Język matematyczny i odwzorowanie

Mieczysław Lubański

Język matematyczny i odwzorowanie

Studia Philosophiae Christianae 7/1, 55-69

Studia Philosophiae Christianae ATK

7/1971/1

MIECZYSŁAW LUBAŃSKI

JĘZY K MATEMATYCZNY I ODW ZOROW ANIE

1. Wprowadzenie. 2. Logiczna koncepcja języka. 3. Odwzorowanie. 4. Ję­ zyk a odwzorowanie. 5. U w agi zam ykające.

1. W prow adzenie

J ę z y k to coś specyficznie ludzkiego i zarazem podstaw ow e­ go к N au ka o języku przeszła długą h isto rię i ew olucję od stan u pierw o tn eg o do poziom u, n a k tó ry m obecnie się z n a jd u je 2. W spółcześnie w językoznaw stw ie zaznacza się coraz silniej te n ­ d e n c ja do ścisłości3. K on sek w en tn ie pow oduje to lepsze odróż­ n ia n ie w języku stro n y sy n tak ty czn ej i sem antycznej, sam ego ję z y k i jego ontologii. N a języ k m ożna p atrzeć jak o n a pew nego ro d z a ju odwzorowanie rzeczyw istości. W ten sposób pojaw ia tu się pow iązanie z teo rią m odeli. M odelować bow iem m ożna i ję ­ zy k 4 i rzeczywistość. A zatem podstaw ow ym pojęciem okazuje

1 „Człowiek jest istotą m ówiącą. Jest to najważniejsza cecha, która odróżnia go od innych istot żyw ych i jednocześnie (tak przynajm niej ch cielibyśm y myśleć) w ynosi pomad nie. [...] Język jest podstawowym środkiem zachowywania, przekazywania i ciągłego wzbogacania osią­ gn ięć ludzkiej kultury.” (M. Schlauch, Język i językoznaw stwo w sp ół­ czesne, Warszawa 1967, 7—8).

2 Por. np. J. Reychman, Od w ieży Babel do językoznaw stwa porów­ naw czego, Warszawa 1969.

3 Zob. np. J. Lewin, Znaki, język, m atem atyka, w: J. Lewin, J. G as- tiew , J. Rozanow, Język, m atem atyka, cybernetyka, Warszawa 1967, 14—17.

się tu być pojęcie odw zorow ania. S tąd też w n a tu ra ln y sposób n a su w a ją się p y tan ia o w zajem ne rela cje zachodzące m iędzy językiem , m odelem , odw zorow aniem . W a rty k u le ty m chodzić będzie o p rzed staw ienie k ilk u m yśli, odnoszących się do w spom ­ nianej prob lem aty k i.

2. Logicżna koncepcja języka

J a k dobrze w iadom o, w y ra z „języ k ” je s t w ieloznaczny. Może, po pierw sze oznaczać część ciała ludzkiego lub zwierzęcego, po drugie, sposób porozum iew ania się m iędzy ludźm i, czyli mowę, po trzecie, p rzedm iot p rzy p o m in ający k ształtem języ k w zna­ czeniu pierw szym 5. Biorąc pod uw agę drugie z w ym ienionych znaczeń, m ożna w nim w yróżnić szersze i węższe rozum ienie w y razu „języ k ”. W znaczeniu szerszym przez języ k rozum ie się każdy system p rzek azyw ania inform acji. W ty m znaczeniu więc m ożna mówić nie ty lk o o języ k u sygnałów kolejow ych, znaków drogow ych itp., ale także o języ k u organizm u, m aszy­ n y itd. To znaczenie języ k a jest w ygodne dla c y b ern ety k i i tam pow szechnie stosow ane. W znaczeniu węższym, nato m iast, ję ­ zyk to m ow a ludzka. Językoznaw cy n a pism o p a trz ą jak o n a ko nw en cjo nalny sposób p rzed staw ian ia m owy. W zrokow y spo­ sób p rzed staw ian ia języ k a je s t tylk o n am iastk ą sposobu słucho­ wego 6. N adto zw raca się uw agę n a społeczną stro n ę języka. Po­ rozum iew anie się ludzi m a m iejsce, h istorycznie i realn ie rzecz biorąc, w g ru p ach społecznych 7. Je śli za pojęcie p ierw o tn e p rzy ­ jąć „m ow ę” , to języ k d aje się w ów czas określić jako to, co jest w m owie rów nocześnie społeczne, trw a łe i a b s tr a k c y jn e 8. W m owie m ożna w yróżnić cztery jej fazy, m ianow icie: m ów ie­ nie, zrozum ienie, tek st i w reszcie język, k tó ry jest społecznym

tw o rem m ow y 9.

5 Por. Mały słow nik języka polskiego, W arszawa 1968.

6 Zob. M. Schlauch, Język i językoznawstwo w spółczesne, Warszawa 1967, 7.

? Tamże, 8.

