e in ig e n h i s t o r i s c h e n M itte ilu n g e n w e rd e n . V o n Ga l i l e i s L e is tu n g e n seien e tw a d ie B e w e g u n g e n im fre ie n F a ll, an d e r sch ie fe n E b e n e u n d b e im W u r f d u rc h g e a rb e ite t. Es w ir d d a n n b e i u n se re n s ie b z e h n jä h rig e n S e p tim a n e rn (S e k u n d a n e rn ) a u f T e iln a h m e stofsen, dafs Ga l i l e i als S ie b z e h n jä h rig e r schon den Is o c h ro n is m u s d e r P e n d e ls c h w in g u n g e n b e o b a c h te t haben s o ll2 3). A u c h dafs e r schon eine P e n d e lfo rm e l T = 8 . ] / 1 a n g a b , g ie b t z u e in e r le h r-
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re ic h e n V o r b e r e i t u n g a u f d ie T ra g w e ite des P e n d e lp ro b le m s S to ff; w e n n es n ä m lic h sch e in t, dafs sich s ta tt des F a k to rs 8 d e r r ic h tig e 2 - :i) h ä tte aus e x p e rim e n te lle n V e r g le ic h u n g e n v o n T, l u n d g e rg e b e n müssen, so is t dage g e n zu e rk lä re n , d afs eben ff s ich a u ch h e u te n o ch in h in re ic h e n d e r E x a k th e it e rs t aus P e n d e lb e o b a c h tu n g e n v o n T u n d l a u f G ru n d d e r th e o re tis c h e n F o rm e l fin d e n lä fs t; w o m it schon e in Z i e l d e r n u n dem S c h ü le r zu b ie te n d e n T h e o rie a u fg e z e ig t ist. — A ls d e rje n ig e , d e r diese A u fg a b e löste, t r i t t d e m S c h ü le r z u m e rs te n m a le Hu y g e n s en tg e g e n (ganz e n ts p re ch e n d d e rje n ig e n h is to ris c h e n C o n tin u itä t, w e lc h e La g r a n g e d a h in b e z e ic h n e t: Hu y g e n s
d e r d a z u b e s tim m t schien, den g rö fs te n T e il d e r E n td e c k u n g e n Ga l i l e i s z u v e r v o ll
k o m m n e n u n d z u ergänzen, fü g te z u r T h e o rie d e r b e s c h le u n ig te n B e w e g u n g s c h w e re r K ö rp e r d ie d e r P e n d e lb e w e g u n g e n u n d d e r C e n trifu g a lk rä fte h in z u u n d b a h n te so d e n W e g z u d e r g ro fs e n E n td e c k u n g d e r a llg e m e in e n G r a v ita tio n 4) “ ).
In d e m n u n d ie B e g riffe v o n S c h w in g u n g s d a u e r, A m p litu d e u. s. f. n ic h t n u r an d e m a n n ä h e rn d m a th e m a tis c h e n , so n d e rn an e in e m P e n d e l m it m ö g lic h s t g ro fs e r
2) Allerdings sagt Wo h l w i l l in seiner bekannten Monographie über „Die Entdeckung des Beharrungsgesetzes“ (S. 101 des S. A.): „Das älteste Zeugnis für Gs. Beschäftigung m it dem Isochro
nismus der Pendelschwingungen ist in dem B rief an den Marchese Guidubaldo dal Monte 29. Nov. 1602 enthalten (Opere VI, p. 20). Dafs es sich dabei nicht um eine kürzlich entdeckte Thatsache handelt, beweist die Äufserung, dafs ihm dieselbe „immer wunderbar erschienen sei“ . Vivani's bekannte E r
zählung von der Beobachtung des 17jährigen Galilei im Dom zu Pisa wird darum nicht weniger als mythisch angesehen werden müssen“ .
3) Wa r b u rG (und m it Berufung auf ihn Dr eSSEl) empfehlen, als „Schwingungsdauer“ auch beim Pendel die v o lle , d. i. die Zeit eines Hin- u n d Herganges, zu bezeichnen. Auch w ir schliessen uns diesem in sich berechtigten und mehr und mehr durchdringenden Gebrauche an.
4) Vorreden und Einleitungen zu klassischen Werken der Mechanik. Leipzig, Pfeffer 1899, S. 93.
u n d c h e m is c h e n U n te r r ic h t .
H e ft I I . M ä rz 1900. A . Hö f l e b, Sin ü s s c i iw i n g u n g e n. 69
P endelm asse u n d la n g e m P e n d e ld ra lit v o rg e fü h rt w e rd e n , h a b e n zu n ä c h s t f ü r den S c h ü le r d ie ebenen S c h w in g u n g e n k e in e n V o rra n g v o r den k re is e n d e n . E rs t n a c h d e m e r an d e m w ir k lic h e n A n b lic k v o n b e id e r le i B e w e g u n g e n d a s je n ig e an p h y s i
k a lis c h a n s c h a u lic h e n V o rs te llu n g e n v o n G le ic h fö rm ig k e it des K re is e n s , U n g le ic h fö r m ig k e it d e r B e w e g u n g im v e r tik a le n K re is b o g e n u. d e rg l. g e w o n n e n h a t, w as ü b e rh a u p t aus dem b lo fs e n A n b lic k , ohne Z u g ru n d e le g u n g v o n „D e fin itio n e n “ , zu g e w in n e n is t, w e rd e n d ie p h y s ik a lis c h e n A u fg a b e n z u m a th e m a tis c h e n z u g e s c h ä rft.
In d e m sich als das g e suchte „W e g -Z e it-G e s e tz “ (v o n dem d ie m eistens a lle in b e a c h te te S c h w in g u n g s d a u e r n u r eine sp e z ie lle E ig e n s c h a ft is t) eines n a ch dem Ge
setze des S in u s , w e n n n ic h t aus dem d ire k te n A n b lic k eines s c h w in g e n d e n Pendels, so d och aus d e r Ü b e rle g u n g , dafs h ie r in b e lie b ig k le in e n g le ic h e n Z e ite n n ic h t g le ic h e , so n d e rn nahe d e n G re n z la g e n k le in e re W e g e z u rü c k g e le g t w e rd e n u. s. f., e in ig e rm a fs e n vo ra u sse h e n lä fs t, w ir d es d e m S c h ü le r a u c h n ic h t m e h r u n m o tiv ie rt V o rk o m m e n , w e n n v o r d e r S c h w i n g u n g v o n d e r K r e i s u n g gesp ro ch e n w ir d , d. h.
w e n n d ie B e g riffe U m la u fs z e it, B a h n g e s c h w in d ig k e it c = 2ttö/ 7' cm /sec, W in k e lg e s c h w in d ig k e it a = 2 7t/ T e in g e fü h rt w e rd e n . I n b e k a n n te r W e ise e rg ie b t sich d a n n f ü r d ie a b s tra k t m a th e m a tis c h e A u fg a b e : W e l c h e s i s t d a s W e g - Z e i t - G e s e t z f ü r d i e P r o j’ e k t i o n d e s k r e i s e n d e n P u n k t e s ? -— d ie a b e r je tz t eben n ic h t w i l l k ü r lic h , so n d e rn im H in b lic k a u f d e n V e rs u c h I diese F o rm u lie r u n g b e k o m m e n h a t — d ie G le ic h u n g s = a sin a t = a sin — . t.2 71
Es fo lg t d ie re c h n e ris c h e E r m itt lu n g d e r G e s c h w in d ig k e it v u n d d e r B e s c h le u n ig u n g w z u n ä c h s t f ü r diese n u n m e h r re in m a th e m a tis c h d e fin ie rte B e w e g u n g . D a b e i w ir d m a n n a tü r lic h n ic h t d a ra u f v e rz ic h te n , das Cosinus-G esetz f ü r v u n m itte lb a i a n s c h a u lic h g e w in n e n z u lassen aus d e r an «ich c o n s ta n t b le ib e n d e n , a b e r im m e i s te ile r gegen d e n S c h irm g e ric h te te n B a h n g e s c h w in d ig k e it. D e s g le ic h e n e m p fie h lt sich f ü r w d ie b e k a n n te B e z ie h u n g 5) z w isch e n d e r B e s c h le u n ig u n g in d e r G re n z la g e b e i d e r S in u s s c h w in g u n g u n d d e r c e n trip e ta le n B e s c h le u n ig u n g b e i d e r K re is u n g .