8 T. M ilewski, Językoznawstw o, Warszawa 1965, 5. 9 Tamże, 5—8.

N as interesować będzie tu ta j logiczna koncepcja języka. Czym je s t języ k z logicznego p u n k tu w idzenia? A by tę koncepcję przedstaw ić, przypom nijm y n a jp ie rw co m am y n a m yśli, kiedy m ów im y o rozumieniu w y rażeń językow ych. Otóż pow iem y, z całą pewnością, że rozum iem y dane w yrażenie, jeżeli usłysze­ nie go kojarzy nam się z przed m iotem od tego w y razu różnym , b ądź z pewną relacją zachodzącą m iędzy p rzedm iotam i, bądź z pew n ą czynnością 10. Z naczeniem natom iast, w jak im się ro ­ zum ie dane w yrażenie, nazw iem y określony (pod pew nym i w zględam i) sposób rozum ienia danego w y rażen ia n . Je śli teraz w eźm iem y pod uw agę pew ien zasób w y rażeń oraz sposobów ich rozum ienia, czyli znaczeń, to m ieć będziem y w łaśnie do czynie­ n ia z logiczną koncepcją ję y k a 12. P rzeto m ówić jakim ś językiem znaczy posługiwać się jego w yrażen iam i oraz rozum ieć je w ta ­ k im znaczeniu, jak ie je s t w d an y m języ ku przy jęte. W eźm y pod uw agę przypadek n ajp rostszy , gdy w yrażen iom języ k a jest przyporządkow ane ich znaczenie w sposób jednoznaczny, tj. gdy każde wyrażenie posiada jed n o ty lk o ustalon e znaczenie. W ów­ czas gdybyśmy ty m sam ym w yrażeniom p rzyporządkow ali in­ n y sposób ich rozum ienia (czyli in n e znaczenie) i także, dla p ro ­ sto ty , jed en tylko sposób, to m ielibyśm y do czynienia, z logicz­ nego p u n k tu widzenia, z in n y m językiem . Można by tu ta j od­ różniać różność języ k a odnośnie do zbioru w y rażeń oraz odnoś­ n ie do przyporządkow yw anych w yrażeniom znaczeń. Je śli więc zm ienilibyśm y zbiór w yrażeń, zachow ując ich rodzaje sy n ta k - ty czn e oraz znaczenie, to m ożna by m ówić o w erb aln ej zm ianie języ k a. Je śli stronę w yrażeniow ą zostaw ilibyśm y niezm ienioną, zaś przyjęlibyśm y inne, now e znaczenia dla w yrażeń, to m ożna by mówić, o znaczeniowej zm ianie języka. Je śli dokonalibyśm y jedneg o i drugiego, to m ielibyśm y do czynienia z pełn ą zm ia­ n ą języka.

Rozważając stronę sem antyczną języka, p rzy pom n ijm y, że w y d a je się, iż najbardziej w łaściw y uk ład k ateg orii

ontologicz-10 Zob. K. Ajdukiewicz, Logika pragm atyczna, W arszawa 1965, 19. u Tamże, 20—23.

n ych należy oprzeć n a pojęciach teo rii mnogości. U kład te n za­ w ie ra nieskończenie w iele kategorii. Są nim i: 1° ind yw id ua (tzn. p rzed m io ty nie będące zbioram i), 2° zbiory, 3° relacje (dwu-, tró j-, ... , n-członow e). R elacji je s t w łaśnie nieskończenie w iele ze w zględu n a ich „członowość”. D la dowolnego n n a tu raln eg o posiadam y rela cję n-członow ą. Z p raktycznego p u n k tu w idzenia, w podanych w yżej k ateg o riach ontologicznych, dadzą się zm ieś­ cić w szystkie znane n a m filozoficznie isto tn e pojęcia m etafizy- k aln e 13. P o d k reślm y m yśl, głoszącą, że w spółcześnie nie widać żadnego sposobu, k tó ry by pozwolił budowrać języ k całkow icie poza w ym ienionym i w yżej kategoriam i. P rzy p uśćm y bowiem , dla p rzyk ład u , że rozw ażam y ruch. W ydaje się, że gdy m ów im y o ruch u , to tra k tu je m y w yrażenie to jed y n ie jako skrót. W rze­ czywistości ru ch je s t zawsze ru ch e m czegoś. Coś się porusza. Nie m a ru ch u bez p rzed m iotu poruszającego się. R uch je st nie­ odłącznie zw iązany z czymś, co się porusza. Fizyk te o re ty k po­ w iedziałby, że ro z p a tru je ru ch p u n k tu m aterialnego. Zawsze więc m am y do czynienia z czym ś p oruszającym się, a nie z r u ­ chem sam ym jak o takim . Zw yczaj językow y nie pozw ala nam m ówić o istn ien iu sam ego ru ch u bez przed m io tu poruszającego się. O pisyw anie ru c h u p rz y pom ocy pojęcia fu n k cji zakłada is t­ nienie pew nego su b stra tu , którego zm ienne stan y w rozw aża­ n y m ru ch u są w łaśnie ro zp atry w an e, badane. W praw dzie tak ie pojęcie ja k to r cząstki poruszającej się w y d aje się być tylk o pojęciem m akroskopow ym , nie posiadającym odpow iednika w m ikrośw iecie, to je d n a k niezależnie od tego, i w m echanice klasycznej i w m echanice kw antow ej zawsze m am y do czynie­ n ia z su b stratem , k tó ry podlega zm ianie, k tó ry się porusza 14,

Zob. np. H. Stonert, Język i nauka, Wiedza Pow szechna, 1964, 182—183. Wypada tu zwrócić uw agę na to, że w m atematycznej teorii kategorii pow stała sytuacja, która zm usza do „w yjścia” poza pojęcie zbioru. U żyw a się tam szerszego pojęcia klasy. Każdy zbiór jest klasą, natom iast nie każda klasa jest zbiorem. Np. zbiór w szystkich zbiorów jest klasą, nie jest zaś zbiorem. Kategoria jest, z reguły, klasą.

14 Zob. np. D. Błochincew , Podstawy m echaniki kwantow ej, Warszaw w a 1954, 58—63.

M ech an ik a kwantowa głębiej w nika w „ n a tu rę ” ruchu, aniżeli to czyni m echanika klasyczna. S tą d też sform ułow ania klasycz­ n e m ogą się okazać jed y n ie ujęciem przybliżonym , co w cale n ie przeszkadza, ab y uw ażać za rzecz n iew ątp liw ą przekonanie głoszące, iż nie p o trafim y mówić o ru chu , gdy nie istn ieje obiekt, k tó ry by się poruszał15. T en fa k t w y d aje się być ściśle związariy

z e s tr u k tu rą języka, k tó ry m się posługujem y. Nie w idać, pod­

k re ślm y to raz jeszcze, w ja k i sposób m ożna by pozbawić język om aw ian ej przed chw ilą własności, a więc budow ania go n ie­ zależnie od wspbm nianych k ateg o rii ontologicznych.

Z an o tu jm y tu jeszcze jed n ą p ro stą m yśl. Chodzi m ianow icie 0 pogląd, zgodnie z k tó ry m m ate m a ty k a może być u w ażana za uży teczn y język nauki. Ję zy k m atem aty k i jest bow iem zarazem 1 p re c y z y jn y i w y starczająco bogaty. A jednocześnie je s t uni­ w e rsaln y . Zdaniem J. G. K em en y ’ego m ate m a ty k a, ja k dotąd, j e s t jed y n ym napraw d ę u n iw ersaln y m osiągnięciem człowie­

k a 16. W związku z ty m w y p ada przypom nieć pogląd H. S tein ­ h au sa, według k tórego p rzedm iotem m a te m a ty k i je s t rzeczy­ w istość, a nadto m ate m a ty k a je s t u n iw ersaln a bow iem nie m a ta k ie j rzeczy, k tóra b y łab y jej o b c a 17. In te resu jąc e jest, że W. J. Reichmann podobnie w idzi przed m io t sta ty s ty k i m ate m a ­ ty cz n e j. Uważa, że je s t nim rzeczyw istość 18. U n iw ersaln y ch a­ r a k te r m atem atyki w y d aje się płyn ąć z ab strakcy jno ści m a te ­ m a ty k i. S tąd właśnie dalej w y n ika m ożliwość licznych zastoso­ w a ń m atem atyki, a także uw olnienie języ k a m ate m a ty k i od z a b arw ie n ia emocjonalnego 19. W ydaje się, że dobrą ilu stra c ją d la w yżej powiedzianego je s t p ow stanie c y b e rn e ty k i z jej ję ­ zy k ie m o charakterze sy n te ty z u ją c y m oraz ren esans m etody m odelow ania.

15 C iekaw e wydaje sią być przebadanie z sem antycznego punktu w id zen ia takich pojęć fizykalnych, jak np. masa, energia itp. Jakiego rodzaju ontologicznego są one? Czy są to indywidua, czy w łasności, ce ch y indywiduów itp.?

16 J. G. Kemeny, Nauka w oczach filozofa, W arszawa 1967, 22. u H. Steinhaus, K alejdoskop m atem atyczny, W arszawa 1956, 6. 18 W. J. Reichmann, Drogi i bezdroża statystyki, W arszawa 1968, 58. i» Zob. J. G. Kemeny, op. cit., 22.

3. O dw zorow anie

W określen iu odw zorow ania najw ygodniej jest w yjść od po­ jęcia relacji. F orm alnie biorąc rela cja jest to zbiór p a r uporząd­ kow an ych (x, y). Przynależność p a ry (x, y) do relacji R byw a notow ana w postaci x R y lub R(x, y). R elacja R nazyw a się je d ­ noznaczną, jeżeli spełniony je s t w aru n ek : xR y oraz xRz pocią­ gają za sobą rów ność у = z. R elację jednoznaczną nazyw a się w łaśnie odw zorow aniem . Zam iast odw zorow anie m ów i się także przekształcenie, fu nkcja. Jeżeli f oznacza odw zorow anie, to za­ m iast x fy p rzy jęło się pisać у = f(x).