U n b e s c h a d e t des d id a k tis c h e n W e rte s d ie se r b e id e n A b le itu n g e n , d ie u n te r
e in a n d e r zu n ä c h s t n ic h t Zusam m enhängen, m ö c h te ic h a b e r e m p fe h le n , a uch a u f d ie fo lg e n d e A b le itu n g aus d e n D e fin itio n s g le ic h u n g e n
m ittle r e G eschw . v m = y ~ ' -; a u g e n b lic k lic h e G eschw . v = —— - f ü r t' — t u n d
V — t * — t
m ittle r e B esohl. w m = a u g e n b lic k lic h e Besohl. f ü r t'
t' — t - ' t' — t
n ic h t zu v e rz ic h te n ; d e n n es s in d ja , w ie gesagt, d ie e in z ig e n B e is p ie le , w e lc h e d e r S c h ü le r v o n u n g le ic h m ä fs ig e n B e s c h le u n ig u n g e n , b e zw . v o n d e r H a n d h a b u n g d e r A u s d rü c k e Jv
J t u n d lim Jv
J t zu sehen b e k o m m t.
ct t ' —{- Ct t
D ie R e c h n u n g la u te t d a n n :
a sin n t' — a sin ctt t ’^ 1 .
2 cos . ctt — cct
sm 2
t'— t
t' — t = ct • a cos ß t' -+• t
5) Ist für die centripetale (oder besser: Normal-) Beschleunigung ¿1 bei Kreisungon der W ert - r unaWlän8‘g von der Schwingungslehre abgeleitet worden, so kann sich diese auf jene berufen. Dann g ilt zunächst für den W ert der Beschleunigung w in der Grenzlage der Sinus- schwingung. w = b±, da hier die allgemeine Richtung M O der Normalbeschleunigung bL m it der Schwingungsrichtung A O zusammenfällt. Natürlich kann aber auch umgekehrt diese Gleichheit von
¿ i und w auch dazu dienen, aus der Beschleunigung w bei Schwingungen die Normalbeschleunigung
¿1 bei Kreisungen abzuleiten.
70 A . Hö f l e r, Si n u s s c h w i n g u n g e ií. Z e its c h r ift f ü r d e n p h y s ik a lis c h e n D r e iz e h n te r J a h rg a n g .
w o ra u s f ü r t' = t fo lg t: v — a . a cos a t. H ie ra u s fo lg t w e ite r:
cta cos a t1 — aa cos at t' — t
„ . a t1 -1- a t . a t1 ■ - 2 sin ---=---- • s m --- a t
t — t
2 ■ t'- -era sin« —
. t'— t sm " J L . t'— t '
“ 2 w o ra u f f ü r t’ = t fo lg t: w = — a2a sin a t o d e r w = — a2s.
I n d ie se r le tz te re n G le ic h u n g , w o n a c h d ie je w e ilig e B e s c h le u n ig u n g w d e r E lo n g a tio n s d ir e k t p ro p o rtio n a l, a b e r ih r e n tg e g e n g e se tzt g e ric h te t ist, lie g t d ie p h o ro - n o m isch e G ru n d e ig e n s c h a ft d e r S in u s s c h w in g u n g e n , a u f d e r zu n ä ch st ih re d y n a m is c h e u n d w e ite rh in ih re gesam te, um fassende p h y s ik a lis c h e W ic h tig k e it b e ru h t. D e n n d u rc h U m k e h ru n g des Schlusses, d u rc h w e lc h e n sich d ie s e r W e rt v o n w aus dem W e g -Z e it-G e se tz e rg a b , fo lg t a u ch dieses aus je n e m , s o b a ld die A n fa n g s p u n k te d e r Z ä h lu n g f ü r W e g u n d Z e it so g e w ä h lt's in d , w ie es b e i s = a sin a t geschehen w a r.
— A u c h d e r Is o c h ro n is m u s 6) fin d e t n u n d a rin seine E r k lä r u n g , d afs g rö fs e re n A m p li
tu d e n im selben V e rh ä ltn is g rö fs e re W e g s tü c k c h e n er, a’ u. s. f. e n tsprechen.
W i r b ra u c h e n also v o n e in e r B e w e g u n g n ic h ts anderes zu w issen, als d afs d ie B e s c h le u n ig u n g w d e r E lo n g a tio n s d ir e k t p ro p o rtio n a l u n d e n tg e g e n g e se tzt g e ric h te t sei, so e rg ie b t s ich schon aus d e m W e rte v o n w u d e r zu s = 1 cm g e h ö rt, die S c h w in g u n g s d a u e r T = 2 n / V w l . (Es w ir d h ie r z w e c k m ä fs ig sein, als „ c h a r a k t e r i s t i s c h e B e s c h l e u n i g u n g “ v \ d e n je n ig e n S p e z ia lw e rt d e r B e s c h le u n ig u n g w z u d e fin ie re n , w e lc h e r dem s c h w in g e n d e n P u n k te im A b s ta n d e s = - l c m v o n d e r M itte lla g e z u k o m m t; d e n n d a n n f ä llt das N e g a tiv z e ic h e n aus u n d u n te r d e m W u rz e lz e ic h e n ste h t die in s ich p o s itiv e G röfse wt .)
S in d d ie h ie r k u r z s k iz z ie rte n B e zie h u n g e n m it d e m S c h ü le r g r ü n d lic h v e r a rb e ite t — w o b e i im m e rh in schon d e r V e rs u c h 4 m it dem W ä g e lc h e n a u f d e r S c h ie n e n b a h n (o d e r d e r m it dem an J o lly s F e d e rw a g e s c h w in g e n d e n S ch ä lch e n ) h e ra n g e zo g e n w e rd e n m a g , w ie w o h l dessen e ig e n tlic h e s In te re sse n ic h t m e h r im P h o ro n o m is c h e n , so n d e rn im D y n a m is c h e n lie g t — , so t r i t t n u n an d ie S te lle des fr ü h e r ü b lic h e n , g e fü rc h te te n „P e n d e lb e w e is e s “ d ie fo lg e n d e k u rz e p h o r o n o m i s e h e A b l e i t u n g d e r F o rm e l f ü r d ie S c h w in g u n g s d a u e r d e s m a t h e m a t i s c h e n P e n d e ls :
D ie C om ponente w d e r S c h w e re b e s c h le u n ig u n g g is t (F ig . 5) w — — g - sm p = — (
A ls o is t h ie r o? v e rtre te n d u rc h ; d a h e r a - y S - u n d T = 2 7 rj/ (I) D e m f ü r das e in fa c h e P e n d e l c h a ra k te ris tis c h e n Q u o tie n te n - y( k o m m t also d ie B e d e u tu n g d e r B e s c h le u n ig u n g s c o m p o n e n te w1 f ü r s = — 1 cm zu. (Ä h n lic h dem M d / M f ü r das zusam m engesetzte P e n d e l).
6) Ist die in vorstehender Anmerkung erwähnte Beziehung allseitig verarbeitet, so ergiebt sieh aus ihr folgende sehr anschauliche Erklärung des Isochronismus: Es seien die beiden Kreise in Fig. 4 die Bahnen der Holzkugel bei grosser und kleiner Winkelöffnung der Kreiskegelschwingung, also die Amplituden 0 A = ü und 0 a = r gleich den beiden auf den Schirmen (Fig. 1) vorgezeichneten Kreishalbmessern. Da beiden Kreisungen dasselbe T entspricht, so sind die Normalbeschleunigungen
B i und Äi = ^ ) 2r,
und deren Projektionen bei gleicher Elongation s trotz verschiedener Amplituden and = c o s m O P =
W = B i • cos M O B also W = w.
F ig . 4.
a n d ch e m is c h e n U n te r r ic h t .
H e ft I I . M ä rz 1900. A . Hö f l e r, Sin u s s c h w in g u n g e n. 71
W ie diese A b le itu n g ü b e rh a u p t das W e s e n tlic h e d e r B e z ie h u n g z w is c h e n P e n d e l u n d son stig e n S in u s s c h w in g u n g e n m ö g lic h s t u n v e r h ü llt h e rv o rtre te n lä fs t, so auch, in w ie fe rn sie n u r a n g e n ä h e r t g i lt : w e il n ä m lic h in d e r F ig u r 5 d ie A b le itu n g s
C C
d ie H a lb s e h n e , in w = — o?& a b e r den „ W e g “ (d ie E lo n g a tio n ) b e d e u te t, w e lc h e r W e g “ v o m P e n d e lp u n k t j a n ic h t in d e r Sehne, so n d e rn im B o g e n d u rc h la u fe n w i r d 7).
7) An die obige Ableitung anknüpfend giebt Ed. Maiss in der Zeitschr. f. d. Realschulwesen (1899) eine elementare Begründung des zweiten Gliedes der vollständigen Reihe für T, deren Grundgedanke folgender ist: Bei der Herleitung der F o rm e ll wurde die Beschleunigung im Abstande MQ — s cm (Fig. 6) m it ihrem richtigen Betrage w — — • cm/sec-2 m Rechnung gesetzt. Aber es wurde fingiert, dafs sie statt der wahren (tangentialen) Richtung M I I I die Richtung M I habe und also darzustellen sei durch M P,. A uf diese Richtung entfiele jedoch nur eine Componente der Be
schleunigung im Betrage von w = — s cos <¡r>, dargestellt durch M P V Schwingt das Pendel m it der Amplitude «°, so ist - der Mittelwert aller von «° bis 0° abnehmenden W inkel <f. Diese Richtung kommt der Sehne AO zu, welche die Symmetrale des Winkels A 0A R ist. Ziehen w ir M I I parallel zu AO, drehen den Vektor der Beschleunigung w statt bis nach M P, nur bis M N und projizieren ihn von hier aus nach M P2, so stellt M P 2 eine Beschleunigung im Betrage von } 0 = _ i L s c o s Af dar, welcher ein Mittelwerth aller durch w = — ~ s cos <jp ausgedrückten Werte
l 2 1
ft ist. (Beachte, wie sich die Lagen der Punkte P „ P2, P3 verändern, wenn y statt gröfser. als -g- später gleich oder kleiner als wird.)
z _ g
W ir werden also statt der Gleichung I, welche aus dem Beschleunigungsgesetze w —
g cc
hergeleitet wurde, eine bessere Annäherung bekommen, wenn w ir v> = j * oos 2 se zen’ wo Wl = j cos j ist und daher
J ,= 2ti
H ■ H ” ’
( ii)
Vergl. a. a. 0. auch numerische Angaben über das Mafs der Annäherung der Formeln (I)
und (II) an den genauen W ert. — . . ,
Vermieden werden sollte jedenfalls der in den Lehrbüchern keineswegs immer vermiedene Schein als sei die Formel (I) bis 5° „g a n z genau“ und werde erst von da ab plötzlich ungenau, was, wie ich mich aus meiner eigenen Schulzeit erinnere, auch den in den Continuitätsgedanken noch nicht eingelebten Anfänger stutzig machen mufs.
72 A. Hö f l e k, Sin u s s o h w in g u n g e n Z e its c h r ift f ü r d e n p h y s ik a lis c h e n D r e iz e h n te r J a h r gang.
D iese C h a ra k te ris ie ru n g d e r g e b ra u c h te n A n n ä h e ru n g s c h e in t m ir n o ch d u rc h s ic h tig e r, a ls w e n n n u r gesagt w ir d , m a n habe „ s ta tt des S inus den W in k e l g e s e tz t“ .
V o ra u sg e se tzt is t in v o rs te h e n d e r A b le itu n g n u r, dafs d e r S c h ü le r schon g e le g e n tlic h d e r V e rsu ch e an G a lile is F a llr in n e u n d d e r d a ra n g e k n ü p fte n re in p lio ro - n o m isch e n A b le itu n g des Gesetzes d e r co n sta n te n B e s c h le u n ig u n g aus dem W e g - Z e it-G e se tz s = . i2 m it d e r B e z ie h u n g g [ ~ g . sin s== g . h/i v e r tr a u t g e w o rd e n sei.
— Ic h v e rs u c h e n ic h t, an d ie se r S te lle n e u e rd in g s d ie B e d e n k e n zu e n tk rä fte n , w e lc h e ge g e n e in V o rw e g n e h m e n d ie se r B e z ie h u n g b lo fs m itte ls des B e w e g u n g s p a ra lle lo g ra m m s, n ic h t des K rä fte p a ra lle lo g ra m m s , v o n m a n ch e m Fachgenossen n o ch im m e r e rh o b e n w e rd e n . Es g e n ü g t a u ch h ie r d e r h is to ris c h e H in w e is , d a fs ja a u ch Ga l i l e i
sieh ohne K rä fte p a ra lle lo g ra m m , das e rst Va r ig n o n u n d Ne w t o n h a n d h a b e n le h rte n , h a t b e h e lfe n müssen. W o r a u f es m ir a b e r d id a k tis c h a n k o m m t, ist, dafs d e r S c h ü le r m it a lle n diesen p h o ro n o m is c h e n B e z ie h u n g e n sozusagen g e s ä ttig t sei, ehe e r ins D y n a m is c h e e in g e fü h rt w ird .