Podchodząc do pojęcia odw zorow ania w sposób bardziej in­ tu ic y jn y , m ożna określić je n astępująco. Niech dane będą dw a zbiory X oraz Y. Jeżeli każdem u elem entow i zbioru X został przypo rząd k o w any pew ien elem en t ze zbioru Y, to m ów im y, że zostało określone odw zorow anie f n a zbiorze X o w artościach ze zbioru Y. Zbiór X nosi nazw ę zbioru argu m en tów lu b dzie­ dziny odw zorow ania f. N atom iast zbiór ty ch у ze zbioru Y, dla któ ry ch istn ieje x ze zbioru X, tak ie że у = f(x), nosi nazw ę zbioru w artości w zględnie przeciw dziedziny odw zorow ania. J e ­ żeli przeciw dziedziną odw zorow ania f je s t cały zbiór Y, to mó­ w im y, że odw zorow anie je st n a zbiór Y. W w y pad ku przeciw ­ nym , odw zorow anie zw ie się w zbiór Y. O dw zorow anie f zbioru X w zbiór Y, spełn iające w a ru n e k : Xi różne od Х2 pociąga za

sobą f(x i) różne od f(x2), nazyw a się odw zorow aniem w zajem nie

jednoznacznym . J e s t widoczne, że każda fu n k cja m atem atycz­ n a je s t odw zorow aniem w wyżej o kreślonym znaczeniu.

Jeżeli f je s t odw zorow aniem zbioru X w zbiór Y, to fa k t ten zapisujem y także następ ująco : f : X Y. C zytam y: f odwzoro­ w u je X w Y, albo: f przek ształca X w Y.

N iech będą d an e trz y zbiory X, Y, Z oraz dw a odw zorow ania f i g takie, że f: X -> Y, g: Y -> Z. W ówczas m ożna m ówić o od­ w zorow aniu h: X Z, tak im że h(x) = g/f(x)/ dla każdego x n a ­ leżącego do zbioru X. O dw zorow anie h nosi nazw ę superpozy­ cji odw zorow ań f oraz g, albo złożenia odw zorow ań f oraz g.

d zy sobą utw orzonym i ze w szystkich ludzi (żyw ych oraz u m a r­ łych). Niech f będzie odw zorow aniem przyp orząd ko w ującym k aż d em u człowiekowi jego m atkę, zaś g niech przyporządkow u­ je każd em u człowiekowi jego ojca. W ówczas odw zorow anie zło­ żone fg przyporządkow uje każdem u człow iekow i jego babkę ze s tro n y ojca, zaś odw zorow anie gf p rzy p o rząd ko w uje człow ieko­ w i jego dziadka ze stro n y m atki.

Jeżeli f jest odw zorow aniem w zajem nie jednoznacznym , to w ów czas można mówić o odw zorow aniu od w rotnym do f. O zna­ cza się je zwykle przez f _1. P osiada ono tę w łasność, że su p er­ p ozy cje ff_1 oraz f _1f są odw zorow aniam i tożsam ościow ym i, od­ pow iednio, zbioru Y, w zględnie zbioru X, n a siebie.

Z an otujm y kilka pro stszych przy k ład ów odw zorow ań. P rz y ­ puśćm y, że każdemu tró jk ą to w i p rzyp o rząd k ow u jem y liczbę da­ ją c a wielkość jego pola. O trzy m u jem y w ów czas odw zorow anie w szystk ich trójkątów w zbiór liczb rzeczyw istych n ieu jem nych (jeśli do trójkątów zaliczym y także p rzy p ad ek graniczny, m ia­ now icie odcinek prostoliniow y, do którego może się sprow adzać tró jk ą t). Podobnie o trzy m am y odw zorow anie, jeżeli każdem u sześcianow i przyporządkujem y liczbę w yznaczającą w ielkość je ­ go powierzchni całkow itej, tj. liczbę 6a2, o ile długość kraw ędzi sześcianu wynosi a. Dziedziną tego odw zorow ania są, oczywiście, w szystk ie sześciany. Przeciw dziedziną zaś — liczby rzeczyw i­ s te nieujem ne. Jeżeli zarów no dziedzina, ja k i przeciw dziedziną odw zorow ania są zbiorem liczb, to odw zorow anie zazw yczaj za­ p isu je się w postaci pew nego w zoru. Np. w a ru n e k y = 4x + 8 o k re śla odwzorowanie zbioru liczb rzeczyw istych n a siebie. T u ­ ta j i dziedzina i przeciw dziedziną to po p ro stu zbiór liczb rze ­ czyw istych. Odwzorowanie odw rotne do danego dane będzie