Is t d a n n sp ä te r d ie G ru n d g le ic h u n g d e r D y n a m ik f = m w g e w o n n e n u n d d u rc h H in z u n e h m e n des U n a b h ä n g ig k e its p rin z ip s z u m B e w e g u n g s p a ra lle lo g ra m m das K r ä fte p a ra lle lo g ra m m a b g e le ite t, so w ir d n u n dessen e in d rin g lic h s te A n w e n d u n g g e ra d e die K rä fte g le ic h u n g f ü r d ie schiefe E bene i >= Q . s i n e ; u n d d u rc h ih re Ü b e rtra g u n g v o n d e r E bene a u f d ie k ru m m e B a h n e rh a lte n w ir fo lg e n d e d y n a m i s c h e A b l e i t u n g d e r P e n d e l f o r m e l :
D ie K ra fte o m p o n e n te is t / = m w .= — mg sin ip, d a h e r w ie d e r w = — g sin gi u. s. f.
— w ie oben in d e r p h o ro n o m is c h e n A b le itu n g . S a c h lic h lie g t h ie r a lle s an d e r k la re n d y n a m is c h e n D e u tu n g des E in tre te n s u n d d a n n w ie d e r A u s fa lle n s des F a k to rs in.
D id a k tis c h d ü rfte die W ie d e rk e h r n a h e zu d e rse lb e n A b le itu n g e in m a l u n te r p h o ro n o m ischen, das a n d e re m a l (nach e in ig e n W o c h e n ) u n te r d y n a m is c h e n G e s ic h ts p u n k te n eine w illk o m m e n e „im m a n e n te W ie d e rh o lu n g “ b ie te n .
W ie e n d lic h d o rt d e r V e rs u c h m it dem a u f d e r S c h ie n e n b a h n z w is c h e n S p ira l
fe d e rn s c h w in g e n d e n W ä g e lc h e n dem S c h ü le r ein B e is p ie l e in e r n ic h t a u f einem K re is b o g e n n u r a n n ä h e rn d , s o n d e rn a/uf e in e r G e ra d e n g e n a u dem Sinusgesetz f o l
g e n d e n B e w e g u n g d a rb ie te n so llte , so w ir d je tz t, n a c h d e m die d y n a m is c h e A b le itu n g d e r P e n d e lfo rm e l ein B e is p ie l d a rg e b o te n h a tte , w o T n u r v o n g (u n d /), n ic h t a b e r v o n m a b h ä n g ig ist, je tz t d ie s e r E la s tic itä ts v e rs u c h v ie lle ic h t a m h a n d g re iflic h s te n die a llg e m e in e B e z ie h u n g T = 2 r c . /m /fa v e ra n s c h a u lic h e n . D ie K e n n tn is d e r b e id e n E la - sticitä tsg e se tze ( K r a f t p ro p o rtio n a l d e r D e fo rm a tio n , G e g e n k ra ft g le ic h d e r K r a ft ) s o ll d a b e i no ch n ic h t v o ra u sg e se tzt sein, so n d e rn g e le g e n tlic h dieses V e rsu ch s zum ersten- m a le z u r S prache k o m m e n , n ä m lic h d u rc h (a lle rd in g s n o ch n ic h t sehr g e n a u e 8)) V e r suche, e b e n fa lls am S c h ie n e n a p p a ra te selbst, ad hoc fe s tg e s te llt w e rd e n . W ir lassen n ä m lic h das z w is c h e n d ie F e d e rn gesp a n n te W ä g e lc h e n m itte ls e in e r w a g re c h tc n ü b e r das a uch sonst b e n u tz te R ö llc h e n (F ig . 3) g e le g te n S c h n u r d u rc h A u fle g e n v o n Massen a u f d e re n T r ä g e r z u e rs t u m 1 d m , d a n n d u rc h 2 -, 3 -fa c h e G e w ic h te u m 2, 3 d m v e rs c h o b e n w e rd e n ; so sehliefsen w ir d a n n auch, dafs z u r V e rs c h ie b u n g u m 1, 2 . . . s cm K r ä fte v o n /) , 2 f x . . . ^ s D y n gehören. H a lte n w ir m it d e r H a n d das W ä g e lc h e n in je e in e r d ie se r V e rs c h ie b u n g e n fe st u n d b e se itige n d a n n d ie v e rs c h ie b e n d e n Ge- •
• 8) Die zusammenhängende Erörterung der Elasticität wie aller „Molekularkräfte“ denke ich m ir h in te r die Mechanik des Punktes, der „starren“ Systeme, der idealen Flüssigkeit und Gase ge
stellt, nicht, wie es leider noch immer vielfach üblich ist, v o r die ganze Mechanik, ja vor die ganze Physik unter dem Vorwand „allgemeiner Eigenschaften“ .
u n d ch e m is c h e n U n te r r ic h t .
T ie ft I I . M ä rz 1900. P . Kö r b e b, Fo u c a u l t s c h e s Pe n d e l, 73
w ic h te , so e m p fin d e t d ie H a n d d ie d e r W ir k u n g g le ic h e elastische G e g e n w irk u n g . D iese is t es, u n te r d e re n E in flu fs w e ite rh in d e r W a g e n seine S c h w in g u n g e n a u s fü h rt.
D ie R e c h n u n g la u te t: / = mw = - A s , d a h e r w = — . «, so dai's also jetzt,
„2 = A , „ = ] / Ä und T = .2n . — == 2» *
7?z f' m « f / i
V o n den b e id e n A b h ä n g ig k e ite n lä fs t sich d ie z u m d u rc h V e rv ie rfa c h e n d e i W agenm asse b e s tä tig e n , in d e m s ich d a n n T v e rd o p p e lt; d ie A b h ä n g ig k e it v o n / , w il d v e rs in n lic h t d u rc h das E in s p a n n e n zw is c h e n je 1, bezw . je 4 g le ic h e r F e d e rn . — U b e i- ra s c h e n d is t es h ie r, dafs d ie S c h w in g u n g s d a u e r s ich n ic h t v e rä n d e rt, w e n n d ie F e d e rn v o n A n fa n g s tä rk e r ausgezogen w a re n , d e r W a g e n also g rö fs e re n Z u g sp a n n u n g e n ausgesetzt w a r. D ie T h a ts a c h e e r k lä r t sich a b e r aus dem A nsatz f = f l . ( l + s) — / j ( Z — s) = 2 fts , w o l d ie L ä n g e d e r g e d e h n te n F e d e rn , s d ie V e r s c h ie b u n g aus d e r M itte lla g e b e d e u te t; da l h e ra u s fä llt, so w ä re das je d e m s e n t
sp rechende / a u ch dasselbe gewesen, w e n n a n fä n g lic h s ta tt l e tw a L gegeben ge
w esen w ä re .
A ls w e ite re d y n a m is c h e B e is p ie le w e rd e n d a n n v o rz u fü h re n sein das S c h w in g e n des G e w ic h tc h e n s an d e r J o lly s c h e n F e d e rw a g e , das a b e r in s o fe rn w e n ig e r e in fa c h ist, w ie das an d e r S ch ie n e n b a h n , als h ie r a u ch d ie S c h w e rk ra ft b e s c h le u n ig e n d m it w ir k t u n d z w a r te ils in g le ic h e m , te ils in entg e g e n g e se tzte m S in n e w ie d ie elastische K r a ft. — F e rn e r d e r V e rs u c h m it d e r K e tte u n te r d e n T r ä g e rn d e r A tw o o d s c h e n F a llm a s c h in e (diese Z e its c h r. V I I 235)- d e r V e rs u c h m it d e r in C o m m u n ik a tio n s rö h re n s c h w in g e n d e n F lü s s ig k e its s ä u le ; u n d sp ä te r im Z u s a m m e n h a n g m it d e r G ra v ita tio n s le h re d ie (v o n Ga l i l e i i r r i g b e a n tw o rte te ) F ra g e , w ie sich e in in e in e m S chachte lä n g s eines E rd d u rc h m e s s e rs fa lle n d e r S te in b e w egen w ü rd e . ( A n tw o r t: E r m a c h t S in u s s c h w in g u n g e n m it e in e r S c h w in g u n g s d a u e r g le ic h d e r eines^ m a th e m a tis c h e n P endels, dessen L ä n g e d e r E rd ra d iu s i s t ; v e rg l. d. Z e its c h r. I I 295.)
A lle a n g e d e u te te n L e h re n u n d A u fg a b e n g e h ö re n d e i M e c h a n ik des P u n k t e s a n ; d ie D re h s c h w in g u n g e n an s ta rre n S ystem en, also n a m e n tlic h das p h ysisch e P e n d e l u n d d ie T o rs io n s s c h w in g u n g e n , ü b e r d ie d e m S c h ü le r ein ig e s w e g e n d e r e le k tris c h e n u n d m a g n e tis c h e n M e fs a p p a ra te g esagt w e rd e n m u fs, v e rla n g e n n u r le ic h te Ü b e r
tra g u n g e n (vo ra u sg ese tzt, dafs d ie A n a lo g ie d e r B e g riffe „M asse des P u n k te s u n d
„T rä g h e its m o m e n t“ [n a ch A n a lo g ie v o n „K r a ftm o m e n t“ v ie lle ic h t besser „M assen
m o m e n t“ — oben d e sh a lb m it Wt b e z e ic h n e t] des P u n k ts y s te m e s v e rs ta n d e n w o rd e n is t3)).
Die Ableitung der Form el fü r das Foucaultsche Pendel.
V on
Dr. F. K orber in Grofs-Lichterfelde bei Berlin.
D ie B ehandlung des Foucaultschen Pendel Versuches gehört n icht als ein Anhang- zur L ehre vom Pendel in das Pensum der U n te rp rim a (M echanik), sondern in das letzte Halb l'ahr unseres P h ysiku n te rrich ts a u f dem G ym nasium (mathematische Geographie). Dement sprechend ist dem betreffenden Paragraphen auch in den meisten und gebräuchlichsten Schulbüchern, w ie z. B. im Jochmann-Hermes, sein Platz bei der Leh re von der Achsen- drehuno- der E rde angewiesen worden. D ie A r t, w ie die F o r m e l fü r die Grofse der A b le n k u n g in der geographischen B reite </> in der Regel abgeleitet w ird , scheint m ir jedoch 9) Einiges hierüber in meiner „Skizze eines Lehrgangs der Mechanik“ , Vierteljahresberichte des Wiener Ver. z. Ford, des phys. Unterr. IV , I. Heit. ^
U. X III.
74 F . Ko r b e r, Fo u c a u l t s c h e s Pe n d e l, Z e its c h r ift f ü r d e n p h y s ik a lis c h e n D r e iz e h n te r J a h rg a n g .
unnötig- g e kü n ste lt, auch pfleg't den Schülern der Überg'ang’ a u f den den P a ra lle lkre is be
rührenden K egelm antel S ch w ie rig ke ite n zu bereiten.
Ic h halte es deshalb fü r w e it anschaulicher, an die scheinbaren tä glichen Beweg'ungen der Gestirne anzuknüpfen, u n d im unm itte lb a re n A nschlufs an deren Behandlung a u f den w ichtigsten Beweis fü r die U n ric h tig k e it der durch den Augenschein uns aufgedrängten V o rste llu ng von der D re h u n g des Himmelsgewölbes überzugehen. Nachdem zunächst durch Erinnerung* an d ie bekannten, bereits in der M echanik behandelten Bewegungstäuschungen die M ö g lic h k e it u n d alsdann die grofse W a h rsch e in lich ke it der E rk lä ru n g der scheinbaren H im m elsdrehung du rch die D re h u n g der E rd k u g e l e rka n n t worden ist, w ird die F rage a u f
gew orfen, w odurch sich die R ic h tig k e it dieser V e rm u tu n g beweisen lassen müfste. D ie K enntnis des Beharrungsverm ögens fü h rt dann le ich t a u f die These, dafs, w enn die Sonne w irk lic h s till stände, ein hinreichend lange schwingendes, freies Pendel dem scheinbaren L a u fe der Sonne folgen m üfste. D ie w irk lic h e A usführung- des Versuches bestätiget nun zw ar im allgem einen diese Voraussage, aber eine längere Beobachtung lä fst doch bald einen U nterschied erkennen, indem näm lich die D re h u n g der Schwingungsebene des Pendels m it constanter, aber so k le in e r G eschw indigkeit e rfo lg t, dafs sie in einem Tage n ich t vollendet werden kö nnte, w ährend doch die Sonne nach 24 Stunden einen vollen U m la u f zu rü ckle g t, dabei aber, w ie die Schüler bereits (a u f G ru n d der Besprechung von Gnomon u n d Sonnen
uh r) wissen, eine v a ria b le G eschw indigkeit der A zim u tä n d e ru n g zeigt. D e r verm utliche G rund fü r diese D isharm onie w ird bald gefunden, wenn man d a ra u f hinweist, dafs die Sonne schräg am H im m el emporsteigt, w ährend doch das Pendel beim Passieren der G leichgew ichts
lage stets horizontal schwingt, sich also n u r nach einem im H orizonte befindlichen Stern, der eine feste M arke darstellen m ag, rich te n kann. D e r Schüler findet so m it g e rin g e r Nach
h ü lfe selbst, dafs w ir n u r den B etrag der A zim u tä n d e ru n g der den H o rizo n t passierenden Sterne zu untersuchen haben, um die G eschw indigkeit der D re h u n g der Schwingung’sebene des Foucaultschen Pendels ric h tig zu erm itteln.
D ie E rke n n tn is der Thatsache, dafs diese A zim u tä n d e ru n g am H o rizo n t in allen H im m els
ric h tu n g e n dieselbe ist, ka n n nun zunächst durch B e trachtung der v ie r K a rd in a lp u n k te v o r
bereitet werden. Im Osten gehen b e kanntlich die Ä quatorsterne a u f, und da nun der Ä q u a to r a u f der W eltachse senkrecht steht, schneidet er den H orizont u n te r dem N eigungs
w in k e l 90° — tf. W ährend also der Stern selbst in seiner geneigten Bahn in je d e r M inute 15' fo rtrü c k t, ist die Ä n d e ru n g seines A zim uts n u r die P ro je k tio n dieser S trecke, also 1 5 '. cos (9 0 °—• (f) — 15' sin Ebenso v e rh ä lt es sich am W e stpunkte, n u r dafs h ie r die Äquatorsterne untergehen. Zeichnet man also eine F ig u r , w ie etwa F ig . 1, an die T afel, so w ird k e in Schüler hierbei eine S ch w ie rig ke it finden. Etwas mühsamer gestaltet sich die B etrachtung der m eridionalen H auptpunkte. H ie r berühren die von den Sternen m it der Poldistanz <j beschriebenen P arallelkreise den H o rizo n t (Fig. 2). D a nun bekanntlich der Umfang’ des Parallels von der D e k lin a tio n cf sich zum U m fa n g eines Grofskreises w ie cos cf
O
F ig . 1. F ig . 2.
u n d ch e m isch e n U n te r r ic h t . H e ft I I . M ä rz 1900.