У — 8

p rzez w arunek n astęp u jący : x == — — . N ietru d no widzieć, że d w a o statnie z p o danych w yżej odw zorow ań to odw zorow ania w zajem n ie jednoznaczne. N atom iast pierw sze spośród nich ta ­ k im nie jest. Jest to w idoczne, bow iem różne tró jk ą ty mogą po­ siadać pole tej sam ej w ielkości. P rzeto w ty m p rzy p ad k u nie m ożna mówić o odw zorow aniu odw ro tny m do danego. N atom iast

w d w u pierw szych przy p ad k ach odw zorow ania odw rotne istnie­

ją·

T eoria odw zorow ań je s t opracow ana w m atem atyce. P ojęcie odw zorow ania zajm u je w niej m iejsce naczelne. M atem aty ka, oczywiście, posiada swój w łasn y język. O kazuje się, że posłu­ gując się pojęciem odw zorow ania, m ożna jed no zagadnienie przekształcić w drugie. Inaczej m ówiąc, m ożna w ykazać, że różne zagadnienia są w łaściw ie u k ry ty m i postaciam i jednego i tego sam ego problem u. P rzeto, jeżeli rozw iążem y jedno z nich, d ru g ie sta je się tak że rozw iązane. N ależy ty lko dokonać odpo­ w iedniego przekształcenia, aby od jed n ej postaci p ro b lem u przejść do drugiej postaci. O trzy m u je się w te n sposób ekono­ m ię w y siłk u i jednocześnie głębszy w gląd w s tru k tu rę p rob le­ m u. W y ch w y tu je się isto tn e elem en ty zagadnienia. Nie zatrzy ­ m u jem y się n a rzeczach drugorzędnych. Z arazem uzy sk u je się w te n sposób uproszczenie języ k a m atem aty k i, co je s t rzeczą w ażną. Poniżej zam ieszczone rozw ażania odnosić się będą w łaś­ nie do zasygnalizow anego problem u.

Z agadnienie to ro zp atrzy m y n a k o n k retn y c h p rzykładach, b y potem n a ich podstaw ie m óc sform ułow ać pew ne ogólne w nio­ ski.

W eźm y np. zagadnienie rozw iązyw ania ró w nań k w a d ra to ­ wych. W szystkim je s t dobrze znany w zór n a p ierw iastk i ró w na­ nia k w adratow ego zupełnego. Jeżeli ró w n an ie posiada postać a x 2 + b x + с = 0, to p ierw iastk i jego w ylicza się ze w zoru x, 2 =

pierw iastk o w e b 2 — 4ac > 0, to ró w n an ie posiada dw a ró żn e pierw iastk i rzeczyw iste; jeżeli w spom niane w yrażenie jest ró w ­ ne zeru, to rów n anie posiada jed en p ierw iastek ; gdy n a to m ia st je s t ono ujem ne, to ró w nanie p ierw iastk ó w rzeczyw istych n ie

4. Ję zy k a odw zorow anie

W iadom o dobrze, że jeśli w yrażenie pod -2a

posiada. Pow staje p y tan ie, czy nie m ożna by uprościć pow yż­ szego rozwiązania przez sprow adzenie go do w yłączania p ier­ w ia stk a kwadratow ego. Bow iem p ro ste ró w nan ie kw ad rato w e p o staci x 2 = n rozw iązuje się biorąc x i; 2 = + j/ n- Na p y tan ie to

m ożna odpowiedzieć następująco. Z auw ażm y n ajp ie rw , że postać a x 2 + b x + с = 0, przez podzielenie przez a d aje się sprow adzić do postaci x 2 + p x + q = 0. Dzielić przez a m ożem y, ponie­ w aż skoro mamy do czynienia z ró w n aniem k w ad rato w y m , to a n ie może być zerem. D okonujem y tera z dalszej operacji. M ia­ now icie podstawmy do naszego uproszczonego ró w nan ia x = у + r. Otrzym am y wówczas: (y + r)2 + p(y + r) + q = 0. P o w ykonaniu działań i uporządkow aniu będzie: y 2 + y(2r +

p

+ p) + (r2 + pr + q) = 0. Jeżeli tera z p rzy jm iem y r = — to ró w n a n ie nasze uprości się dalej i przy jm ie form ę: y 2 + A = 0, gdzie A = 1/4 · p 2 + q — 1/2 · p 2 = q — 1/4 · p 2. A tę p o stać równania k w adratow ego m ożem y ju ż rozw iązać przez bezpośrednie wyłączenie p ierw ia stk a k w adratow ego z liczby — A. W te n sposób o trzy m u jem y rozw iązanie rów n an ia k w a­ d rato w eg o dla zm iennej y. W ystarczy dokonać odw zorow ania x = у — 1/2 · p, ab y mieć rozw iązanie dla zm iennej x. W idzi­ m y w ięc, że skorzystanie z pew nego odw zorow ania pozw ala n a m isto tn ie uprościć rozw iązanie.