F. Ko r b e r, Fo u c a u l t s c h e s Pe n d e l. 75
zu 1 v e rh ä lt, so g ilt dies auch fü r beliebige B ru ch te ile beider Kreise. E ine Fortbew egung um 15' a u f dem den H orizont in N oder S berührenden P arallel entspricht also a u f dem H orizont o-emessen n u r einem W ege von lö'.coscT. Da nun einer Poldistanz v die D e k li
nation ^ = 9 0 ° - ? entspricht, so erhalten w ir fü r die in je d e r M inute stattfindende A z im u t
ä nderung am Nord- oder S üdpunkte des H orizonts w iederum 15' sin <p.
^ W iU man nun sch lie ß lich noch fü r einen beliebigen P u n k t des H orizonts den N ach
weis fü h re n , dafs die A zim u tä n d e ru n g gleich der in Bogen verw andelten Zeit, m u ltip liz ie it m it dem Sinus der Polhöhe ist, so ist dies m it H ilfe der F ig . 3, die V e rf. in einer V orlesung des H e rrn P rof. G alle kennen g e le rn t hat, ^ebenfalls unschwer zu erreichen. Bezeichnet man die D e k lin a tio n des an der Stelle H aufgehenden Sterns m it <S, den W in k e l, den sein D e klin a tio n skre is m it dem H o rizo n t b ild e t, m it ß, und
den vom P a ra lle l u n d H o rizo n t eingesehlossenen W in k e l m it «, so is t, w enn dt ein Z e itd iffe re n tia l und dA die zugehörige A zim u tä n d e ru n g bedeuten:
H K = d t . cos ü,
dA = H J = H K . cos « — d t . cos ä . cos «.
D a n u n ß + 90° + a = 180°, m ith in « = 90° — ß, so ergiebt sich je tz t u n te r B enutzung der einfachsten F orm el vom rechtw inklig-sphärischen D re ie ck:
dA — d t . cos <L sin ß , „ sin P N
—- d t . cos u • . sin P Htjjt
= d t . cos rf. S1U V' - , oder dA — d t. sin cp, cos d
F
also w iederum die Foucaultsche Form el. .
D ie Lehre von der A b le n k u n g der W inde u n d was dam it zusammenhangt w ird ferner im Zusammenhang m it dem Obigen zu behandeln sein, w ährend die Dovesclie, le id e r noch in vielen L e itfä d e n der P h ysik anzutreffende E rk lä ru n g der A b le n k u n g der Passatwinde aus der V e ränderung der geographischen B re ite gänzlich in F o rtfa ll zu kommen hat. A lle rd in g s is t diese E rk lä ru n g in dem speziellen F alle m eridionaler L u ftströ m u n g e n dem A n fä n g e r recht einleuchtend, d a fü r versagt sie aber gänzlich be i ostwestlichen W inden.
N un besteht allerdings eine scheinbare A b w e ich u n g zwischen der aus unserer F ig u r fü r die A zim u th ä n d e ru n g eines im H o rizo n t stehenden Sterns abgeleiteten F orm el u n d dem Ergebnis der analytischen Mechanik, dafs ein a u f horizontaler Ebene sich fre i bewegender K ö rp e r eine R ichtungsänderung vom doppelten B etrage e rfä h rt1). Dieser W id e rsp ru ch ist folgenderm afsen zu lösen.
U n te r B enutzung der Coriolisschen K ra ft w ird in der analytischen M echanik bewiesen, dafs ein a u f der rotierenden E rde durch einen einm aligen Stofs sich fortbew egender K örper, sofern man von der K rü m m u n g der E rd
oberfläche absehen darf, einen K re is be.
schreibt, in dem sich der Radius MA (Fig. 4) m it der W in ke lg e s c h w in d ig k e it 30' . sin <p pro Z eitm inute dreht. D ie neue L a g e des Radius nach A b la u f einer M inute sei MC (der W in k e l AMG ist der D e u tlic h k e it wegen in der F ig u r aufserordentlich vergröfsert).
Alsdann ist n a tü rlic h A C B D — A . A MC, d .h . die R ich tu n g der Bew egung b ild e t nach
A b la u f der M inute m it der anfänglichen R ich tu n g den W in k e l 30'. sin cp. Denke ich m ir aber . ' zurückgebliebenen Beobachter, so ist der O rt des gestofsenen K örpers nach einer
i) Vergl. M. Koppe, diese Zeitschr. X, S. 24.
1 0 *
76 0 . Oi i m a n n, Ro b e r t Bu n s e x. Z e its c h r ift f ü r d e n p h y s ik a lis c h e n .. _ D r e iz e h n te r J a h rg a n g .
M inute n ich t m ehr in der R ich tu n g A D des Stofses, sondern in der R ich tu n g AG zu suchen.
Da nun A . CAB = 7, CBD, so scheint also der fortgestofsene K ö rp e r von A aus um 15'. sin ,r von seiner A n fa n g s ric h tu n g abgelenkt, d. h. er scheint dem Stern g e fo lg t zu sein, der in der R ich tu n g A D im H orizont stand, als der Stofs nach A D erfolgte. F re ilic h hat sich der K ö rp e r n ic h t längs der Sehne AG, sondern längs des Bogens AG bewegt, da er ja im A n fa n g den W eg A D einschlug u n d eine contin u ie rlich e R ichtungsänderung erfu h r, aber fü r sehr kleine Z e it
teilchen kann man Sehne und Bogen als zusamm enfallend ansehen. Man kann daher in der Schule die A b le n k u n g der W in d e dadurch erklären, dafs die in Bew egung begriffenen Luftm assen ein R ichtungs-Beharrungsverm ögen besitzen und darum dem scheinbaren L a u f der Sterne folgen. Es m ag dann u n te r B enutzung der F ig . 4 noch d a ra u f hingewiesen werden, dafs das Pendel zw ar nach je d e r halben S chw ingung nach A z u rü c k k e h rt, also in je d e r M inute von neuem um den W in k e l 15'. sin <p abgelenkt w erden mufs, dafs aber bei einem fortschreitenden K ö rp e r der W in k e l, den die w irk lic h e B ew egungsrichtung nach einer M inute m it der anfänglichen R ic h tu n g bildet, sich a u f 3 0 '. sin T beläuft. Denn da die R ich tungsänderung in jedem A u g e n b lic k den gleichen W e rt haben mufs, so kann der w irk lic h e W eg zwischen A und C n u r ein K reisbogen sein. Dieser K re is ist durch Sehne und Tangente bestim m t und diejenige Tangente, welche in C den K reis b e rü h rt u n d daher die Bewegungs
lic h tu n g am Ende der ersten M inute darstellt, b ild e t nach elementargeom etrischen Sätzen m it A D einen W in k e l CBD = 2 CAD = 30' . sin ,r .
Robert Buusen f.
Seiten hat ein Forscherleben so reiche F rüchte gezeitigt, noch seltener w ohl hat die A rb e its k ra ft eines Einzelnen so w e itg re ife n d a u f die verschiedenartigsten Gebiete der W issen
schaft und auch der Technik e in g ew irkt, w ie dies bei B u n s e n der F a ll ist. Das V ielseitige der S chaffensthätigkeit Bunsens mufs am meisten unsere B ew underung erregen. E r hat n ich t n u r als genialer Chem iker seine W issenschaft durch neue Methoden und bedeutsame E ntdeckungen bereichert, sondern leistete ebenso H ervorragendes in der P h ysik und Geologie, m der m etallurgischen T e ch n ik und in der spezielleren L a b oratorium spraxis. Fast ebenso hoch w ie seine wissenschaftlichen Leistungen ist seine T h ä tig k e it als L e h re r anzuschlagen;
er w a r Meister in der M itte ilu n g seines reichen Wissensschatzes, seiner umfassenden p ra k tischen E rfahrungen.
B u n s e n ist am 31. März 1811 zu G öttingen geboren, wo sein V a te r L e h re r der neueren Sprachen und B ib lio th e k a r an der U n iv e rs itä t w ar. M it 17 Jahren bezog er die U n iv e rs itä t und studierte Chemie, P h ysik u n d Geologie in Göttingen, Paris, B e rlin und W ien. 1831 pro m ovierte er zu G öttingen m it einer D issertation ü b e r H ygrom eter, deren Thema er vo rh e r als P reisarbeit behandelt hatte. M it 22 Jahren h a b ilitie rte er sich in G öttingen. Im H erbst 1836 w urde er als D ozent an die Gewerbeschule in Cassel berufen, 1838 als Professor nach M a r
b u rg . 1851 g in g er nach Breslau, wo er Ivirch h o ff kennen lernte, der d o rt als P rivatdozent w irk te . 1852 w u rd e er als Gmelins N achfolger nach H eid e lb e rg b erufen und schon 1854 v e r
mochte er K irc h h o ff als N achfolger von J o lly d o rth in zu ziehen. T ro tz m ehrfacher Rufe tre n n te er sich n ich t m ehr von H eidelberg. 1889 zog er sich in den Ruhestand z u rü c k am 16. A u g u s t 1899 schied er aus dem Leben.
A ls Momente, w odurch Bunsens A rb e ite n fü r im m er Muster echt wissenschaftlicher B ehandlung bleiben, kennzeichnet H . La n d o l t das R ingen nach vo llstä n dig einwandsfreien Resultaten, und demgemäfs die um sichtigste Ü b e rle g u n g sowie m usterhaft genaue A u s fü h ru n g a lle r Versuche; h ie rzu ko m m t seine w underbare G eschicklichkeit in der Überwindung- experim enteller H indernisse u n d die Gabe, neue Methoden und neue A pparate m it äufserst einfachen M itte ln zu co n stru ie re n '). Von seiner P ersönlicheit e n tw irft H. Ja h n ein treffliches.
') Berichte d. d. chem. Ges. 1899 No. 114- S. 2539.
u n d ch e m isch e n U n te r r ic h t .
H e ft IT . M ä rz 1900. 0 . Oii m a n n, Ro b e r t Bu n s e n. 77
B ild 2) G rundzüge von Bunsens Wesen w aren grofse E infachheit, Bescheidenheit und in der Form stets schonungsvolle, in der Sache u n e rb ittlic h e W a h rh a ftig k e it; dazu paarte sich eine w ohlwollende G u tm ü tig k e it m it schalkhaftem H um or. Das V erhältnis der Schüler, n u t denen er sich in te n siver beschäftigte, w a r w ie das von Söhnen zu einem väterlichen Freunde.
Sein Benehmen w a r dem Höchsten w ie dem N iedrigsten gegenüber stets das gleiche; er blieb auch als E xcellenz der selbstlose, schlichte Gelehrte.
Eine ausreichende W ü rd ig u n g seiner ganzen T h ä tig k e it ve rb ie te t der beschränkte Raum. Es soll n u r versucht werden, einen Ü b e rb lic k ü b e r seine w ichtigsten A rb e ite n zu geben, w obei w ir m ehrfach einem ausführlichen N a c h ru f von Ric h a r d Me y e r3) folgen, und zwar, so w e it dies d u rc h fü h rb a r ist, nach D isziplinen geordnet.
Seine c h e m is c h e n P u b lika tio n e n beginnen 1834 m it einer S ch rift über das Eisen
h y d ro x y d als G egenm ittel bei V e rg iftu n g e n m it arseniger Säure. Es folgen 1837 und 1838 M itte ilu n g e n ü b e r V e rb in du n g e n der Ferrocyansalze m it A m m oniak, sowie — als H a b ilita tionsschrift — über Doppelsalze des Ferrocyanam m onium s m it Chlor- und Bromammonium.
G leichzeitig beginnen seine U ntersuchungen ü b e r die K a ko d ylreih e , die zuerst Bunsens R u f beo-ründeten und einen M arkstein in der Geschichte der organischen Chemie bilden. Bunsen isolierte — in der Absicht, gewisse, dem S tickstoff analoge organische V e rbindungen des Arsens zu finden —. aus einer von Cadet schon 1760 entdeckten F lü ssig ke it, die durch D estillation essigsaurer Salze m it arseniger Säure entsteht und du rch ekelerregenden Geruch und w eitere gefährliche Eigenschaften gekennzeichnet war, eine V e rb in d u n g C4H 12As20, zuerst A lk a rs in , später K a k o d y lo x y d genannt, die der A u sg a n g sp u n kt einer ganzen Reihe organischer A rsen
ve rb in d u n g e n w urde. A lle n diesen ist die A tom gruppe C2 Hß As gemeinsam, die als „o rg a n i s c h e s R a d ik a l“ den Namen K a k o d y l= Kd erhielt. Es gelang n ich t n u r die D a rste llu n g
¡e s erwähnten Oxyds (Kd^O), der K akodylsäure (K d O ,H ), des Sulfids, Disulfids, Chlorids, O xychlorids, Bromids, Jodids u n d Cyanids (Kd Cg), sondern v o r allem die des fre ie n K a ko - d i B = (C. H , ds)2. Sie w u rd e eine der H auptstützen der damals lebhaft erörterten R a d ik a l
theorie- von den zumeist re in hypothetisch angenommenen R adikalen w aren damals n u r zwei d ire k t nachgewiesen, von Gay-Lussac das freie Cyan « W ) „ von L ie b ig und W ü h le r die als Benzovl bezeichnete A tom gruppe 0 ,1 1 ,0 . - 1848 erschien eine A rb e it über die q u a n tita tiv e Bestim m ung des Harnstoffs, 1852 ü b e r den explosiven Jodstickstoff. G leichzeitig te ilte er die Methode de°r D a rste llu n g von Mg durch E le ktro lyse des geschmolzenen Chlorids m it, später die elektrolytische G ew innung von Al, Cr, Mn, Ca, Sr, Ba u n d Li. D a ra u f fo lg te die E in fü h ru n g der Jodom etrie in die Mafsanalyse. M ehr historisches Interesse haben die u m fang
reichen U ntersuchungen zu r chemischen Theorie des Schiefspulvers. Es fo lg te n A rb e ite n ü b e r das Cer und ü b e r die T re n n u n g von As und Sh. In einer A rb e it ü b e r „L o tro h rve rsuch e “ (1859) sowie einer späteren über „F lam m enreaktionen“ zeigte er, dafs v ie le Reaktionen, zu denen man sonst des L ö tro h rs bedurfte, sich einfacher m it seinem B renner h e rv o rb rin g e n liefsen. Später folgten noch U ntersuchungen ü b e r das Y ttriu m und E rb iu m , sowie (18681 über die P latinm etalle, besonders das Rhodium. A uch an der A u s b ild u n g der organischen Elem entaranalyse hat Bunsen e rfo lg re ich m itg e w irk t.