R ozw ażm y jeszcze podobny p rzy k ła d odnoszący się do tró j- m ia n u kw adratow ego у = x 2 + p x + q. P rzy p u śćm y n a jp ie rw , że w ychodzim y z bardzo pro stej postaci tego rodzaju w ielom ia­ n u , m ianowicie ze w zoru y = x 2. Jeżeli tera z w m iejsce у pod­ sta w im y у + a, zaś w m iejsce x podstaw im y x + b, to o trz y ­ m am y postać następującą: у + a = (x + b)2. Po podniesieniu do k w a d ra tu oraz przeniesieniu a z lew ej stro n y n a p raw ą będzie: y = x 2 + 2bx + (b2 — a). Jeżeli 2b oznaczym y przez p, zaś b 2 — a p rzez q, to o trzy m am y w yjściow ą postać tró j m ianu. J a k i stą d płynie w niosek? Po p ro stu , rozum ow anie p rzep ro w a­ dzone p rze d chwilą poucza, że dow olny tró jm ia n postaci у = = x 2 + p x + q, może być p rzy pom ocy odw zorow ania w yżej

podanego 20 sprow adzony do prostej postaci y = x 2. Jeżeli więc będziem y znali w łasności w y rażen ia у = x 2, to ty m sam ym znać będziem y w łasności w szystkich tró jm ian ó w postaci у = = x 2 + p x + q. Oczywiście chodzi tu jed y n ie o te własności, k tó re zachow ują się przy ro zp a try w a n y m p rzekształceniu. In a ­ czej m ówiąc, chodzi tu o w łasności niezm iennicze ze w zględu na rozw ażane odw zorow anie.

D w a powyższe p rzy k ład y zostały zaczerpnięte z m atem aty k i e lem en ta rn e j. P rz y k ła d y te są dość proste. D latego też może sam e w sobie n iezbyt interesujące. W ydaje się jed n ak , że do­ b rze ilu s tru ją m yśl, o k tó rą tu chodzi. A ta, niew ątpliw ie, jest w a rta uwagi. Podobnych przykładów , z zak resu m atem aty k i w yższej, m ożna podaw ać bardzo dużo. Ze w zględu n a b rak m iejsca niesposób jest om aw iać je dokładnie. W ym agałoby to bow iem przed tem przypom nienia pew nych w iadom ości z m a­ tem a ty k i w yższej. D latego też jed y n ie w ch ara k te rz e ogólnych in fo rm acji oraz ilu stra c ji zostaną w ym ienione poniżej pew ne sy tu acje odnoszące się do in teresu jąceg o nas zagadnienia.

W eźm y pod uw agę dział m atem aty k i zw any topologią. J a k wiadom o, topologia może być określona jako teo ria niezm ien­ ników hom eom orfizm ów , tj. odw zorow ań w zajem nie jed n o ­ znacznych oraz d w u stro nnie ciągłych (tzn. samo odw zorow a­ nie jest ciągłe oraz odw zorow anie odw rotne jest także ciągłe). Otóż, z p u n k tu w idzenia topologii, k w a d ra t, tró jk ą t, elipsa n i­ czym się nie różnią. Można bow iem hom eom orficznie odw zoro­ wać dow olny k w a d ra t n a dow olną elipsę, a tę na dow olny tró j­ kąt. Biorąc złożenie hom eom orf izmów, k tó re n adal jest ho- m eom orfizm em , otrzy m am y auto m aty czn ie odw zorow anie ho­ m eom orf iczne k w a d ra tu na tró jk ą t. Skoro je st tak , to stąd w ynika, iż w y starczy zbadać w łasności topologiczne jednego tylko k w a d ra tu , pow iedzm y o boku rów nym 1, aby wiedzieć w szystko nie ty lk o o dow olnym kw adracie, ale i o dowolnej

20 Ściśle biorąc, należałoby, w tym przypadku, w ziąć odwzorowanie odwrotne do rozpatrywanego. A w ięc zam iast x podstaw iać x —b, zaś w m iejsce у podstaw ić у—a, przy czym 2b = p, zaś b2—a = q.

elipsie i o dowolnym trójkącie. I o każdej innej figurze, k tó ra je s t obrazem hom eom orficznym k w a d ra tu . J e s t nim np. do­ w o ln y prostokąt, dow olny tra p e z i w iele innych. W ten spo­ sób docieram y do bardziej podstaw ow ych w łasności figur, an i­ żeli to je s t możliwe n a gru n cie g eom etrii m etry czn ej, gdzie uto żsam ia się jedynie fig u ry tzw . przystające.

Je ż e li wzięlibyśmy np. tarc zę koła oraz d ru g ą tarczę koła i z te j ostatniej usu n ęli w n ę trz e m niejszego koła zaw artego w n iej, to powyższe dw ie fig u ry nie b y łyb y hom eom orficzne. B y ły b y one topologicznie różne. W idać więc, że m ożna mówić o ty p a c h topologicznych figur. D w ie fig u ry zaliczym y do je d ­ nego ty p u , jeżeli są one hom eom orficzne, tzn. jeżeli pierw szą z n ich m ożna odwzorować hom eom orficznie n a d ru g ą (co, ja k ju ż w iem y, jest rów now ażne pow iedzeniu, że d ru g ą z nich m ożna odwzorować hom eom orficznie n a pierw szą). Pow yższy p odział fig u r na różne ty p y topologiczne je s t p o p raw n y z tego w zg lęd u że relacja: F i je s t obrazem hom eom orficznym F 2, je s t z w ro tn a , sym etryczna i przechodnia, czyli je s t re la c ją rów no­ w ażności. W ymieńmy jeszcze przykładow o k ilk a fig u r nieho- m eom orficznych. A więc pow ierzchnia k u li i pow ierzchnia to - ru s a (m ów iąc potocznie: pow ierzchnia d ę tk i sam ochodowej), koło i k u la, kw adrat i sześcian nie są hom eom orficzne.

W eźm y teraz przykład z g eom etrii an ality cznej. W iadomo, że o b ró t płaszczyzny dokoła początku u k ład u o k ą t a w y raża się następującym i w zoram i:

x ’ = X · cosa — y · sina, y ’ = X · siną + y · cosa.

P o słu g u ją c się zapisem m acierzow ym , o trzy m am y w yrażenie postaci:

[

sina cosa

J

J

M acierz złożoną z fu n k cji sinus oraz cosinus m ożna dalej, zgod­ n ie ze znan y m i praw am i, przekształcić ja k n astęp u je:

[

= cosa cosa sm a

O statecznie więc przekształcenie w yjściow e p rzy jm u je postać n astęp u jącą:

W ten sposób w idzim y, że b adanie w łasności odw zorow ania danego w postaci w yjściow ej może być sprow adzone do b a d a ­ nia w łasności odw zorow ań określonych m acierzam i złożonym i z zer i jedynek. A to je s t w ielkie uproszczenie problem u.

P rz y jrz y jm y się teraz zagadnieniu teorii sk rzyd ła sam oloto­ wego. Chodzi tam o pro b lem linii opływ u skrzydła przez po­ w ietrze. Otóż je s t rzeczą p ro stą zbadać w spom niane linie opływ u w p rzy p ad k u koła. Jeżeli tera z dokonam y tzw. odwzo­ row an ia konforem nego, to koło przejdzie n a in ną figurę, p rzy czym zostaną zachow ane w ielkości kątów , k tó re tu w łaśnie są istotne. W praw dzie odległości m iędzy p u n k tam i ulegną zm ia­ nie, a także linie p ro ste p rze jd ą n a linie krzyw e, ale obraz linii opływ u będzie dalej liniam i opływ u. N. E. Ż ukow ski zauw a­ żył że jeżeli wziąć odw zorow anie postaci z + l/z , to koło p rz e j­ dzie p rzy n im n a fig u rę bardzo zbliżoną do p rofilu skrzy dła sam olotow ego. W te n sposób tru d n e badanie odnośnie do skom ­ plikow anego p ro filu skrzy d ła sam olotu sprow adza się do, o w iele łatw iejszego, zagadnienia odnoszącego się do koła. Tego ro d zaju pro b lem y są podstaw ow e w hydrodynam ice. Można ta m znaleźć w iele przy k ład ó w ilu stru jąc y c h om aw iane tu za­ gadnienie.

W cybern ety ce, w m iejsce w y rażen ia odw zorow anie, używ a się często nazw y tran sfo rm acja. I m ówi się o tra n sfo rm o w a ­ n iu inform acji, zasilania. N adto w y stę p u je ta m pow iązanie

w ięc, p rzy określonych w aru n k ach , powiedzieć, iż m aszyna ucieleśn ia tra n sfo rm ac ję 21. P rzeto , jeśli zbadam y w łasności od­ w zorow ania, transform acji, znać będziem y ty m sam ym w ła­ sności maszyny. J e s t to, oczywiście, w ygodne z rac ji n a łatw ość „bu d o w an ia” transform acji w p o rów n an iu do w yko n ania re a l­ n e j m aszyny.

5. U w agi zam ykające

Zaprezentow ane w yżej p rzy k ła d y zastosow ania odw zorow ań p o zw alają n a sform ułow anie n astęp u jący ch uwag.

Po pierwsze, stw ierdzam y podstaw ow ą w łasność polegającą n a uproszczeniu języ ka zagadnienia. D obranie odpow iedniego odw zorow ania odnośnie do ro zpatry w an eg o p roblem u, pozw ala n a w y b itn e uproszczenie zagadnienia. Z am iast zajm ow ać się p ro b le m em trudnym i skom plikow anym , o trzy m u jem y now ą re d a k c ję zagadnienia (istotnie rów now ażną w yjściow em u) o w iele prostszą i bardziej p rzejrzy stą. Inaczej, w m iejsce ję ­ zyka skomplikowanego o trz y m u je m y język p rostszy i bardziej p rz e jrz y s ty . Zagadnienie nic nie tra c i n a sw ej w artości, języ k n a to m ia st ulega w y b itn em u uproszczeniu. Nie m am y więc tu do czynienia z banalizow aniem problem u. Z agadnienie pozo­ s ta je daw ne. Tylko szata językow a ulega uproszczeniu. Jeżeli z b a d am y zagadnienie w postaci uproszczonej, to stosując od­ po w ied n ie odwzorowanie, o trzy m am y n a ty c h m ia st odpowiedź n a p ro b le m wyjściowy. W ydaje się, że jest to w y nik in te re ­ sujący .