Bedeutungsvoll fü r die In d u s trie w u rd e n seine A rb e ite n in der te c h n is c h e n C h e m ie . H atte er sich doch u rs p rü n g lic h als P riva td o ze n t fü r technische Chemie h a b ilitie rt und als solcher von 1 8 34-36 g e w irk t. Im A u fträ g e der hessischen O b erbergdirektion stellte er U ntersuchungen über die Hochofengase an, wobei er zeigte, w ie le tzte ie als B rennm ateria verw endet w erden könnten, ebenso untersuchte er 1840 die Gichtgase an einem Mansfe ei K upferschieferofen. 1847 veröffentlichte er gemeinsam m it L . P la y fa ir eine um fangreiche A rb e it ü b e r den Prozefs der englischen R oheisenbereitung. Diese zumeist m Pogg. A nn.
veröffentlichten A rb e ite n w u rd e n der A usgang zu seinen berühm ten „Gasometnschen Me- thoden“ die 1857 erschienen.
F ü r seine Leistu n g e n in der G e o fo g ie legte eine Reise nach Island, woselbst er sich
») Deutsche Revue v. R. Fleischer, N ov.-Heft 1899.
») Naturwiss. Rundschau 1900 Heft 1—3.
7 8 0 . Oh m ANN, Ro b e r t Bu n s e n. Z e its c h r ift f ü r d e n p h y s ik a lis c h e n D r e iz e h n te r J a h rp a n fr.
mehrere Monate a u fh ie lt, den G rund. Von den reichen wissenschaftlichen Ergebnissen dieser Reise ist am bekanntesten gew orden seine T heorie des Geysirphänomens, die davon aus
geht, dafs u n te r dem D ru c k der Wassersäule im G eysirrohre die Siedetem peratur des Wassers bedeutend höher lie g t als bei 100°. Bunsen hatte gemeinsam m it Descloiseaux thatsächlich in der T ie fe des G eysirrohres Tem peraturen bis zu 127,5° gemessen. F ern e r untersuchte er eingehend die vulkanischen Gesteine Islands und stellte da rü b e r eine eigene Theorie auf.
Im Anschlufs hieran bearbeitete er eine w ic h tig e physikalische F rage: die A b h ä n g ig k e it der E rsta rru n g ste m p e ra tu r einer F lü s s ig k e it vom D ru c k . Nachdem J. Thomson dieselbe aus der mechanischen W ärm etheorie g e fo lg e rt und W . Thomson sie fü r Wasser zwischen 0 und 16,8 A tm . D ru c k experim entell bewiesen hatte, bestätigte Bunsen dieses w ich tig e N aturgesetz durch Versuche m it W a lra t u n d P a ra ffin bis zu einem D ru c k von 156 A tm . Seine F olge
ru n g e n hieraus fü r die eru p tive n Gesteine, be i denen der D ru c k bis zu Tausenden von A t
mosphären steig'en kann, gehören heute zu den festen G rundlagen der Gesteins lehre. Später beschäftigten ih n noch andere geognostische A rb e ite n , besonders sehr zahlreiche M in e ra l
analysen.
Von seinen A rb e ite n ü b e r P h y s ik u n d p h y s ik a lis c h e C h e m ie seien, abgesehen von seiner D issertation, zuerst die gemeinsam m it Roscoe ausgeführten photochemischen U ntersuchungen erwähnt, die Ostwald als „das klassische V o rb ild fü r alle späteren A rb e ite n a u f dem Gebiete der physikalischen Chemie“ bezeichnet. Es werden d a rin die Gesetze fü r die chemisch w irksam en Strahlen, deren Reflexion, A bsorption u n d „photochemische E x tin k tio n “ näher ausgeführt. A ls V ersuchsobjekt diente hauptsächlich das C hlorknallgas. In diesen A bhandlungen sind zuerst zwei A pparate beschrieben, die Bunsens Namen besonders p opulär gem acht haben, der Bunsensche Gasbrenner u n d das Bunsensche Photometer. — E tw a 1840 veröffentlichte er die C onstruktion des nach ihm benannten constanten galvanischen Elementes. Seiner dadurch erm öglichten elektrochemischen A rb e ite n ist schon oben gedacht worden. 1860 erfolgte nun die E ntdeckung, die Bunsens Namen zusammen m it dem K irc h - hoffs unsterblich gem acht hat, die S pektralanalyse; die erste A b h a n d lu n g trä g t den Namen
„Chemische Analyse durch S pektralbeobachtungen“ . Was den A n te il Bunsens b e trifft, so w a r er es, der sich bereits einige Z eit vo rh e r m it der V erw e n du n g der Flam m enreaktionen verschiedener Salze zu analytischen Zwecken beschäftigt hatte und so den A nlafs zu der gemeinsamen U ntersuchung gab. R. Me y e r w eist noch d a ra u f hin, dafs Bunsen schon 1844 die L in ie n sp e ktre n des m ittels seiner B a tte rie zwischen verschiedenen Metallspitzen erzeugten Lichtbogens beobachtete. W ie K irchhoff, vera n la fst durch die U ntersuchung, sein berühmtes Absorptionsgesetz un d die E rklä ru n g ' der Fraunhofersehen L in ie n fand, ist h ie r n ich t näher aus
zuführen. Bunsen fiel die w eitere B earbeitung der durch das neue H ilfs m itte l erschlossenen chemischen Probleme zu; er entdeckte in der M utte rla u g e des D ü rk h e im e r Soolwassers das Caesium und in dem sächsischen L e p id o lith das R ubidium . Das A tom gew icht un d etliche V e rb in dungen dieser seltenen Elemente w urden u n te r grofsen Mühen und u n te r B e a rb e itu n g enormer Mengen der genannten Rohstoffe e rm itte lt. D ie spektralanalytische U ntersuchung ergab ferner, dafs das fü r sehr selten gehaltene L ith iu m einen zw ar g e rin g fü g ig e n , aber sehr häufig auftretenden Bestandteil v ie le r M ineralien bildete. Später w u rd e auch das D id ym und L a n than genauer untersucht, w ie sich denn die spektroskopischen A rb e ite n w e it in die siebziger Jahre hineinziehen. — 1865 stellte er Untersuchungen ü b e r die T h e rm o e le k triz itä t von P y ro lu s it u n d K u p fe rk ie s an. 1868 construierte er die W asserluftpum pe, die in etwas abgeänderter Form heut in keinem L a b o ra to riu m fehlt. 1870 erfo lg te die Beschreibung seines E is k a lo ri
meters, das a u f dem P rin zip beruht, „d ie Menge des durch W ä rm e zu fü h ru n g geschmolzenen Eises an der Volum en Verminderung- zu messen, welche dieses Eis bei der Schmelzung er
le id e t“ . D e r A p p a ra t w urde von ihm u. a. z u r Bestim m ung der spezifischen W ärm e des n ich t lange vo rh e r spektroskopisch entdeckten In d iu m s verw endet. Zu Anfang' der 80 er Jahre stellte er noch zeitraubende Versuche über die Adfiäsion von Gasen an blanken Glasflächen an, und endlich im Jahre 1887 b rin g e n die Ann. der Ph. u. Ch. die letzte P u b lik a tio n des grofsen Forschers, die Abhandlung- ü b e r das D a m p fka lo rim e te r.