P o d ru g ie, łącznie z uproszczeniem problem u, zauw ażam y d alszą cechę charakterystyczną opisanego w yżej postępow ania. Może ona być nazwaną cechą „ekonom iczną”. W idzieliśm y, że po słu g u jąc się odwzorowaniem oszczędzam y czas. W m iejsce skom plikow anych rozw ażań o trz y m u je m y do b adania postaci ła tw ie jsz e , nadto za jed n y m zam achem bad an a jest, ściśle rzecz b iorąc, cała klasa obiektów , nie jed en tylko. M ianowicie,

n e są te w szystkie obiekty k tó re z d an y m należą do tego sa ­ mego ty p u z p u n k tu w idzenia w łasności stosow anego odwzo­ row ania. T y m sam ym więc docieram y do w łasności bardziej podstaw ow ych, k tó re in te rw e n iu ją w rozw ażanym problem ie. W postaci w yjściow ej zagadnienia są one, z reg uły , u k ry te , m ało widoczne. P rzeto posługiw anie się odw zorow aniem nie ty lk o upraszcza język, ale także um ożliw ia pogłębienie zagad­ nienia, przez zw rócenie uw agi n a elem en ty istotne. Z atem b a­ danie całej k lasy przedm iotów , w m iejsce jednego tylko, oraz m ożliwości w niknięcia w głąb in teresu jącej n a s pro b lem aty k i w d an y m zagadnieniu, oto dalsze „korzyści” z posiłkow ania się odw zorow aniam i.

Ju ż w ym ienione w yżej cechy zw iązane ze stosow aniem od­ w zorow ań w sk azu ją n a w agę nau k o w ą całego problem u. Moż­ n a by, oczywiście, w ym ienić dalsze jeszcze. Nie chodzi tu o to. C elem a rty k u łu jest zasygnalizow anie poruszonej tu p rob le­ m aty k i i zw rócenie uw agi n a jej w artość. P rz y k ła d y były b ra ­ n e z zakresu m atem aty k i. J e s t to zrozum iałe ze w zględu n a to, że język m ate m a ty k i jest n ajb ard ziej ścisłym językiem spo­ śród języków naukow ych. W ydaje się jed n ak, że nic nie stoi n a przeszkodzie, aby m u ta tis m u ta n d is móc przenieść pow yż­ sze rozw ażania n a dow olny, w y starczająco precy zy jn y , języ k naukow y. T ru d n o bow iem w yobrazić sobie tak i języ k n a u k o ­ w y, do którego nie m ożna by było, ex definitione, odnosić po­ jęcia odw zorow ania. A więc, inn y m i słow y, nie m ożna b y było stosow ać p rzekształceń w celu o trzy m y w an ia rów now ażnych, lecz prościej postaw ionych zagadnień.

SPR A C H E U N D A B B IL D U N G

Es gibt keine W issenschaft ohne Sprache. Jede W issenschaft bildet sich ihre eigene Sprache. Diese kann m an als eine Art von Abbildung der R ealität betrachten. Darum der Bergriff der Sprache und der des M odells stehen in Beziehungen zueinander. Für diesen Begriffen der B egriff der Abbildunk gem einsam ist. Der A rtik el erörtert einige R ela­ tionen zwischen der Sprache und der Abbildung.

D ie logische Konzeption der Sprache, die hier genom m en ist, sagt dass die Sprache eine Menge von A usdrücken und ihnen nach einer V orschrift zugeordnetem Sinn ist. Unter einer Abbildung einer Menge von Objekten in eine andere M enge von Objekten versteht man eine Zuordnung jeden Elem ent der ersten Menge ein und nur ein Elem ent der zw eiten Menge. Im Artikel ist auch die Rede über die Abbildung von Abbildung und über die ein-ein-deutigen Abbildungen.

W eiter einige Beispiele der V ereinfachung der Problem atik w egen der Anwendung der A bbildungen gegeben sind. D iese B eispiele aus dem B ereiche der elementaren M athem atik, der Topologie, der analytischen G eom etrie, der Funktionentheorie und der K ybernetik ausgenomm en sind.

D abei ist auch der Druck auf die Zugehörigkeit des M erkmals das m it der Abbildung verbindet ist gegeben. Es geht näm lich über die M öglichkeit der Erörterung nicht nur einzelnen Objekt, sondern der ganzen Klasse von äquivalenten, unter einen gegebenen Aspekt, Objek­ te. Und auch über die M öglichkeit der Erörterung der tieferen Schich­ ten der uns interessierten Problem atik, m it der haben w ir in der Frage zu tun.

D ie Beispiele nur aus dem G ebiete der M athem atik ausgenommen sind. Es scheint aber, dass m utatis m utandis, existiert die M öglichkeit der Ausdehnung der Betrachtungen auf die anderen Bereiche der W is­ senschaft. Jede w isseschaftliche Sprache kann man doch in v iele Wei­ sen abbilden.